三余弦定理與三正弦定理講解

1、三余弦定理與三正弦定理L誑4為面上一點(diǎn)，4A的宣統(tǒng)9。在葡上的射影為鼻日，K為面上的一條 直愛，那區(qū)NQAC,/BAC,/CA3三角的余弦關(guān)系為:cosZOAC=cosZBACX cosZOAB （cosZBACfil cosZOAB 只 靠是銳角）通俗點(diǎn)說就是T箱線與平面內(nèi)一條直線夾角9的金強(qiáng)值三余弦定理（又叫最小角定理或爪子定理）=斜線與平面所或危仇的余弦值M射影與平面內(nèi)直觸來角的定理證明：如上圖，自點(diǎn)。傳比_L杷于點(diǎn)孔 過B作BC_LRC于匚 連CC 劉易知ABC、ACC、ZiaE。均為直角三角 ABAC 八 ACtv cos（?, =. cas 9k =tcos f?=OA AS QA

2、COS0 = COSd x COS0h輔助記憶1逡三個(gè)角中，角。是最大的，其余弦值最小.等于另外兩個(gè)角的余弦值之 積.斜我與平面所成角3、是符數(shù)與平面內(nèi)所有直栽所成的場(chǎng)中最小對(duì)角.2,設(shè)二直角YAB N的度數(shù)為。，在平面M上有條射線某，宣和棱AB所成角為產(chǎn)，和平面用成的角力，則sin/=sin（z sin戶（如圖）三正弦定理定理證明：如上國(guó)，過C作CO_L平面丫于直。，過Of乍直線OB_L二面角北建 于點(diǎn)B,連OA, CB,則易知CAO, ACBO, ABC均為直角三角形.一日 .CO . CO . BC于星，J-IZF ; 52ZF - smBAC BCAC sin y-sina. * si

3、nct如果將三余弦定理和三正弦定理聯(lián)合起來使用，用于解答立體幾何綜合潁, 你會(huì)發(fā)現(xiàn)出平意料地簡(jiǎn)單，甚至不用作任何輔助線！如國(guó).已知A1B1C1ABC是正三棱柱.D是AC中點(diǎn).若ABl_BCI. 求以BC1為棱.DBC1與CBC1為面的二面角a的度數(shù).（1994年全 國(guó)高考理科數(shù)學(xué)23題）解:取BC中點(diǎn)E,連BE, AE,則BiE為ABi在平面B】BDQ 上的射影由ABiJ.BG可推知BiEJ_GB。設(shè)垂足為H.BC = 2a.易知 itABE 中EH-3HE /.EH=BE2 = EH EBi 即蘇=BE a 3又 cwN DBC = co$30。= v從而cosNHBE =坐0由三余弦公式得

4、cos/DBC】 = cqsNDBC cosNHBE=W -半=坐/.ZDBCl = 45 .又由三正弦公式知s加NDBC = s血NDBCi sia.s-NDBC $加30J2jmZDBCr = 2 a=45，例2己知RtAABC的兩百角邊AC=2, BC=3. P為斜邊AB上一點(diǎn).現(xiàn)沿CP將此育角三 角形折成直二面角A-CP-B (如下圖)，當(dāng)AB=V時(shí)，求二面角P-AC-B大小.(上海 市1986年高考試題，革度系數(shù)0.28)解 在圖 4 的川(：中，AB=S, AC=2, BC=3.cojNaCB=4+9-7_j2X3X2-2AZACB=60Q又AC在平面PBC上的射影是CP, BC與

5、平面ACP所成角 為NPCB.，由三余弦公式得：ccsNACB=陰/ACP “sNPCB(1)曲三正弦公式得：jmZDCB= 5/nZACB sina(2)代人有關(guān)已知值，由(2)解得即所求二面角P-AC-B的大小為例3.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1, ZDAD-60c,現(xiàn)沿對(duì)角線BD將此菱形折成直二面用ABDC(如圖6). (1)求異面直線AC與BD所成的角 (2)求二面角ACD-B的大小.例3題圖解 設(shè)二面角A-CD-B的大小為a易知AO_L平面BDC,且AOC為等腰直角三角形,*.NACO=45 ,又知/DCO=3(T ,因此W?NACO=5歷儀 si/iNACD.xos Z ACD=cos ZACO * cos ZDCOj 加45 = sina s/wZACD. :cos Z