新北師大版八年級上冊數(shù)學期末復習（全冊知識點梳理及常考題型鞏固練習）（提高版）（家教、補習）

1、北師大版八年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習勾股定理（提高）【學習目標】1掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數(shù)形結(jié)合的思想；2能夠運用勾股定理求解三角形中相關的邊長（只限于常用的數(shù)）；3通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題【要點梳理】要點一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關系 （2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題

2、的目的（3）理解勾股定理的一些變式：， 要點二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形 圖（1）中，所以 方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形 圖（2）中，所以方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形 ，所以要點三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關系的證明問題；3 與勾股定理有關的面積計算；4勾股定理在實際生活中的應用【典型例題】類型一、與勾股定理有關的證明1、在ABC中，AB=AC，D是BC延長線上的點，求證：【答案與解析】證明：作等腰三角形底邊上的高AE AB=AC，AEBCBE=EC,

3、AEB=AEC=90 【總結(jié)升華】解決帶有平方關系的問題，關鍵是找出直角三角形，利用勾股定理進行轉(zhuǎn)化，若沒有直角三角形，常常通過作垂線構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理解題類型二、與勾股定理有關的線段長2、如圖，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90，D為AC邊上中點，過D點作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長【答案與解析】解：連接BD，等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點，BDAC（三線合一），BD=CD=AD，ABD=45，C=45，ABD=C，又DE丄DF，F(xiàn)DC+BDF=EDB+BDF，F(xiàn)DC=EDB，在EDB與FDC中，EDBFDC（ASA），BE=F

4、C=3，AB=7，則BC=7，BF=4，在RtEBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，EF=5【總結(jié)升華】此題考查的知識點是勾股定理及全等三角形的判定，關鍵是由已知先證三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的長舉一反三：【變式】（2015春天津校級期中）如圖，C=30，PAOA于A，PBOB于B，PA=2，PB=11，求OP的長【答案】解：PAOA，C=30，PC=2PA=4，BC=BP+PC=11+4=15，PBOB，C=30，設OB=x，則OC=2x，在RtBOC中，由勾股定理得：x+15=（2x），解得，x=5，即OB=5，OP=14類型三、與勾股定理有關的面積計算3、（

5、2015豐臺區(qū)二模）問題背景：在ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為，3，求這個三角形的面積小軍同學在解答這道題時，先建立了一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點ABC（即ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示這樣不需要求出ABC的高，借用網(wǎng)格就能計算出它的面積（1）請你直接寫出ABC的面積 ；思維拓展：（2）如果MNP三邊的長分別為，2，請利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應的格點MNP，并直接寫出MNP的面積【思路點撥】（1）根據(jù)圖形得出SABC=S矩形MONCSCMASAOBSBNC，根據(jù)面積公式求出即可；（2）先畫出符合的三角形，再

6、根據(jù)圖形和面積公式求出即可【答案與解析】解：（1）ABC的面積是4.5，理由是：SABC=S矩形MONCSCMASAOBSBNC=43412133=4.5，故答案為：4.5；（2）如圖2的MNP，SMNP=S矩形MOABSMONSPANSMBP=53512431=7，即MNP的面積是7【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理和三角形的面積公式的應用，解此題的關鍵是能正確畫出格點三角形，難度不是很大舉一反三：【變式】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的邊長分別是4、6、3、4，則最大正方形E的面積是（）A17B36C77D94【答案】C類型

7、四、利用勾股定理解決實際問題4、（2016貴陽模擬）一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【思路點撥】（1）利用勾股定理直接得出AB的長即可；（2）利用勾股定理直接得出BC的長，進而得出答案【答案與解析】解：（1）由題意得：AC=25米，BC=7米，AB=24（米），答：這個梯子的頂端距地面有24米；（2）由題意得：BA=20米，BC=15（米），則：CC=157=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑動了8米【總結(jié)升華】此題主要考查了勾股定理的應用，熟練利用勾股定理是解題關鍵

8、舉一反三：【變式】如圖，有一個圓柱，它的高等于12，底面半徑等于3，在圓柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取3)【答案】解：如圖所示，由題意可得： ， 在RtAAB中，根據(jù)勾股定理得： 則AB15 所以需要爬行的最短路程是15北師大版八年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習勾股定理（提高）【鞏固練習】一選擇題1如圖，ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，則BE的長度為（）A10 B11 C12 D132. （2016漳州）如圖，ABC中，AB=AC=5,BC=8，D是線段BC上的動點（不含端

9、點B、C）.若線段AD長為正整數(shù)，則點D的個數(shù)共有（ ）A5個 B4個 C3個 D2個3如圖，長方形AOBC中，AO=8，BD=3，若將矩形沿直線AD折疊，則頂點C恰好落在邊OB上E處，那么圖中陰影部分的面積為（ ）A.30 B32 C34 D16 4如圖，已知ABC中，ABC90,ABBC，三角形的頂點在相互平行的三條直線，上，且，之間的距離為2 , ，之間的距離為3 ,則的值是（ ）A68 B20 C32 D475在ABC中，AB15，AC13，高AD12,則ABC的周長為（ ）A42 B32 C42或32 D37或336（2015煙臺）如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標記為S1，以

10、CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2015的值為（）AB CD二填空題7若一個直角三角形的兩邊長分別為12和5，則此三角形的第三邊的平方為_8 將一根長為15cm的很細的木棒置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分長度x的范圍是 9如圖，在的正方形網(wǎng)格中，以AB為邊畫直角ABC，使點C在格點上，這樣的點C共 個10（2016黃岡校級自助招生）如圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊長為

11、a，較長的直角邊長為b，那么（a+b）2的值是_11已知長方形ABCD，AB3，AD4，過對角線BD的中點O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，則AE的長為_12（2015春召陵區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，B=90，那么四邊形ABCD的面積是 三解答題13（2015青島模擬）如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，求運動過程中，點D到點O的最大距離14現(xiàn)有10個邊長為1的正方形，排列形式如左下圖, 請把它們分

12、割后拼接成一個新的正方形要求： 在左下圖中用實線畫出分割線, 并在右下圖的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形15由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴的侵襲近日，A城氣象局測得沙塵暴中心在A城的正西方向240km的B處，以每時12km的速度向北偏東60方向移動，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū)域（1）A城是否受到這次沙塵暴的影響？為什么？（2）若A城受這次沙塵暴影響，那么遭受影響的時間有多長？【答案與解析】一選擇題1. 【答案】C【解析】BEAC，AEB是直角三角形，D為AB中點，DE=10，AB=20，AE=16，,所以BE=12.

13、2. 【答案】C【解析】過點A作AEBC,則由勾股定理得AE=3，點D是線段BC上的動點（不含端點B、C）.所以3AD5，AD=3或4，共有3個符合條件的點.3【答案】A 【解析】由題意CDDE5，BE4，設OE，AEAC，所以，陰影部分面積為4【答案】A【解析】如圖，分別作CD交于點E，作AF，則可證AFBBDC，則AF3BD, BFCD235，DF538AE，在直角AEC中，勾股定理得5【答案】C【解析】高在ABC內(nèi)部，第三邊長為14；高在ABC外部，第三邊長為4，故選C6【答案】C 【解析】解：根據(jù)題意：第一個正方形的邊長為2；第二個正方形的邊長為：；第三個正方形的邊長為：，第n個正方形

14、的邊長是，所以S2015的值是（）2012，故選C.二填空題7【答案】169或119；【解析】沒有指明這兩邊為直角邊，所以要分類討論，12也可能是斜邊8【答案】2cmx3cm；【解析】由題意可知BC=5cm，AC=12cm，AB=13cm當木棒垂直于底面時露在杯子外面的部分長度最長為，15-AC=15-12=3cm，當木棒與AB重合時露在杯子外面的部分長度最短為15-AB=15-13=2cm.9【答案】8；【解析】如圖所示：有8個點滿足要求10【答案】25；【解析】根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理a2+b2=13，四個三角形的面積=4ab=131，2ab=12，聯(lián)立解得：（a+b）2=13+12=251

15、1【答案】；【解析】連接BE，設AE，BEDE，則，12【答案】36. 【解析】解：ABC=90，AB=3，BC=4，AC=5，在ACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2，ACD是直角三角形，S四邊形ABCD=ABBC+ACCD=34+512=36故答案是：36三解答題13【解析】解：如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，ODOE+DE，當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1，DE=，OD的最大值為：+114【解析】解：如圖所示：15【解析】解：（1）過點A作ACBM，垂足為C，在RtABC中，由題意可知CBA=30，A

16、C=AB=240=120，AC=120150，A城將受這次沙塵暴的影響.（2）設點E，F(xiàn)是以A為圓心，150km為半徑的圓與MB的交點，連接AE，AF，由題意得,，CE=90EF=2CE=290=18018012=15（小時）A城受沙塵暴影響的時間為15小時.北師大版八年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習勾股定理的逆定理（提高）【學習目標】1. 理解勾股定理的逆定理，并能與勾股定理相區(qū)別；2. 能運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股數(shù)的含義；4. 通過探索直角三角形的判定條件的過程，培養(yǎng)動手操作能力和邏輯推理能力.【要點梳理】要點一、勾股定理的逆定理

17、如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.要點二、如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關系.若，則ABC是C90的直角三角形；若，則ABC不是直角三角形.要點詮釋：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點三、勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解

18、題會很有幫助：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果是勾股數(shù)，當為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.要點詮釋：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長； （2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長； （3） （是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；【典型例題】類型一、勾股定理的逆定理1、（2016春咸豐縣月考）如圖所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，則過3秒時，BPQ的面積為多少 cm2.【思路點

19、撥】本題先設適當?shù)膮?shù)求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形再求出3秒后的BP，BQ的長，利用三角形的面積公式計算求解【答案與解析】解：設AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，周長為36cm，AB+BC+AC=36cm，3x+4x+5x=36，得x=3，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，過3秒時，BP=931=6（cm），BQ=23=6（cm），SPBQ=BPBQ=（93）6=18（cm2）故過3秒時，BPQ的面積為18cm2【總結(jié)升華】本題是道綜合性較強的題，需要學生把勾股定理的逆定理、三角形的面積公式結(jié)合

20、求解由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關鍵隱含了整體的數(shù)學思想和正確運算的能力2、如圖，點D是ABC內(nèi)一點，把ABD繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60得到CBE，若AD=4，BD=3，CD=5（1）判斷DEC的形狀，并說明理由；（2）求ADB的度數(shù)【思路點撥】把ABD繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60，注意旋轉(zhuǎn)只是三角形的位置變了，三角形的邊長和角度并沒有變，并且旋轉(zhuǎn)的角度60，因此出現(xiàn)等邊BDE，從而才能更有利的判斷三角形的形狀和求ADB的度數(shù)【答案與解析】解：（1）根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)不變性，AD=EC，BD=BE，又DBE=ABC=60，ABC和DBE均為等邊三角形，于是DE=BD=3，EC=AD

21、=4，又CD=5，DE2+EC2=32+42=52=CD2；故DEC為直角三角形（2）DEC為直角三角形，DEC=90，又BDE為等邊三角形，BED=60，BEC=90+60=150，即ADB=150【總結(jié)升華】此題考查了旋轉(zhuǎn)后圖形的不變性、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，綜合性較強，是一道好題解答（2）時要注意運用（1）的結(jié)論舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，已知ACB90，ACBC，P是ABC內(nèi)一點，且PA3，PB1，PCCD2，CDCP，求BPC的度數(shù)【答案】解：連接BD CDCP，且CDCP2， CPD為等腰直角三角形，即CPD45 ACP+BCPBC

22、P+BCD90， ACPBCD CACB， CAPCBD(SAS)， DBPA3在RtCPD中，又 PB1，則 ， ， DPB為直角三角形，且DPB90， CPBCPD+DPB45+90135類型二、勾股定理逆定理的應用3、已知a、b、c是ABC的三邊，且滿足，且a+b+c=12，請你探索ABC的形狀【答案與解析】解：令=ka+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，a=3k4，b=2k3，c=4k8又a+b+c=12，（3k4）+（2k3）+（4k8）=12，k=3a=5，b=3，c=4ABC是直角三角形【總結(jié)升華】此題借用設比例系數(shù)k的方法，進一步求得三角形的三邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理判定

23、三角形的形狀舉一反三：【變式】（2015春渝中區(qū)校級月考）ABC的三邊a、b、c滿足|a+b50|+（c40）2=0試判斷ABC的形狀是 【答案】直角三角形解：|a+b50|+（c40）2=0，解得，92+402=412，ABC是直角三角形故答案為直角三角形4、如圖所示，MN以左為我國領海，以右為公海，上午9時50分我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時13海里的速度偷偷向我國領海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時間進入我國海域？【答案與解析】解： ，

24、 ABC為直角三角形 ABC90又BDAC，可設CD， 得，解得 0.85(h)51(分)所以走私艇最早在10時41分進入我國領?！究偨Y(jié)升華】（1）本題用勾股定理作相等關系列方程解決問題，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，為勾股定理的運用提供了條件北師大版八年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習【鞏固練習】一選擇題1（2016春平武縣校級月考）下列各組數(shù)中，可以構(gòu)成勾股數(shù)的是（）A13，16，19B，C18，24，36D12，35，372（2015春涼山州期末）ABC中，A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足下列條件的ABC，不是直角三角形的是（）A.a：b：c=1：1 B

25、.A：B：C=3：4：5C.（a+b）（ab）=c D.A：B：C=1：2：3 3 已知ABC三邊長分別為2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，（n為正整數(shù)），則ABC為（）A直角三角形B等腰三角形C銳角三角形D鈍角三角形4 有下面的判斷：ABC中，a2+b2c2，則ABC不是直角三角形ABC是直角三角形，C=90，則a2+b2=c2若ABC中，a2b2=c2，則ABC是直角三角形若ABC是直角三角形，則（a+b）（ab）=c2以上判斷正確的有（）A4個B3個C2個D1個5五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（ ）6 為直角三角形的三

26、邊，且為斜邊，為斜邊上的高，下列說法：能組成一個三角形 能組成直角三角形能組成直角三角形 三個內(nèi)角的度數(shù)之比為3：4:5能組成一個三角形其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D4二填空題7若ABC中，則B_8（2016春羅定市期中）若ABC的三邊長分別為x+1，x+2，x+3，要使此三角形成為直角三角形，則x= 9若一個三角形的三邊長分別為1、8(其中為正整數(shù))，則以、為邊的三角形的面積為_10ABC的兩邊分別為5，12，另一邊為奇數(shù)，且是3的倍數(shù)，則應為_，此三角形為_11（2014春壽縣期中）在某港口有甲乙兩艘漁船，若甲沿北偏東60方向以每小時8海里的速度前進，同時，乙船沿南偏東角度

27、以每小時15海里速度前進，2小時后，甲乙兩船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏東_度 12 如果線段能組成一個直角三角形，那么_組成直角三角形(填“能”或“不能”)三解答題13（2014秋廣州校級期末）如圖，已知某經(jīng)濟開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，現(xiàn)計劃在該空地上種植草皮，經(jīng)測量A=90，AB=300m，AD=400m，CD=1300m，BC=1200m請計算種植草皮的面積14在RtABC中，C=90，A、B、C所對的邊分別是a、b、c（1）填表：邊a、b、c三角形的面積與周長的比值3 4 55 12 138 15 17（2）若a+bc=m，則猜想=（并證明此結(jié)論）15 我們給出如下定

28、義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱正方形、長方形、直角梯形（任選兩個均可）；（2）如圖1，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你畫出以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；（3）如圖2，將ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60，得到DBE，連接AD，DC，DCB=30度求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形【答案與解析】一選擇題1【答案】D 【解析】判斷一組數(shù)是不是勾股數(shù)

29、時，應先判斷他們是否都是正整數(shù)，在驗證他們平方間的關系，所以只有D項滿足2【答案】B3【答案】A；【解析】由2n2+2n+12n2+2n，且2n2+2n+12n+1，得到2n2+2n+1為最長的邊，（2n+1）2+（2n2+2n）2=1+4n+8n2+8n3+4n4，（2n2+2n+1）2=1+4n+8n2+8n3+4n4（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2ABC為直角三角形4【答案】C；【解析】c不一定是斜邊，故錯誤；若ABC是直角三角形，c不是斜邊，則（a+b）（ab）c2，故錯誤5【答案】C；【解析】6【答案】B；【解析】因為，兩邊之和等于第三邊，故不能組成一個三角

30、形，錯誤；因為，所以又因為得兩邊同除以，得正確；因為，所以正確，360=150，最大角并不是90，所以錯誤 二填空題7【答案】90； 【解析】由題意，所以B=908【答案】2；【解析】由題意得：（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2，解得：x1=2，x2=2（不合題意，舍去）.9【答案】24；【解析】79，8 10【答案】13；直角三角形；【解析】71711【答案】30；【解析】解：由題意得：甲船的路程：AO=82=16，乙船的路程：BO=152=30，302+162=342，AOB=90，AO是北偏東60方向，BO是南偏東30故答案為：3012【答案】能；【解析】設為斜邊，則，兩邊同乘以，

31、得，即 三解答題13【解析】解：連接BD， 在RtABD中，BD2=AB2+AD2=3002+4002=5002，在CBD中，CD2=13002，BC2=12002，而12002+5002=13002，即BC2+BD2=CD2，則DBC=90，S四邊形ABCD=SBAD+SDBCADBD+BDBC=360000m2答：種植草皮的面積是360000m214【解析】（1）解：S=34=6，L=3+4+5=12，=，同理可得其他兩空分別為1，；（2）；證明：a+bc=m，a+b=m+c，a2+2ab+b2=m2+2mc+c2，又a2+b2=c2，2ab=m2+2mc，S=m（m+2c），=15【解析

32、】（1）解：正方形、長方形、直角梯形（任選兩個均可）（2）解：答案如圖所示 （3）證明：連接EC，ABCDBE， AC=DE，BC=BE， CBE=60，EC=BC，BCE=60，DCB=30，DCE=90，DC2+EC2=DE2， DC2+BC2=AC2即四邊形ABCD是勾股四邊形北師大版八年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習勾股定理全章復習與鞏固（提高）【學習目標】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應用勾股定理及逆定理解決有關的實際問題.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等

33、于斜邊的平方.（即：） 2.勾股定理的應用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；（3）解決與勾股定理有關的面積計算；（4）勾股定理在實際生活中的應用要點二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為；（2）驗證：與是否具有相等關系： 若，則ABC是以C為90的直角三角形； 若時，ABC是銳角三角形；若時，A

34、BC是鈍角三角形 2.勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.要點詮釋：常見的勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應斜邊相差1.3.假設三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)

35、系：勾股定理與其逆定理的題設和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.【典型例題】類型一、勾股定理及逆定理的應用1、如圖所示，等腰直角ABC中，ACB90，E、F為AB上兩點(E左F右)，且ECF45，求證：.【思路點撥】由于ACB90，ECF45，所以ACEBCF45，若將ACE和BCF合在一起則為一特殊角45，于是想到將ACE旋轉(zhuǎn)到BCF的右外側(cè)合并，或?qū)CF繞C點旋轉(zhuǎn)到ACE的左外側(cè)合并，旋轉(zhuǎn)后的BF邊與AE邊組成一個直角，聯(lián)想勾股定理即可證明 【答案與解析】解：(1)，理由如下： 將BCF繞點C旋轉(zhuǎn)得ACF，使BCF的BC與AC邊重合， 即ACFBCF， 在ABC中，ACB

36、90，ACBC， CAFB45， EAF90 ECF45， ACEBCF45 ACFBCF， ECF45 在ECF和ECF中 ECFECF(SAS)， EFEF 在RtAEF中， 【總結(jié)升華】若一個角的內(nèi)部含有同頂點的半角，(如平角內(nèi)含直角，90角內(nèi)含45角，120角內(nèi)含60角)，則常常利用旋轉(zhuǎn)法將剩下的部分拼接在一起組成又一個半角，然后利用角平分線、全等三角形等知識解決問題舉一反三：【變式】已知凸四邊形ABCD中，ABC30，ADC60，ADDC，求證：. 【答案】解：將ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60由于DCAD，故點A轉(zhuǎn)至點C點B轉(zhuǎn)至點E，連結(jié)BE BDDE，BDE60 BDE為等邊三角形，B

37、EBD易證DABDCE，A2，CEAB 四邊形ADCB中ADC60，ABC30 121A270 3360(12)90 2、如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC內(nèi)的一點，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度數(shù)【答案與解析】解：如圖，做ECB=PCA，且使CE=CP，連結(jié)EP，EB在APC和BEC中APCBECPCE為等腰直角三角形CPE=45，PE2=PC2+CE2=8又PB2=1，BE2=9PE2+ PB2= BE2 則BPE=90BPC=135【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理的逆定理，通過觀察所要求的角度，作出輔助線，把PA、PB、PC的長度

38、轉(zhuǎn)化為一個三角形三條邊，構(gòu)造出直角三角形是解題的關鍵，當然此題也可以利用旋轉(zhuǎn)的思想來解，即將APC繞點C旋轉(zhuǎn)，使CA與CB重合即APCBEC.類型二、勾股定理及逆定理的綜合應用3、（2016春豐城市期末）如圖，已知四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積【思路點撥】連接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的長，利用勾股定理求出AC的長，再由AD及CD的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD為直角三角形，根據(jù)四邊形ABCD的面積=直角三角形ABC的面積+直角三角形ACD的面積，即可求出四邊形的面積【答案與解析】解：連接AC，如圖所示：B

39、=90，ABC為直角三角形，又AB=3，BC=4，根據(jù)勾股定理得：AC2=25，又CD=12，AD=13，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，CD2+AC2=AD2，ACD為直角三角形，ACD=90，則S四邊形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=34+512=36故四邊形ABCD的面積是36【總結(jié)升華】此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本題的關鍵4、如圖：正方形ABCD中，E是DC中點，F(xiàn)是EC中點.求證：BAF=2EAD.【答案與解析】證明：取BC中點G，連結(jié)AG并延長交DC延長線于H ABG

40、=HCG，BG=CG，AGB=HGC GABHCG GAB=H，AB=CH又 AB=AD，B=D，BG=DE ABGADE GAB=DAE在中，設，由勾股定理得：又 AF=HF FAH=H FAH=DAE BAF=2DAE【總結(jié)升華】要證BAF=2EAD，一般方法是在BAF中取一個角使之等于EAD，再證明另一個角也等于EAD，另一種方法是把小角擴大一倍，看它是否等于較大的角.舉一反三：【變式】（2014春防城區(qū)期末）如圖所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，

41、問過3秒時，BPQ的面積為多少？【答案】解：設AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，周長為36cm，AB+BC+AC=36cm，3x+4x+5x=36，得x=3，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，過3秒時，BP=931=6（cm），BQ=23=6（cm），SPBQ=BPBQ=（93）6=18（cm2）故過3秒時，BPQ的面積為18cm2類型三、勾股定理的實際應用5、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家試問在何處飲水，所走路程最短

42、？最短路程是多少？【思路點撥】作點A關于直線CD的對稱點G，連接GB，交CD于點E，利用“兩點之間線段最短”可知應在E處飲水，再根據(jù)對稱性知GB的長為所走的最短路程，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可解決【答案與解析】解：作點A關于直線CD的對稱點G，連接GB交CD于點E，由“兩點之間線段最短”可以知道在E點處飲水，所走路程最短說明如下：在直線CD上任意取一異于點E的點I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE 點G、A關于直線CD對稱， AIGI，AEGE由“兩點之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GIBIGBAEBE，于是得證最短路程為GB的長，自點B作CD的垂線，自點G作B

43、D的垂線交于點H，在直角三角形GHB中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 GB1000，即最短路程為1000米【總結(jié)升華】這是一道有關極值的典型題目解決這類題目，一方面要考慮“兩點之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選一個量，通過與求證的那個“最大”“最小”的量進行比較來證明，如本題中的I點本題體現(xiàn)了勾股定理在實際生活中的應用舉一反三：【變式】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點E，AE3，EB1，在AC上有一點P，使EPBP最短求EPBP的最小值【答案】解：根據(jù)正方形的對稱性可知：BPDP，連接DE，交AC于P，EDEPDPEPBP，

44、 即最短距離EPBP也就是ED AE3，EB1， ABAEEB4， AD4，根據(jù)勾股定理得： ED0， ED5， 最短距離EPBP56、臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力如圖臺風中心在我國臺灣海峽的B處，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心風力為12級，每遠離臺風中心25千米，臺風就會減弱一級，如圖所示，該臺風中心正以20千米/時的速度沿北偏東30方向向C移動，且臺風中心的風力不變，若城市所受風力達到或超過4級，則稱受臺風影響試問：（1）該城市是否會受到臺風影響？請說明理由（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續(xù)時間有多長？

45、（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？【答案與解析】解：（1）該城市會受到臺風影響理由：如圖，過點A作ADBC于D點，則AD即為該城市距離臺風中心的最短距離在RtABD中，因為B=30，AB=240AD=240120（千米）由題可知，距臺風中心在（12-4）25=200（千米）以內(nèi)時，則會受到臺風影響因為120200，因此該城市將會受到影響（2）依題（1）可知，當點A距臺風中心不超過200千米時，會受臺風影響，故在BC上作AE=AF=200；臺風中心從點E移動到點F處時，該城市會處在臺風影響范圍之內(nèi)（如圖）由勾股定理得，DE160（千米）所以EF=2160=320（千米）又知臺風中心以20

46、千米/時的速度移動所以臺風影響該城市32020=16（小時）（3）AD距臺風中心最近，該城市受到這次臺風最大風力為：12-（12025）=7.2（級）答：該城市受臺風影響最大風力7.2級【總結(jié)升華】本題是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學問題，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，運用勾股定理使問題解決北師大版八年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習【鞏固練習】一選擇題1在中，若，則ABC是（ ）A 銳角三角形 B 鈍角三角形 C 等腰三角形 D 直角三角形2 如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則ABC的度數(shù)為（ ）A90 B60

47、C45 D303（2015春西華縣期末）下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A三內(nèi)角之比為1：2：3B三邊長的平方之比為1：2：3C三邊長之比為3：4：5D三內(nèi)角之比為3：4：54如圖，一牧童在A處牧馬，牧童家在B處，A、B處距河岸的距離AC、BD的長分別為500m和700m，且C、D兩地的距離為500m，天黑前牧童從A點將馬牽引到河邊去飲水后，再趕回家，那么牧童至少要走（）A2900mB1200mC1300mD1700m5 直角三角形的兩條直角邊長為a，b，斜邊上的高為h，則下列各式中總能成立的是（）Aab=h2 Ba2+b2=h2 C D 6如圖，RtABC中，C90，CDAB于

48、點D，AB13，CD6，則(ACBC)2等于( )A25B325 C2197D4057 已知三角形的三邊長為，由下列條件能構(gòu)成直角三角形的是（ ）AB CD8（2016連云港）如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為S1、S2、S3；如圖2，分別以直角三角形三個頂點為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為S4、S5、S6其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，則S3+S4=（）A86 B64 C54 D48二填空題9如圖，AB5，AC3，BC邊上的中線AD2，則ABC的面積為_10如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB6，BC8，將直角邊AB

49、折疊使它落在斜邊AC上，折痕為AD，則BD_11已知：ABC中，AB15，AC13，BC邊上的高AD12，BC_12如圖，E是邊長為4cm的正方形ABCD的邊AB上一點，且AE=1cm，P為對角線BD上的任意一點，則AP+EP的最小值是 cm13如圖，長方體的底面邊長分別為1cm 和2cm，高為4cm，點P在邊BC上，且BP=BC如果用一根細線從點A開始經(jīng)過3個側(cè)面纏繞一圈到達點P，那么所用細線最短需要cm14（2014春監(jiān)利縣期末）小明把一根70cm長的木棒放到一個長寬高分別為30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放進去嗎？答： （選填“能”或“不能”）15（2016春浠水縣期末）如圖，

50、AD=8，CD=6，ADC=90，AB=26，BC=24，該圖形的面積等于 16 如圖所示，在ABC中，AB5，AC13，BC邊上的中線AD6，BAD_三解答題17（2016春召陵區(qū)月考）能夠成為直角三角形邊長的三個正整數(shù)，我們稱之為一組勾股數(shù)，觀察表格所給出的三個數(shù)a，b，c，abc（1）試找出它們的共同點，并證明你的結(jié)論；（2）寫出當a=17時，b，c的值3，4，532+42=525，12，13，52+122=1327，24，2572+242=2529，40，4192+402=41217，b，c172+b2=c218如圖等腰ABC的底邊長為8cm，腰長為5cm，一個動點P在底邊上從B向C以

51、025cm/s的速度移動，請你探究，當P運動幾秒時，P點與頂點A的連線PA與腰垂直 19（2015永州）如圖，有兩條公路OM、ON相交成30角，沿公路OM方向離O點80米處有一所學校A當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心50米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大若一直重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時（1）求對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離；（2）求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間20 如圖1，四根長度一定的木條，其中AB6，CD15，將這四根木條用小釘絞合在一起，構(gòu)成一個四邊形AB

52、CD（在A、B、C、D四點處是可以活動的）現(xiàn)固定AB邊不動，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它的形狀改變，在轉(zhuǎn)動的過程中有以下兩個特殊位置位置一：當點D在BA的延長線上時，點C在線段AD上（如圖2）；位置二：當點C在AB的延長線上時，C90（1）在圖2中，若設BC的長為，請用的代數(shù)式表示AD的長；（2）在圖3中畫出位置二的準確圖形；（各木條長度需符合題目要求）（3）利用圖2、圖3求圖1的四邊形ABCD中，BC、AD邊的長【答案與解析】一選擇題1【答案】D；【解析】因為4，所以，由勾股定理的逆定理可知：ABC是直角三角形2【答案】C；【解析】連接AC，計算AC2BC25,AB210,根據(jù)勾股定理的逆定理，AB

53、C是等腰直角三角形，ABC453【答案】D；【解析】解：A、因為根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個角分別為30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正確；B、因為其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正確；C、因為其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正確；D、因為根據(jù)三角形內(nèi)角和公式得三個角中沒有90角，所以不是直角三角形，故不正確故選D4【答案】C； 【解析】作A點關于河岸的對稱點A，連接BA交河岸與P，則PB+PA=PB+PA=BA最短，如圖，BB=BD+DB=1200，BA=500，BA=1300（m）5【答案】D；【解析】解：根據(jù)直角三角形的面積可以導出：再結(jié)合勾股定理：a

54、2+b2=c2進行等量代換，得a2+b2= 兩邊同除以a2b2，得6【答案】B；【解析】16921363257【答案】B； 【解析】8【答案】C；【解析】解：如圖1，S1=AC2，S2=AB2，S3=BC2，BC2=AB2AC2，S2S1=S3，如圖2，S4=S5+S6，S3+S4=4516+11+14=54故選C二填空題9【答案】6；【解析】延長AD到E，使DEAD，連結(jié)BE，可得ABE為直角三角形10【答案】3；【解析】設點B落在AC上的E點處，設BD，則DEBD，AEAB6，CE4，CD8，在RtCDE中根據(jù)勾股定理列方程11【答案】14或4；【解析】當ABC是銳角三角形時，BC9514

55、；當ABC是鈍角三角形時，BC95412【答案】5 【解析】作E點關于直線BD的對稱點E，連接AE，則線段AE的長即為AP+EP的最小值513【答案】5 【解析】長方體的底面邊長分別為1cm 和2cm，高為4cm，點P在邊BC上，且BP=BC，AC=4cm，PC=BC=3cm，根據(jù)兩點之間線段最短，AP=514【答案】能； 【解析】解：可設放入長方體盒子中的最大長度是xcm，根據(jù)題意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因為49005000，所以能放進去15【答案】96；【解析】連接AC，在RtACD中，AD=8，CD=6，AC2=100，在ABC中，AC2+BC2=1

56、02+242=262=AB2，ABC為直角三角形；圖形面積為：SABCSACD=102468=9616【答案】90；【解析】延長AD到M，使DMAD，易得ABDMCD CMAB5 AM2AD12在ACM中 即AMCBAD=90三解答題17【解析】解：（1）以上各組數(shù)的共同點可以從以下方面分析：以上各組數(shù)均滿足a2+b2=c2；最小的數(shù)（a）是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)；最小奇數(shù)的平方等于另兩個連續(xù)整數(shù)的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41由以上特點我們可猜想并證明這樣一個結(jié)論：設m為大于1的奇數(shù)，將m2拆分為兩個連續(xù)的整數(shù)之和，即

57、m2=n+（n+1），則m，n，n+1就構(gòu)成一組簡單的勾股數(shù)，證明：m2=n+（n+1）（m為大于1的奇數(shù)），m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，m，n，（n+1）是一組勾股數(shù)；（2）運用以上結(jié)論，當a=17時，172=289=144+145，b=144，c=14518【解析】解：如圖，作ADBC，交BC于點D， BC=8cm， BD=CD=BC=4cm， AD=3， 分兩種情況：當點P運動t秒后有PAAC時， AP2=PD2+AD2=PC2AC2，PD2+AD2=PC2AC2， PD2+32=（PD+4）252PD=225，BP=4225=175=025t，t=7秒，當點P運動t秒后有

58、PAAB時，同理可證得PD=225，BP=4+225=625=025t，t=25秒，點P運動的時間為7秒或25秒19【解析】解：（1）過點A作ADON于點D，NOM=30，AO=80m，AD=40m，即對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離為40米；（2）由圖可知：以50m為半徑畫圓，分別交ON于B，C兩點，ADBC，BD=CD=BC，OA=80m，在RtAOD中，AOB=30，AD=OA=80=40m，在RtABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，故BC=230=60米，即重型運輸卡車在經(jīng)過BD時對學校產(chǎn)生影響重型運輸卡車的速度為18千米/小時，即=300米/分鐘

59、，重型運輸卡車經(jīng)過BD時需要60300=02（分鐘）=12（秒）答：卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間為12秒20【解析】 解：（1） 在四邊形ABCD轉(zhuǎn)動的過程中，BC、AD邊的長度始終保持不變，BC， 在圖2中，ACBCAB6，ADACCD9 （2）位置二的圖形見圖3 （3） 在四邊形ABCD轉(zhuǎn)動的過程中，BC、AD邊的長度始終保持不變， 在圖3中，BC，ACABBC6，AD9 在ACD中，C90 由勾股定理得 整理，得 化簡，得6180 解得 30 即 BC30 AD39北師大版八年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習平方根和開平方（提高）【學習目標】1了

60、解平方根、算術(shù)平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根2了解開方與乘方互為逆運算，會用開方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用計算器求平方根【要點梳理】要點一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方. 叫做被開方數(shù).平方與開平方互為逆運算. 2.算術(shù)平方根的定義正數(shù)的兩個平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算術(shù)平方根），讀作“根號”；表示的負平方根，讀作“負根號”.要點詮釋：當式子有意義時，一定表示一個非負數(shù)，即0，0.要點二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；