新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)全冊(cè)書各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)

1、蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第9章平面向量.-2-9.1向量概念.-2-9.2向量運(yùn)算.-6-9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示.-20-9.4向量應(yīng)用.-30-第10章三角恒等變換.-33-10.1兩角和與差的三角函數(shù).-33-10.2二倍角的三角函數(shù).-43-10.3幾個(gè)三角恒等式.-47-第11章解三角形.-52-11.1余弦定理.-52-11.2正弦定理.-55-11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用.-63-第12章復(fù)數(shù).-68-12.1復(fù)數(shù)的概念.-68-12.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算.-72-12.3復(fù)數(shù)的幾何意義.-78-12.4復(fù)數(shù)的三角形式*.-81-第13章立體幾何初步.-86-13.1基

2、本立體圖形.-86-13.2基本圖形位置關(guān)系.-96-13.3空間圖形的表面積和體積.-123-第14章統(tǒng)計(jì).-130-14.1獲取數(shù)據(jù)的基本途徑及相關(guān)概念.-130-14.2抽樣.-132-14.3統(tǒng)計(jì)圖表.-140-14.4用樣本估計(jì)總體.-148-第15章概率.-160-15.1隨機(jī)事件和樣本空間.-160-15.2隨機(jī)事件的概率.-163-15.3互斥事件和獨(dú)立事件.-168-第9章平面向量9.1向量概念知識(shí)點(diǎn)1向量的定義及表示定義既有大小又有方向的量叫作向量(1)幾何表示：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長(zhǎng)度表表示示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)

3、的向量記為AB；方法模向量AB的大小稱為向量的長(zhǎng)度(或稱為模)，記作|AB|(2)字母表示：用小寫字母a，b，c來表示1定義中的“大小”與“方向”分別描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一個(gè)方面可以嗎？提示向量不僅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代數(shù)特征，方向描述了向量的幾何特征，兩者缺一不可，故不能只描述其中一個(gè)方面知識(shí)點(diǎn)2向量的有關(guān)概念及其表示名稱零向量單位向量平行向量相等向量相反向量定義長(zhǎng)度為0的向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量方向相同或相反的非零向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量表示方法記作0a與b平行(或共線)，記作aba與b相等，記作aba的相反向量記作a(2

4、)已知A，B為平面上不同兩點(diǎn)，那么向量AB和向量BA相等嗎？它們共線嗎？(2)因?yàn)橄蛄緼B和向量BA方向不同，所以二者不相等又表示它們的有向線段2(1)零向量的方向是如何規(guī)定的？零向量與任一向量共線嗎？(3)向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎？提示(1)零向量的方向是任意的；規(guī)定零向量與任一向量共線在同一直線上，所以兩向量共線與CB是平行向量；(3)在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則向量DE與CD是平行向量，則直線AB與直線CD平行；(5)若非零向量AB與BA是模相等的平行向量(6)非零向量AB與CB方向相反，是平行(3)正確由三角形中位線性質(zhì)知，DEBC，向量D

5、E與BA的模相等，方向相反，二者是平行向量(6)正確非零向量AB(3)不相同，由相等向量定義可知，向量可以任意移動(dòng)由于任意一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，所以平行向量也叫作共線向量因此共線向量所在的直線可以平行，也可以重合重點(diǎn)題型類型1向量的概念【例1】判斷下列命題是否正確，并說明理由(1)任何兩個(gè)單位向量都是平行向量；(2)零向量的方向是任意的；(4)對(duì)于向量a、b、c，若ab，且bc，則ac；解(1)錯(cuò)誤因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量只是模都等于1個(gè)單位，方向不一定相同或相反；(2)正確任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；向量；(4)錯(cuò)誤b為零向量時(shí)，有ab且bc，但a與c的方向可以任意變化，它

6、們不一定是平行向量；(5)錯(cuò)誤A、B、C、D四點(diǎn)也可能在同一條直線上；1在判斷與向量有關(guān)的命題時(shí)，既要立足向量的數(shù)(即模的大小)，又要考慮其形(即方向性)2涉及共線向量或平行向量的問題，一定要明確所給向量是否為非零向量3對(duì)于判斷命題的正誤，應(yīng)該熟記有關(guān)概念，理解各命題，逐一進(jìn)行判斷，對(duì)于錯(cuò)誤命題，只要舉一反例即可提醒：與向量平行相關(guān)的問題中，不要忽視零向量(1)作出向量AB，BC，CD，AD；(2)求|AD|依據(jù)向量的幾何特征和代數(shù)特征，分別作出向量AB，BC，CD，AD；進(jìn)而求出|AD|.類型2向量的表示【例2】一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)，向西行駛了100千米到達(dá)點(diǎn)B，然后又改變方向向西偏北50行駛

7、了200千米到達(dá)點(diǎn)C，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達(dá)點(diǎn)D解(1)如圖(2)由題意，易知AB與CD方向相反，故AB與CD共線，即ABCD又|AB|CD|，|AD|BC|200(千米)邊三等分后，共有16個(gè)交點(diǎn)，從中選取兩個(gè)交點(diǎn)作為向量，則與AC平行且長(zhǎng)度為在四邊形ABCD中，ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn).必要時(shí)，需依據(jù)直角三角形知識(shí)，求出向量的方向或長(zhǎng)度模，選擇合適的比例關(guān)系作出向量.類型3共線向量【例3】(對(duì)接教材P6例2)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，把各22的向量個(gè)數(shù)有_個(gè)8如圖所

8、示，滿足與AC平行且長(zhǎng)度為22的向量有AF，F(xiàn)A，EC，CE，GH，HG，共IJJI1(變條件)在本例中，與向量AC同向且長(zhǎng)度為22的向量有多少個(gè)？解與向量AC同向且長(zhǎng)度為22的向量占與向量AC平行且長(zhǎng)度為22的向2(變條件)在本例中，與向量AO相等的向量有多少個(gè)？解題圖中每個(gè)小正方形的對(duì)角線所在的向量中，與向量AO方向相同的向8個(gè)量中的一半，共4個(gè)量與其相等，共有8個(gè)1尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向共線2尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的

9、向量如圖，已知向量a和b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OAa，ABb，則向量OB叫作a與b的和，記作ab，即abOAABOB9.2向量運(yùn)算9.2.1向量的加減法第1課時(shí)向量的加法知識(shí)點(diǎn)1向量的加法(1)向量加法的定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫作向量的加法(2)向量加法的運(yùn)算法則三角形法則：如圖，已知兩個(gè)不共線的非零向量a，b，作OAa，OCb，以O(shè)A，OC為鄰邊作OABC，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線表示的向量OBab，這個(gè)法則叫作向量這個(gè)法則稱為向量加法的三角形法則平行四邊形法則：加法的平行四邊形法則向量的三角形法則和平行四邊形法則是否對(duì)任意兩個(gè)向量的加法都適用？提示向量的三角形法則對(duì)任意兩個(gè)向量的加法都可以適

10、用；向量的平行四邊形法則僅適用兩個(gè)不共線的非零向量知識(shí)點(diǎn)2向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：abba(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)(3)a00aa(4)a(a)(a)a0重點(diǎn)題型類型1向量加法的三角形法則和平行四邊形法則【例1】如圖，已知向量a，b，c，求作和向量abc如圖，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量OAa，接著作向量ABc，則得向量OBac，然后作向量BCb，則向量OCabc為所求解法一：可先作ac，再作(ac)b，即為abc(用到向量加法運(yùn)算律)(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OAa，OBb；(2)作平行四邊形AOBC，則OCab；(3)再作向量ODc；(4)作CODE，則OEOCcabc

11、則OE即為所法二：三個(gè)向量不共線，用平行四邊形法則來作如圖，求向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別：1三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”；2三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用【例2】(1)在正六邊形ABCDEF中，ABa，AFb，則AC_，AD_，AE_(2)ABDFCDBCFA_于不共線的兩個(gè)向量求和.聯(lián)系：1當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；2三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.類型2向量的加法運(yùn)算(1)2ab2a2ba2b(2)0(1)如圖，連接FC交AD于點(diǎn)O，連

12、接OB，由平面幾何知識(shí)得四邊形ABOF，四邊形ABCO均為平行四邊形根據(jù)向量的平行四邊形法則，有AOABAFab在平行四邊形ABCO中，ACABAOaab2ab，AD2AO2a而FEAOab，由三角形法則得AEAFFEbaba2b(2)ABDFCDBCFAABBCCDDFFA02b1解決該類題目要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算，注意各向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)及向量起點(diǎn)、終點(diǎn)字母排列順序，特別注意勿將0寫成02運(yùn)用向量加法求和時(shí)，在圖中表示“首尾相接”時(shí)，其和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)類型3向量加法在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例3】(對(duì)接教材P11例2)已知小船在靜水中的速度與河水的流速都是10(2)

13、如圖所示，設(shè)MA表示水流的速度，MN表示小船實(shí)際過河的速度km/h(1)小船在河水中行駛的實(shí)際速度的最大值與最小值分別是多少？(2)如果小船在河南岸M處，對(duì)岸北偏東30有一碼頭N，小船的航向如何確定才能直線到達(dá)對(duì)岸碼頭？(河水自西向東流)結(jié)合實(shí)際問題畫出草圖，借助三角形的邊角關(guān)系求解.解(1)小船順流行駛時(shí)實(shí)際速度最大，最大值為20km/h；小船逆流行駛時(shí)實(shí)際速度最小，最小值為0km/h，此時(shí)小船是靜止的設(shè)MCMA，|MA|MB|10，CMN30MAMBMN，在MNB中，|BN|MN|MB|10，BMN60，而CMN30，四邊形MANB為菱形則AMN60，AMN為等邊三角形CMB30，所以小船

14、要由M直達(dá)碼頭N，其航向應(yīng)為北偏西30解決與向量有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)本著如下步驟：弄清實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題正確畫出示意圖用向量表示實(shí)際量向量運(yùn)算回扣實(shí)際問題作出解答.第2課時(shí)向量的減法知識(shí)點(diǎn)向量的減法(1)向量減法的定義若bxa，則向量x叫作a與b的差，記為ab，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫作向量的減法如圖所示，以O(shè)為起點(diǎn)，作向量OAa，OBb，則BAab，即當(dāng)向量a，(2)向量的減法法則b起點(diǎn)相同時(shí)，從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量就是ab向量的加法三角形法則和減法三角形法則有什么不同？類比實(shí)數(shù)的減法，aba(b)是否一定恒成立？提示向量的加法三角形法則對(duì)任意兩個(gè)向量首尾相接，第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第

15、二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量就是它們的和向量；向量的減法三角形法則，對(duì)任意兩個(gè)向量同起點(diǎn)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)的向量就是它們的差向量；類比實(shí)數(shù)的減法，aba(b)一定恒成立重點(diǎn)題型類型1向量減法的幾何作圖【例1】(對(duì)接教材P12例3)如圖，已知向量a，b，c，求作向量abc如圖所示，以A為起點(diǎn)分別作向量AB和AC，使ABa，ACb，連接CB，得向量CB，再以C為起點(diǎn)作向量CD，使CDc，連接DB，得向量DB則向量DB解法一：先作ab，再作(ab)c即可即為所求作的向量abc(1)作ABb和BCc；(2)作OAa，則OCabcNQPQNMMP；(ABCD)(ACBD)(2)如圖所示，四邊形A

16、CDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且ABa，ACb，AEc，試用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD法二：先作b，c，再作a(b)(c)，如圖求作兩個(gè)向量的差向量時(shí)，當(dāng)兩個(gè)向量有共同起點(diǎn)，直接連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，并指向被減向量，就得到兩個(gè)向量的差向量；若兩個(gè)向量的起點(diǎn)不重合，先通過平移使它們的起點(diǎn)重合時(shí)，再作出差向量.類型2向量減法法則的應(yīng)用【例2】(1)化簡(jiǎn)下列式子：解(1)原式NQQP(NMMP)NPNP0(ABCD)(ACBD)ABCDACBDABDCCABD(ABBD)(DCCA)ADDA0(2)因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，所以CDAEc；BCACABba，故BDBCC

17、Dbac解如圖，設(shè)ABa，(1)向量減法的三角形法則的內(nèi)容是：兩向量相減，表示兩向量起點(diǎn)的字母必須相同，這樣兩向量的差向量以減向量的終點(diǎn)字母為起點(diǎn)，以被減向量的終點(diǎn)字母為終點(diǎn)(2)用幾個(gè)基本向量表示其他向量的技巧觀察待表示的向量位置；尋找相應(yīng)的平行四邊形或三角形；運(yùn)用法則找關(guān)系，化簡(jiǎn)得結(jié)果類型3|ab|與a，b之間的關(guān)系【例3】已知|a|6，|b|8，且|ab|ab|，求|ab|結(jié)合向量加、減的運(yùn)算法則，你能發(fā)現(xiàn)向量a，b間存在怎樣的位置關(guān)系？如何借助該關(guān)系求得|ab|.ADb，以AB，AD為鄰邊作ABCD則ACab，DBab，所以|AC|DB|在RtDAB中，|AB|6，|AD|8，因?yàn)閨a

18、b|ab|，又四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為矩形故ADAB由勾股定理得|DB|AB|2|AD|2628210，所以|ab|101以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB，AD分別表示向量ABa，ADb，則兩條對(duì)角線表示的向量為ACab，DBab，這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并記住2若|ab|ab|，則以a，b為鄰邊的平行四邊形是矩形9.2.2向量的數(shù)乘知識(shí)點(diǎn)1向量的數(shù)乘定義一般地，實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|a|a|；(2)若a0，則當(dāng)0時(shí)，a與a方向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a方向相反實(shí)數(shù)與向量a相乘的運(yùn)算，叫作向量的數(shù)乘特別地，當(dāng)0時(shí)，

19、0a0；當(dāng)a0時(shí)，00向量的數(shù)乘a的幾何意義：當(dāng)0時(shí)，把向量a沿著a的相同方向放大或縮?。划?dāng)0時(shí)，把向量a沿著a的相反方向放大或縮小1a0，一定能得到0嗎？提示不一定a0，則0或a0知識(shí)點(diǎn)2向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)a，b為向量，為實(shí)數(shù)，則(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab向量的加法、減法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)3向量共線定理一般地，對(duì)于兩個(gè)向量a(a0)，b，設(shè)a為非零向量，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使b6a；(2)23a2b3ab62a73a2babab2(2)原式2372a6(1)如果ABe1e2，BC2e18e2，CD3(e1e2)，求證：A，B，D三點(diǎn)共與AD或BD共線？

20、1欲證A，B，D三點(diǎn)共線，能否證明ABba，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba2向量共線定理中，為什么規(guī)定a0提示當(dāng)a0時(shí)，顯然b與a共線，此時(shí)若b0，則存在無數(shù)實(shí)數(shù)，使ba；若b0，則不存在實(shí)數(shù)使得ba重點(diǎn)題型類型1向量數(shù)乘的基本運(yùn)算【例1】計(jì)算：(1)6(3a2b)9(2ab)；217137(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)解(1)原式18a12b18a9b3b2171313117172ab3a2b12a2b12a0(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”

21、，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知量，利用解代數(shù)方程的方法求解.類型2向量的共線問題【例2】已知非零向量e1，e2不共線線(2)欲使ke1e2和e1ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值2若ke1e2與e1ke2共線，則兩向量間存在怎樣的等量關(guān)系？解(1)證明：ABe1e2，BDBCCD2e18e23e13e25(e1e2)5AB，AB，BD共線，且有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(k1)e2，由于e1與e2不共線，只能有k12若A，B，C三點(diǎn)共線，則向量AB，AC，BC在同一直線上，因此必定存在點(diǎn)，D是把OB分成21的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC

22、和OA交于E，設(shè)OAa，OBb(2)ke1e2與e1ke2共線，存在實(shí)數(shù)，使ke1e2(e1ke2)，則(k)e1k0，k10，1證明三點(diǎn)共線，通常轉(zhuǎn)化為證明這三點(diǎn)構(gòu)成的其中兩個(gè)向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據(jù)實(shí)數(shù)，使得其中兩個(gè)向量之間存在線性關(guān)系而向量共線定理是實(shí)現(xiàn)線性關(guān)系的依據(jù)類型3向量的表示【例3】如圖所示，已知OAB中，點(diǎn)C是以A為對(duì)稱中心的B點(diǎn)的對(duì)稱(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OEOA，求實(shí)數(shù)的值2OAOBOC，即OC2OAOB2ab，DCOCODOC3OB解(1)依題意，A是BC中點(diǎn)，2252ab3b2a3b(2)若OEOA，則CEOEOCa(2ab)(

23、2)abCE與DC共線，存在實(shí)數(shù)k，使CEkDC，(2)abk2a3b，解得554用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中；(2)然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的化歸思想(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，作OAa，OBb，則AOB稱為向量a9.2.3向量的數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)1向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角是，我們把數(shù)量|a|b|cos叫作向量a和b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a|b|cos規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為01(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是向量嗎？(

24、2)數(shù)量積的大小和符號(hào)與哪些量有關(guān)？提示(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量(2)數(shù)量積的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及夾角都有關(guān)，符號(hào)由夾角的余弦值決定知識(shí)點(diǎn)2兩個(gè)向量的夾角與b的夾角設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，如圖，OA表示向量a，OB表示向量b，過點(diǎn)A作OB所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)A1，我們將上述由向量a得到向量OA1的變換稱為向量a向向量b投影，向量OA1稱為向量a在向量b上的投影向量(2)范圍：0180(3)當(dāng)0時(shí)，a與b同向；當(dāng)180時(shí)，a與b反向(4)當(dāng)90時(shí)，則稱向量a與b垂直，記作abab(5)兩個(gè)非零向量a和b的夾角，可以由cos|a|b|求得知識(shí)點(diǎn)3投影向量(1)(2)b所以

25、OA1(|a|cos)|b|，abOA1b投影向量與向量數(shù)量積的關(guān)系：向量a和向量b的數(shù)量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)4向量的數(shù)量積的運(yùn)算律及性質(zhì)(1)向量數(shù)量積的運(yùn)算律：已知向量a，b，c和實(shí)數(shù)abba；(a)ba(b)(ab)ab；(ab)cacbc(2)數(shù)量積的性質(zhì)：aa|a|2或|a|aa；|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)向量a，b為共線向量時(shí)取“”號(hào)；abab0(向量a，b均為非零向量)2向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別？解(1)ab|a|b|cos1202323a，OBb，AOB60【例2】已知向量OA，且|a|b|4求|ab|，提示向量線性

26、運(yùn)算結(jié)果是向量，而數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量重點(diǎn)題型類型1向量數(shù)量積的運(yùn)算【例1】(對(duì)接教材P20例1)已知|a|2，|b|3，a與b的夾角為120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)1(2)a2b2|a|2|b|2495(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos1203|b|281527341求平面向量數(shù)量積的步驟：求a與b的夾角，0，；分別求|a|和|b|；求數(shù)量積，即ab|a|b|cos要特別注意書寫時(shí)，a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“”連結(jié)，而不能用“”連結(jié)，也不能省去2較復(fù)雜的數(shù)量積的運(yùn)算，需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)類型2求向量

27、的模|ab|，|3ab|1解ab|a|b|cosAOB4428，|ab|ab2a22abb216161643，|ab|ab2a22abb21616164，|3ab|3ab29a26abb291648164131求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，要靈活應(yīng)用aa|a|2，bab2勿忘記開方(2一些常見的等式應(yīng)熟記，如(ab)2a22abb2，ab)(ab)a2b2等類型3求向量的夾角【例3】已知a，b都是非零向量，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角ab|由兩組向量分別垂直可得出|a|，b|同ab的關(guān)系，由此可借助公式cos|a|b|求a與b的夾角.解由已知，

28、得(a3b)(7a5b)0，即7a216ab15b20，(a4b)(7a2b)0，即7a230ab8b20，1兩式相減，得2abb2，ab2b2，代入中任一式，得a2b2，設(shè)a，b的夾角為，121則cos|a|b|b|22，0180，60求a與b夾角的思路(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計(jì)算ab及|a|b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)ab計(jì)算cos|a|b|，最后借助0，求出的值|(2)在個(gè)別含有|a|，b|及ab的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cos的值提醒：注意兩向量的夾角0，9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示9.3.1平面向量基本定理知識(shí)點(diǎn)1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面

29、內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2(2)基底：兩個(gè)不共線的向量e1，e2叫作這個(gè)平面的一組基底如果e1，e2是兩個(gè)不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1，e2表示？依據(jù)是什么？提示能依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則知識(shí)點(diǎn)2平面向量的正交分解由平面向量基本定理知，平面內(nèi)任一向量a可以用一組基底e1，e2表示成a1e12e2的形式我們稱1e12e2為向量a的分解當(dāng)e1，e2所在直線互相垂直時(shí)，這種分解也稱為向量a的正交分解重點(diǎn)題型類型1對(duì)向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列說法正

30、確的是()A若實(shí)數(shù)1，2，使1e12e20，則120B空間任一向量a可以表示為a1e12e2，這里1，2為實(shí)數(shù)C對(duì)實(shí)數(shù)1，2，1e12e2不一定在該平面內(nèi)D對(duì)平面內(nèi)任一向量a，使a1e12e2的實(shí)數(shù)1，2有無數(shù)對(duì)A平面內(nèi)任一向量都可寫成e1與e2的線性組合形式，而不是空間內(nèi)任一向量，故B不正確；對(duì)任意實(shí)數(shù)1，2，向量1e12e2一定在平面內(nèi)，故C不正確；而對(duì)平面內(nèi)的任一向量a，實(shí)數(shù)1，2是唯一的，故D不正確考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出來【例2】如圖所示，在ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且

31、AN2NC，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)ABa，ACb，試用基底a，b表示向量AE類型2用基底表示向量11解法一：由已知，在ABC中，AMMB，且ANNC，已知BN與CM2交于點(diǎn)E，過N作AB的平行線，交CM于D，如圖所示所以NDNEMBEBEM3所以NE5NB，AEANNE3AC5NB3AC5(NAAB)3AC53ACAB5AB5AC5a5b法二：易得AN3AC3b，AM2AB2a，CNND2eqoac(,在)ACM中，CAAM3，DE2，2121212121211111由N，E，B三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)m，滿足1AEmAN(1m)AB3mb(1m)a由C，E，M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)n，滿足AEnAM

32、(1n)AC2na(1n)b1m1n，111所以3mb(1m)a2na(1n)b21m1n，因?yàn)閍，b為基底，所以3n4，5m3，解得521所以AE5a5b將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直到用基底表示為止；另一種是通過列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.類型3平面向量基本定理與向量共線定理的應(yīng)用【例3】如圖，在ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，N在AC上且AN2NC，AM與BN交于點(diǎn)P，求APPM的值解設(shè)ABa，ACb，設(shè)APAM，(ab)同理設(shè)BPBN，BPa3b12則AM2(ab)，BNa3bA，P，M共線，AP

33、22ABAPPB，a2(ab)a3b，12a23b22a與b不共線，2，1，223AP5AM，BP5BN，435，5，43APPM411充分挖掘題目中的有利條件，本題中兩次使用三點(diǎn)共線，注意方程思想的應(yīng)用2用基底表示向量也是用向量解決問題的基礎(chǔ)，應(yīng)根據(jù)條件靈活應(yīng)用，熟練掌握9.3.2向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算第1課時(shí)向量的坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)1向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x，y)，使得axiyj我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)稱為向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a(x，y)1在平面直角坐標(biāo)

34、系內(nèi)，給定點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(1，1)，則A點(diǎn)位置確定了嗎？給定向量a的坐標(biāo)為a(1，1)，則向量a的位置確定了嗎？(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ABOBOA(x2，y2)(x1，提示對(duì)于A點(diǎn)，若給定坐標(biāo)為A(1，1)，則A點(diǎn)位置確定對(duì)于向量a，給定的坐標(biāo)為a(1，1)，此時(shí)給出了a的方向和大小，但因向量的位置由起點(diǎn)和終點(diǎn)確定，且向量可以任意平移，因此a的位置還與其起點(diǎn)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)2向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示(1)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和實(shí)數(shù)，那么ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)y1)(x2x1，y2y1)，即一

35、個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)2設(shè)i，j是分別與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ax1iy1j，bx2iy2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量ab，ab，a(R)如何分別用基底i，j表示？提示ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j重點(diǎn)題型類型1平面向量的坐標(biāo)表示【例1】(對(duì)接教材P28例1)在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b的位置如圖，|a|4，|b|3，且AOx45，OAB105，分別求向量a，b的坐標(biāo)abb解設(shè)a(a1，2)，(b1，2)，由于向量a相對(duì)于x軸正方向的轉(zhuǎn)角為45，22所以a1|a

36、|cos454222，a2|a|sin454222可以求得向量b相對(duì)于x軸正方向的轉(zhuǎn)角為120，所以b1|b|cos120322，故a(22，22)，b，AC，AB【例2】已知平面上三個(gè)點(diǎn)A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求AB，2AB1ACAC(3，1)，AC(3，2)，ABAC(0，1)，AB2AB2AC(6，2)2，12，1OAtAB，試問：【例3】已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP13333b2|b|sin12032233322求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)，解題時(shí)常常結(jié)合幾何圖形，利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.類型2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2解A(4，6)，

37、B(7，5)，C(1，8)，139平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類型3平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)應(yīng)用(1)當(dāng)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？(2)四邊形OABP是否能成為平行四邊形？若能，則求出t的值若不能，說明理由OAtAB(13t，23t)，OP(1，2)，PB(33t，33t)，(2)因?yàn)镺APB，若OABP是平行四邊形，則OA值范圍為，3得23t13t，解得t(3，3)，解(1)AB以坐標(biāo)軸上

38、點(diǎn)的坐標(biāo)特征為切入點(diǎn)求解t的值；結(jié)合平行四邊形的向量表達(dá)式建立參數(shù)t的表達(dá)式則P(13t，23t)2若P在x軸上，則23t0，所以t3；1若P在y軸上，則13t0，所以t333t1，所以此方程組無解；33t2，故四邊形OABP不可能是平行四邊形1(變條件)在本例條件下，若P在第三象限，求t的取值范圍13t0，223t0，解由本例解知，若P在第三象限，則解得t3，所以t的取22(變條件)在本例條件下，t為何值時(shí)，P在函數(shù)yx的圖象上？解由P點(diǎn)坐標(biāo)(13t，23t)在yx上，121即t2時(shí)，P在yx的圖象上已知含參的向量等式，依據(jù)某點(diǎn)的位置探求參數(shù)的問題，其本質(zhì)是坐標(biāo)運(yùn)算的運(yùn)用，用已知點(diǎn)的坐標(biāo)和參

39、數(shù)表示出該點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的位置確定其橫縱坐標(biāo)滿足的條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程組或不等式組，求解即可.提醒：要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).第2課時(shí)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若兩個(gè)向量為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2，即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和知識(shí)點(diǎn)2向量的長(zhǎng)度、夾角、垂直的坐標(biāo)表示(1)向量的模：設(shè)a(x，y)，則a2x2y2，即|a|x2y2(2)向量的夾角公式：設(shè)兩個(gè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，它們的夾角為|a|b|x1x2y1y2x1x22y22y

40、2，則cosab12若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何計(jì)算向量AB的模？提示ABOBOA(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12y2y12特別地，若ab，則x1x2y1y20；反之，若x1x2y1y20，則ab重點(diǎn)題型類型1數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】已知a(1，3)，b(2，5)，c(2，1)，求：(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c解(1)ab123517(2)ab(3，8)，2ab(4，11)，(ab)(2ab)1288100(3)(ab)c17c(34，17)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標(biāo)，一般來說應(yīng)當(dāng)先設(shè)出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)題目中已知的條件，找出向量坐標(biāo)滿

41、足的等量關(guān)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)(1，4)(2，2)(1，6)，AC3(1)3615ABAC|323232，又|AB|126237，|AC|邊上的高，求|AD與BC共線，D在直線BC上，即BDBC，存在實(shí)數(shù)，使BD0，ADBC解AB(5，1)(2，2)(3，3)，ABAC15574cosBAC743237(x2，y1)，BC(6，3)，BD解法一：設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(x，y)，則AD算，列出方程組來進(jìn)行求解.類型2向量的夾角【例2】已知A(2，2)，B(5，1)，C(1，4)，求BAC的余弦值|AB|AC|已知a，b的坐標(biāo)求夾角時(shí)，應(yīng)先求出ab及|a|，|b|，再代入夾角公式，由夾角的余弦值確定夾角

42、的大小.類型3向量垂直的綜合應(yīng)用【例3】已知在ABC中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，AD為BC(x3，y2)，即(x3，y2)(6，3)，x36y23，x32(y2)，即x2y10又ADBC，即(x2，y1)(6，3)0，x1，|12225，即|AD|5|AD(6，3)，AB(1，3)所以BC垂直的一個(gè)向量AE(3，6)，所以|AE|35，AB15與BCAEAE和AE的夾角)，在AE上的投影向量AD(|AB|cos)(其中為AB向量AB|AEAEAE|15|AB|AB|cos5所以|AD垂直的一個(gè)向量AE，再求(2)求ABC中BC邊上的高AD，可以先求出與BC(或AC)在AE上的

43、投影向量的模，就是高AD的大小出AB(1，2)，由可得即D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，AD|AE|AE|6(x2)3(y1)0，即2xy30y1，法二：eqoac(,在)ABC中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，35向量的垂直問題主要借助于結(jié)論：abab0 x1x2y1y20，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題它對(duì)于解決向量以及平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效，應(yīng)熟練掌握(1)與向量a(x，y)垂直的一個(gè)向量可以設(shè)為b(y，x)；9.4向量應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)向量的應(yīng)用(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(2)向量在物理中的應(yīng)用速度、加速度、位移、力的合成和分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算，求解時(shí)常用

44、向量求和的平行四邊形法則和三角形法則物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積(3)向量在平面解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是作為題設(shè)條件；二是作為解決問題的工具使用，充分體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化的思想，是高考考查的熱點(diǎn)之一解決此類問題的思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是向量平行或垂直的坐標(biāo)表示；二是向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)重點(diǎn)題型類型1向量在物理中的應(yīng)用【例1】(對(duì)接教材P38例1)如圖所示，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30，60，求當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，兩根

45、繩子拉力的大小解如圖，作平行四邊形OACB，使AOC30，BOC60在OAC中，ACOBOC60，OAC90|OA|OC|cos303130021503(N)，|OB|OC|sin302300150(N)故與鉛垂線成30角的繩子的拉力是1503N，與鉛垂線成60角的繩子的拉力是150N1解力向量題時(shí)，依據(jù)題意對(duì)物體進(jìn)行受力分析，通過向量加法的平行四邊形法則對(duì)力進(jìn)行分解和合成2解題時(shí)要明確各個(gè)力之間的關(guān)系及它們各自在題目中的地位，借助于圖形，將物理量之間的關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)模型類型2向量在平面幾何中的應(yīng)用【例2】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AFDE解法一：設(shè)AD

46、a，ABb，則|a|b|，ab0，又DEDAAEa，AFABBFb，所以AFDEbaab故AFDE，即AFDEba222213b2112a24ab22|a|22|b|20，法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(xiàn)(2，1)，AF(2，1)，DE(1，2)因?yàn)锳FDE(2，1)(1，2)220，所以AFDE，即AFDExCAyCB，則xy的最大值為_AB上的點(diǎn)，且CP|CA|CB|3在RtABC中，由ABAC9，得ABACcosA9，又P為線段AB上的點(diǎn)，且CP3CA4CB，向量法證明平面幾何問題的方法(1)向量的線性運(yùn)算法選取基底把待證

47、問題用基底線性表示利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系把向量問題幾何化(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系把相關(guān)量坐標(biāo)向量化利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找相應(yīng)關(guān)系把向量問題幾何化但比較以上兩種方法，易于知道，如果題目建系比較方便，坐標(biāo)法更好用類型3平面向量的綜合應(yīng)用4【例3】已知在RtABC中，C90，ABAC9，tanA3，P為線段4因?yàn)镽tABC中，C90，tanA3，3所以cosA5，所以ABAC15，所以AB5，AC3，BC4xyxy故3412xyxy1334，即xy3，當(dāng)且僅當(dāng)342，即x2，y2時(shí)取等號(hào)利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，要先將線段看成向量，解題時(shí)通過

48、定義或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化，得以解決.第10章三角恒等變換10.1兩角和與差的三角函數(shù)10.1.1兩角和與差的余弦知識(shí)點(diǎn)兩角和與差的余弦公式(1)兩角差的余弦公式C()：cos()coscossinsin(2)兩角和的余弦公式C()：cos()coscossinsincos(9030)cos90cos30成立嗎？提示不成立重點(diǎn)題型類型1兩角和與差的余弦公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】求下列各式的值：(1)cos40cos70cos20cos50；(2)cos7sin15sin8cos8；(2)原式cos158sin15sin8cos8cos8cos15cos(6045)13(3)2c

49、os152sin153解(1)原式cos40cos70sin70sin40cos(7040)cos302cos15cos8cos60cos45sin60sin4526413(3)cos602，sin602，132cos152sin15cos60cos15sin60sin15cos(6015)cos24521兩角和與差的余弦公式中，可以是單個(gè)角，也可以是兩個(gè)角的和或差，在運(yùn)用公式時(shí)常將兩角的和或差視為一個(gè)整體2在運(yùn)用公式化簡(jiǎn)求值時(shí)，要充分利用誘導(dǎo)公式構(gòu)造兩角和與差的余弦結(jié)構(gòu)形式，然后逆用公式求值提醒：要重視誘導(dǎo)公式在角和函數(shù)名稱的差異中的轉(zhuǎn)化作用類型2已知三角函數(shù)值求角5310【例2】已知銳角，

50、滿足sin5，cos10，求的值以同角三角函數(shù)的基本關(guān)系為切入點(diǎn)，求得cos，sin的值，在此基礎(chǔ)上，借助cos的公式及的范圍，求得的值.5310解因?yàn)椋瑸殇J角，且sin5，cos10，所以cos1sin2115，sin1cos252519101010，253105102故cos()coscossinsin5105102由02，02，得0cos1sin25cos1sin213，當(dāng)0，所以為銳角，所以4已知三角函數(shù)值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函數(shù)值該函數(shù)在所求角的取值區(qū)間上最好是單調(diào)函數(shù)；第二步：確定角的范圍，由題意進(jìn)一步縮小角的范圍；第三步：根據(jù)角的范圍寫出所求的角.類型3給值求

51、值問題453【例3】(對(duì)接教材P51例3)已知sin5，sin13，且2，2，求cos()43解sin5，2，35又sin13，2，123124516451(變條件)若將本題改為已知sin5，sin13，且2，02，求cos()5解sin13，02，124又sin5，且2，33cos()coscossinsin51351365；2當(dāng)22時(shí)，cos1sin5，5135136556556513，sin1cos213cos1sin25162312455633cos()coscossinsin31245165616綜上所述，cos()65或654316(2變條件)若將本例改為已知sin5，2，cos(

52、)65，2求sin43解sin5，且2，3又2，2，016又cos()65，sin()1cos26316565，coscos()coscos()sinsin()3164631251利用和(差)角的余弦公式求值時(shí)，不能機(jī)械地從表面去套公式，而要變通地從本質(zhì)上使用公式，即把所求的角分解成某兩個(gè)角的和(差)，并且這兩個(gè)角的正、余弦函數(shù)值是已知的或可求的，再代入公式即可求解2在將所求角分解成某兩角的和(差)時(shí)，應(yīng)注意如下變換：()，()，(2)()，2()()，2()()等提醒：注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的限制sinxcosx，a2b2asinxbcosxa2b210.1.2兩角和與差的正弦知識(shí)點(diǎn)兩

53、角和與差的正弦公式(1)兩角和的正弦公式：S()：sin()sincoscossin(2)兩角差的正弦公式：S()：sin()sincoscossin(3)輔助角公式baa2b2令cosab，sin，則有asinxbcosxa2b2(cossinxa2b2a2b2bsincosx)a2b2sin(x)，其中tana，為輔助角重點(diǎn)題型類型1兩角和與差的正弦公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】求下列各式的值：(1)sin163sin223sin253sin313；(2)2cos553sin5sin851從角和“形”入手，轉(zhuǎn)化成兩角和差的正弦求值.2注意角的差異與變換：55605，85905.解(1)原式sin1

54、63sin(90133)sin(90163)sin(180133)sin163cos133cos163sin1331sin(163133)sin302(2)原式2cos6053sin5sin905cos53sin53sin5cos5cos5cos51【例2】已知04，44，cos45，sin413，求cos(注意442，可通過求出4和4的正、余弦值來cos413，sin45，cos()sin21對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式，要想利用兩角和與差的正弦、余弦公式求出具體數(shù)值，一般有以下三種途徑：(1)化為特殊角的三角函數(shù)值；(2)化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；(3)化為分子、分母形式，進(jìn)行約分再求值2在

55、進(jìn)行求值過程的變換中，一定要本著先整體后局部的基本原則，先整體分析三角函數(shù)式的特點(diǎn)，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變換提醒：在逆用兩角和與差的正弦和余弦公式時(shí)，首先要注意結(jié)構(gòu)是否符合公式特點(diǎn)，其次注意角是否滿足要求類型2給值求值3335)的值33求cos.3解由04，44得33240，441234sin44cos4cos4sin4sin4135135653335312433【例3】(對(duì)接教材P54探究)已知函數(shù)f(x)2sinx62cosx，x2，解f(x)2sinx62cosx3sinxcosx2sinx6，2sinx61解此類問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示出來

56、1當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式.2當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.3角的拆分方法不唯一，可根據(jù)題目合理選擇拆分方式.類型3形如asinxbcosx的函數(shù)的化簡(jiǎn)及應(yīng)用求函數(shù)f(x)的值域等式asinxbcosxAsinx中A和一定存在嗎？它們與a，b有什么關(guān)系？2x，53x661函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，21(變結(jié)論)本例條件不變，將函數(shù)f(x)用余弦函數(shù)表示2cosxcos3sinxsin32cosx3解f(x)2sinx6，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2，3；函數(shù)f(x

57、)的單調(diào)遞減區(qū)間為3，解f(x)3sinxcosx2sinxcosx22sinxsin3cosxcos3得2k2x2k，與x取交集得x，3122(變結(jié)論)本例條件不變，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間2由2k2x62k2，得2k3x2k3，與2x取交集得22x3，23由2k2x62k2，5233232此類問題的求解思路如下：首先將函數(shù)fx化簡(jiǎn)為fxasinxbcosx的形式；,然后借助輔助角公式化fx為fxa2b2sinx的形式；最后，類比ysinx的性質(zhì)，樹立“x”的團(tuán)體意識(shí)研究yfx的性質(zhì).10.1.3兩角和與差的正切知識(shí)點(diǎn)兩角和與差的正切公式T()：tan()T()：tan()tantan1ta

58、ntantantan1tantan公式T()有何結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律？提示(1)結(jié)構(gòu)特征：公式T()的右側(cè)為分式形式，其中分子為tan與tan的和或差，分母為1與tantan的差或和(2)符號(hào)規(guī)律：分子同，分母反【例1】已知tan()5，tan()3，求tan2，tan2，tan242，2，tan24可以用tan2表示出來.tantan重點(diǎn)題型類型1條件求值問題解tan2tan()()5341531tantan7，tan2tan()()tantan1tantan5311538，tan241tan21tan2417341117所以tan0，tan0又因?yàn)椋?，2，所以，2，0，所以0(2)已知正、

59、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)若角的范圍是0，2，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為2，2，選正弦較【例2】已知tan，tan是方程x33x40的兩根，且，2，2，2又因?yàn)閠an()tantan1tantan14求解此類問題的關(guān)鍵是明確已知角和待求角的關(guān)系；求解時(shí)要充分借助誘導(dǎo)公式、角的變換技巧等實(shí)現(xiàn)求值.倘若盲目套用公式，可能帶來繁雜的運(yùn)算.類型2給值求角求利用根與系數(shù)的關(guān)系求tantan及tantan的值，進(jìn)而求出tan的值，然后由的取值范圍確定的值.解因?yàn)閠an，tan是方程x233x40的兩根，所以tantan330，tantan40，333，2所以31給值求

60、角的一般步驟(1)求角的某一三角函數(shù)值；(2)確定角的范圍；(3)根據(jù)角的范圍寫出所求的角2選取函數(shù)時(shí)，應(yīng)遵照以下原則(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；好類型3T()公式的變形及應(yīng)用【例3】已知ABC中，tanBtanC3tanBtanC3，且3tanA3tanBtanAtanBeqoac(,1)，試判斷ABC的形狀當(dāng)一個(gè)代數(shù)式中同時(shí)出現(xiàn)“tantan”及“tantan”兩個(gè)團(tuán)體時(shí)，我們可以聯(lián)想哪些公式解題？解3tanA3tanBtanAtanB1，3(tanAtanB)tanAtanB1，tanAtanB331tanAtanB3，tan(AB)35又0AB，AB6，C63tanBtanC3t