例析抽象函數(shù)問題的求解策略

1、.PAGE ：.；PAGE 4例析籠統(tǒng)函數(shù)問題的求解戰(zhàn)略上海市吳淞中學(xué) 賀明榮 202140近年來，經(jīng)常在高考、高考模擬以及競賽中出現(xiàn)與籠統(tǒng)函數(shù)有關(guān)的試題。普通地，籠統(tǒng)函數(shù)是指：沒有給出詳細(xì)的函數(shù)解析式，只是給出函數(shù)所具有的某些性質(zhì)的函數(shù)。這類試題往往概念籠統(tǒng)、隱蔽性強(qiáng)、靈敏性大、綜合程度高，因此，學(xué)生經(jīng)常感到難以掌握，教師也常為如何適時(shí)處置它等問題而苦惱?，F(xiàn)本文主要引見求解籠統(tǒng)函數(shù)問題的常見方法，供參考。1、合理遞推例1：函數(shù)f具有以下性質(zhì)：f(x)+ f(x-1) =x2假設(shè)f(19)=94，那么f(94)除以1000的余數(shù)是多少？ 解： 由f(x)+ f(x-1) =x2得f(x) =x

2、2 - f(x-1) 又f(19)=94 ， f(20)=202 f(19) ， f(21)=212 f(20)= 212 - 202 + f(19)， 依次類推，可得f(94)=942932+922912+222212+202f(19)= 94+93+92+91+ +22+21+202-f(19)= eq f(94+21,2)74+40094=4561，所以，余數(shù)為561評注： 當(dāng)f(x)是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)時(shí)，可根據(jù)題中所給函數(shù)方程，經(jīng)過取特殊值得到關(guān)于f(n)的遞推關(guān)系，然后根據(jù)遞推關(guān)系進(jìn)一步求解 2、適當(dāng)賦值例2、設(shè)函數(shù)y=f(x)xR 且x 0，對恣意實(shí)數(shù)x1 、x2 滿足f(

3、x1)+ f(x2)= f(x1x2) (1) 求證：f(1)=f(-1)=0；(2) 求證：y=f(x)為偶函數(shù)；(3) 知y=f(x)在0，+上為增函數(shù)，解不等式f(x)+f( x -eq f(1,2) )0證明：(1) 令x1 =x2 =1 ， 得f(1)+f(1)=f(11) f(1)=0 ； 令x1 =x2 = -1 ，得f(-1)+f(-1)=f(-1)(-1) = f(1)=0 ， f(-1)=0 (2) 令x1 =x2 = x ，得2f(x)=f(x2)； 令x1 =x2 = -x ， 得2f(-x)=f(x2)； f(-x)=f(x) ， 即y=f(x)為偶函數(shù)(3) f(x

4、)+f( x -eq f(1,2) )0 , 即fx (x -eq f(1,2)f(1) , 或 fx (x -eq f(1,2)f(-1) , 由(2)和y=f(x)在0，+上為增函數(shù) , 可得0 x(x -eq f(1,2)1 或 -1x(x -eq f(1,2)0 解得 eq f (1- eq r(17) ,4 ) x eq f (1+ eq r(17) ,4 ) 且 x0 , eq f(1,2) 評注： 對于籠統(tǒng)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，經(jīng)過察看與分析，將普通量賦予特殊值，以簡化函數(shù)，從而到達(dá)轉(zhuǎn)化為要處理的問題的目的 3、巧妙換元例3、 設(shè)f(x)的定義域?yàn)閤x0,且x1，滿足f(x

5、)+f(eq f(x-1,x)=1+x ， (1) 求f(x) 解： 令x =eq f(y-1,y) (y0，y1)，并將y 換成x， 得f(eq f(x-1,x)+f(eq f(1,1-x)=1+eq f(x-1,x) ， (2) 再令(1)中x =eq f(1,1-y) (y0，y1)，將y換成x，得 f(eq f(1,1-x)+f(x)=1+eq f(1,1-x) ， (3) 由(1)+(3)-(2) ， 得2f(x)=(1+x)+(1+eq f(1,1-x)-(1+eq f(x-1,x)， 即f(x)=eq f(1+x2-x3,2x(1-x)， 易驗(yàn)證 f(x)= eq f(1+x2-

6、x3,2x(1-x) 滿足方程1 評注： 根據(jù)標(biāo)題構(gòu)造特點(diǎn)及欲證的結(jié)論，將題中的某些量交換成所需求的量留意：應(yīng)使函數(shù)的定義域不發(fā)生改動(dòng)，有時(shí)還需求作幾次相應(yīng)的交換，得到一個(gè)或幾個(gè)方程，然后設(shè)法從中求其解4、利用函數(shù)性質(zhì)例4、知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足 1對于恣意x ，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) ； 2當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，且f(1)= - 2 ，求f(x)在-3 ， 3上的最大值和最小值解：任取-3x1x23 ，由條件1得f(x2)=f(x2-x1)+x1= f(x2-x1)+f(x1)， f(x2)- f(x1) = f(x2-x1) ， x2 - x1 0 ，由條件2得

7、f(x2-x1) 0 ， f(x2) f(x1) ， f(x)在-3 ， 3上 單調(diào)遞減在1中令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0) ， f(0)=0再令x=-y ， 得f(x-x)=f(x)+f(-x) ， f(-x)= -f(x) ， 從而f(x)為奇函數(shù)，因此，f(x)在-3 ， 3上的最大值為 f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=-f(1)-f(2)= -f(1) -f(1) -f(1)= -3f(1)=6最小值為 f(3)= -f(-3)= -6 評注： 根據(jù)標(biāo)題所給的條件，往往需求探求函數(shù)能否還具有哪些特殊的性質(zhì)，比如，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等等，此題是運(yùn)用函數(shù)

8、的性質(zhì)得到解答的一個(gè)典型，它將奇偶性和單調(diào)性有機(jī)地結(jié)合起來，而函數(shù)的單調(diào)性是處理最值問題和有關(guān)不等式問題的常用性質(zhì)。 5、類比探求例5、 知定義在R上的函數(shù)f(x)對于恣意x ， y R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 1 ，假設(shè)存在常數(shù)c0，使得f( eq f(c,2) )=0，求證：f(x)是周期函數(shù)證明： 由1得， f(x+c)+f(x)=2f(x+eq f(c,2)f(eq f(c,2)=2f(x+eq f(c,2)0=0 ， f(x+c)+f(x)=0 ， f(x+c)= - f(x) ， f(x+2c)=f(x+c)+c= - f(x+c)= f(x) ， 又由于

9、c0，所以f(x)是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期評注： 經(jīng)過對標(biāo)題所給條件與結(jié)論的比較并聯(lián)想已學(xué)過的知識，開辟思緒，即可找到解題的關(guān)鍵對于此題，我們假設(shè)聯(lián)想公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy ， 再類比余弦函數(shù)y=cosx的性質(zhì)：coseq f(,2) = 0，又其周期為2 = eq f(,2)4 ，故，從中得到啟示，并進(jìn)一步探求f(x)的周期能否為 eq f(c,2)4 =2c 6、正難那么反例6、 知函數(shù)f(x)在區(qū)間-，+上是增函數(shù)，a 、bR ， 1證明：假設(shè)a+b0，那么f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)； 2判別1中命題的逆命題能否正確，并證明他的結(jié)論

10、證明：1由a+b0，得 a-b， 函數(shù)f(x)在區(qū)間-，+上是增函數(shù)， f(a)f(-b)； 同理，f(b) f(-a) ， f(a)+f(b)f(-b)+f(-a)，即f(a)+f(b)f(-a)+f(-b) 2首先， 1中命題的逆命題是： 假設(shè)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，那么a+b0 此逆命題為真命題現(xiàn)證明如下： 用反證法 假設(shè)a+b0不成立， 即有a+b0，那么 a-b， b-a， 根據(jù)單調(diào)性， 得 f(a)f(-b)， f(b)f(-a)， 從而f(a)+f(b)f(-b)+f(-a)，即f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，這與知f(a)+f(b)f(-a)+f(-

11、b) 相矛盾故a+b0不成立，即a+b0成立 ，因此1中命題的逆命題是真命題評注： 當(dāng)關(guān)于某些籠統(tǒng)函數(shù)的命題不易從正面直接證明時(shí)，可采用反證法，它往往需結(jié)合其它一些求解戰(zhàn)略 以上經(jīng)過實(shí)例引見了求解籠統(tǒng)函數(shù)問題的幾種常用戰(zhàn)略，只需深化了解概念，掌握好普通規(guī)律，靈敏運(yùn)用技巧往往還需結(jié)合幾種解題戰(zhàn)略，才干快速、準(zhǔn)確地尋覓到解題的突破口， 以下幾題供參考對每一實(shí)數(shù)對x、y ，函數(shù)f(t)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1，假設(shè)f(-2)=-2試求滿足f(a)=a的一切整數(shù)( 答：遞推，a=1或a=-2)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足以下兩個(gè)條件：()假設(shè)x1，x2 是f(x)定義域中的數(shù)

12、，那么f(x1-x2) = eq f (f(x1)f(x2)+1, f(x2)-f(x1) ) ;；()f(a)=1常數(shù)a0試證明：(1)f(x)是奇函數(shù)；(2)f(x)是周期函數(shù)知函數(shù)f(x) 滿足 af(x)+f( eq f(1,x) )=cx ，其中a 、b 、c是不為零的常數(shù)，且ab ，求f(x) ( 答： f(x)= eq f (c(ax2-b), (a2 -b2)x) ) 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+1) 1-f(x)=1+f(x)，又知f(1)=2 + eq r(2) ，試求f(2002) 的值 ( 答： f(2002) = 1-2 eq r(2) )能否存在這樣的函數(shù)f

13、(x)，使以下三個(gè)條件：f(n)0 ，nN；f(n1+n2)= f(n1)f(n2)，n1 、n2 N ； f(2)=4 同時(shí)成立？假設(shè)存在，求出f(x)的解析式；假設(shè)不存在，闡明理由 答： 存在且f(x)=2x ， xN 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖像關(guān)于x=1對稱，對恣意x1，x2 ，都有f(x1+x2)= f(x1)f(x2) ，f(1)=a () 求f( eq f(1,2) ) 和f( eq f(1,4) )； () 證明： f(x)是周期函數(shù) ； () 記an=f( 2n + eq f(1,2n) ) ，求 eq o(lim,sdo7(n)(lnan) 答：() 求f( eq f(1,2) ) = eq r(a) ， f(