新冀教版九年級下冊數(shù)學全冊精品優(yōu)質公開課教案

1、第二十九章 直線與圓的位置關系29.1 點與圓的位置關系1能從點和圓的位置關系，判斷點和圓心的距離與半徑的大小關系2學會用已知點到圓心的距離與半徑的大小關系，判斷點與圓的位置關系3認識三角形的外接圓，三角形的外心的概念，會畫三角形的外接圓一、情境導入同學們看過奧運會的射擊比賽嗎？射擊的靶子是由許多圓組成的，射擊的成績是由擊中靶子不同位置所決定的；如圖是一位運動員射擊6發(fā)子彈在靶上留下的痕跡你知道這個運動員的成績嗎？請同學們算一算(擊中最里面的圓的成績?yōu)?0環(huán)，依次為9、8、1環(huán))二、合作探究探究點一：點和圓的位置關系【類型一】判斷點和圓的位置關系 如圖，已知矩形ABCD的邊AB3cm，AD4c

2、m.(1)以點A為圓心，4cm為半徑作A，則點B，C，D與A的位置關系如何？(2)若以點A為圓心作A，使B，C，D三點中至少有一點在圓內且至少有一點在圓外，則A的半徑r的取值范圍是什么？解：(1)AB3cm4cm，點B在A內；AD4cm，點D在A上；ACeq r(3242)5cm4cm，點C在A外(2)由題意得，點B一定在圓內，點C一定在圓外3cmr5cm.【類型二】點和圓的位置關系的應用 如圖，點O處有一燈塔，警示O內部為危險區(qū)，一漁船誤入危險區(qū)點P處，該漁船應該按什么方向航行才能盡快離開危險區(qū)？試說明理由解：漁船應沿著燈塔O過點P的射線OP方向航行才能盡快離開危險區(qū)理由如下：設射線OP交O

3、與點A，過點P任意作一條弦CD，連接OD，在ODP中，ODOPPD，又ODOA，OAOPPD，PAPD，即漁船沿射線OP方向航行才能盡快離開危險區(qū)探究點二：確定圓的條件【類型一】經(jīng)過不在同一直線上的三個點作一個圓 已知：不在同一直線上的三個已知點A，B，C(如圖)，求作：O，使它經(jīng)過點A，B，C.解析：根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，作出邊AB、BC的垂直平分線相交于點O，以O為圓心，以OA為半徑，作出圓即可解：(1)連接AB、BC；(2)分別作出線段AB、BC的垂直平分線DE、GF，兩垂直平分線相交于點O，則點O就是所求作的O的圓心；(3)以點O為圓心，OC長為半徑作圓則O就

4、是所求作的圓方法總結：線段垂直平分線的作法，需熟練掌握探究點三：三角形的外接圓【類型一】與圓的內接三角形有關的角的計算 如圖，ABC內接于O，OAB20，則C的度數(shù)是_解析：由OAOB，知OABOBA20，所以AOB140，根據(jù)圓周角定理，得Ceq f(1,2)AOB70.方法總結：在圓中求圓周角的度數(shù)，可以根據(jù)圓周角定理找相等的角實現(xiàn)互換，也可以尋找同弧所對的圓周角與圓心角的關系【類型二】與圓的內接三角形有關線段的計算 如圖，在ABC中，O是它的外心，BC24cm，O到BC的距離是5cm，求ABC的外接圓的半徑解：連接OB，過點O作ODBC，則OD5cm，BDeq f(1,2)BC12cm.

5、在RtOBD中，OBeq r(OD2BD2)eq r(52122)13cm.即ABC的外接圓的半徑為13cm.方法總結：由外心的定義可知外接圓的半徑等于OB，過點O作ODBC，易得BD12cm.由此可求它的外接圓的半徑三、板書設計教學過程中，強調三角形的外接圓的圓心到三角形三個頂點的距離相離，它是三角形三邊垂直平分線的交點在圓中充分利用這一點可解決相關的計算問題.29.2 直線與圓的位置關系1了解直線和圓的不同位置關系2了解直線與圓的不同位置關系時的有關概念3能運用直線與圓的位置關系解決實際問題一、情境導入你看過日出嗎，如果把海平面看做一條直線，太陽看做一個圓，在日出過程中，二者會出現(xiàn)幾種位置

6、關系呢？如圖二者是什么關系呢？二、合作探究探究點一：直線與圓的位置關系【類型一】根據(jù)點到直線的距離判斷直線與圓的位置關系 已知O的半徑為5，點P在直線l上，且OP5，直線l與O的位置關系是()A相切 B相交C相離 D相切或相交解析：我們考慮圓心到直線l的距離，如果距離大于半徑，則直線l與O的位置關系是相離；若距離等于半徑，則直線l與O相切；若距離小于半徑，則直線l與O相交分兩種情況討論：(1)OP直線l，則圓心到直線l的距離為5，此時直線l與O相切(2)若OP與直線l不垂直，則圓心到直線的距離小于5，此時直線l與O相交所以本題選D.方法總結：判斷直線與圓的位置關系，主要看該圓心到直線的距離，所

7、以要判斷直線與圓的位置關系，我們先確定圓心到直線的距離 ABC中，AB10cm，AC8cm，BC6cm，以點B為圓心、6cm為半徑作B，則邊AC所在的直線與B的位置關系是_解析：根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關系來判斷本題根據(jù)勾股定理的逆定理可知ABC是直角三角形，AC，BC是直角邊，則圓心B到直線AC的距離是6cm，等于B的半徑，所以AC所在的直線與B相切方法總結：根據(jù)勾股定理的逆定理來判斷三角形的形狀同時求出圓心到直線的距離是解題的關鍵【類型二】坐標系內直線與圓的位置關系的應用 如圖，在平面直角坐標系中，A與y軸相切于原點O，平行于x軸的直線交A于M、N兩點若點M的坐標是(4，2)，則點

8、N的坐標為()A(1，2) B(1，2)C(1.5，2) D(1.5，2)解析：過點A作AQMN于Q，連接AN，設半徑為r，由垂徑定理有MQNQ，所以AQ2，ANr，NQ4r，利用勾股定理可以求出NQ1.5，所以N點坐標為(1，2)故選A.方法總結：在圓中如果有弦要求線段的長度，通常要將經(jīng)過圓心的半徑畫出，利用垂徑定理和勾股定理解決問題【類型三】由直線和圓的位置關系確定圓心到直線的距離 已知圓的半徑等于5，直線l與圓沒有交點，則圓心到直線l的距離d的取值范圍是_解析：因為直線l與圓沒有交點，所以直線l與圓相離，所以圓心到直線的距離大于圓的半徑，即d5.【類型四】由直線和圓的位置關系確定圓的半徑

9、 直線l與半徑為r的O相交，且點O到直線l的距離為8，則r的取值范圍是_解析：因為直線l與半徑為r的O相交，所以dr，即8r，所以填r8.三、板書設計教學過程中，強調學生從實際生活中感受，體會直線與圓的幾種位置關系，并會用數(shù)學語言來描述歸納，經(jīng)歷將實際問題轉化為數(shù)學問題的過程.29.3 切線的性質和判定1掌握判定直線與圓相切的方法，并能運用直線與圓相切的方法進行計算與證明(重點)；2掌握直線與圓相切的性質，并能運用直線與圓相切的性質進行計算與證明(重點，難點)；3能運用直線與圓的位置關系解決實際問題一、情境導入約在6000年前，美索不達米亞人做出了世界上第一個輪子圓形的木盤，你能設計一個辦法測

10、量這個圓形物體的半徑嗎？二、合作探究探究點一：切線的性質【類型一】 切線的性質的運用 如圖，點O是BAC的邊AC上的一點，O與邊AB相切于點D，與線段AO相交于點E，若點P是O上一點，且EPD35，則BAC的度數(shù)為()A20 B35 C55 D70解析：連接OD，O與邊AB相切于點D，ODAD，ADO90.EPD35，EOD2EPD70，BAC90EOD20.故選A.方法總結：此題考查了切線的性質以及圓周角定理解題時要注意運用切線的性質，注意掌握輔助線的作法，靈活運用數(shù)形結合思想【類型二】 利用切線的性質進行證明和計算 如圖，PA為O的切線，A為切點直線PO與O交于B、C兩點，P30，連接AO

11、、AB、AC.(1)求證：ACBAPO；(2)若APeq r(,3)，求O的半徑(1)證明：PA為O的切線，A為切點，OAP90.又P30，AOB60，又OAOB，AOB為等邊三角形ABAO，ABO60.又BC為O的直徑，BAC90.在ACB和APO中，BACOAP，ABAO，ABOAOB，ACBAPO；(2)解：在RtAOP中，P30，APeq r(,3)，AO1，即O的半徑為1.方法總結：運用切線進行證明和計算時，一般連接切點與圓心，根據(jù)切線的性質轉化已知條件，構造出等量關系求解【類型三】 探究圓的切線的條件 如圖，O是ABC的外接圓，ABAC10，BC12，P是eq o(BC,sup8(

12、)上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D.(1)當點P在什么位置時，DP是O的切線？請說明理由；(2)當DP為O的切線時，求線段BP的長解析：(1)當點P是eq o(BC,sup8()的中點時，得eq o(PBA,sup8()eq o(PCA,sup8()，得出PA是O的直徑，再利用DPBC，得出DPPA，問題得證；(2)利用切線的性質，由勾股定理得出半徑長，進而得出AB的長，在RtABP中再次利用勾股定理即可求出BP的長解：(1)當點P是eq o(BC,sup8()的中點時，DP是O的切線理由如下：ABAC，eq o(AB,sup8()eq o(AC,sup8()，又eq o

13、(PB,sup8()eq o(PC,sup8()，eq o(PBA,sup8()eq o(PCA,sup8()，PA是O的直徑eq o(PB,sup8()eq o(PC,sup8()，12，又ABAC，PABC.又DPBC，DPPA，DP是O的切線(2)連接OB，設PA交BC于點E.由垂徑定理，得BEeq f(1,2)BC6.在RtABE中，由勾股定理，得AEeq r(AB2BE2)8.設O的半徑為r，則OE8r，在RtOBE中，由勾股定理，得r262(8r)2，解得req f(25,4).在RtABP中，AP2req f(25,2)，AB10，BPeq r(,（f(25,2)）2102)eq

14、 f(15,2).方法總結：判定直線是否為圓的切線時要從切線的性質入手，結合垂徑定理與勾股定理，合理轉化已知條件，得出結論探究點二：切線的判定【類型一】 判定圓的切線 如圖，點D在O的直徑AB的延長線上，點C在O上，ACCD，D30，求證：CD是O的切線證明：連接OC，ACCD，D30，AD30.OAOC，2A30，160，OCD90，OCCD，CD是O的切線方法總結：切線的判定方法有三種：利用切線的定義，即與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；到圓心距離等于半徑長的直線是圓的切線；經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【類型二】 切線的性質與判定的綜合應用 如圖，AB是O的直徑，點

15、F、C是O上的兩點，且eq o(AF,sup8()eq o(FC,sup8()eq o(CB,sup8()，連接AC、AF，過點C作CDAF交AF的延長線于點D，垂足為D.(1)求證：CD是O的切線；(2)若CD2eq r(3)，求O的半徑分析：(1)連接OC，由弧相等得到相等的圓周角，根據(jù)等角的余角相等推得ACDB，再根據(jù)等量代換得到ACOACD90，從而證明CD是O的切線；(2)由eq o(AF,sup8()eq o(FC,sup8()eq o(CB,sup8()推得DACBAC30，再根據(jù)直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得AB的長，進而求得O的半徑(1)證明：連接OC，

16、BC.eq o(FC,sup8()eq o(CB,sup8()，DACBAC.CDAF，ADC90.AB是直徑，ACB90.ACDB.BOOC，OCBOBC，ACOOCB90，OCBOBC，ACDABC，ACOACD90，即OCCD.又OC是O的半徑，CD是O的切線；(2)解：eq o(AF,sup8()eq o(FC,sup8()eq o(CB,sup8()，DACBAC30.CDAF，CD2eq r(3)，AC4eq r(3).在RtABC中，BAC30，AC4eq r(,3)，BC4，AB8，O的半徑為4.方法總結：若證明切線時有交點，需“連半徑，證垂直”然后利用切線的性質構造直角三角形

17、，在解直角三角形時常運用勾股定理求邊長三、板書設計1切線的性質圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑2切線的判定經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 教學過程中，經(jīng)歷切線性質的探究，從中可得出判定切線的條件，整個學習過程是一個逐層深入的過程因此教師應當對學生在探究過程中遇到的問題及時進行解決，使學生能更全面的掌握知識.29.4 切線長定理1掌握切線長定理，初步學會運用切線長定理進行計算與證明2了解有關三角形的內切圓和三角形的內心的概念3學會利用方程思想解決幾何問題，體驗數(shù)形結合思想一、情境導入新農村建設中，張村計劃在一個三角形中建一個最大面積的圓形花園，請你設計一個建筑方案、二、合作探究探究

18、點一：切線長定理【類型一】利用切線長定理求三角形的周長 如圖，PA、PB分別與O相切于點A、B，O的切線EF分別交PA、PB于點E、F，切點C在eq o(AB,sup8()上若PA長為2，則PEF的周長是_解析：因為PA、PB分別與O相切于點A、B，所以PAPB，因為O的切線EF分別交PA、PB于點E、F，切點為C，所以EAEC，CFBF，所以PEF的周長PEEFPFPEECCFPF(PEEC)(CFPF)PAPB224.【類型二】利用切線長定理求角的大小 如圖，PA、PB是O的切線，切點分別為A、B，點C在O上，如果ACB70，那么OPA的度數(shù)是_度解析：如圖所示，連接OA、OB.PA、PB

19、是O的切線，切點分別為A、B，OAPA，OBPB，OAPOBP90.又AOB2ACB140，APB360PAOAOBOBP360901409040.又易證POAPOB，OPAeq f(1,2)APB20.故答案為20.方法總結：由公共點引出的兩條切線，可以運用切線長定理得到等腰三角形另外根據(jù)全等的判定，可得到PO平分APB.【類型三】切線長定理的實際應用 為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30的三角板和一把刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數(shù)據(jù)，進而可求得鐵環(huán)的半徑若測得PA5cm，則鐵環(huán)的半徑長是多少？說一說你是如何判斷的解：過O作OQAB于

20、Q，設鐵環(huán)的圓心為O，連接OP、OA.AP、AQ為O的切線，AO為PAQ的平分線，即PAOQAO.又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.在RtOPA中，PA5，POA30，OP5eq r(5)(cm)，即鐵環(huán)的半徑為5eq r(5)cm.探究點二：三角形的內切圓【類型一】求三角形的內切圓的半徑 如圖，O是邊長為2的等邊ABC的內切圓，則O的半徑為_解析：如圖，連接OD.由等邊三角形的內心即為中線，底邊高，角平分線的交點所以OCD30，ODBC，所以CDeq f(1,2)BC，OC2OD.又由BC2，則CD1.在RtOCD中，根據(jù)勾股定理得OD2CD2OC2，所以OD212(

21、2OD)2，所以ODeq f(r(3),3).即O的半徑為eq f(r(,3),3).方法總結：等邊三角形的內心為等邊三角形中線，底邊高，角平分線的交點，它到三邊的距離相等【類型二】求三角形的周長 如圖，RtABC的內切圓O與兩直角邊AB，BC分別相切于點D、E，過劣弧eq o(DE,sup8()(不包括端點D、E)上任一點P作O的切線MN與AB、BC分別交于點M、N.若O的半徑為r，則RtMBN的周長為()r B.eq f(3,2)r C2r D.eq f(5,2)r解析：連接OD，OE，O是RtABC的內切圓，ODAB，OEBC.又MD，MP都是O的切線，且D、P是切點，MDMP，同理可得

22、NPNE，CRtMBNMBBNNMMBBNNPPMMBMDBNNEBDBE2r，故選C.三、板書設計教學過程中，強調用切線長定理可解決有關求角度、周長的問題明確三角形內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，到三邊的距離相等.29.5 正多邊形和圓1了解正多邊形與圓的有關概念；2理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會運用正多邊形和圓的有關知識畫正多邊形(重點)一、情境導入生日宴會上，佳樂等6位同學一起過生日，他想把如圖所示蛋糕平均分成6份，你能幫他做到嗎？二、合作探究探究點一：圓的內接正多邊形的相關計算 如圖，有一個圓O和兩個正六邊形T1，T2.T1的6個頂點都在圓周上，T2

23、的6條邊都和圓O相切(1)設T1，T2的邊長分別為a，b，圓O的半徑為r，求ra及rb的值；(2)求正六邊形T1，T2的面積比S1S2的值解：(1)連接圓心O和T1的6個頂點可得6個全等的正三角形所以ra11.連接圓心O和T2相鄰的兩個頂點，得以圓O的半徑為高的正三角形，所以rbeq r(3)2；(2)正六邊形T1與T2的邊長比是eq r(3)2，所以S1S234.方法總結：解答此題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再由三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值求解探究點二：與正多邊形相關的計算【類型一】 求正多邊形的中心角 已知一個正多邊形的每個內角均為108，則它的中心角為_度解析：每個內角為108，則每

24、個外角為72.根據(jù)多邊形的外角和等于360，正多邊形的邊數(shù)為5，則其中心角為360572.故填72.方法總結：本題考查了正多邊形的內角與外角，對于正多邊形，利用多邊形的外角和除以每一個外角的度數(shù)求邊數(shù)更簡便【類型二】 求正多邊形的邊長和面積 已知正六邊形ABCDEF的外接圓半徑是R，求正六邊形的邊長a和面積S.解：連接OA、OB，過O作OHAB，則AOHeq f(180,6)30，AHeq f(1,2)R，a2AHR.由勾股定理可得OH2R2(eq f(1,2)R)2，OHeq f(r(3),2)R，Seq f(1,2)aOH6eq f(1,2)Req f(r(3),2)R6eq f(3r(3

25、),2)R2.方法總結：本題考查的是正六邊形的性質，解答此題的關鍵是熟知正六邊形的邊長等于半徑三、板書設計教學過程中，強調正多邊形與圓的聯(lián)系，將正多邊形放在圓中便于解決、探究更多關于正多邊形的問題.第三十章 二次函數(shù)30.1 二次函數(shù)1理解、掌握二次函數(shù)的概念和一般形式；(重點)2會利用二次函數(shù)的概念解決問題；(重點)3列二次函數(shù)表達式解決實際問題(難點)一、情境導入已知長方形窗戶的周長為6m，窗戶面積為y m2，窗戶寬為x m，你能寫出y與x之間的函數(shù)關系式嗎？它是什么函數(shù)呢？二、合作探究探究點一：二次函數(shù)的概念【類型一】 二次函數(shù)的識別 下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有()yxeq f(1,x)；

26、y3(x1)22；y(x3)22x2；yeq f(1,x2)x.A4個 B3個 C2個 D1個解析：yxeq f(1,x)，yeq f(1,x2)x的右邊不是整式，故不是二次函數(shù)；y3(x1)22，符合二次函數(shù)的定義；y(x3)22x2x26x9，符合二次函數(shù)的定義故選C.方法總結：判定一個函數(shù)是否是二次函數(shù)常有三個標準：所表示的函數(shù)關系式為整式；所表示的函數(shù)關系式有唯一的自變量；所含自變量的關系式最高次數(shù)為2，且函數(shù)關系式中二次項系數(shù)不等于0.【類型二】 利用二次函數(shù)的概念求字母的值 當k為何值時，函數(shù)y(k1)xk2k1為二次函數(shù)？解析：根據(jù)二次函數(shù)的概念，可得k2k2且同時滿足k10即可

27、解答解：函數(shù)y(k1)xk2k1為二次函數(shù)，eq blc(avs4alco1(k2k2，,k10，)解得eq blc(avs4alco1(k1或2，,k1，)k2.方法總結：解答本題要考慮兩方面：一是x的指數(shù)等于2；二是二次項系數(shù)不等于0.【類型三】 二次函數(shù)相關量的計算 已知二次函數(shù)yx2bx3，當x2時，y3.則x1時，y_解析：二次函數(shù)yx2bx3，當x2時，y3，3222b3，解得b2. 這個二次函數(shù)的表達式是yx22x3.將x1代入得y4.故答案為4.方法總結：解題的關鍵是先確定解析式，再代入求值【類型四】 二次函數(shù)與一次函數(shù)的關系 已知函數(shù)y(m2m)x2(m1)xm1.(1)若這

28、個函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值；(2)若這個函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值應怎樣？解析：根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義解答解：(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義，得m2m0，解得m0或m1.又m10，即m1，當m0時，這個函數(shù)是一次函數(shù)；(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義，得m2m0，解得m0或m1，當m0或m1時，這個函數(shù)是二次函數(shù)方法總結：熟記二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義，另外要注意二次函數(shù)的二次項的系數(shù)不等于零探究點二：從實際問題中抽象出二次函數(shù)解析式【類型一】 從幾何圖形中抽象出二次函數(shù)解析式 如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD，設AB邊長為x米，則菜園的面積y(單位：米2)與

29、x(單位：米)的函數(shù)關系式為多少？解析：根據(jù)已知由AB邊長為x米可以推出BCeq f(1,2)(30 x)，然后根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關系式解：AB邊長為x米，而菜園ABCD是矩形菜園，BCeq f(1,2)(30 x)，菜園的面積ABBC eq f(1,2)(30 x)x，則菜園的面積y與x的函數(shù)關系式為yeq f(1,2)x215x.方法總結：函數(shù)與幾何知識的綜合問題，關鍵是掌握數(shù)與形的轉化有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式【類型二】 從生活實際中抽象出二次函數(shù)解析式 某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質量分為10個檔次，第1檔次(最低檔次

30、)的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件(1)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元(其中x為正整數(shù)，且1x10)，求出y關于x的函數(shù)關系式；(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1120元，求該產(chǎn)品的質量檔次解析：(1)每件的利潤為62(x1)，生產(chǎn)件數(shù)為955(x1)，則y62(x1)955(x1)；(2)由題意可令y1120，求出x的實際值即可解：(1)第一檔次的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元，每提高一個檔次，每件利潤加2元，但一天產(chǎn)量減少5件，第x檔次，提高的檔次是(x1)檔，利潤增加了2(x1)元y62(x1)955(x1)，即

31、y10 x2180 x400(其中x是正整數(shù)，且1x10)；(2)由題意可得10 x2180 x4001120，整理得x218x720，解得x16，x212(舍去)所以，該產(chǎn)品的質量檔次為第6檔方法總結：解決此類問題的關鍵是要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型三、板書設計二次函數(shù)1二次函數(shù)的概念2從實際問題中抽象出二次函數(shù)解析式二次函數(shù)是一種常見的函數(shù)，應用非常廣泛，它是客觀地反映現(xiàn)實世界中變量之間的數(shù)量關系和變化規(guī)律的一種非常重要的數(shù)學模型許多實際問題往往可以歸結為二次函數(shù)加以研究本節(jié)課是學習二次函數(shù)的第一節(jié)課，通過實例引入二次函數(shù)的概念，并學習求一些簡單的實際問題中二次函數(shù)的解析式在教學中要

32、重視二次函數(shù)概念的形成和建構，在概念的學習過程中，讓學生體驗從問題出發(fā)到列二次函數(shù)解析式的過程，體驗用函數(shù)思想去描述、研究變量之間變化規(guī)律的意義.30.2 二次函數(shù)的圖像和性質第1課時 二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質1會用描點法畫出yax2的圖像，理解拋物線的概念2掌握形如yax2的二次函數(shù)圖像和性質，并會應用一、情境導入自由落體公式heq f(1,2)gt2(g為常量)，h與t之間是什么關系呢？它是什么函數(shù)？它的圖像是什么形狀呢？二、合作探究探究點一：二次函數(shù)yax2的圖像【類型一】圖像的識別 已知a0，在同一直角坐標系中，函數(shù)yax與yax2的圖像有可能是()解析：本題進行分類討論：(1)

33、當a0時，函數(shù)yax2的圖像開口向上，函數(shù)yax圖像經(jīng)過一、三象限，故排除選項B；(2)當a0時，函數(shù)yax2的圖像開口向下，函數(shù)yax圖像經(jīng)過二、四象限，故排除選項D；又因為在同一直角坐標系中，函數(shù)yax與yax2的圖像必有除原點(0，0)以外的交點，故選擇C.方法總結：分a0與a0兩種情況加以討論，并且結合一些特殊點，采取“排除法”【類型二】實際問題中圖像的識別 已知h關于t的函數(shù)關系式為heq f(1,2)gt2(g為正常數(shù)，t為時間)，則函數(shù)圖像為()解析：根據(jù)h關于t的函數(shù)關系式為heq f(1,2)gt2，其中g為正常數(shù)，t為時間，因此函數(shù)heq f(1,2)gt2圖像是受一定實際

34、范圍限制的，圖像應該在第一象限，是拋物線的一部分，故選A.方法總結：在識別二次函數(shù)圖像時，應該注意考慮函數(shù)的實際意義探究點二：二次函數(shù)yax2的性質【類型一】利用圖像判斷二次函數(shù)的增減性 作出函數(shù)yx2的圖像，觀察圖像，并利用圖像回答下列問題：(1)在y軸左側圖像上任取兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2x10，試比較y1與y2的大?。?2)在y軸右側圖像上任取兩點C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3x40，試比較y3與y4的大??；(3)由(1)、(2)你能得出什么結論？解析：根據(jù)畫出的函數(shù)圖像來確定有關數(shù)值的大小，是一種比較常用的方法解：(1)圖像如圖所示，由圖像可知y1y2

35、，(2)由圖像可知y31，10)個單位所得的函數(shù)關系式為yax2k，向下平移k(k0)個單位所得的函數(shù)關系式為yax2k；向左平移h(h0)個單位所得函數(shù)關系式為ya(xh)2；向右平移h(h0)個單位所得函數(shù)關系式為ya(xh)2；這一規(guī)律可簡記為“上加下減，左加右減”【類型五】二次函數(shù)的圖像與幾何圖形的綜合應用 如圖，已知二次函數(shù)yeq f(1,2)x2bxc的圖像經(jīng)過A(2，0)、B(0，6)兩點(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)設該二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求ABC的面積解：(1)把A(2，0)、B(0，6)代入yeq f(1,2)x2bxc得：eq blc

36、(avs4alco1(22bc0，,c6，)解得eq blc(avs4alco1(b4，,c6.)這個二次函數(shù)的解析式為yeq f(1,2)x24x6.(2)該拋物線的對稱軸為直線xeq f(4,2（f(1,2)）)4，點C的坐標為(4，0)ACOCOA422，SABCeq f(1,2)ACOBeq f(1,2)266.三、板書設計教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數(shù)yax2bxc的圖像與性質，體會數(shù)學建模的數(shù)形結合思想方法.30.3 由不共線三點的坐標確定二次函數(shù)1通過對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的探究，掌握求解析式的方法2會根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)

37、的函數(shù)關系式，在實際應用中體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學模型的作用一、情境導入某廣場中心標志性建筑處有高低不同的各種噴泉，其中一支高度為1米的噴水管噴出的拋物線水柱最大高度為3米，此時噴水水平距離為eq f(1,2)米，你能寫出如圖所示的平面直角坐標系中拋物線水柱的解析式嗎？二、合作探究探究點：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【類型一】用一般式確定二次函數(shù)解析式 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，5)，(0，4)和(1，1)，求這個二次函數(shù)的解析式解析：由于題目給出的是拋物線上任意三點，可設一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)解：設這個二次函數(shù)的解析式為yax2bxc(a0)，依題意得：eq blc(avs4alc

38、o1(abc5，,c4，,abc1，)解這個方程組得：eq blc(avs4alco1(a2，,b3，,c4.)這個二次函數(shù)的解析式為y2x23x4.方法總結：當題目給出函數(shù)圖象上的三個點時，設一般式為yax2bxc，轉化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值【類型二】用頂點式確定二次函數(shù)解析式 已知二次函數(shù)的圖象頂點是(2，3)，且過點(1，5)，求這個二次函數(shù)的解析式解：設二次函數(shù)解析式為ya(xh)2k，圖象頂點是(2，3)，h2，k3，依題意得：5a(12)23，解得a2，y2(x2)232x28x11.方法總結：若已知拋物線的頂點、對稱軸或極值，則設頂點式為ya(xh)2k.頂點

39、坐標為(h，k)，對稱軸方程為xh，極值為當xh時，y極值k來求出相應的數(shù)【類型三】根據(jù)平移確定二次函數(shù)解析式 將拋物線y2x24x1先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，求平移后的函數(shù)解析式解析：要求拋物線平移的函數(shù)解析式，需要將函數(shù)y2x24x1化成頂點式，然后根據(jù)頂點坐標的變換求拋物線平移后的解析式解：y2x24x12(x22x1)12(x1)21，該拋物線的頂點坐標是(1，1)，將其向左平移3個單位，向下平移2個單位后，拋物線的形狀，開口方向不變，這時頂點坐標為(13，12)，即(2，3)，所以平移后拋物線的解析式為y2(x2)23.即y2x28x5.方法總結：拋物線ya(xh)2k

40、的圖象向左平移m(m0)個單位，向上平移n(n0)個單位后的解析式為ya(xhm)2kn；向右平移m(m0)個單位，向下平移n(n0)個單位后的解析式為ya(xhm)2kn.【類型四】根據(jù)軸對稱確定二次函數(shù)解析式 已知二次函數(shù)y2x212x5，求該函數(shù)圖象關于x軸對稱的圖象的解析式解析：關于x軸對稱得到的二次函數(shù)的圖象與原二次函數(shù)的圖象的形狀不變，而開口方向，頂點的縱坐標變化了，開口方向與原圖象的開口方向相反，頂點的橫坐標不變，縱坐標與原圖象的縱坐標互為相反數(shù)解：y2x212x52(x3)213，頂點坐標為(3，13)，其圖象關于x軸對稱的頂點坐標為(3，13)，所以對稱后的圖象的解析式為y2

41、(x3)213.方法總結：ya(xh)2k的圖象關于x軸對稱得到的圖象的解析式為ya(xh)2k.【類型五】用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的實際應用 科學家為了推測最適合某種珍奇植物生長的溫度，將這種植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一定時間后，測試出這種植物高度的增長情況，部分數(shù)據(jù)如下表：溫度t/42014植物高度增長量l/mm4149494625科學家經(jīng)過猜想，推測出l與t之間是二次函數(shù)關系由此可以推測最適合這種植物生長的溫度為_.解析：設l與t之間的函數(shù)關系式為lat2btc，把(2，49)、(0，49)、(1，46)分別代入得：eq blc(avs4alco1(4a2bc49，,c49，

42、,abc46，)解得eq blc(avs4alco1(a1，,b2，,c49.)lt22t49，即l(t1)250，當t1時，l的最大值為50.即當溫度為1時，最適合這種植物生長故答案為1.方法總結：求函數(shù)解析式一般采用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法解題，先要明確解析式中待定系數(shù)的個數(shù)，再從已知中得到相應個數(shù)的獨立條件(一般來講，最直接的條件是點的坐標)，最后代入求解三、板書設計教學過程中，強調用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式時，要根據(jù)題目所給條件，合理設出其形式，然后求解，這樣可以簡化計算.30.4 二次函數(shù)的應用第1課時 拋物線形問題1掌握二次函數(shù)模型的建立，會把實際問題轉化為二次函數(shù)問題2利用二次函

43、數(shù)解決拱橋、涵洞關問題3能運用二次函數(shù)的圖象與性質進行決策 一、情境導入某大學的校門是一拋物線形的水泥建筑物(如圖所示)，大門的寬度為8米，兩側距地面4米高處各掛有一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，請你確定校門的高度是多少？二、合作探究探究點：拱橋、涵洞問題如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面寬4米時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2米水面下降1米時，水面的寬度為_米解析：如圖，建立直角坐標系，設這條拋物線為yax2，把點(2，2)代入，得2a22，aeq f(1,2)，yeq f(1,2)x2，當y3時，eq f(1,2)x23，xeq r(6).故答案為2eq r(6).

44、方法總結：在解決呈拋物線形狀的實際問題時，通常的步驟是：(1)建立合適的平面直角坐標系；(2)將實際問題中的數(shù)量轉化為點的坐標；(3)設出拋物線的解析式，并將點的坐標代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)解析式；(4)利用函數(shù)關系式解決實際問題 如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對稱的一部分和矩形的一部分構成，最大高度為6米，底部寬度為12米現(xiàn)以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；(2)求出這條拋物線的函數(shù)關系式；(3)若要搭建一個矩形“支撐架”ADDCCB，使C、D點在拋物線上，A、B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？解析：解決問題

45、的思路是首先建立適當?shù)淖鴺讼担诰驐l件確定圖象上點的坐標M(12，0)和拋物線頂點P(6，6)；已知頂點坐標，可設二次函數(shù)關系式為ya(x6)26，可利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關系式；再利用二次函數(shù)上某些點的坐標特征，求出有關“支撐架”總長ADDCCB二次函數(shù)的關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質，求出最值，從而解決問題解：(1)根據(jù)題意，分別求出M(12，0)，最大高度為6米，點P的縱坐標為6，底部寬度為12米，所以點P的橫坐標為6，即P(6，6)(2)設此函數(shù)關系式為ya(x6)26.因為函數(shù)ya(x6)26經(jīng)過點(0，3)，所以3a(06)26，即aeq f(1,12).所以此函數(shù)關系式為yeq

46、f(1,12)(x6)26eq f(1,12)x2x3.(3)設A(m，0)，則B(12m，0)，C(12m，eq f(1,12)m2m3)，D(m，eq f(1,12)m2m3)即“支撐架”總長ADDCCB(eq f(1,12)m2m3)(122m)(eq f(1,12)m2m3)eq f(1,6)m218.因為此二次函數(shù)的圖象開口向下所以當m0時，ADDCCB有最大值為18.三、板書設計建立二次函數(shù)模型：（1）拱橋問題；（2）涵洞問題.教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，經(jīng)歷將實際問題轉化為函數(shù)問題，建立二次函數(shù)模型，解決生活中的實際問題.第2課時 實際問題中二次函數(shù)的最值問題1經(jīng)歷數(shù)

47、學建模的基本過程，能分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系2會運用二次函數(shù)求實際問題中的最大值或最小值3能應用二次函數(shù)的性質解決圖形最大面積、利潤最大問題一、情境導入孫大爺要圍成一個矩形花圃花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為32米的籬笆恰好圍成圍成的花圃是如圖所示的矩形ABCD.設AB邊的長為x米，矩形ABCD的面積為S平方米當x為何值時，S有最大值？并求出最大值二、合作探究探究點一：最大面積問題【類型一】利用二次函數(shù)求最大面積 小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長x(單位：米)的變化而變化(1)求S與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范

48、圍；(2)當x是多少時，矩形場地面積S最大？最大面積是多少？解析：利用矩形面積公式就可確定二次函數(shù)(1)矩形一邊長為x，則另一邊長為eq f(602x,2)，從而表示出面積；(2)利用配方法求出頂點坐標解：(1)根據(jù)題意，得Seq f(602x,2)xx230 x.自變量x的取值范圍是0 x30.(2)Sx230 x(x15)2225，a10，S有最大值，即當x15(米)時，S最大值225平方米方法總結：二次函數(shù)與日常生活的例子還有很多，體現(xiàn)了二次函數(shù)這一數(shù)學模型應用的廣泛性解決這類問題關鍵是在不同背景下學會從所給信息中提取有效信息，建立實際問題中變量間的二次函數(shù)關系【類型二】最大面積方案設計

49、 施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米現(xiàn)以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系(如圖所示)(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；(2)求出這條拋物線的函數(shù)關系式；(3)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB，使A、D點在拋物線上，B、C點在地面OM上為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下解：(1)M(12，0)，P(6，6)(2)設這條拋物線的函數(shù)關系式為ya(x6)26，因為拋物線過O(0，0)，所以a(06)260，解得，aeq f(1,6)，所以這條拋物線的函數(shù)關系式為

50、：yeq f(1,6)(x6)26，即yeq f(1,6)x22x.(3)設OBm米，則點A的坐標為(m，eq f(1,6)m22m)，所以ABDCeq f(1,6)m22m.根據(jù)拋物線的軸對稱，可得OBCMm，所以BC122m，即AD122m，所以lABADDCeq f(1,6)m22m122meq f(1,6)m22meq f(1,3)m22m12eq f(1,3)(m3)215.所以當m3，即OB3米時，三根木桿長度之和l的最大值為15米探究點二：最大利潤問題【類型一】利用解析式確定獲利最大的條件 為了推進知識和技術創(chuàng)新、節(jié)能降耗，使我國的經(jīng)濟能夠保持可持續(xù)發(fā)展某工廠經(jīng)過技術攻關后，產(chǎn)品

51、質量不斷提高，該產(chǎn)品按質量分為10個檔次，生產(chǎn)第一檔次(即最低檔)的新產(chǎn)品一天生產(chǎn)76件，每件利潤10元，每提高一個檔次，每件可節(jié)約能源消耗2元，但一天產(chǎn)量減少4件生產(chǎn)該產(chǎn)品的檔次越高，每件產(chǎn)品節(jié)約的能源就越多，是否獲得的利潤就越大？請你為該工廠的生產(chǎn)提出建議解析：在這個工業(yè)生產(chǎn)的實際問題中，隨著生產(chǎn)產(chǎn)品檔次的變化，所獲利潤也在不斷的變化，于是可建立函數(shù)模型；找出題中的數(shù)量關系：一天的總利潤一天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)每件產(chǎn)品的利潤；其中，“每件可節(jié)約能源消耗2元”的意思是利潤增加2元；利用二次函數(shù)確定最大利潤，再據(jù)此提出自己認為合理的建議解：設該廠生產(chǎn)第x檔的產(chǎn)品一天的總利潤為y元，則有y102(x1

52、)764(x1)8x2128x6408(x8)21152.當x8時，y最大值1152.由此可見，并不是生產(chǎn)該產(chǎn)品的檔次越高，獲得的利潤就越大建議：若想獲得最大利潤，應生產(chǎn)第8檔次的產(chǎn)品(其他建議，只要合理即可)【類型二】利用圖象解析式確定最大利潤 某水果店銷售某種水果，由歷年市場行情可知，從第1月至第12月，這種水果每千克售價y1(元)與銷售時間第x月之間存在如圖所示(一條線段)的變化趨勢，每千克成本y2(元)與銷售時間第x月滿足函數(shù)關系式y(tǒng)2mx28mxn，其變化趨勢如圖所示(1)求y2的解析式；(2)第幾月銷售這種水果，每千克所獲得利潤最大？最大利潤是多少？解：(1)由題意可得，函數(shù)y2的

53、圖象經(jīng)過兩點(3，6)，(7，7)，eq blc(avs4alco1(9m24mn6，,49m56mn7，)解得eq blc(avs4alco1(mf(1,8)，,nf(63,8).)y2的解析式為y2eq f(1,8)x2xeq f(63,8)(1x12)(2)設y1kxb，函數(shù)y1的圖象過兩點(4，11)，(8，10)，eq blc(avs4alco1(4kb11，,8kb10，)解得eq blc(avs4alco1(kf(1,4)，,b12.)y1的解析式為y1eq f(1,4)x12(1x12)設這種水果每千克所獲得的利潤為w元則wy1y2(eq f(1,4)x12)(eq f(1,8

54、)x2xeq f(63,8)eq f(1,8)x2eq f(3,4)xeq f(33,8)，weq f(1,8)(x3)2eq f(21,4)(1x12)，當x3時，w取最大值eq f(21,4)，第3月銷售這種水果，每千克所獲的利潤最大，最大利潤是eq f(21,4)元/千克三、板書設計實際問題中二次函數(shù)的最值問題：（1）幾何圖形最大面積問題；（2）商品利潤最大問題.教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，引導學生設計有助于學生設計表格，經(jīng)歷計算、觀察、分析、比較的過程，直觀地看出變化情況，培養(yǎng)學生將實際問題轉化為函數(shù)問題并利用函數(shù)的性質進行決策的能力.第3課時 將二次函數(shù)問題轉化為一元二次

55、方程問題1經(jīng)歷數(shù)學建模的基本過程，能分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系2能將二次函數(shù)問題轉化為一元二次方程問題解決運動軌跡及落點問題.一、情境導入跳繩是同學們非常喜歡的一種體育活動，在跳繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看作拋物線如圖，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4米，設拿繩的手此時距地面均為1米，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1米和2.5米處，繩子甩到最高處時，剛好通過他們的頭頂，已知學生丙的身高是1.5米，根據(jù)以上信息你能知道學生丁的身高嗎？要解決這個問題，同學們分析一下，我們會利用哪些知識來解決？二、合作探究探究點：二次函數(shù)在體育活動中的應用【類型一】 運動軌跡問題 某

56、學校初三年級的一場籃球比賽中，如圖，隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高eq f(20,9)米，與籃圈中心的水平距離為7米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，設籃球運行軌跡為拋物線，籃圈距地面3米(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，問此球能否準確投中？(2)此時，若對方隊員乙在甲面前1米處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功？解析：這是一個有趣的、貼近學生日常生活的應用題，由條件可得到出手點、最高點(頂點)和籃圈的坐標，再由出手點、頂點的坐標可求出函數(shù)表達式；判斷此球能否準確投中的問題就是判斷代表籃圈的點是否在拋物線上；判斷蓋帽攔截能否獲得成功，就是比較當x1

57、時函數(shù)y的值與最大摸高3.1米的大小解：(1)由條件可得到球出手點、最高點和籃圈的坐標分別為A(0，eq f(20,9)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是拋物線的頂點設二次函數(shù)關系式為ya(xh)2k，將點A、B的坐標代入，可得yeq f(1,9)(x4)24.將點C的坐標代入解析式，得左邊右邊，即點C在拋物線上，所以此球一定能投中(2)將x1代入解析式，得y3.因為3.13，所以蓋帽能獲得成功【類型二】 落點問題 如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上)，運動員乙在距O點6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起據(jù)

58、實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半(1)求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式；(2)足球第一次落地點C距守門員多少米(取4eq r(3)7)?(3)運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米(取2eq r(6)5)?解析：要求足球開始飛出到第一次落地時，拋物線的表達式，則需要根據(jù)已知條件確定點A和頂點M的坐標，因為OA1，OB6，BM4，所以點A的坐標為(0，1)，頂點M的坐標是(6，4)根據(jù)頂點式可求得拋物線關系式因為點C在x軸上，所以要求OC的長，只要把點C的縱坐標y0代入函數(shù)關系式，通過解方程求得OC的長要計算運動員乙要

59、搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米，實際就是求DB的長求解的方法有多種解：(1)設第一次落地時，拋物線的表達式為ya(x6)24，由已知：當x0時，y1，即136a4，所以aeq f(1,12).所以函數(shù)表達式為yeq f(1,12)(x6)24或yeq f(1,12)x2x1；(2)令y0，則eq f(1,12)(x6)240，所以(x6)248，所以x14eq r(3)613，x24eq r(3)60(舍去)所以足球第一次落地距守門員約13米；(3)如圖，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意：CDEF(即相當于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位)所以2eq f(1,12)(x6)24

60、，解得x162eq r(6)，x262eq r(6)，所以CD|x1x2|4eq r(6)10.所以BD1361017(米)方法總結：解決此類問題的關鍵是先進行數(shù)學建模，將實際問題中的條件轉化為數(shù)學問題中的條件常有兩個步驟：(1)根據(jù)題意得出二次函數(shù)的關系式，將實際問題轉化為純數(shù)學問題；(2)應用有關函數(shù)的性質作答三、板書設計將二次函數(shù)問題轉化為一元二次方程問題：（1）運動軌跡問題；（2）落點問題.教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，經(jīng)歷將實際問題轉化為函數(shù)問題，建立二次函數(shù)模型，解決實際問題30.5 二次函數(shù)與一元二次方程的關系1通過探索，理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，會用二次函