2022年二階變系數(shù)線性微分方程的一些解法

1、第九節(jié) 二階變系數(shù)線性微分方程 的一些解法 常系數(shù)線性齊次方程和某些特殊自由項(xiàng)的常系數(shù) 線性非齊次方程的解法已在第七節(jié)中介紹,而對(duì)于變 系數(shù)線性方程,要求其解一般是很困難的；本節(jié)介紹 處理這類方程的二種方法 降階法 在第五節(jié)中我們利用變量替換法使方程降階,從而 求得方程的解,這種方法也可用于二階變系數(shù)線性方 程的求解； 考慮二階線性齊次方程 dy px 2 dx dy qxy 0 dx 9.1 設(shè)已知其一個(gè)非零特解 y,作變量替換,令 y uy1 9.2 其中 uux 為未知函數(shù),求導(dǎo)數(shù)有 dyy1duudy1dx dx dx 求二階導(dǎo)數(shù)有 dx dy y1d u 2 du dy1 u d y

2、1 dx dx dx dx 代入 9.1 式得 精品資料 第 1 頁,共 20 頁y 1d u （2 dy1 pxy 1） du dy1 dx dx dx dx px dy1 dx qxy 1u09.3 這是一個(gè)關(guān)于 u 的二階線性齊次方程,各項(xiàng)系數(shù)是 x 的已知函數(shù),由于 y1 是9.1 的解,所以其中 dy1 px 2 dy1 qxy 10dx dx 故9.3 式化為 2y 1 d u 2 dy1 dx dx pxy 1 du 0 dx 再作變量替換,令 dy z 得 dx y 1 dz 2 dy1 pxy 1z 0dx dx 分別變量 1 dz 2px dx z y1 兩邊積分,得其通解

3、 z C2 y1 e pxdx e pxdx 其中 C 為任意常數(shù) 積分得 uC2 12y1 dxC1代回原變量得 9.1 的通解 y y1CC2 12y1 e pxdx dx 精品資料 第 2 頁,共 20 頁此式稱為二階線性方程的劉維爾 Liouville 公式； 綜上所述,對(duì)于二階線性齊次方程,如已知其一個(gè) 非零特解,作二次變換,即作變換 yy1zdx 可將其降為一階線性齊次方程,從而求得通解； 對(duì)于二階線性非齊次方程,如已知其對(duì)應(yīng)的齊次方 程的一個(gè)特解,用同樣的變換,由于這種變換并不影 響方程的右端,所以也能使非齊次方程降低一階； 例 1. 已知 y sin x 是方程 d y 2 d

4、y y0 的 2x dx x dx 一個(gè)解,試求方程的通解 解 作變換 y y1zdx 就有 dyy1z dy1 dx dxzdx dy y1 2 dz 2 dy1 z dy1 zdx 2dx dx dx dx 代入原方程,并留意到 y1是原方程的解,有 dz y 1 2 dy1 dy1z 0 dx dx dx 即 dz ctanx z dx 積分得 z C1 2sin x 于是 y y1zdx sin x C1 2 dxC2 x sin x 精品資料 第 3 頁,共 20 頁 sin x x C1ctanx C2 1 x C 2sinxC1cosx這就是原方程的通解； 常數(shù)變易法 在第三節(jié)求

5、一階線性非齊方程通解時(shí),我們?cè)鴮?duì)其 對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解,利用常數(shù)變易法求得非齊次 方程的通解；對(duì)于二階線性非齊次方程 dy px 2 dx 其中 px,qx 應(yīng)的齊次方程 d 2y 2px dx dy pxy fx 9.4 dx ,fx 在某區(qū)間上連續(xù),假如其對(duì) dy qxy 0 dx 的通解 y C1yCy2已經(jīng)求得； 那么也可通過如下的常數(shù)變易法求得非齊次方程 的通解； 設(shè)非齊次方程 9.4 y u1y1u y2具有形式 9.5 的特解,其中 u1u1x ,u2ux 是兩個(gè)待定函數(shù), 對(duì) y 求導(dǎo)數(shù)得 精品資料 第 4 頁,共 20 頁 yu1y1u2y 2y1u y2u2由于用 9.5

6、 代入 9.4 ,可確定 u1,u2的一個(gè)方程, 為了同時(shí)確定這兩個(gè)函數(shù),仍須添加一個(gè)條件,為計(jì) 算便利,我們補(bǔ)充一個(gè)條件： y u y2u 20這樣 yu1y 1u2y 2 y u 1y 1u 2y 2u1y 1u2y2代入方程 9.3 整理得 ,并留意到 y1,y2是齊次方程的解, u y 1u y fx y 2 u2 0f x 與補(bǔ)充條件聯(lián)列得方程組 y1u1 y1 u1 y2 u2 y2 由于 y1,y2線性無關(guān),即 y 2 常數(shù),所以 y 2 y1y2 y 2y1 y1 y1 0 y1 設(shè) wx y1y 2y2y 1,就有 wx 0所以上述方 程組有唯獨(dú)解； 解得 u 1 y2 f

7、x y 2f x y1y2 y 2 y1 w x u 2y1f x y1f x y1 y2 y 2y1 w x 精品資料 第 5 頁,共 20 頁積分并取其一個(gè)原函數(shù)得 u1 y2f x dx w x u y1 f x dx w x 就所求特解為 y1 f x dx w x y y1 y 2 f x dxy2 w x 所求方程的通解 y2 f x dxy2w x y Y y C1y1C2y2y1 y1 w x f x dx 上述求特解的方法也適用于常系數(shù)非齊次方程情 形； 例 1. 求方程 dy 1 dy x 的通解 2dx x dx 解 先求對(duì)應(yīng)的齊次方程 2dx d y 1 dy 0 x

8、dx 2 的通解,由 d y 1 dy dx x dx 精品資料 第 6 頁,共 20 頁1d dy 1 dx dx x ln x ln dy dx 得 ln dy dx C 即 dy Cx 得通解 yCx C 2dx x 和 所以對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解是 1； 為求非齊次方程的一個(gè)解 y 將 C1,C2換成待定函數(shù) u1,u2,且 u1,u2中意以下方程 2 x u1 1 u2 02xu1 0 u2 x 解上述方程得 u 1 12積分并取其一原函數(shù)得 u于是原方程的一個(gè)特解為 u 2 1x 21 1x,u2 x32 6y u1x u21 2 x 323 x 63 x 3從而原方程的

9、通解為 y C1x C2 2x 3 3第十節(jié) 數(shù)學(xué)建模 二 微分方 精品資料 第 7 頁,共 20 頁程在幾何,物理中的應(yīng)用舉例 一,鐳的衰變 例 1. 鐳,鈾等放射性元素因不斷地放出各種射線 而逐步削減其質(zhì)量,稱為放射性物的衰變；由試驗(yàn)得 知,衰變速度與現(xiàn)存物質(zhì)的質(zhì)量成正比,求放射性元 素在時(shí)刻 t 的質(zhì)量； 解 用 x 表示該放射性物質(zhì)在時(shí)刻 t 的現(xiàn)存物質(zhì), 就 dx 表示 x 在時(shí)刻 t 的衰變速度, 于是“衰變速度與 dt 現(xiàn)存質(zhì)量成正比”可表示為 dx kx dt 這是一個(gè)以 x 為未知函數(shù)的一階方程,它就是放射 性元素衰變的數(shù)學(xué)模型； 其中 k0 是比例常數(shù), 稱為 衰變常數(shù),因

10、元素的不同而異；方程右端的負(fù)號(hào)表示 當(dāng)時(shí)間 t 增加時(shí),質(zhì)量 解這個(gè)方程得通解 x kt Ce x 削減,即 t 0 時(shí), dx 0； dt 如已知當(dāng) t t 0時(shí), xx0,即 x t t 0 x0代入方程可得 Cx0e kt 0得特解 x x0e k t t 0 精品資料 第 8 頁,共 20 頁它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律； 二,正交軌線 已知曲線族方程 Fx,y,C ,其中包含了一個(gè)參數(shù) C,當(dāng) C 固定時(shí)就得到一條曲線,當(dāng) C 改 變就得整族曲線,稱為單參數(shù)曲 線族；例如 yCx 為一拋物線族； 圖 6-3 假如存在另一族曲線 Gx,y,C 0,其每一條曲線 都與曲線族 Fx,y

11、,C 0 的每條曲線垂直相交,即不 同族中的曲線在交點(diǎn)處的切線相互垂直；就稱 Gx,y,C 0 為 Fx,y ,C0 的正交軌線； 將曲線族方程 Fx,y,C 0 對(duì) x 求導(dǎo)與 Fx,y,C 0 聯(lián)列并消去常數(shù) C,得曲線族上任一點(diǎn)的坐標(biāo) x,y 和曲線在該點(diǎn)的斜率 fx,y,y 0 y所中意的微分方程 這就是曲線族 Fx,y,C 0 所中意的微分方程； 由于正交軌線過點(diǎn) x,y ,且在該點(diǎn)與曲線族中過 該點(diǎn)的曲線垂直,故正交軌線在點(diǎn) x,y 處的斜率 k 1y 精品資料 第 9 頁,共 20 頁于是可知曲線族 Fx,y,C 0 的正交軌線中意方程 fx,y, 1 0 y 這是正交軌線的數(shù)學(xué)

12、模型,其積分曲線族 通解 , 就是所要求的正交軌線； 2例 2 求拋物線族 yCx 的正交軌線； 解 對(duì) yCx 關(guān)于 x 求導(dǎo),得 2y 2Cx 與原方程聯(lián)列 2y Cx 消去 C y 2Cx 圖 6-4 得微分方程 y 2y x 將 1 代入 y得所求拋物線的正交軌線微分方程 y 1 2y y x 即 ydy x dx 22 y C 22積分得 2 x 4精品資料 第 10 頁,共 20 頁即拋物線族 y Cx 2的正交軌線是一個(gè)橢圓族,如 圖 6-4 ； 三,追跡問題 例 3. 開頭時(shí),甲,乙水平 距離為 1 單位,乙從 A 點(diǎn)沿垂 直于 OA 的直線以等速 v0 向正 比行走；甲從乙的

13、左側(cè) O 點(diǎn) 出 發(fā),始終對(duì)準(zhǔn)乙以 nv0n1的速度追趕,求追跡曲線方程, 并問乙行多遠(yuǎn)時(shí),被甲追到； 圖 6-5 解 如圖 6-5 建立坐標(biāo)系,設(shè)所求追跡曲線方程為 y yx 經(jīng)過時(shí)刻 t ,甲在追跡曲線上的點(diǎn)為 px,y ,乙在 點(diǎn) B1,v 0t ；于是有 tan y v0t 1y x 10.1 由題設(shè),曲線的弧長 OPx 012 y 為 dxnv 0t 解出 v0t 代入 10.1得 1 xy y 1nx01y2 dx 兩邊對(duì) x 求導(dǎo),整理得 精品資料 第 11 頁,共 20 頁1 xy 1 n12 y 這就是追跡問題的數(shù)學(xué)模型； 這是一個(gè)不顯含 y 的可降階的方程,設(shè) y p,y

14、p代入方程得 1 xp 1 n1p 2 p2 1 ln 1x n或 dp 2 dx n1 x 1p兩邊積分得 lnp 1lnC 即 p 1 p 2 n C1 1 x 將初始條件 y x0p x 00代入上式,得 C11,于是 y 1y y2 n1 10.2 1 x 21 y ,并化簡得 兩邊同乘 y 12 y 1 x 10.3 10.2 與10.3 兩式相加,得 y 1 2 n 1 1x n 1 x y 1 n 1 x 2 n1n 1 n n n11 積分,得 精品資料 第 12 頁,共 20 頁x n 1 n C2n1,所求追跡 代入初始條件 y x00得 C2 n2曲線方程為 y n 1

15、n 1 nn1 n 1 x 2 n1n 1 x n1n2n 1 甲追到乙時(shí),即曲線上點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) x1,此時(shí) y nn1nn1個(gè)單 2即乙行走至離 A2點(diǎn) 位距離時(shí)即被甲追到； 四,彈簧振動(dòng) 下面我們爭辯機(jī)械振動(dòng)的簡潔 模型彈簧振動(dòng)問題,爭辯 圖 6-6 懸掛重物的彈簧的振動(dòng),并假定彈簧的質(zhì)量與重物的 質(zhì)量相比較可以忽視不計(jì)； 如圖 6-6 ,一彈簧上端固定,下端與一質(zhì)量為 m 的 物體連接,彈簧對(duì)物體的作用力 復(fù)原力 與彈簧的伸 長度成正比 比例常數(shù)為 k; 物體在運(yùn)過程中所受的 精品資料 第 13 頁,共 20 頁阻力與速度成正比 比例常數(shù)為 ；此外,物體仍 與 一個(gè)連桿連接,連桿對(duì)物

16、體的作用力 強(qiáng)迫力 為 Ft ；下面建立物體運(yùn)動(dòng)方程 數(shù)學(xué)模型 ； 如圖 6-6 ,物體的平穩(wěn)位置為原點(diǎn),向下方向?yàn)?Ox 軸的正向, 以 xxt 表示物體在時(shí)刻 t 的位置, 由于物體共受到三個(gè)力的作用； 1 復(fù)原力：一 kx 負(fù)號(hào)表示復(fù)原力與位移 x 方 向相反 ； 2 阻力： dx dt 負(fù)號(hào)表示阻力與速度 dx 的方向 dt 相反 ； 3 強(qiáng)迫力： Ft 由牛頓其次定律 F ma 得 m dx Ft kx dx 2 dt dt 2 或 d x dt m dx k dt m x Ft m 這就是物體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型振動(dòng)方程； 為便利起見,記 2 0 , k m m 0 , Ft ft ,就

17、上述方程可寫成 m d 2x 2 dx xft 2 10.4 dt dt 1. 自由振動(dòng),當(dāng) ft 0 時(shí)稱為自由振動(dòng)； 精品資料 第 14 頁,共 20 頁分兩種情形爭辯 1 當(dāng) 0 時(shí)稱為無阻尼自 由振動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為 dx 2 2x0 dt 圖 6-7 其通解 x C1cost C2sint Asin （ t ） 其中 A 2 C1 2 C2 , tan C1 C2 A 及初相角, 這是簡諧振動(dòng) , 如圖 6-7 ,這里振幅 可由物體的初始位置和初始速度準(zhǔn)備； 2 當(dāng) 0 時(shí)稱為有阻尼自由振動(dòng), 其運(yùn)動(dòng)方程 為 dx dx 2 2x0 dt dt 2 其特點(diǎn)方程為 r r 0 下面就其根

18、的三種情形分別爭辯： 大阻尼情形 ,其根為 r 2 2特點(diǎn)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,由于它們都 是負(fù)數(shù),可令 r 1 1,r 2, 10, 2 0 所以方程的通解為 xC1e1t C2e2 t 精品資料 第 15 頁,共 20 頁圖 6-8 這里的位移 圖 6-9 x 不是周期函數(shù),因而物體不作任何振 動(dòng),當(dāng) t 時(shí) x0,即隨時(shí)間的無限增加而趨于 平穩(wěn)位置,如圖 情形 6-8當(dāng) C1C20,1C1 2C20的 臨界阻尼情形 ,特點(diǎn)方程有二重根, r r 2,此時(shí)通解為 x t （ C1Ct ）e這是位移 x 也不是周期函數(shù),物體也不作任何振動(dòng), 當(dāng) t 時(shí) x0,即隨時(shí)間無限增加而趨于平穩(wěn)位

19、置,如圖 6-9當(dāng) C10,C2 C10的情形 ； 0 小阻尼情形 ,特點(diǎn)方程有一對(duì)共 軛復(fù)根 r i 2222t 此時(shí)通解為 x t Ae cos 這里 A, 都是任意常 數(shù), 可由振動(dòng)的初始條件準(zhǔn)備；由 精品資料 第 16 頁,共 20 頁上式看到,振幅 Ae t 隨時(shí)間的增加而削減, 其削減的快慢程度由系數(shù) 2m準(zhǔn)備；當(dāng) t x0,即隨時(shí)間 t 時(shí),振幅 Ae t 0,于是 無限增加而趨于平穩(wěn)位置；這種情形稱為有阻尼的衰 減振動(dòng),如圖 6-10 所示 圖 6-10 2. 強(qiáng)迫振動(dòng) 設(shè)外力 ft asin 0t 我們只考慮無阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng),其振動(dòng)方程為 d2x xasin 0t 2a2sin 2 dt 它的通解為 x Asin t 0 t ,當(dāng)0 時(shí) 2t cost ,當(dāng) 0 xAsin （t ） 2時(shí)； 由解的形式可以看出,振動(dòng)由兩種運(yùn)動(dòng)所合成,一 種是自由