2022年人教版八級數(shù)學上第十三章《軸對稱》全章教案

1、13.1 軸對稱（ 1 ）教案目標：1明白軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的概念,知道軸對稱圖形和兩個圖形成軸對 稱的區(qū)分與聯(lián)系2探究成軸對稱的兩個圖形的性質和軸對稱圖形的性質,體會由詳細到抽象熟悉問 題的過程,感悟類比方法在討論數(shù)學問題中的作用3明白線段垂直平分線的概念教案重、難點：軸對稱的概念和性質 教案過程：一、問題導入：引言 對稱現(xiàn)象無處不在,從自然景觀到藝術作品,從建筑物到交通標志,甚至日常 生活用品,都可以找到對稱的例子,對稱給我們帶來美的感受！二、課本精講：問題 1 如圖,把一張紙對折,剪出一個圖案（折痕處不要完全剪斷）,再打開這張對 折的紙,就得到了漂亮的窗花觀看得到的窗花,你能發(fā)

2、覺它們有什么共同的特點嗎？假如一個平面圖形沿一 條直線折疊,直線兩旁的部 分能夠相互重合,這個圖形 就叫做軸對稱圖形,這條直 線就是它的對稱軸這時,我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱老師：你能舉出一些軸對稱圖形的例子嗎？問題 2 觀看下面每對圖形（如圖）,你能類比前面的內容概括出它們的共同特點 嗎？共同特點：每一對圖形沿著虛線折 疊,左邊的圖形都能與右邊的圖形重 合把一個圖形沿著某一條直線折疊,假如它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這條直線（成軸）對稱,這條直 線叫做對稱軸,折疊后重合的點是對應點,叫做對稱點老師：你能再舉出一些兩個圖形成軸對稱的例子嗎？老師：你能結合詳細的圖

3、形說明軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱有什么區(qū)分與聯(lián)系 嗎？兩者的聯(lián)系：把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體,它就是一個軸對稱圖形把一個軸對稱圖形沿 對稱軸分成兩個圖形,這兩個圖形關于這條軸對稱兩者的區(qū)分：軸對稱圖形指的是一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩部 分能完全重合,而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置1 / 13 關系,這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合問題 3 如圖,ABC 和 AB C 關于直線MN 對稱,點 A,B ,C 分別是點 A,B, C 的對稱點,線段AA , BB , CC 與直線 MN 有什么關系？老師：你能說明其中的道理嗎？上面的問題說明“ 假如ABC 和 A B C

4、關于直線 MN 對稱,那么,直線 MN 垂直線段 AA , BB 和 CC ,并且直線 MN 仍平分線段 AA , BB 和 CC ” 如果將其中的“ 三角形” 改為“ 四邊形” “ 五邊形” 其他條件不變,上述結論仍成立嗎？問題 3 如圖,ABC 和 AB C 關于直線MN 對稱,點 A,B ,C 分別是點 A,B, C 的對稱點,線段AA , BB , CC 與直線 MN 有什么關系？經過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線老師：你能用數(shù)學語言概括前面的結論嗎？成軸對稱的兩個圖形的性質：假如兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分 線即對

5、稱點所連線段被對稱軸垂直平分；對稱軸垂直平分對稱點所連線段問題 4 下圖是一個軸對稱圖形,你能發(fā)覺什么結論？能說明理由嗎？l 垂直線段 AA , BB ,直線 l 平分線段 結論：直線 AA , BB （或直線 l 是線段 AA , BB 的垂直平分 線）老師：你能用數(shù)學語言概括前面的結論嗎？軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸,是任何一對對 應點所連線段的垂直平分線三、鞏固提高：教科書 60 頁練習 1、2 四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些主要內容？（2）軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區(qū)分與聯(lián)系是什么？（3）成軸對稱的兩個圖形有什么性質？軸對稱圖形有什么性質？我們是怎么探究這 些性質的？

6、五、課后作業(yè)：13.1 第 1 、2、 3、4 、5 題 教科書習題 課后反思：13.1 軸對稱（ 2 ）教案目標：1懂得線段垂直平分線的性質和判定2能運用線段垂直平分線的性質和判定解決實際問題3會用尺規(guī)經過已知直線外一點作這條直線的垂線,明白 作圖的道理教案重、難點：線段垂直平分線的性質教案過程：一、問題導入：2 / 13 探究并證明線段垂直平分線的性質如圖,直線l 垂直平分線段AB ,P1 ,P2,P3, 是 l 上的點,請猜想點P1 ,P2 ,P3 , 到點 A 與點 B 的距離之間的數(shù)量關系老師：你能用不同的方法驗證這一結論嗎？二、課本精講：請在圖中的直線l 上任取一點,那么這一點與線

7、段AB 兩個端點的距離相等嗎？線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等證明：“ 線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”已知：如圖,直線 l AB,垂足為 C,AC =CB ,點 P 在 l 上求證： PA =PB用符號語言表示為：CA =CB ,l AB,PA =PB線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等老師：反過來,假如PA =PB,那么點 P 是否在線段AB 的垂直平分線上呢？點 P 在線段 AB 的垂直平分線上已知：如圖, PA =PB求證：點 P 在線段 AB 的垂直平分線上用數(shù)學符號表示為：PA =PB,點 P 在 AB 的垂直平分線上與

8、一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上老師：你能再找一些到線段AB 兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB 兩端點距離相等的點？這些點能組成什么幾何圖形？在線段 AB 的垂直平分線 l 上的點與 A,B 的距離都相等；反過來,與 A,B 的距離相等的點都在直線 l 上,所以直線 l 可以看成與兩點 A、 B 的距離相等的全部點的集合老師：如何用尺規(guī)作圖的方法經過直線外一點作已知直線的垂線？三、鞏固提高：教科書 62 頁練習 1、2. 四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些內容？（2）線段垂直平分線的性質和判定是如何得到的？兩者之間有什么關系？（3）如何判定一條直線是否是線

9、段的垂直平分線？五、課后作業(yè)：教科書習題 13.1 第 6 、9 題課后反思：13.1 軸對稱（ 3 ）教案目標：3 / 13 1能用尺規(guī)作線段的垂直平分線2進一步明白作圖的一般步驟和作圖語言,明白作圖的依據(jù)3運用尺規(guī)作圖的方法解決簡潔的作圖問題教案重點： 作線段的垂直平分線教案難點： 作線段的垂直平分線教案過程：一、問題導入：有時我們感覺兩個平面圖形是軸對稱的,如何驗證呢？不折疊圖形,你能精確地作出軸對稱圖形的對稱軸嗎？二、課本精講：作線段的垂直平分線 我們已能用尺規(guī)完成：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個角等于已知角；（3）作一個角的平分線；（4）經過已知直線外一點作這條直線的垂線

10、老師：那么利用尺規(guī)仍能解決什么作圖問題呢？例 1 如圖,點 A 和點 B 關于某條直線成軸對稱,你能作出這條直線嗎？老師：怎樣作線段 AB 的垂直平分線呢？作法：如圖AB 的為半徑作（1）分別以點 A,B 為圓心,以大于 弧,兩弧相交于 C,D 兩點；（2）作直線 CD CD 就是所求作的直線老師：這種作法的依據(jù)是什么？老師：這種作圖方法仍有哪些作用？確定線段的中點老師：假如兩個圖形成軸對稱,怎樣作出圖形的對稱軸？假如兩個圖形成軸對稱,其對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線因此,只要找到任意一組對應點,作出對應點所連線段的垂直平分線,就得到此圖形的對稱軸如圖中的五角星,請作出它的一條對稱

11、軸 . 你能作出這個五角星的其他對稱軸嗎？它共有幾條對稱軸？三、鞏固提高：教科書 64 頁練習 1、2、3 四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些內容？（2）作線段的垂直平分線的依據(jù)是什 么？舉例說明 這種作法有哪些運用？（3）如何用尺規(guī)作軸對稱圖形的對稱軸？五、課后作業(yè)：教科書習題 13.1 第 10 、12 題課后反思：4 / 13 13.2 畫軸對稱圖形（ 1）教案目標：1懂得圖形軸對稱變換的性質2能按要求畫出一個平面圖形關于某直線對稱的圖形教案重點： 畫軸對稱圖形教案難點： 畫軸對稱圖形教案過程：一、問題導入：在一張半透亮紙張的左邊部分,畫出左腳印,如 何由此得到相應的右腳?。慷?、課本精

12、講：請動手在一張紙上畫一個你喜愛的圖形,將這張 紙折疊,描圖,再打開紙,看看你得到了什么？由一個平面圖形得到與它關于一條直線對稱的圖 形 一個平面圖形和與它成軸對稱的另一個圖形之 間有什么關系？由一個平面圖形可以得到與它關于一條直線l 對稱的圖形,這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于直線 l 的對稱點；連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分呢？老師：假如有一個圖形和一條直線,如何作出這個圖形關 于這條直線對稱的圖形例 1 如圖,已知ABC 和直線 l,畫出與ABC 關于直線 l 對稱的圖形畫法：（ 1 ）如圖,過點 A 畫直線 l 的垂線,垂足為點O

13、,在垂線上截取OA=OA,點 A 就是點 A 關于直線 l 的對稱點；（2）同理,分別畫點B,C 關于直線 l 的對稱點B ,C ；B（3）連接 A B , BC , CA ,得到的AC 即為所求老師：如何驗證畫出的圖形與ABC 關于直線 l 對稱？已知一個幾何圖形和一條直線,說一說畫一個與該圖形關于這條直線對稱的圖形的一 般方法幾何圖形都可以看作由點組成對于某些圖形,只要畫出圖形中的一些特別點（如線段端點）的對稱點,連接這些對 稱點,就可以得到原圖形的軸對稱圖形三、鞏固提高：教科書 68 頁練習 1、2 四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些內容？（2）一個平面圖形和與它成軸對稱的另一個圖形之

14、間有什么關系？（3）畫軸對稱圖形的一般方法是什么？依據(jù)是什么？五、課后作業(yè)：5 / 13 教科書習題 13.2 第 1 題課后反思：13.2 畫軸對稱圖形（ 2）教案目標：1懂得在平面直角坐標系中,已知點關于x 軸或 y 軸對稱的點的坐標的變化規(guī)律2把握在平面直角坐標系中作出一個圖形的軸對稱圖形的方法教案重、難點：在平面直角坐標系中關于 x 軸或 y 軸對稱的點的變化規(guī)律和作出與一個圖形關于 x 軸或 y 軸對稱的圖形教案過程：一、問題導入：如圖,假如以天安門為原點,分別以長安街和中軸線為 x軸和 y 軸建立平面直角坐標系,對應于東直門的坐標,你能找到西直門的位置,說出西直門的坐標嗎？二、課本

15、精講：探究并歸納已知點關于坐標軸對稱的點的坐標變化規(guī)律對于平面直角坐標系中任意一點,你能找出其關于 們之間有什么規(guī)律？在平面直角坐標系中,畫出以下已知點及其關于 格中x 軸或 y 軸對稱的點的坐標嗎？它 x 軸對稱的點,把它們的坐標填入表老師：觀看下圖中關于 x 軸對稱的每對對稱點的坐 標有怎樣的變化規(guī)律？關于 x 軸對稱的每對對稱點的橫坐標相等,縱坐標 互為相反數(shù)老師：觀看關于 y 軸對稱的每對對稱點的坐標有怎 樣的變化規(guī)律？關于 y 軸對稱的每對對稱點的橫坐標互為相反數(shù),縱坐標相等老師：請你再找?guī)讉€點,分別畫出它們的對稱點,檢驗一下你發(fā)覺的規(guī)律點（ x, y）關于 x 軸對稱的點的坐標為（

16、_,_）；點（ x, y）關于 y 軸對稱的點的坐標為（_,_）例 如圖,四邊形 ABCD 的四個頂點的坐標分別為 A（-5 , 1）, B（ -2 ,1 ）, C（-2 ,5 ）, D （-5 ,4）,分別畫出與四邊形 ABCD 關于 x 軸和 y 軸對稱的圖形老師：歸納畫一個圖形關于x 軸或 y 軸對稱的圖形的方法和步驟. 6 / 13 先求出已知圖形中一些特別點（多邊形的頂點）的對稱點的坐標,描出并連接這些 點,就可以得到這個圖形的軸對稱圖形步驟簡述為：（1）求特別點的坐標；（2 ）描點；（ 3 ）連線三、鞏固提高：教科書 70 頁練習 1、2、3 四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些內

17、容？（2）在平面直角坐標系中,已知點關于x 軸或 y 軸的對稱點的坐標有什么變化規(guī)律,如何判定兩個點是否關于 x 軸或 y 軸對稱？（3）說一說畫一個圖形關于 五、課后作業(yè)：x 軸或 y 軸對稱的圖形的方法和步驟教科書習題 13.2 第 2 、4、 5 題課后反思：13.3 等腰三角形（ 1 ）教案目標：1探究并證明等腰三角形的兩個性質2能利用性質證明兩個角相等或兩條線段相等3結合等腰三角形性質的探究與證明過程,體會軸對稱在討論幾何問題中的作用教案重、難點：探究并證明等腰三角形性質教案過程：一、問題導入：如下列圖,把一張長方形的紙按圖中虛線對折,并剪去陰影部分,再把它綻開,得到 的 ABC 有

18、什么特點？老師：認真觀看自己剪出的等腰三角形紙片,你能發(fā)覺這個等腰三角形有什么特點 嗎？老師：同學們剪下的等腰三角形紙片大小不同,外形各異,是否都具有上述所概括的 特點？二、課本精講：老師：在練習本上任意畫一個等腰三角形,把它剪下來,折一折,上面得出的結論仍 然成立嗎？由此你能概括出等腰三角形的性質嗎？7 / 13 等腰三角形的特點 : （1）等腰三角形的兩個底角相等；（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合老師：利用試驗操作的方法,我們發(fā)覺并概括出等腰三角形的性質 1 和性質 2 對于 性質 1 ,你能通過嚴格的規(guī)律推理證明這個結論嗎？（1）你能依據(jù)結論畫出圖形,寫出已

19、知、求證嗎？（2）結合所畫的圖形,你認為證明兩個底角相等的思路是什么？（3）如何在一個等腰三角形中構造出兩個全等三角形呢？從剪圖、折紙的過程中你 能獲得什么啟示？已知：如圖,ABC 中, AB =AC求證： B = C你仍有其他方法證明性質 1 嗎？. 可以作底邊的高線或頂角的角平分線 老師：性質 2 可以分解為三個命題,本節(jié)課證明“ 等腰三角 形的底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線” 老師：在等腰三角形性質的探究過程和證明過程中,“ 折痕”“ 幫助線” 發(fā)揮了特別重要的作用,由此,你能發(fā)覺等腰三角形具 有什么特點？等腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的中線（頂角平分線、底 邊上的高）所在直線就

20、是它的對稱軸三、鞏固提高：教科書 77 頁練習 1、2 四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些主要內容？（2）我們是怎么探究等腰三角形的性質的？（3）本節(jié)課你學到了哪些證明線段相等或角相等的方法？五、課后作業(yè)：教科書習題 13.3 第 1 、2、 4、6 題課后反思：13.3 等腰三角形（ 2 ）教案目標：1探究等腰三角形判定定理2懂得等腰三角形的判定定理,并會運用其進行簡潔的證明3明白等腰三角形的尺規(guī)作圖 . 教案重、難點：懂得和運用等腰三角形的判定定理 教案過程：一、問題導入：問題 等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？性質定理的條件是：一個三角形中有兩條邊相等結論

21、：這兩條邊所對的角相等二、課本精講：8 / 13 摸索 性質定理證明方法是什么？作頂角的平分線或底邊上的高或底邊的中線,將一個三角形的問題轉化為兩個全等三 角形來證明兩個角相等問題 一個三角形滿意什么條件是等腰三角形？摸索 1 假如一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊有什么關系？這兩個角所對的邊相等摸索 2 這個命題的題設和結論又分別是什么呢？如何證明這個命題？題設：一個三角形有兩個角相等結論：這兩個角所對的邊相等問題 類比等腰三角形性質定理的證明方法,你能挑選一種來證明這個命題嗎？已知：如圖,在ABC 中, B =C. 求證： AB =AC老師：你仍有其他證明方法嗎？能作底邊 BC

22、上的中線嗎？摸索 等腰三角形的判定方法：假如一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相 等（簡寫成“ 等角對等邊” ）符號語言：在 ABC 中, B = C,AB =AC摸索 與等腰三角形性質進行比較看有什么區(qū)分？例 1 求證：假如三角形一個外角的平分線平行于三角形的一 邊,那么這個三角形是等腰三角形 . 已知： CAE 是 ABC 的外角, 1 = 2, AD BC求證： AB =AC. 例 2 已知等腰三角形底邊長為a ,底邊上的高的長為h ,求作這個等腰三角形. 作法：（1）作線段 AB =a；（2）作線段 AB 的垂直平分線MN ,與 AB 相交于點 D；（3）在 MN 上取一點

23、 C,使 DC =h；（4）連接 AC,BC ,就 ABC 就是所求作的等腰三角形 . 三、鞏固提高：教科書 79 頁練習 1、2、3 、4 四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些內容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？（3）結合本節(jié)課的學習,談談等腰三角形性質和判定的區(qū)分和聯(lián)系五、課后作業(yè)：教科書習題 13.3 第 2 、5 題課后反思：13.3 等腰三角形（ 3 ）9 / 13 教案目標：1探究等邊三角形的性質和判定2能運用等邊三角形的性質和判定進行運算和證明教案重、難點：探究等邊三角形的性質與判定教案過程：一、問題導入：問題 滿意什么條件的三角形是等邊三角形？三條邊都相等的三角形是等邊三

24、角形二、課本精講：請分別畫出一個等腰三角形和 等邊三角形,結合你畫的圖形說出它們有什么區(qū)分和聯(lián)系？聯(lián)系：等邊三角形是特別的等腰三角形；區(qū)分：等邊三角形有三條相等的邊,而等腰三角形只有兩條 . 問題 等腰三角形有哪些特別的性質呢？從邊的角度：兩腰相等；從角的角度：等邊對等角；從對稱性的角度：軸對稱圖形、三線合一摸索 將等腰三角形的性質用于等邊三角形,你能得到什么結論？結合等腰三角形的性質,你能填出等邊三角形對應的結論嗎？圖形邊角軸對稱圖形. 等腰三角形兩邊相等兩底角相等是（三線合一）（定義）（等邊對等角）一條對稱軸等邊三角形三邊相等（定義）對“ 等邊三角形的三個內角都相等,并且每一個角都等于60

25、 ” 這一結論進行證明已知：ABC 是等邊三角形求證： A =B =C =60 證明：ABC 是等邊三角形,BC =AC,BC =AB A =B, A =C A =B = C A +B + C =180 , A =60 A =B = C =60 等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等,并且每一個角都等于 60 . 符號語言： ABC 是等邊三角形, A =B = C =60 摸索 利用所學學問判定,等邊三角形是軸對稱圖形嗎？如是軸對稱圖形,請畫出它 的對稱軸 . 問題 等邊三角形除了用定義（即用邊）來判定以外,能否利用角來判定呢？10 / 13 摸索 1 一個三角形的三個內角滿意什么條件

26、是等邊三角形？摸索 2 一個等腰三角形滿意什么條件是等邊三角形？三個角都相等的三角形或者一個角為 60 的等腰三角形請你將得到的這兩個命題進行證明 . 等邊三角形的判定定理 1：三個角都相等的三角形是等邊三角形符號語言：在 ABC 中, A= B = C , ABC 是等邊三角形等邊三角形的判定定理 2：有一個角為 60 的等腰三角形是等邊三角形符號語言：在 ABC 中,BC =AC, A =60 , ABC 是等邊三角形判定等邊三角形的方法：從邊的角度：等邊三角形的定義；從角的角度：等邊三角形的兩條判定定理等邊三角形的判定定理 1：三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的判定定理 2：有一個角為 60 的等腰三角形例 1 如圖,ABC 是等邊三角形,DE BC , 分別交 AB ,AC 于點 D ,E求證：ADE 是等邊三角形 . 三、鞏固提高：教科書 80 頁練習 1、2 四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了等邊三角形的性質和判定；（2）