高中數(shù)學(xué)選修2-1配人教A版-課后習(xí)題第三章　習(xí)題課-空間向量在空間問(wèn)題中的綜合應(yīng)用

1、第三章空間向量與立體幾何習(xí)題課空間向量在空間問(wèn)題中的綜合應(yīng)用課后篇鞏固提升1.四棱錐P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-3,1,-4),則這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)為()A.1B.2C.3D.4解析在四棱錐P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-3,1,-4),設(shè)平面ABCD的法向量為n=(x,y,z),則ABn=0,ADn=0,即4x-2y+3z=0,-4x+y=0,不妨令x=3,則y=12,z=4,可得n=(3,12,4).所以這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)=|APn|n|=|-9+12-16|13=1.故選A.答案A2.如圖,在平行六面體A

2、BCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,P,Q分別為棱AB,CD,BC的中點(diǎn),若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等,給出下列說(shuō)法:A1MD1P;A1MB1Q;A1M平面DCC1D1;A1M平面D1PQB1,則以上正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4解析因?yàn)锳1M=A1A+AM=A1A+12AB,D1P=D1D+DP=A1A+12AB,所以A1MD1P,由線面平行的判定定理可知,A1M平面DCC1D1,A1M平面D1PQB1,故正確.答案C3.定義:兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,則異面直線A

3、C與BC1之間的距離是()A.55B.77C.66D.67解析如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),C1(0,1,3),則AC=(-2,1,0),BC1=(-2,0,3),設(shè)AC和BC1的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則nAC=0,nBC1=0,即-2x+y=0,-2x+3z=0,令x=3,則n=(3,6,2).因?yàn)锳B=(0,1,0),所以d=|ABn|n|=67.故選D.答案D4.已知四邊形ABCD為正方形,P為平面ABCD外一點(diǎn),PDAD,PD=AD=2,二面角P-AD-C為60,則P到AB的距離是()A.22B.3C.2D

4、.7解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以ADDC.因?yàn)镈CAD,PDAD,所以PDC為二面角P-AD-C的平面角,即PDC=60.如圖所示,過(guò)P作PHDC于H.因?yàn)镈CAD,PDAD,DCPD=D,所以AD平面PDC,所以ADPH.又PHDC,ADDC=D,所以PH平面ABCD.在平面AC內(nèi)過(guò)H作HEAB于E,連接PE,則PEAB,所以線段PE即為所求.以H為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則H(0,0,0),E(0,2,0),P(0,0,3),所以|PE|=0+22+(-3)2=7.故選D.答案D5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列結(jié)論:(AA1+AD+AB)2=3AB2

5、;A1C(A1B1A1A)=0;AD1與A1B的夾角為60;正方體的體積為|ABAA1AD|.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.解析(AA1+AD+AB)2=(AA1)2+(AD)2+(AB)2+2(AA1AD+ADAB+AA1AB)=3(AB)2,故正確;設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則A1C(A1B1A1A)=(A1B1+A1D1+A1A)(A1B1A1A)=a2-0+0-0+0-a2=0,故正確;AD1與A1B的夾角應(yīng)為120,故錯(cuò)誤;正方體的體積應(yīng)為|AB|AD|AA1|,故錯(cuò)誤.答案6.如圖,矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直,且BAE=120,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分別為BE,AE,BC

6、的中點(diǎn).(1)求證:直線DE與平面FGH平行;(2)若點(diǎn)P在直線GF上,且二面角D-BP-A的大小為4,試確定點(diǎn)P的位置.(1)證明取AD的中點(diǎn)M,連接MH,MG.G,H分別是AE,BC的中點(diǎn),MHAB,GFAB,M平面FGH.又MGDE,且DE平面FGH,MG平面FGH,DE平面FGH.(2)解在平面ABE內(nèi),過(guò)A作AB的垂線,記為AP(圖略),則AP平面ABCD.以A為原點(diǎn),AP,AB,AD所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(23,-2,0),G(3,-1,0),F(3,1,0).則GF=(0,2,0),BD=(0,

7、-4,2),BG=(3,-5,0).設(shè)GP=GF=(0,2,0),則BP=BG+GP=(3,2-5,0).設(shè)平面PBD的法向量為n1=(x,y,z),則n1BP=0,n1BD=0,3x+(2-5)y=0,-4y+2z=0.取y=3,得z=23,x=5-2,故n1=(5-2,3,23).又平面ABP的法向量為n2=(0,0,1),cos=n1n2|n1|n2|=23(5-2)2+3+12=22,解得=1或=4.故GP=GF或GP=4GF(P(3,1,0)或P(3,7,0).7.如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,PA平面ABCD.(1)若PA=AB,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),求直線AE與平面PCD所成角的

8、正弦值;(2)若BEPC且交點(diǎn)為E,BE=63a,G為CD的中點(diǎn),線段AB上是否存在點(diǎn)F,使得EF平面PAG?若存在,求AF的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)以A為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),Ea2,a2,a2,AE=a2,a2,a2,DC=(a,0,0),PD=(0,a,-a).設(shè)平面PCD的法向量m=(x,y,z),則ax=0,ay-az=0.取m=(0,1,1),則cos=a2+a22a24+a24+a24=63.設(shè)直線AE與平面PCD所成角為,則sin =|cos|,所以直線AE與平面PCD所

9、成角的正弦值為63.(2)Ga2,a,0,設(shè)P(0,0,c)(c0),則CP=(-a,-a,c).設(shè)CE=CP,則E(1-)a,(1-)a,c),BE=(-a,(1-)a,c).BE=63a,(-a)2+(1-)a2+(c)2=23.BEPC,a2-(1-)a2+c2=0.c2=1-2=a2.由解得=13,c=a,E23a,23a,13a,P(0,0,a).若存在滿足條件的點(diǎn)F,可設(shè)AF=l(0la),則F(l,0,0),EF=l-23a,-23a,-13a.設(shè)平面PAG的法向量為n=(s,t,p),則ap=0,12as+at=0,n=(-2,1,0).EF平面PAG,EFn=0.-2l+43

10、a-23a=0,l=13a.存在滿足條件的點(diǎn)F,且AF=13a.8.在如圖所示的幾何體中,四邊形CDEF為正方形,四邊形ABCD為梯形,ABCD,AB=2BC=2CD,DCFB,CF平面ABCD.(1)求BE與平面EAC所成角的正弦值;(2)線段BE上是否存在點(diǎn)M,使平面EAC平面DFM?若存在,求BMBE的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)四邊形CDEF為正方形,四邊形ABCD為梯形,ABCD,DCFB,CF平面ABCD.以C為原點(diǎn),CD,CB,CF所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2BC=2CD=2,則B(0,1,0),D(1,0,0),E(1,0,1),A(2,1,0),C(0,0,0),F(0,0,1),BE=(1,-1,1),CA=(2,1,0),CE=(1,0,1),設(shè)平面EAC的法向量n=(x,y,z),則nCA=2x+y=0,nCE=x+z=0,取x=1,得n=(1,-2,-1),設(shè)BE與平面EAC所成角為,則sin =|BEn|BE|n|=236=23.BE與平面EAC所成角的正弦值為23.(2)存在.理由如下:設(shè)線段BE上存在點(diǎn)M(a,b,c),BM=BE,01,使平面EAC平面DFM,則(a,b-1,c)=(,-,),M(,1-,),DM=(-1,1-