折板及多面板非線性彎曲分析的樣條核質(zhì)點(diǎn)法折板及多面板非線性彎曲分析的樣條核質(zhì)點(diǎn)法-

1、折板及多面板非線性彎曲分析的樣條核質(zhì)點(diǎn)法折板及多面板非線性彎曲分析的樣條核質(zhì)點(diǎn)法*論文導(dǎo)讀:：提出了一種研究折板及多面板類結(jié)構(gòu)非線性彎曲行為的樣條核質(zhì)點(diǎn)法。方法包括以下步驟：1將折板及多面板結(jié)構(gòu)模擬成不同平面上平板的集合體；2基于馮-卡門的大撓度理論，使用一階剪切變形理論和樣條核質(zhì)點(diǎn)法先分析各平板的幾何非線性行為；3將經(jīng)過修正的各板的非線性剛度矩陣疊加得到整個(gè)折板結(jié)構(gòu)的非線性剛度矩陣；4研究整個(gè)結(jié)構(gòu)的幾何非線性行為。由于擺脫了網(wǎng)格的束縛，本文方法可以防止網(wǎng)格扭曲引起的網(wǎng)格重構(gòu)問題。文末通過幾個(gè)算例將本文方法解與使用殼單元的ANSYS有限元解或已有文獻(xiàn)解進(jìn)行比照，驗(yàn)證了本文方法的收斂性和準(zhǔn)確性。

2、論文關(guān)鍵詞：折板，多面板，非線性彎曲，樣條核質(zhì)點(diǎn)法，無網(wǎng)格0 引言折板及多面板常見于屋蓋、夾層板核以及冷卻塔上，它們有著構(gòu)造簡單、剛度重量比高的突出特點(diǎn)，是工程中普遍使用的一種結(jié)構(gòu)，其力學(xué)性能的研究也受到了國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。折板雖然簡單，但它的分析模型經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜，由粗糙到精確的演化過程，早期的梁模型由于近似簡化過多，求解一般折板結(jié)構(gòu)問題結(jié)果并不理想【1】。Gaafar【2】、Yitzhaki【3】、Yitzhaki和Reiss【4】及Whitney等【5】最先在他們的方法里考慮了折板接合處相對位移，對一般折板取得了較好的分析結(jié)果。Goldberg與Leve【6】的工作首次給出了折板靜

3、態(tài)問題準(zhǔn)確解。Bar-Yoseph等【7】將Vlasov的薄壁梁理論引入分析折板結(jié)構(gòu)，對于長折板結(jié)構(gòu)獲得了較好的分析結(jié)果。賴遠(yuǎn)明等對簡支V形折板屋蓋開展了非線性分析。最近幾十年中，隨著計(jì)算本錢的降低，數(shù)值計(jì)算方法正逐漸發(fā)揮更大的作用物理論文，有限條法、邊界元法、有限元法等，都紛紛被引入分析折板結(jié)構(gòu)。無網(wǎng)格法是近年來一種新興的數(shù)值方法。它的特點(diǎn)在于將問題域用一系列點(diǎn)來離散，點(diǎn)與點(diǎn)之間沒有直接聯(lián)系，在這些點(diǎn)上通過函數(shù)擬合得到問題的近似解。由于擺脫了網(wǎng)格的限制，在有限元求解困難，需進(jìn)行復(fù)雜耗時(shí)網(wǎng)格重構(gòu)的場合，無網(wǎng)格法具有更好的適應(yīng)性中國期刊全文數(shù)據(jù)庫。本文嘗試?yán)脽o網(wǎng)格的優(yōu)勢，提出一種研究折板及多面

4、板結(jié)構(gòu)非線性彎曲問題的樣條核質(zhì)點(diǎn)法。將折板及多面板視為不同面上平板組成的復(fù)合結(jié)構(gòu)，先基于馮-卡門的大撓度理論，使用一階剪切變形理論(First-order shear deformation theory, FSDT)和樣條核質(zhì)點(diǎn)法(Spline strip kernel particle method, SSKPM)研究各平板的幾何非線性問題，再將各平板組合成折板或多面板，研究整個(gè)結(jié)構(gòu)的幾何非線性行為。文末算例將本文方法解與ANSYS有限元分析結(jié)果以及現(xiàn)有文獻(xiàn)解做了比照，檢驗(yàn)了方法的準(zhǔn)確性。本文方法也可用于分析殼、箱梁和封閉結(jié)構(gòu)。1 樣條核質(zhì)點(diǎn)法設(shè)定義于某個(gè)二維域Wxy上的函數(shù)u(x, y)

5、可以被函數(shù)uh(x, y)近似。uh(x, y)可用別離變量的形式表示為(1)其中f(x)代表橫向(x軸向)上的B3樣條函數(shù)近似，假設(shè)x向上有nb+1個(gè)樣條節(jié)點(diǎn)，那么(2)這里為修正的B3樣條基函數(shù)，p為未知系數(shù)；qh(y)代表縱向(y軸向)上的核質(zhì)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))近似，假設(shè)y向上有NP個(gè)核質(zhì)點(diǎn)，那么(3)其中及qI分別為再生核近似的形函數(shù)和相應(yīng)的未知系數(shù)，h為表征核質(zhì)點(diǎn)影響域大小的參數(shù)，、的具體表達(dá)式參見文獻(xiàn)。2 平板非線性彎曲列式按照作者研究折板靜力彎曲問題時(shí)提出的無網(wǎng)格模型將折板視為不同平面上平板的集合體要研究折板和多面板的幾何非線性行為，首先應(yīng)研究各平面上平板的非線性行為。2.1平板無網(wǎng)格模

6、型圖1是平板的無網(wǎng)格模型，在x向和y向上分別用樣條節(jié)點(diǎn)和核質(zhì)點(diǎn)離散平板，各點(diǎn)之間無直接聯(lián)系，節(jié)點(diǎn)的自由度是(u0,v0,w,jx,j y)，其中物理論文，u0, v0, w表示板節(jié)點(diǎn)沿x、y、z方向的平動(dòng)，jx, jy表示繞y軸和x軸的轉(zhuǎn)角。設(shè)彈性模量為E，泊松比為m。圖1 平板的無網(wǎng)格模型Fig 1. Meshfreemodel of a plate.按樣條核質(zhì)點(diǎn)法和一階剪切變形理論，板的位移場可近似為 (4) 其中，式(2)、(3)中的未知系數(shù)p與qI整合成了未知的廣義節(jié)點(diǎn)參數(shù)(5) (6) , , 和列式與相同，形函數(shù)(7)(5)、(6)式中的右下標(biāo)I;表示y向上的第I個(gè)核質(zhì)點(diǎn)，假想有一

7、條平行于x軸的線過這個(gè)點(diǎn)，(6)式中的左下標(biāo)表示這條線上的樣條節(jié)點(diǎn)位置。根據(jù)馮-卡門大撓度理論，板的應(yīng)變?yōu)?8)為方便推導(dǎo)，e重寫為(9)這里，應(yīng)變的線性局部包括，和(10)其中, ，下標(biāo),x; 指關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù).,y;指關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)。；應(yīng)變的非線性局部：(11)其中，。應(yīng)力為(12)這里，。2.2平板非線性平衡方程平板的虛功方程(13)其中，Y為內(nèi)力和外力的矢量和，F(xiàn)1為外力矢量和，與分為平板的虛位移和虛應(yīng)變。我們可以將應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)參數(shù)關(guān)系寫成增量形式為(14)將式(9)、(14)代入式(13)就得到了平板的非線性平衡方程(15)其中， ， (16)這里物理論文，常量矩陣， (17)BL為的

8、函數(shù)， (18)由式(15)，我們有(19)利用式(12)、(14)，有(20)又由式(16)得(21)將式(20)、(21)代入式(19)得(22)這里， (23)而 ，(24)而 ，hp為板厚。這樣，式(22)可變形為(25)由式(15)可得(26)這里，。3 折板及多面板非線性彎曲分析根據(jù)折板及多面板的無網(wǎng)格模型，在使用樣條核質(zhì)點(diǎn)法分析了平板的非線性行為，得到相關(guān)的控制方程后，下一步是將它們疊加起來，求解整個(gè)結(jié)構(gòu)的非線性問題。為了到達(dá)這個(gè)目的，將每個(gè)平板視為一個(gè)大單元Fig. 2 The meshfree model of a folded plate, includingtwo big

9、 elements (flat plates)然而，由于式(7)中的形函數(shù)不滿足克羅內(nèi)克條件，式(25)、(26)中是節(jié)點(diǎn)參數(shù)而非節(jié)點(diǎn)真實(shí)位移，所以各平板的剛度方程不能直接疊加。這里將先用Chen等提出的全轉(zhuǎn)換法(Full transformation method)對平板的剛度方程作修正，然后即可將它們疊加得到描述整個(gè)結(jié)構(gòu)線性彎曲行為的控制方程，最后再施加本質(zhì)邊界條件：3.1全轉(zhuǎn)換法考慮到近似位移那么真實(shí)位移 (27)其中NI(x)為形函數(shù)，vI為節(jié)點(diǎn)參數(shù)物理論文，那么 (其中)于是一般剛度方程令，就得到了修正后的剛度方程： (28) 此方程的未知量為真實(shí)節(jié)點(diǎn)位移。類似的，式(25)可修正為

10、(29)其中，中國期刊全文數(shù)據(jù)庫。式(26)可修正為(30)其中, ，。3.2坐標(biāo)變換矩陣由于式(29)、(30)基于平板局部坐標(biāo)系構(gòu)建，疊加前，還須將它們變換到結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系下。圖3. 局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系Fig. 3 Local coordinates (x, y, z) and globalcoordinates .局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的關(guān)系顯示在圖3中，局部坐標(biāo)下節(jié)點(diǎn)位移與整體坐標(biāo)下節(jié)點(diǎn)位移存在關(guān)系：(31)其中，指軸與x軸的夾角。為單位陣。注意：(31)式中增加了繞z軸的轉(zhuǎn)角自由度對應(yīng)的廣義位移。這樣，我們有(32)其中，為坐標(biāo)變換矩陣。整體坐標(biāo)下各平板的剛度矩陣和向量和為, (3

11、3), , . (34)其中，、為式(29)、(30)中的、擴(kuò)展而得 (由于增加了廣義位移)。這樣，整個(gè)折板或多面板結(jié)構(gòu)非線性彎曲的控制方程就是各平板控制方程的疊加：(35)與 (36) 3.3非線性方程求解本文使用牛頓-芮弗遜Newton-Raphson法迭代求解得到的非線性平衡方程(35)。步驟如下：1)取線性解作為第一次迭代使用的近似解。2)將代入式(36)計(jì)算。3)由式(35)確定KG_T4)由公式(37)得節(jié)點(diǎn)位移修正量，再由得到節(jié)點(diǎn)參數(shù)修正量，進(jìn)而求出下次迭代使用的近似解(38)5)返回第(2)步，重復(fù)第(2)(5)步直到充分小，這樣得到的即為最終的解。4 算例4.1收斂性檢驗(yàn)為了

12、檢驗(yàn)本文方法的收斂性，考慮一個(gè)由兩塊相同方平板組成的單折板，平板邊長L=2m，板厚hp=0.05m，在a、b兩邊固支，另兩邊為自由端圖4，夾角q=90物理論文，E=3109Pa，m=0.3。均布荷載q=6104Pa垂直地作用在各平板。本文方法的離散方案為：各平板，nn均布節(jié)點(diǎn)，方形影響域： (39) hx為影響域X向長度，hy為Y向長度，Ix為X向相鄰兩節(jié)點(diǎn)間距，Iy為Y向相鄰兩節(jié)點(diǎn)間距。當(dāng)n從3變化到11，且dmax=3，4，5代表不同大小的節(jié)點(diǎn)影響域時(shí)，由本文方法計(jì)算的板A中點(diǎn)的撓度顯示在圖5中，并與有限元解進(jìn)行比擬。圖5中的有限元解是通過ANSYS軟件，將該折板模擬為殼結(jié)構(gòu)，選用SHEL

13、L181單元進(jìn)行大撓度分析后求得，共使用單元：5000個(gè)。定義為 (40) 其中w為板A中面中點(diǎn)的撓度。從圖5可見不管dmax取何值，隨著離散節(jié)點(diǎn)數(shù)nn的增大，本文解均收斂于有限元ANSYS解。圖4. 單折板圖5. 板A中點(diǎn)的撓度的變化情況Fig 4. One-fold plate.Fig 5. Variation of the central deflection of the flat plate A4.2 四面板 如圖6，用四個(gè)尺寸相同的矩形平板相互垂直地首尾相連組成一個(gè)四面板結(jié)構(gòu)，一邊固支。在各板上垂直作用均布荷載q，q變化范圍為0500Pa。由本文方法和大撓度有限元分析得到的荷載-A

14、板中點(diǎn)撓度w曲線顯示在圖7中包括有限元線性解，其中本文解采用的離散方案取n=9，dmax=4中國期刊全文數(shù)據(jù)庫。有限元解也是通過ANSYS軟件將該折板模擬為殼結(jié)構(gòu)，使用SHELL181單元對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散后求得，單元數(shù)：6400。 圖6. 四面板圖7. A板中點(diǎn)撓度-荷載曲線Fig.6 A four-panel plate Fig. 7 Centraldeflection-load curve of plate A4.3 淺圓柱殼考慮一個(gè)經(jīng)典問題淺圓柱殼在集中荷載P作用下的大變形行為(圖8。殼的曲邊自由，直邊鉸接物理論文，E=3.10275 GPa，m=0.3，R = 2.54 m，L = 0.

15、508 m，h = 0.0127 m，b = 0.1 rad。由于對稱性，只需研究該結(jié)構(gòu)的一半，一個(gè)七折板被用來近似這一半的殼圖9，S = 0.03175 m。又由于該淺圓柱殼在不斷增大的荷載P作用下會(huì)發(fā)生跳躍(snap-through)現(xiàn)象，為了捕捉整個(gè)荷載-中點(diǎn)撓度曲線，使用弧長法(arc-length method)代替牛頓-芮弗遜法來求解這個(gè)問題。圖10中展示了本文方法及其他研究者給出的該殼荷載P-中點(diǎn)撓度曲線。兩者非常接近。圖8. 豎向集中荷載P作用下的淺圓柱殼圖9. 近似半個(gè)圓柱殼的七折板Fig. 8 The shallow cylindrical shell subjected

16、toFig. 9 A seven-fold plate used to approximate thea concentrated verticalload.half of the shallow cylindrical shell.圖10. 淺圓柱殼的荷載P-中點(diǎn)撓度曲線Fig. 10 The load-central deflection curve of theshallow cylindrical shell.5 結(jié)論本文提出一種求解折板及多面板結(jié)構(gòu)非線性彎曲問題的樣條核質(zhì)點(diǎn)法。將折板模擬為平板組成的復(fù)合結(jié)構(gòu)，先基于馮-卡門的大撓度理論，利用一階剪切變形理論和樣條核質(zhì)點(diǎn)法建研究各平板的

17、幾何非線性行為，推導(dǎo)出相應(yīng)的控制方程，再將各平板疊加成折板或多面板，得到描述整個(gè)結(jié)構(gòu)的幾何非線性行為的控制方程。文末通過兩個(gè)算例與有限元分析及現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果做了比擬，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。本文方法也可用于殼、箱梁和封閉結(jié)構(gòu)的大撓度分析。參考文獻(xiàn)【1】Task Group of theSubcommittee on Masonry and Reinforced Concrete of the Structural Division.Phase I report on folded plate construction . Journal of StructuralDivision, ASCE,

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