多項式理論及多項式除法課件

1、高一數(shù)學(xué)拓展講座第1講：多項式理論及多項式除法一、一元多項式理論 多項式是代數(shù)學(xué)中的一個基本概念，也是代數(shù)式中的一種，對代數(shù)式的研究都要?dú)w結(jié)于對多項式的研究。多項式的恒等變形是解析式恒等變形的基礎(chǔ)，它把數(shù)系的通性推廣到整式，使運(yùn)算對象由具體的數(shù)抽象為一般字母并把運(yùn)算法則、運(yùn)算律抽象成一組形式化符號，形成嚴(yán)密的理論體系，為解代數(shù)方程奠定了理論基礎(chǔ)。（一）一元多項式理論 1、一元多項式的標(biāo)準(zhǔn)形式 多項式理論是方程理論、函數(shù)理論、不等式理論的基礎(chǔ)。2、多項式的恒等定理1：數(shù)域F上的兩個具有相同變數(shù)字母的多項式，如果對于變數(shù)字母的所有取值，這兩個多項式的值都相等，那么稱這兩個多項式是恒等的。 特別地：

2、一個一元n次多項式，如果對于變數(shù)字母的任意取值，以標(biāo)準(zhǔn)形式給出的多項式的值恒為0，那么這個多項式的系數(shù)都等于0，這個多項式稱為0多項式。 定理2：數(shù)域F上以標(biāo)準(zhǔn)形式給出的兩個多項式恒等的充要條件是這兩個多項式的對應(yīng)項分別具有相同系數(shù)的同類項。定理3：數(shù)域F上以標(biāo)準(zhǔn)形式給出的兩個多項式，對于變數(shù)x的n+1個不同的值有相同的取值，那么這兩個多項式恒等。 定理2、定理3是“待定系數(shù)法”的理論依據(jù)。3、多項式的整除 因式分解的理論基礎(chǔ)是因式定理 4、多項式的因式分解 中學(xué)教材規(guī)定：“把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，叫做多項式的因式分解”。要求：“因式分解要進(jìn)行到不能再分解為止?！?高等代數(shù)中規(guī)定因

3、式分解的涵義是：“所謂因式分解是把數(shù)域F上的一個多項式化成幾個既約多項式乘積的形式?！标P(guān)于因式分解理論，有兩個基本問題：（1）怎樣判斷一個多項式是否可約？（2）如果一個多項式是可約的，如何分解？ 對于（1）高等代數(shù)作出了回答：在復(fù)數(shù)域中，一次多項式是既約的，任何次數(shù)大于1的多項式都是可約的；在實數(shù)域中，次數(shù)大于等于3的多項式是可約的；在有理數(shù)域中，情況比較復(fù)雜，具體問題具體討論 。分解因式中的兩個有用的結(jié)論：多項式的長除法Polynomial Long Division 介紹兩個多項式的除法有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；有理函數(shù)中的假分式也可以通過長除法化為多項式與真分式的和。正如假分?jǐn)?shù)可以通過除法化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)之和：例如假分式真分式多項式有理函數(shù)中的假分式也可以通