拉普拉斯變換3課件

1、4.9 二階諧振系統(tǒng)的S平面分析諧振頻率衰減阻尼因子頻率變化影響高品質(zhì)因數(shù) 分析下述二階諧振電路的頻響特性。圖（b)：衰減因數(shù) 諧振頻率 （一）諧振頻率10，則 ，于是極點(diǎn)p1 、p2 非常靠近虛軸當(dāng) 時(shí)的情況 當(dāng) 在 附近時(shí)邊帶帶寬 高帶窄例如：高階系統(tǒng)（極零點(diǎn)靠近虛軸）無損電路，即 很小有非?？拷撦S的零極點(diǎn)有非?？拷撦S的零極點(diǎn)一般結(jié)論：極點(diǎn)靠近j軸 幅頻特性出現(xiàn)峰點(diǎn)，相頻特性迅速減小。 零點(diǎn)靠近j軸 幅頻特性出現(xiàn)谷點(diǎn)，相頻特性迅速上升。 零、極點(diǎn)離j軸遠(yuǎn) 零、極點(diǎn)影響很小。 極點(diǎn)在j軸上 幅頻特性趨于 ，相頻特性出現(xiàn) 跳變。 零點(diǎn)在j軸上 幅頻特性趨于0，相頻特性出現(xiàn) 跳變。 4.10

2、 全通函數(shù)和最小相移函數(shù) 全通函數(shù)（全通網(wǎng)絡(luò)）：幅頻特性為常數(shù)，對于全部頻率的正弦信號都能按同樣的幅度傳輸系數(shù)通過。H(s)的極點(diǎn)位于左半s平面H(s)的零點(diǎn)位于右半s平面零、極點(diǎn)對于j軸互為鏡像。特征用途：用來對系統(tǒng)進(jìn)行相位校正例4-23：下圖示的格形網(wǎng)絡(luò)，寫出網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)H(s)=V2(s)/V1(s), 判別它是否為全通網(wǎng)絡(luò)。 最小相移函數(shù)零點(diǎn)僅位于左半s平面或j軸的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)最小相移函數(shù)可以證明：非最小相移函數(shù)可以表示為最小 相移函數(shù)與全通函數(shù)的乘積。 4.11 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的特性之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵(lì)信號的情況無關(guān)。由于 、 分別反映系統(tǒng)的時(shí)域和復(fù)頻域的特征，因此

3、判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可從時(shí)域或s域兩方面進(jìn)行。從穩(wěn)定性考慮，因果系統(tǒng)可劃分為下述三類系統(tǒng)：穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)（邊界穩(wěn)定系統(tǒng)）有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定系統(tǒng)1定義（BIBO）：一個(gè)系統(tǒng)，如果對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱穩(wěn)定系統(tǒng)。2.判定條件：對所有的激勵(lì)信號e(t)， ，其響應(yīng)r(t)滿足 ，式中 為有界正值，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3.系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是4. 證明(略）因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)時(shí)域、S域判定系統(tǒng)穩(wěn)定性條件（1）穩(wěn)定系統(tǒng) - H(s)的全部極點(diǎn)在左半s開平面，或（2）不穩(wěn)定系統(tǒng) - H(s)有極點(diǎn)在右半s

4、平面，或在虛軸上具有二階或二階以上的極點(diǎn)。時(shí)域中隨t增長，h(t)仍繼續(xù)增長。（3）邊界穩(wěn)定系統(tǒng) - H(s)有一階極點(diǎn)在s平面的虛軸上，其它極點(diǎn)都在左半s平面。時(shí)域中h(t)趨于一個(gè)非零數(shù)值或形成一個(gè)等幅振蕩。為使分類簡化，可以把邊界穩(wěn)定系統(tǒng)也歸為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 注： 判斷H(s)的極點(diǎn)是否全部位于左半s平面，還可以利用勞斯準(zhǔn)則。 對于一階、二階系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：（取等號表示邊界穩(wěn)定） H(s)分母多項(xiàng)式A(s)的系數(shù) 滿足1）解：其中- 反饋系數(shù)例4-25：系統(tǒng)如下圖所示，假定輸入阻抗為無限大，試求： 1）系統(tǒng)函數(shù)2）由H(s)的極點(diǎn)分布判斷A滿足什么條件，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。要使系統(tǒng)穩(wěn)

5、定，須滿足： 即（A=1為邊界穩(wěn)定）4.12 雙邊拉普拉斯變換記作 上面兩式稱為雙邊拉普拉斯變換,為與單邊拉氏變換區(qū)分，用符號 表示?；仡櫍弘p邊拉氏變換的收斂域信號從時(shí)域看，只要 乘以收斂因子后，在 時(shí)，乘積函數(shù)皆為零即可，也就是顯然 若則收斂帶為因?yàn)闉橐粡?fù)平面（s Plane），則收斂域?yàn)?極點(diǎn)極點(diǎn)雙邊拉氏變換收斂域不同原函數(shù)，收斂域不同，也可得到相同的象函數(shù)。1s)()()(2-=tuetutft00的信號，所以收斂域在收斂軸右邊。對F(s)分解因式，找出極點(diǎn)。收斂域中不應(yīng)有極點(diǎn)，最右邊的極點(diǎn)為收斂坐標(biāo)。綜合題1：一連續(xù)線性LTI因果系統(tǒng)的微分方程描述為 已知 , ,由s域求解： (1)零

6、輸入響應(yīng)yzi(t)，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) ，完全響應(yīng)y (t) 。(2)系統(tǒng)函數(shù)H(s)，單位沖激響應(yīng)h(t)并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 綜合題2：已知一連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)并畫出零極點(diǎn)分布圖，寫出描述系統(tǒng)的微分方程、系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)、并判斷系統(tǒng)是否因果穩(wěn)定。 ,激勵(lì)信號x(t)=u(t),綜合題1：一連續(xù)線性LTI因果系統(tǒng)的微分方程描述為 解：已知 , ,由s域求解： (1)零輸入響應(yīng)yzi(t)，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) ，完全響應(yīng)y (t) 。(1)對微分方程兩邊做單邊拉普拉斯變換得 零輸入響應(yīng)的s域表達(dá)式為 進(jìn)行拉普拉斯反變換可得綜合題1：一連

7、續(xù)線性LTI因果系統(tǒng)的微分方程描述為 解：已知 , ,由s域求解： (1)零輸入響應(yīng)yzi(t)，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) ，完全響應(yīng)y (t) 。零狀態(tài)響應(yīng)的s域表達(dá)式為 進(jìn)行拉普拉斯反變換可得 完全響應(yīng)為綜合題1：一連續(xù)線性LTI因果系統(tǒng)的微分方程描述為 解：已知 , ,由s域求解： (2)系統(tǒng)函數(shù)H(s)，單位沖激響應(yīng)h(t)并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 (2) 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，可得進(jìn)行拉普拉斯反變換即得 對于因果系統(tǒng)，由于系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)為-2,-5，在左半s平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。 綜合題2：已知一連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 解：試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)并畫出零極點(diǎn)分布圖，寫出描述系統(tǒng)的微

8、分方程、系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)、并判斷系統(tǒng)是否因果穩(wěn)定。 零狀態(tài)響應(yīng)和激勵(lì)信號的拉氏變換分別為,激勵(lì)信號x(t)=u(t),根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，可得 綜合題2：已知一連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 解：試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)并畫出零極點(diǎn)分布圖，寫出描述系統(tǒng)的微分方程、系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)、并判斷系統(tǒng)是否因果穩(wěn)定。 該系統(tǒng)的零點(diǎn)z= -0.5為，極點(diǎn)為p1= -1, p1= -2，,激勵(lì)信號x(t)=u(t),零極點(diǎn)分布圖 綜合題2：已知一連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 解：試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)并畫出零極點(diǎn)分布圖，寫出描述系統(tǒng)的微分方程、系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)、并判斷系統(tǒng)是否因果穩(wěn)定。 由式可得系統(tǒng)微分方程的s域表達(dá)式 ,激勵(lì)信號x(t)=u(t),兩邊進(jìn)行拉氏反變換，可得描述系統(tǒng)的微分方程為綜合題2：已知一連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 解：試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)并畫出零極點(diǎn)分布圖，寫出描述系統(tǒng)的微分方程、系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)、并判斷系統(tǒng)是否因果穩(wěn)定。 將系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行部分分式展開，有,激勵(lì)信號x(t)=u(t),再進(jìn)行拉氏反變換，可得系統(tǒng)沖激響應(yīng)為由于系統(tǒng)的沖激響應(yīng)滿足 故該系統(tǒng)為因果系統(tǒng) 綜合題