高中數學選修2-2配人教A版-課后習題word-第二章　推理與證明2.2.2　反證法

1、2.2.2反證法課后篇鞏固提升基礎鞏固1.用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60”時,假設正確的是()A.假設三內角都不大于60B.假設三內角都大于60C.假設三內角至少有一個大于60D.假設三內角至多有兩個大于60解析“至少有一個不大于60”的否定為“全部都大于60”.答案B2.設a,b是兩個實數,能推出“a,b中至少有一個大于1”的條件是() A.a+b1B.a+b=2C.ab1D.a+b2解析對于A,若a=12,b=23,則a+b1,因此A推不出;對于B,若a=b=1,則a+b=2,故B推不出;對于C,若a=-2,b=-3,則ab1,故C推不出;對于D,a+b2,滿足“a,

2、b中至少有一個大于1”的條件,利用反證法:若a1,b1,則a+b2與已知a+b2矛盾,因此假設不正確,故原結論正確.故選D.答案D3.下列說法不正確的是()A.命題:“x,yR,若|x-1|+|y-1|=0,則x=y=1”,用反證法證明時應假設x1或y1B.三角形的內角中至少有一個不大于60度C.若-1,x,y,z,-4成等比數列,則y=2D.命題:“m0,1,使得x+1x2m”的否定形式是:“m0,1,總有x+1x2m”解析對于A選項,反證法假設時,假設“x1或y1”,故A選項說法正確;對于B選項,假設三個內角都大于60度,則內角和大于180度,故假設不成立,故B選項說法正確;對于C選項,假

3、設等比數列公比為q(q0),則y=(-1)q20,b0,c0,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“PQR0”是“P,Q,R同時大于零”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析若P0,Q0,R0,則必有PQR0;反之,若PQR0,也必有P0,Q0,R0.因為當PQR0時,若P,Q,R不同時大于零,則P,Q,R中必有兩個負數,一個正數,不妨設P0,Q0,即a+bc,b+ca,兩式相加得b0,Q0,R0.答案C5.設x,yR,用反證法證明命題“如果x2+y24,那么|x|2且|y|2”時,應先假設“”.答案|x|2或|y|26.和兩條異面

4、直線AB,CD都相交的兩條直線AC,BD的位置關系是.解析假設AC與BD共面于平面,則A,C,B,D都在平面內,于是AB,CD,這與AB,CD異面相矛盾,故AC與BD異面.答案異面7.完成下列反證法證題的全過程.題目:設a1,a2,a7是由數字1,2,7任意排成的一個數列,求證:乘積p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)為偶數.證明:假設p為奇數,則均為奇數.因7個奇數之和為奇數,故有(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)為.而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=.與矛盾,故p為偶數.解析由假設p為奇數可知(a1-1),(a2-2),(a7-7)

5、均為奇數,故(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0為奇數,這與0為偶數矛盾.答案a1-1,a2-2,a7-7奇數08.設直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數k1,k2滿足k1k2+2=0,證明直線l1與直線l2相交.證明假設直線l1與l2不相交,則l1與l2平行,由直線l1與l2的方程可知實數k1,k2分別為兩直線的斜率,則有k1=k2,代入k1k2+2=0,消去k1,得k22+2=0,k2無實數解,這與已知k2為實數矛盾,所以k1k2,即l1與l2相交.9.已知ABC的內角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,三邊互不相等,且滿足

6、b2ac.(1)比較ba與cb的大小,并證明你的結論;(2)求證:B不可能是鈍角.(1)解大小關系為bacb.證明如下:要證bacb,只需證ba0,只需證b2ac,(已知條件)故所得大小關系bacb正確.(2)證明假設B是鈍角,則cos B2ac-b22acac-b22ac0,這與cos B0矛盾,故假設不成立.所以B不可能是鈍角.10.已知函數f(x)在R上是增函數,a,bR.(1)求證:如果a+b0,那么f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)判斷(1)中的命題的逆命題是否成立?并證明你的結論.(1)證明當a+b0時,a-b且b-a,f(a)f(-b),f(b)f(-a),f(a)

7、+f(b)f(-a)+f(-b).(2)解(1)中命題的逆命題:如果f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),那么a+b0.此命題成立,用反證法證明如下:假設a+b0,則a-b,f(a)f(-b),同理可得f(b)f(-a),f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),這與f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)矛盾,故假設不成立,a+b0成立,即(1)中命題的逆命題成立.能力提升1.設實數a,b,c滿足a+b+c=1,則a,b,c中至少有一個數不小于() A.0B.13C.12D.1解析三個數a,b,c的和為1,其平均數為13,故三個數中至少有一個大于或等于13.假設a,b,c都小于13,則a

8、+b+c1與已知矛盾.答案B2.定義方程f(x)=f(x)的實數根x0叫做函數f(x)的“新駐點”,如果函數g(x)=x與h(x)=ln(x+1)的“新駐點”分別為,那么和的大小關系是.解析由題可得g(x)=1,h(x)=1x+1,所以=1,ln(+1)=1+1,假設=1,則+12,則01+112,所以0ln(+1)12=lne,1+1e2,0.答案3.已知xR,a=13x2+x,b=-3x+4,c=23x2,求證:a,b,c中至少有一個不小于1.證明假設a,b,c都小于1,即a1,b1,c1,則a+b+c3.而a+b+c=13x2+x+(-3x+4)+23x2=x2-2x+4=(x-1)2+

9、33,這與a+b+c3矛盾,因此假設錯誤,即a,b,c中至少有一個不小于1.4.等差數列an的前n項和為Sn,a1=1+2,S3=9+32.(1)求數列an的通項an與前n項和Sn;(2)設bn=Snn(nN*),求證:數列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數列.(1)解設公差為d,由已知得a1=2+1,3a1+3d=9+32,d=2,故an=2n-1+2,Sn=n(n+2).(2)證明由(1)得bn=Snn=n+2.假設數列bn中存在三項bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數列,則bq2=bpbr,即(q+2)2=(p+2)(r+2),(q2-pr)+(2q-p-r)2=0.p,q,rN*,q2-pr=0,2q-p-r=0,p+r22=pr,(p-r)2=0,p=r,這與pr矛盾.所以數列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數列.5.若下列方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0