6.2等比數(shù)列-2023屆高三數(shù)學(xué)（藝考生）一輪復(fù)習(xí)講義（解析版）

1、注：請用Microsoft Word2016以上版本打開文件進行編輯，用WPS等其他軟件可能會出現(xiàn)亂碼等現(xiàn)象.專題六 數(shù)列第2講 等比數(shù)列1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為eq f(an1,an)q(q0，nN*)(2)等比中項如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項即：G是a與b的等比中項G2ab“a，G，b成等比數(shù)列”是“G是a與b的等比中項”的充分不必要條件2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1qn1(2)前n項和公式：

2、Sneq blc(avs4alco1(na1，q1，,f(a1（1qn）,1q)f(a1anq,1q)，q1.)3等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，則amanapaqaeq oal(2,r)(2)數(shù)列am，amk，am2k，am3k，仍是等比數(shù)列(3)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比數(shù)列(此時an的公比q1)常用結(jié)論4記住等比數(shù)列的幾個常用結(jié)論(1)若an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)，aeq oal(2,n)，anbn，eq blcrc(avs

3、4alco1(f(an,bn)仍是等比數(shù)列(2)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(3)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等比數(shù)列。一選擇題（共15小題）1已知等比數(shù)列an中，a24，a5=12，則公比q（）A2B12C12D2【解答】解：等比數(shù)列an中，a24，a5=12，可得a2q3a5，即4q3=12，解得q=12故選：B2已知數(shù)列an滿足an+1=12an，若a48，則a1等于（）A1B2C64D128【解答】解：數(shù)列an滿足an+1=12an，公比為12a48，則a1(12)3=8，解得a164故選：C

4、3已知在等比數(shù)列an中，a11，a59，則a3（）A5B5C3D3【解答】解：設(shè)公比為q，由等比數(shù)列的通項公式可得 a5a1q4，即 91q4，解得 q23，a3a1 q23，故選：D4在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a21，2a9a3a6，則a8的值為（）A2B12C14D18【解答】解：由a9a3a6，則2q61q3，又q0，所以q3=12，a8=a2q6=14，故選：C5若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，a2b2=（）A4B1C1D4【解答】解：等差數(shù)列an的公差設(shè)為d和等比數(shù)列bn的公比設(shè)為q，由a1b11，a4b48，可得1+3dq38，可得d3，q2，則a2b

5、2=1+3(2)=1，故選：C6在正項等比數(shù)列an中，a11，且3a3，a2，2a4成等差數(shù)列，則數(shù)列an的前n項和Sn（）A212n1B1(2)n3C212nD12n3【解答】解：設(shè)等比數(shù)列公比為q，因為3a3，a2，2a4成等差數(shù)列，所以2a23a3+2a4，即2a1q3a1q2+2a1q3，因為正項等比數(shù)列an，所以2q2+3q20，解得q=12或q2（舍去），所以Sn=1(1(12)n)112=212n1，故選：A7在等比數(shù)列an中，已知a1a34，a9256，則a8（）A128或128B128C64或64D64【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a1a3=a22=4，a22或2，a92

6、56，當(dāng)a22時，q7128即q2，則a8128，當(dāng)a22時，q7128即q2，則a8128，故選：A8已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an為等比數(shù)列，若a1a516，a3+a412，則公比q（）A12B1C2D4【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列an的公比q0，由a1a5a 32=16，解得a34或a34（舍去），又a3+a412，得a41248，所以q=a4a3=84=2故選：C9設(shè)數(shù)列an是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a2a416，a4+a5+a8a1+a2+a5=8，則S5（）A40B20C31D43【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q0，a2a416，a4+a5+a8a1+a2+a

7、5=8，a12q4=16，q38，解得q2，a11則S5=25121=31故選：C10已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且2a1+3a216，2a2+a3a4，則log2a1+log2a2+log2a3+log2a100等于（）A11000B5050C5000D10000【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q（q0），由2a2+a3a4，得a1（2q+q2）a1q3，又a10，所以2q+q2q3，整理得q（q+1）（q2）0，解得q2或q1（舍去），q0（舍去），由2a1+3a216，得2a1+6a116，解得a12，所以an22n12n，所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a1

8、00log2（a1a2a100）log221+2+1001+2+100=1002（1+100）5050故選：B11設(shè)遞增的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S4=403，3a410a3+3a20，則a4（）A9B27C81D83【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，若3a410a3+3a20，則3a2q210a2q+3a20，即有3q210q+30，解可得q3或13，又由數(shù)列an為遞增的等比數(shù)列，則q3，若S4=403，則S4=a1(1q4)1q=40a1=403，解可得a1=13，則a4a1q39，故選：A12記等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S12，S36，且公比q1，則a3（

9、）A2B2C8D2或8【解答】解：S12；a12，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則：S3=2(1q3)1q=2(1+q+q2)=6；q2+q20；q1；解得q2；a3=a1q2=24=8故選：C13已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a22，a3a4a529，則a3（）A16B8C4D2【解答】解：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a22，a3a4a529，a1q=2a1q2a1q3a1q4=29q0，解得a11，q2，a31224故選：C14在正項等比數(shù)列an中，若a11，a3a2+2，Sn為其前n項的和，則S6S3=（）A6B9C12D15【解答】解：設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q，則 q0a11，a

10、3a2+2，q2q+2q2S6S3=1q61q3=1+q39，故選：B15設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若2S3a4+1，2S2a3+1，則a1（）A2B1C1D2【解答】解：2S3a4+1，2S2a3+1，兩式相減可得2a3a4a3，即a43a3，則公比q3，2（a1+3a1）9a1+1，a11，故選：B二多選題（共2小題）（多選）16等比數(shù)列an中，a1=18，q2，則a4與a8的等比中項可能是（）A4B4C14D14【解答】解：設(shè)a4與a8的等比中項是x由等比數(shù)列an的性質(zhì)可得x2a4a8=1823182716，x4，a4與a8的等比中項x4故選：AB（多選）17已知等比數(shù)列an中，滿

11、足a11，q=12，則（）A數(shù)列a2n是等比數(shù)列B數(shù)列1an是遞減數(shù)列C數(shù)列l(wèi)og2an是等差數(shù)列D數(shù)列an中，S10，S20，S30仍成等比數(shù)列【解答】解：等比數(shù)列an中，滿足a11，q=12，則an=(12)n1，a2n=(12)2n1=12(14)n1，1an=2n1，log2an1n，可得數(shù)列a2n是等比數(shù)列，數(shù)列1an是遞增數(shù)列，數(shù)列l(wèi)og2an是等差數(shù)列，因此AC正確，B不正確由S10=1(12)10112=21(12)10，S20=1(12)20112=21(12)20，S30=1(12)30112=21(12)30，S20S10=1+(12)10，S30S20=1+(12)10

12、+(12)201+(12)10，S10，S20，S30不成等比數(shù)列，因此D不正確故選：AC三填空題（共2小題）18已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1a62a3，a4與2a6的等差中項為32，則S531【解答】解：設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q，q0，a1a62a3，可得a12q52a1q2，即a1q32，a4與2a6的等差中項為32，可得a4+2a6a1q3+2a1q53，解得a116，q=12（負的舍去），則S5=16(1125)112=31故答案為：3119記正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3=74，a2a4=116，則S101023512【解答】解：因為正項等比數(shù)列an，S

13、3=74，a2a4=116，所以a1(1+q+q2)=74a12q4=116，整理得6q2q10，解得q=12或q=13（舍），a11則S10=11210112=1023512故答案為：1023512四解答題（共4小題）20已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a36，S420（1）求an；（2）若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值【解答】解：（1）設(shè)公差為d，則a3a1+2d6，S4=4a1+432d=20，解得，a12，d2，所以：an2+（n1）22n（2）因為 ak=2k，Sk+2=(k+2)2+(k+2)(k+1)22=(k+2)(k+3)又a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，

14、所以2（k+2）（k+3）（2k）2，化簡得：k25k60解得：k6或k1，又kN*，k621已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a5+3a21，S63（1）求an的通項公式；（2）設(shè)bn=2an，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列，并求數(shù)列bn的前n項和Tn【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a5+3a21，S63，得4a1+7d=16a1+652d=3，解得a1=2d=1an2（n1）3n；證明：（2）bn=2an=23n，則bn+1bn=23(n+1)23n=12，又b1=231=22=40，數(shù)列bn是以4為首項，以12為公比的等比數(shù)列，可得Tn=4(112n)112=823n22已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，a49，S424（1）求an的通項公式；（2）若bn=3an，求證：bn為等比數(shù)列【解答】（1）解：因為an是等差數(shù)列，a49，S424，所以a1+3d=94a1+6d=24，解得，a13，d2，所以an3+2（n1）2n+1；（2）證明：bn=3an=32n+1，所以bnbn1=32n+132n1=9，所以bn是以9為公比的等比數(shù)列23已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=14（an+1）2（nN*）（1）求a1，a2；（2）求證：數(shù)列an是等差數(shù)列【解答】（1）解：正項數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=1