2022年二次根式及其一元二次方程

1、心 海 一 舵 補(bǔ) 習(xí) 學(xué) 校教案本課 程： 二次根式同學(xué)姓名：授課班級：老師姓名：授課學(xué)期：2022-2022學(xué)年 1 學(xué)期上課時間： 2022-09- 周日教學(xué)目標(biāo)： 1、把握二次根式有意義的條件；能進(jìn)行二次根式的簡潔運(yùn)算,提高解題正確率正確率,懂得并運(yùn)用二次根式的性質(zhì)解題；2、懂得并把握一元二次方程的解法,并能挑選適當(dāng)?shù)姆椒ń獯鹨辉畏匠?能判定一元二次方程解的個數(shù)；二次根式一、學(xué)問要點(diǎn)1、二次根式的概念：形如a （ a0）的式子叫做二次根式；留意： 在二次根式中,被開放數(shù)可以是數(shù),也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式,但必需留意：由于負(fù)數(shù)沒有平方根,所以a0 是a 為二次根式的前提條

2、件,如5 ,x21,等是二次根式,而5 ,2 x 等都不是二次根式；2、取值范疇（1）、二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知,當(dāng)a0 時,a 有意義,是二次根式,所以要使二次根式有意義,只要使被開方數(shù)大于或等于零即可；（2）、二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根,所以當(dāng) a 0 時,a 沒有意義；3、二次根式 a （a0）的非負(fù)性a （a0）表示 a 的算術(shù)平方根,也就是說,a （a0）是一個非負(fù)數(shù),即 a 0（a0）；留意： 由于二次根式 a （a0）表示 a 的算術(shù)平方根,而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù),0 的算術(shù)平方根是 0,所以非負(fù)數(shù)（ a 0）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù),即 a 2（

3、a0）,這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì),和 肯定值、偶次方類似；這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多,如如aa2b0,就 a=0,b=0 ；如a2 b0,就 a=0,b=0 ；如a2 b0,就 a=0,b=0 ；4、二次根式的性質(zhì) ：a2a （a0）描述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)；留意： 二次根式的性質(zhì)公式a2 a（a0）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論；上面的公式也可以反過來應(yīng)用：如 a0,就aa2,如：22 2 ,112；225、二次根式的性質(zhì)a2aa a0a a0描述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的肯定值；留意：（1）、化簡2 a 時,肯定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a

4、 是正數(shù)仍是負(fù)數(shù),如是正數(shù)或0,就等于a 本身,即a2aa a0；如 a 是負(fù)數(shù),就等于a 的相反數(shù) -a, （2）21.414；31.732；52.236 ；72.646；2、2 a 中的 a 的取值范疇可以是任意實(shí)數(shù),即不論a 取何值,a2肯定有意義；3、化簡a2時,先將它化成a ,再依據(jù)肯定值的意義來進(jìn)行化簡；6、 a 2與 a 2的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)： a 2與 a 表示的意義是不同的,2 a 2表示一個正數(shù) a 的算術(shù)平方根的平方,而 a 2表示一個實(shí)數(shù) a 的平方的算術(shù)平方根；在 a 2中,而 a 2中 a 可以是正實(shí)數(shù),0,負(fù)實(shí)數(shù)；但 a 2與 a 2都是2 2 2非 負(fù) 數(shù) ,

5、即 a 0,a 0； 因 而 它 的 運(yùn) 算 的 結(jié) 果 是 有 差 別 的 , a a （ a 0 ）, 而2 a a 0 a aa a 02、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù),即 a0 時, a 2= a 2；a0 時, a 2無意義,而 a 2 a ；7、二次根式的運(yùn)算（1）因式的外移和內(nèi)移：假如被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方,那么,就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；假如被開方數(shù)是代數(shù)和的形式,那么先解因式,根號外面的正因式平方后移到根號里面.變形為積的形式,再移因式到根號外面,反之也可以將（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式（3）二次根式的乘除法：二次

6、根式相乘（除）,將被開方數(shù)相乘（除）,所得的積（商）仍作積（商）的被開 方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式abab （ a 0, b 0）；bb（ b 0,a0）aa（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律,乘法交換律及結(jié)合律,用于二次根式的運(yùn)算.乘法對加法的安排律以及多項(xiàng)式的乘法公式,都適三、 特殊要留意這個式子：a2aa a0,這個運(yùn)算過程是區(qū)分于a2的依據(jù)；a a0一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的整式方程叫做一元二次方程；2、一元二次方程的一般形式：ax2bxc0 a0 ,它的特點(diǎn)是：等式左邊加一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式,等式右邊是零,其

7、中 一次項(xiàng)系數(shù)； c 叫做常數(shù)項(xiàng)；2 ax 叫做二次項(xiàng), a 叫做二次項(xiàng)系數(shù)； bx 叫做一次項(xiàng), b 叫做3. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程；二、一元二次方程的解法1、直接開平方法 : 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法；直接開平方法適用于解形如xa 2xb的一元二次方程； 依據(jù)平方根的定義可知,xa是 b 的平方根,當(dāng)b0時,xab,ab,當(dāng) b0時,方程沒有實(shí)數(shù)根；2、配方法 : 配方法的理論依據(jù)是完全平方公式 a 22 ab b 2 a b 2,把公式中的 a 看做未知數(shù) x,并用 x 代替,就有 x 22 b

8、x b 2 x b 2；配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊,再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為 1,再同時加上 1 次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方,最終配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法；一元二次方程ax2bxc0 a0 的求根公式：a,一次項(xiàng)的系數(shù)xbb24ac b24 ac0 2 a公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入,這里二次項(xiàng)的系數(shù)為為 b,常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,這種方法簡潔易行,是解一元二次方程最常用的方法；分解因式法的步驟：把方程右邊化為0,然后看看是否能用提取公

9、因式,公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘,假如可以,就可以化為乘積的形式 三、一元二次方程根的判別式一、一元二次方程的根的判定式ax2一元二次方程ax2bxc0 a0,用配方法將其變形為：x 1,2b4ac 叫做一元二次方程xb2b244 ac2aa21 當(dāng)b24ac0時,右端是正數(shù)因此,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：xb2 b4ac2 a2 當(dāng)b24ac0時,右端是零因此,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根：2a3 當(dāng)b24ac0時,右端是負(fù)數(shù)因此,方程沒有實(shí)數(shù)根b2由于可以用b24ac 的取值情形來判定一元二次方程的根的情形因此,把bxc0 a0的根的判別式,表示為：b24ac例1 、當(dāng) m

10、 時,4-3 m有意義；5m例2 、已知 ABC 的兩邊長 a 、b ,滿意a-22 b-6 b90,就ABC 的周長l 的取值范疇是例3 （ 2022 ,江蘇南京）運(yùn)算 _例4 （ 2022 ,黃石）先化簡,后求值：,其中例5 如正比例函數(shù) y（ a 2 ）x 的圖象經(jīng)過第一,三象限,化簡 =_ 例 6在函數(shù) 中,自變量 x 的取值范疇是 _例7 如最簡二次根式 與 是同類二次根式,就 x _例 8如 | a2| （ c4 ）2 0,就 abc_例 9 不解方程,判定以下方程的實(shí)數(shù)根的個數(shù)： 1 2x23x102 4y229212y03 5x236x0k 的范疇：例 10 已知關(guān)于 x 的一

11、元二次方程3xxk,依據(jù)以下條件,分別求出1 方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；2 方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根3 方程有實(shí)數(shù)根；4 方程無實(shí)數(shù)根練習(xí)2 21、如 x-2（x-2）,就 x 的取值范疇是；2、當(dāng) x=時,最簡二次根式-4 3 x 5 與 3 2 x 7 能夠合并；3、如 4-x x-4 y 3,就 x y 的值為；4、在實(shí)數(shù)范疇內(nèi)分解因式 9x 4 -25,其結(jié)果為；5 已知已知：20n 是整數(shù),就滿意條件的最小正整數(shù) n 為_ 6 當(dāng)x = _ 時,二次根式 x 1 取最小值,其最小值為 _ ；7、假如 x 1 y 2 0 , 就 x 2 +y 2 =；28方程 ax bx 0 a 0 的

12、根是9.2x 22 x5=0 的二根為 x1=_,x2=_. 10.關(guān)于 x 的一元二次方程 x 2+bx+c=0 有實(shí)數(shù)解的條件是 _. 11.假如關(guān)于 x 的方程 4mx 2-mx+1=0 有兩個相等實(shí)數(shù)根 ,那么它的根是 _.二、挑選1 已知關(guān)于x 的方程m2x22x10有解,那么m的取值范疇是（3且）2m3m3m3且m2mm2 方程 2 x x35x3的根是（）x5x3bxcx3或x5x25M2atb 2的2223如 t 是一元二次方程ax 20 a0的根,就判別式b4ac 和完全平方式關(guān)系是 AMBMCMD大小關(guān)系不能確定三、運(yùn)算：1.1aa2 a2ba 2a a6 4641a3822b22先化簡,再求值：2 a336,其中21. 3 已知x21,求（x1x2xx1