數(shù)值計算(二分法、簡單迭代法、Newton迭代法、弦截法(割線法、雙點(diǎn)弦法))資料

1、 本科生實(shí)驗報告實(shí)驗課程數(shù)值計算方法學(xué)院名稱信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院專業(yè)名稱計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)生姓名學(xué)生學(xué)號指導(dǎo)教師實(shí)驗地點(diǎn)實(shí)驗成績二o六年五月二o六年五月實(shí)驗一非線性方程求根1.1問題描述實(shí)驗?zāi)康模赫莆辗蔷€性方程求根的基本步驟及方法，。實(shí)驗內(nèi)容：試分別用二分法、簡單迭代法、Newton迭代法、弦截法(割線法、雙點(diǎn)弦法)，求x5-3x3+x-1=0在區(qū)間卜&8上的全部實(shí)根，誤差限為10。要求：討論求解的全過程，對所用算法的局部收斂性，優(yōu)缺點(diǎn)等作分析及比較，第2章算法思想2.1二分法思想：在函數(shù)的單調(diào)有根區(qū)間內(nèi)，將有根區(qū)間不斷的二分，尋找方程的解。步驟：1.取中點(diǎn)mid=(x0+xl)/22.若f(m

2、id)=0jl!jmid為方程的根，否則比較與兩端的符號，若與f(xO)異號，貝IJ根在x0,mid之間，否則在nud,xl之間。2.2簡單迭代法思想：迭代法是一種逐次逼近的方法，它是固定公式反復(fù)校正跟的近似值,使之逐步精確，最后得到精度要求的結(jié)果。步驟：1構(gòu)造迭代公式f(x),迭代公式必須是收斂的。計算xl,xl=f(xO).判斷|xl-xO|是否滿足精度要求，如不滿足則重復(fù)上述步驟。輸出xl,即為方程的近似解。f為迭代函數(shù)2.3Ne毗on迭代法思想：設(shè)r是/W=的根，選取勺作為r的初始近似值，過點(diǎn)（肚（肚）做曲線fMy二/仗）的切線l,l的方程為y=fM+f,（xQ（x-xQ9求出L與x軸

3、交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的_X（如,稱禺為r的一次近似值。過點(diǎn)J（Xi）做曲線y=fix的切線，并求該切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)巾勺一冊，稱少的二次近似X=x_$仇）值。重復(fù)以上過程，得r的近似值序列，其中，卄（切稱為r的/1+1次近似值步驟：1計算原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f（x）;構(gòu)造牛頓迭代公式計算廣（叼），若f（xO）二0,退出計算，否則繼續(xù)向下迭代。3若|xl-xO|滿足精度要求，xl即為方程的近似解。2.4弦截法思想:為加速收斂，改用兩個端點(diǎn)都在變動的弦，用差商替代牛頓迭代公式的導(dǎo)數(shù)r(x)o步驟：1.構(gòu)造雙點(diǎn)弦法的公式計算x2=x1-f(x1)(x1-xO)/f(x1)-f(xO);判斷f(x2)是否滿足精度

4、要求，若沒有則按照上述步驟繼續(xù)迭代，否則輸出x2.x2即為方程的近似解。結(jié)束測試結(jié)果第3章測試結(jié)果及分析函數(shù)圖像BR-15786-6.5-10796.5-6-7135-5.5-45A.22-5-2756-4.5-1577.41-4-83?圖友標(biāo)起n+p-3.5-401.094-3-16620ry|_-2.5-54.2813in-2-11/Lt|_-1.50.031250/-10-152-1050OS11S2,.10/-0.5-1.1S625J0-10.584375/黒區(qū)1-21/1.5-2.0312529L/2.552.23125316403.5399.0938835275451575.406

5、554538.219函數(shù)Y=x5-3x3+x-l二分法(表1-1,1-2,1-3)-1.6,-1.3kxkkxkkxk0-1.455-1.5015610-1.504931-1.5256-1.5039111-1.5052-1.48757-1.5050812-1.505043-1.506258-1.5044913-1.505064-1.496889-1.5047914-1.50507表1-1區(qū)間-12,-0.9kxkkxkkxk0-1.055-0.99843710-1.000051-0.9756-1.0007811-0.9999762-1.01257-0.99960912-1.000013-0.9

6、93758-1.000213-0.9999944-1.003129-0.99990214-1表1-2區(qū)間1.5,1.8kxkkxkkxk01.6571.69102141.6902911.72581.69043151.6902921.687591.69014161.6902931.70625101.69028171.6902841.69687111.69036181.6902851.69219121.6903261.68984131.6903表1-3簡單迭代法（表2-1.2-2.2-3）初值-15kxkkxkkxk1-1.57-1.5043513-1.504932-1.502178-1.5045

7、314-1.504973-1.502879-1.50466151.504994-1.5034110-1.5047616-1.505015-1.5038111-1.5048317-1.505046-1.5041212-1.5048918-1.50505表2-1初值TkX1-12-1表2-2初值1.6結(jié)果x=l.69028kxkkxkkxk11.681.68862151.6902321.6566991.68927161.6902531.66987101.68967171.6902741.6779111.68991181.6902751.68278121.69006191.6902861.68573

8、131.69015201.6902871.68753141.6902表2-3牛頓迭代法（表齊1.3-2,3-3）初值-1.5結(jié)果x=-l.50507kxkkxk1-1.54-1.505042-1.504715-1.505063-1.504976-1.50507表3-1初值-1結(jié)果x=-l.50507kX1-12-1表3-2初值1.6結(jié)果X=l.69028kxkkxk11.651.6902421.6860261.6902731.6889371.6902841.6898581.69028表3-3雙點(diǎn)弦法（表牛1牛2,牛3）區(qū)間-1.6,-1.3結(jié)果x=-l.50507kxkf(xk)kxkf(xk

9、)1-1.50.031255-1.506670.07845662-1.661490.3765026-1.505-0.0100793-1.47175-1.563227-1.505070.0004409884-1.4920.1868018-1.505072.30387e-006表4-1區(qū)間-12,-09結(jié)果x=-lkxkf(xk)1-1.013930.04156782-1.00020.0006077773-0.999999-3.11969e-006412.11001e-010表4-2區(qū)間1.5,1.8結(jié)果X=l.69028kxkf(xk)11.64403-0.67645521.68071-0.15

10、110631.691260.015798841.69027-0.00031351551.69028-6.3006e-007表4-3從測試結(jié)果可以看出二分法和簡單迭代法的收斂速度遠(yuǎn)大于牛頓迭代和弦截法的收斂速度。二分法和簡單迭代法的公式易于構(gòu)造和計算，牛頓迭代法雖然收斂高，但要求導(dǎo)數(shù)，計算的復(fù)雜度高！雙點(diǎn)弦法隨稍慢于牛頓跌代法，可以用差商代替牛頓迭代法中的導(dǎo)數(shù)，降低了計算的復(fù)雜度！附錄：源程序清單定義尋根步長解的區(qū)間/方程近似解根的個數(shù)精度要求#include#includeusingnamespacestd;doublefoot=0.3;mta=-8,b=8;double*rn=nevvdou

11、blet;double*r=newdoublet?;mtm=0;mtx_count;doubleprecision=0.000001;/函數(shù)的表達(dá)式(x/、53x/、3+xl)doubleftdoublex)根據(jù)函數(shù)圖像確定根的區(qū)間和迭代初值return(pow(x,5)-3：t：pow(x,3)+x-l);voidiiiit()r0=-l-5；rl=-l；r2=1.6;rn0=-1.6;inl=-1.2;in2=1.5;尋找根的區(qū)間voidsearch()若沒有給出區(qū)間和初值，進(jìn)行逐步搜索有根區(qū)間for(inti=0;i*foot-88;i+)if(f(i*fbot-8)*f(i+l)!,!

12、fdot-8)precision)判斷與端點(diǎn)函數(shù)值得符號返回最終結(jié)果mid=(a+b)/2;if(f(a)*f(niid)=0)b=nud;elsea=nud;coutnudendl;ix_count+=nud;returnmid;/=簡單迭代法一_=構(gòu)造迭代公式doublefitera(doublex)doubleresult=0;doublexx=3來pow(x,3)x+l;if(xxprecision)x0=xl;xl=fitera(xO);沒有到達(dá)精度要求繼續(xù)迭代coutxlendl;returnxl;/返回最終結(jié)果=牛頓迭代法=計算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)derivatives(doublex

13、)doublefderivatives(doublex)return5*pow(x,4)-9*(x,2)+l;構(gòu)造牛頓迭代公式nevloniteia(doublex)doubleneMoniteia(doublex)if(fderivatives(x)=O)return-1;elsereturnx-(f(x)/fderivatives(x);牛頓迭代doubleneMon(doublex0)doublex1=neloniteia(xO);while(fabs(x1-xO)precision)xO=xl;if(Mwtomte】a(xO)=l)break;x1=newtomtera(xO);cou

14、txlendl;returnxl;若導(dǎo)數(shù)為0則停止迭代繼續(xù)迭代返回最終結(jié)果=_=雙點(diǎn)弦法迭代=構(gòu)造弦截法的迭代公式doublenvopomtchoid_f(doublexO,doublexl)returnxl-(f(xl)/(f(xl)f(xO)嚴(yán)(xlxO);雙點(diǎn)弦法迭代doublenvopomtchoid(doublexO,doublexl)doublex3=mropointchoid_f(xOx1);coutx3endl;while(fabs(f(x3)precision)cout,f(x3),f(x3)endl;xO=xl;xl=x3;x3=twopomtchord_f(x0$xl);

15、/coutx3endl;coutf(x3)endl;returnx3;輸出x3的函數(shù)值/沒有到達(dá)精度要求繼續(xù)迭代返回最終結(jié)果測試voidniam() uut();初始化區(qū)間和迭代初值嚴(yán)測試代碼輸出每次的迭代結(jié)果和最終結(jié)果coutM二分法Hendl;for(inti=0;i3;i+)doubleresult=O:coutM有根區(qū)間為,rni+fbotHMendl;result=Dichotomy(niijni+foot);將區(qū)間端點(diǎn)帶入公式coutM求得近似解為fresultendl;coutM迭代法Hendl;for(i=0;i3;i+)doubleresult=0:coutM有根區(qū)間為,rn

16、i+fbotHMendl;doublexO=ri;取得初值result=itera(xO);帶入公式coutM求得近似解為Hresultendl;coutM牛頓迭代Hendl;for(i=0;i3;i+)doubleresult=O:coutM有根區(qū)間為ymiy,mi+fbot,endl;doublexO=ri;取得初值iesult=nexMon(xO);帶入公式coutM求得近似解為Hresultendl;coutM弦截法Hendl;for(i=0;i3;i+)doubleresult=O:coutM有根區(qū)間為ymiy,mi+fbot,endl;result=twopomtchord(rni,rni+fbot);將區(qū)間端點(diǎn)帶入公式coutM求得近似解為fresultendl;/*在這次實(shí)驗中，通過編程將二分法、簡單迭代法、Newton迭代法、弦截法（割