自動控制原理：第三章 控制系統(tǒng)時域分析法

1、第三章 控制系統(tǒng)時域分析法動態(tài)性 3.1 典型系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo) 3.2 增加零、極點(diǎn)對二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響穩(wěn)態(tài)性3.3 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)定性3.4 勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù) 瞬態(tài)響應(yīng)（動態(tài)響應(yīng)） 是指系統(tǒng)的輸出從輸入信號r(t)作用時刻起，到穩(wěn)定狀態(tài)為止，隨時間變化的過程。瞬態(tài)響應(yīng)分析方法： 1. 直接求解法 一階和二階系統(tǒng) 2. 間接評價法 高階系統(tǒng) 3. 計(jì)算機(jī)仿真法 高階系統(tǒng) 3.1 系統(tǒng)的瞬態(tài)（動態(tài)）響應(yīng)及性能指標(biāo)1、階躍信號 3.1.1 典型輸入信號當(dāng)A=1時，則稱為單位階躍信號。2、斜坡信號當(dāng)A=1時，則稱為單位斜坡信號。3、拋物線信號 當(dāng)A =1時，則稱為單位拋物線

2、信號。4、脈沖信號 單位脈沖信號的表達(dá)式為：當(dāng)e 趨于零時就得理想的單位脈沖信號(亦稱d(t) 函數(shù))。其中A為幅值，w =2p/T為角頻率。5、正弦信號 系統(tǒng)的瞬態(tài)性能通常以系統(tǒng)在初始條件為零的情況下，對單位階躍輸入信號的響應(yīng)特性來衡量。3.1.2 系統(tǒng)性能指標(biāo)1、最大超調(diào)量sp響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大值，常以百分比表示，即最大超調(diào)量說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。2. 峰值時間tp響應(yīng)曲線到達(dá)第一個峰值所需的時間，定義為峰值時間。3.延滯時間td響應(yīng)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值50%所需的時間，稱為延滯時間。4. 上升時間tr反映動態(tài)初期的快慢，有2種定義：(1) 響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%所需時間；(2)

3、 響應(yīng)曲線從零開始至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時間。 一般對有振蕩的系統(tǒng)常用“(2)”，對無振蕩的系統(tǒng)常用“(1)”。5. 調(diào)整時間ts響應(yīng)曲線從零開始到進(jìn)入誤差允許范圍內(nèi)所需時間。誤差允許范圍通常用穩(wěn)態(tài)值的絕對百分?jǐn)?shù)給出，如穩(wěn)態(tài)值的95%105%（或98%102%。1、一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3.1.3 瞬態(tài)響應(yīng)分析階躍輸入作用下其中 是開環(huán)時間常數(shù)，K為開 環(huán)放大系數(shù)。開環(huán)傳遞函數(shù)為該一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中(T0)為閉環(huán)系統(tǒng)時間常數(shù)閉環(huán)放大系數(shù)。取C(s)的拉氏反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為r(t)=1(t)或R(s)=1/s，輸出響應(yīng)的拉氏變換為：1）響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值所謂穩(wěn)態(tài)，就是在t時，

4、輸出響應(yīng)的值K越大，c()越 1但K不可能為無窮大，表明系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的時間常數(shù)為2）響應(yīng)的瞬態(tài)過程對響應(yīng)c(t)求導(dǎo)數(shù)單調(diào)下降，即表明在t=0時c(t)變化率最大當(dāng)t= T時，c1(t)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值t = T， c(1T) = 0.632 c()t = 3T， c(3T) = 0.950c()t = 4T， c(4T) = 0.982c()響應(yīng)曲線在經(jīng)過3T（5%誤差）或4T（2%誤差）的時間后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。所以ts=3T （5%誤差）或ts= 4T （2%誤差）3）穩(wěn)定性當(dāng)T0, 系統(tǒng)發(fā)散，不穩(wěn)定結(jié)論：動態(tài)沒有超調(diào)，即sp0；ts3T（95） 或ts4T（98）tr=2.2T （10%

5、到90%）td=0.69T其中當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為正數(shù)（即T1當(dāng) 1為兩個不相等的實(shí)數(shù)根為兩個相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)01時為一對共軛的復(fù)數(shù)根其中稱為有阻尼振蕩頻率當(dāng) 0為一對共軛的虛數(shù)根當(dāng)系統(tǒng)可近似為一階環(huán)節(jié)，極點(diǎn)為實(shí)際上一般誤差精度情況下，當(dāng)1.5時，系統(tǒng)可近似為一階環(huán)節(jié)。 2） z =，稱為臨界阻尼情況 此時系統(tǒng)有兩個相等的實(shí)數(shù)特征根： s1= s 2= -wn 根的分布如圖系統(tǒng)輸出的拉氏變換為取C(s)的拉氏反變換，求得臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為特征：它既無超調(diào)，也無振蕩，是一個單調(diào)的響應(yīng)過程；且一般上升速度比過阻尼快。穩(wěn)態(tài)誤差也為零。響應(yīng)曲線如圖所示，3）0z 1，稱為欠阻尼情況有

6、一對共軛復(fù)數(shù)根式中稱為有阻尼振蕩頻率。單位階躍信號r(t)=1(t)時，系統(tǒng)輸出的拉氏變換為對上式求拉氏反變換，則得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c(t)：令那么根的分布為特征：它是一衰減的振蕩過程；其振蕩頻率就是有阻尼振蕩頻率d；而其幅值則按指數(shù)曲線（響應(yīng)曲線的包絡(luò)線）衰減，兩者均由參數(shù)z和 n決定。系統(tǒng)的誤差為：當(dāng)t時，穩(wěn)態(tài)誤差e ()。s1,2= jwn 4）z =，稱為無阻尼情況系統(tǒng)的特征根為一對共軛虛根，即此時單位階躍響應(yīng)為特征：它是一等幅振蕩過程，其振蕩頻率就是無阻尼自然振蕩頻率wn 。沒有穩(wěn)態(tài)，稱為臨界穩(wěn)定5）z -1時，系統(tǒng)呈振蕩發(fā)散； 當(dāng)z-1時，系統(tǒng)呈指數(shù)發(fā)散； 根據(jù)以上分析，可得不同

7、z值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族,如圖所示。 由圖可見，在特定z值下,欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，所以一般系統(tǒng)大多設(shè)計(jì)成欠阻尼系統(tǒng)。3、欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)1）上升時間tr（從0到100%c()）令c(tr)=1，就可求得結(jié)論：tr與有阻尼振蕩頻率wd成反比。因此wd應(yīng)當(dāng)越大越好。z一定，wn必須加大；若wn為固定值，則z越小，tr也越小。2）峰值時間tp對c(t)求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得到結(jié)論：峰值時間tp與有阻尼振蕩頻率wd成反比； 當(dāng)wn一定, z越小，tp也越小。到達(dá)第一個峰值時，n=1所以3）最大超調(diào)量spt= tp代入上式，可得到最大百分比超調(diào)量結(jié)論：最大百

8、分比超調(diào)量完全由z決定；z越小，超調(diào)量越大。當(dāng)z =時，sp %= 100%，當(dāng)z =時，sp % =。 4） 調(diào)節(jié)時間ts根據(jù)調(diào)節(jié)時間ts的定義其中為誤差范圍是衰減曲線的包絡(luò)線，所以上式可寫為對上式兩邊求自然對數(shù)可得取0.02時，取0.05時，令，如果z 0.9范圍內(nèi)，0.02如果z 0.9范圍內(nèi)，或或二階結(jié)論：如何選取z和wn來滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求，總結(jié)幾點(diǎn)如下： 當(dāng)wn一定，要減小tr和tp，必須減少z值，要減少ts則應(yīng)增大zwn值，而且z值有一定范圍，不能過大。 增大wn ，能使tr ， tp和ts都減少。 最大超調(diào)量sp只由z決定, z越小，sp越大。所以，一般根據(jù)sp 的要求選擇z值，

9、通過調(diào)整系統(tǒng)的n ，改變調(diào)整時間ts ;在實(shí)際系統(tǒng)中，z值一般在0.50.8之間. 例 已知系統(tǒng)的方塊圖如圖所示。要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為p20%，tp1秒。試確定系統(tǒng)的K值和A值，并計(jì)算過渡過程的特征量tr 、 ts值。與具有標(biāo)準(zhǔn)形式的傳遞函數(shù)相比較得首先由給定的p求取相應(yīng)的阻尼比，即由解得0.456及解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其次由已知條件tp1求取無阻尼自然振蕩頻率n，即由解得n 3.53弧度/秒再次由解得K12.5以及由2 n 1KA解得最后計(jì)算得初始條件為零的線性定常系統(tǒng)，在輸入信號r(t)的作用下3.1.4 線性定常系統(tǒng)重要特性重要特性當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的導(dǎo)數(shù)時，系統(tǒng)的輸出為原來輸

10、出的導(dǎo)數(shù)；當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的積分時，系統(tǒng)的輸出為原來輸出的積分；積分常數(shù)由零初始條件決定。其拉氏變換為系統(tǒng)的輸出為若系統(tǒng)的輸入為那么可以利用已求出的階躍響應(yīng)求脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)。以一階系統(tǒng)為例階躍響應(yīng)為脈沖響應(yīng)為斜坡響應(yīng)為線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都不具有此特性。C為積分常數(shù)解出所以斜坡響應(yīng)為3.2 增加零極點(diǎn)對二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響式中q+2l=m，k+2r=n。實(shí)際的控制系統(tǒng)，多數(shù)是高于二階的系統(tǒng)，即高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般可以寫成如下形式將上式寫成為零極點(diǎn)的形式，則高階系統(tǒng)的響應(yīng)是由慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)(二階系統(tǒng))的單位階躍響應(yīng)構(gòu)成;各分量的相對大小由系數(shù)Ci、Ai、和Bi決

11、定；所以了解了各分量及其相對大小，就可知高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。不失一般性，若沒有重極點(diǎn)，則當(dāng)某極點(diǎn)-pi靠近零點(diǎn)，而遠(yuǎn)離其它極點(diǎn)和原點(diǎn)，則相應(yīng)的系數(shù)Ci越?。蝗粢粚α銟O點(diǎn)互相很接近，則在輸出c(t)中與該極點(diǎn)對應(yīng)的分量就幾乎被消除。當(dāng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，各分量的衰減快慢由-pi、 zniwni決定，也即系統(tǒng)極點(diǎn)在S平面左半部離虛軸越遠(yuǎn)，相應(yīng)的分量衰減越快。 各分量所對應(yīng)的系數(shù)決定于系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布。若某極點(diǎn)-pi遠(yuǎn)離零點(diǎn)、越接近其它極點(diǎn)和原點(diǎn)，則相應(yīng)的系數(shù)Ci越大；該瞬態(tài)分量影響也就越大。 系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。結(jié)論： 對于系數(shù)很?。ㄓ绊懞苄。┑姆至俊⑦h(yuǎn)離虛軸衰減很快的分

12、量常常可以忽略，因而高階系統(tǒng)的性能就可用低階系統(tǒng)來近似估計(jì)。將靠近虛軸衰減慢的極點(diǎn)稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。例如以下一個五階系統(tǒng)可近似看成以s1、s2為主導(dǎo)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)。解 系統(tǒng)的傳遞系數(shù)（或靜態(tài)增益）為1，系統(tǒng)零極點(diǎn)在S平面上的分布如圖所示。 主導(dǎo)極點(diǎn)為34j;例 假設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為試分析零點(diǎn)-2.5和極點(diǎn)-6對系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響。結(jié)論1：由于其他零極點(diǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)很近，所以都不能忽略。MATLAB進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果如圖，sp %=54.5%，ts=1.48秒；A: 原三階系統(tǒng)：sp %=37%，ts=1.6秒；B: 忽略極點(diǎn)的系統(tǒng)結(jié)論2：閉環(huán)極點(diǎn)對系統(tǒng)的影響是使超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間稍稍增加。C:

13、 忽略零點(diǎn)的系統(tǒng)sp%=5.5%， ts=1.3秒；結(jié)論3：閉環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)的影響是使超調(diào)量加大，響應(yīng)速度變慢；結(jié)論閉環(huán)極點(diǎn)使超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間稍稍增加。結(jié)論：閉環(huán)零點(diǎn)使超調(diào)量加大，3.3 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差是對系統(tǒng)精度的一種衡量，它表達(dá)了系統(tǒng)反饋值與希望輸出值之間的最終偏差；穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)對典型輸入信號（包括擾動信號）作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；穩(wěn)態(tài)誤差受什么因素影響，如何降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；3.3.1 穩(wěn)態(tài)誤差的概念 1、穩(wěn)態(tài)誤差定義：如圖對于單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差可寫為穩(wěn)態(tài)誤差定義為誤差的定義e(t)誤差信號e(t)與輸入信號r(t)之間的傳遞函數(shù)為根據(jù)終值定理，穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

14、穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)。a當(dāng)輸入信號的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。2、控制系統(tǒng)按積分環(huán)節(jié)數(shù)分類 若控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為說明系統(tǒng)有N個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，或表示在s=0處，有N重極點(diǎn)，因此稱系統(tǒng)為N型系統(tǒng)。當(dāng)N=0， 1， 2，時，則分別稱之為0型、 1型、 2型系統(tǒng) 3.3.2 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算計(jì)算不同參考輸入信號時的穩(wěn)態(tài)誤差1、單位階躍輸入系統(tǒng)參考輸入為單位階躍函數(shù)，R(S)=1/s 令稱Kp為位置誤差系數(shù)對于0型系統(tǒng)：N0開環(huán)放大系數(shù)這種沒有積分環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)，階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一固定值 K愈大，ess愈小 ，稱為有差系統(tǒng) 。對于1型系統(tǒng)或1型以上

15、系統(tǒng)：N1對階躍輸入而言, 1型系統(tǒng)或1型以上系統(tǒng)沒有穩(wěn)態(tài)誤差；0型系統(tǒng)可通過增大K值減小穩(wěn)態(tài)誤差或增加型號數(shù)消除穩(wěn) 態(tài)誤差。2、單位斜坡輸入令稱Kv為速度誤差系數(shù)，此時對于0型系統(tǒng)：N0這種沒有積分環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)，對于等速度輸入(斜坡輸入)不能緊跟，最后穩(wěn)態(tài)誤差為；對于1型系統(tǒng)：N1開環(huán)放大系數(shù)具有單位反饋的1型系統(tǒng)，其輸出能跟蹤等速度輸入，但總有一定誤差；其穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比。對等速度輸入而言,2型系統(tǒng)或2型以上系統(tǒng)沒有穩(wěn)態(tài)誤差；對等速度輸入，要使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差定或?yàn)榱?，必需N1。也即必須有足夠的積分環(huán)節(jié)數(shù)。對于2型系統(tǒng)或2型以上系統(tǒng)：N22、單位拋物線輸入令稱Ka為加速度誤差系數(shù)，此時對于

16、0型或1型系統(tǒng)：N0，10型或1型系統(tǒng)，對于等加速度輸入(拋物線輸入)不能緊跟，最后穩(wěn)態(tài)誤差為；對于2型系統(tǒng)：N2開環(huán)放大系數(shù)具有單位反饋的2型系統(tǒng)，其輸出能跟蹤等加速度輸入，但總有一定誤差；其穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比。對等加速度輸入而言,3型系統(tǒng)或3型以上系統(tǒng)沒有穩(wěn)態(tài)誤差；對等加速度輸入，要使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差定或?yàn)榱悖匦鐽2。也即必須有足夠的積分環(huán)節(jié)數(shù)。對于3型系統(tǒng)或3型以上系統(tǒng)：N3 小結(jié)應(yīng)當(dāng)記住位置誤差、速度誤差和加速度誤差這些術(shù)語意味著穩(wěn)態(tài)時在輸出位置上的偏差。例 已知兩個系統(tǒng)如圖 所示，當(dāng)參考輸入為 時，試分別求出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解 :系統(tǒng)a為1型系統(tǒng)， 其Ka=0，不能跟隨r(t)的

17、3t2分量， 所以 ess= 系統(tǒng)b為2型系統(tǒng)， 其 Ka= K=10/4，所以 ess =6/ Ka= 2.4當(dāng)輸入為階躍、斜坡和拋物線函數(shù)的組合時，拋物線函數(shù)分量要求系統(tǒng)型號最高；計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)按最高階輸入形式計(jì)算。 R(s)C(s)(a)R(s)C(s)(b)3.3.3 主擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差假如主擾動n(t)的作用點(diǎn)如圖所示：例分別計(jì)算當(dāng)r(t)和n(t)為階躍輸入時的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差解：系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，當(dāng)r(t)=1(t)時，穩(wěn)態(tài)誤差為零，即當(dāng)n(t)=1(t)時穩(wěn)態(tài)誤差不為零若當(dāng)n(t)=1(t)時對于擾動的穩(wěn)態(tài)誤差等于零系統(tǒng)還是I型系統(tǒng)，當(dāng)r(t)=1(t)時，對于參考輸入穩(wěn)態(tài)誤差

18、仍然為零，即擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差不僅與積分環(huán)節(jié)有關(guān)；而且還與積分環(huán)節(jié)所在位置有關(guān)。若擾動為階躍函數(shù)n(t)=1(t)，則當(dāng) 擾動作用點(diǎn)以前的系統(tǒng)前向通道傳遞系數(shù)G1(0)越大，由一定擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差就越小。 對于要求無差系統(tǒng)，應(yīng)該擾動作用點(diǎn)以前的G1(s)中包含積分環(huán)節(jié)，才能保證穩(wěn)態(tài)誤差為零。結(jié)論： 關(guān)于降低或消除穩(wěn)態(tài)誤差的問題降低參考輸入引起穩(wěn)態(tài)誤差的措施：增大系統(tǒng)開環(huán)傳遞系數(shù)可減小有差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)數(shù)，使系統(tǒng)型號提高，可消除有差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差； 降低擾動引起穩(wěn)態(tài)誤差的措施：增大擾動作用點(diǎn)以前的前向通道傳遞系數(shù)以降低有差系統(tǒng)由擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差。增加擾動作用點(diǎn)以前

19、的前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)，使系統(tǒng)型號提高，可消除有差系統(tǒng)由擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差；3.4 穩(wěn)定性明確穩(wěn)定性的含義明確線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件勞斯判據(jù)兩種特殊情況如何處理勞斯判據(jù)的應(yīng)用3.4.1 穩(wěn)定性的概念擺的示意圖平衡點(diǎn)“a” 穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；平衡點(diǎn)“d” 不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性與初始位置有關(guān)。運(yùn)動小球平衡點(diǎn)“a”：當(dāng)小球的起始偏差不超出區(qū)域d、e,為穩(wěn)定平衡點(diǎn) 當(dāng)小球的起始偏差超出區(qū)域d、e,為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)所表征的則是在大偏差范圍內(nèi)的不穩(wěn)定特性.穩(wěn)定性是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的，與外界輸入無關(guān)。穩(wěn)定性的定義有很多種，介紹兩種：定義一：在有界輸入的作用下，其輸出響應(yīng)也是有界的。此時系統(tǒng)稱為有界輸

20、入有界輸出穩(wěn)定，簡稱BIBO穩(wěn)定。定義二：就是指系統(tǒng)當(dāng)擾動消失后，若系統(tǒng)能夠恢復(fù)平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若擾動消失后不能恢復(fù)平衡狀態(tài)，而偏差越來越大則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 表征了系統(tǒng)由初始偏差狀態(tài)回復(fù)平衡狀態(tài)的性能。1、穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定性可按齊次微分方程式來分析。這時，在任何初始條件下，若滿足則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(*)2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件假如單輸入單輸出系統(tǒng)是由輸入輸出微分方程式來描述的 設(shè)上式有k個實(shí)根pi (i1，2，k)， r對共扼復(fù)數(shù)根(iji) ，(i=1，2，r)，且k+2r=n，則齊次方程的解的一般式為式中系數(shù)Ai、Bi和Ci由初始條件決定。 若所有pi0，i0(即都是

21、負(fù)數(shù))，則(*)滿足，系統(tǒng)最終能恢復(fù)至平衡狀態(tài)，所以是穩(wěn)定的 ; 或所有pi0，i0，i0，則系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，輸出按指數(shù)曲線衰減； 若pi或i中有一個或一個以上是正數(shù)，則條件式(*)不滿足，t時偏差越來越大，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的; 只要pi中有一個為零，或i中有一個為零(即有一對虛根)，則式(*)不滿足，系統(tǒng)輸出或者為一常值，或者為等幅振蕩，不能恢復(fù)原平衡狀態(tài)。這時稱系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：所有的特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)部。也就是它的所有極點(diǎn)均在S平面的左半部分。3.4.2 勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)1、系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步鑒別 已知系統(tǒng)的特征方程式如下：式中所有系數(shù)

22、均為實(shí)數(shù)；并設(shè)an0，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是所有系數(shù)均為正數(shù) 。如果有負(fù)系數(shù)或零系數(shù)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定設(shè)an.0，各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)。2、勞斯判據(jù)1877年提出的代數(shù)判據(jù) ，無需求解特征方程。 sn an an-2 an-4 sn-1 an-1 an-3 an-5 sn-2 b1 b2 b3 sn-3 c1 c2 c3 sn-2 d1 d2 d3 s1 f1 s0 g1表中直至bi項(xiàng)均為零，再計(jì)算下一行1）列寫勞斯表2）考察勞斯表左端第一列各數(shù)的符號直至ci項(xiàng)均為零；依次計(jì)算，直到算到s0行為止。sn an an-2 an-4 sn-1 an-1 an-3 an-5 sn-2 b1 b2 b3 s

23、n-3 c1 c2 c3 s0 g1線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件是：勞斯行列表左端第一列各數(shù)均為正數(shù)。若各數(shù)均為正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定；若有負(fù)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定；第一列符號變化的次數(shù)，即為右半平面極點(diǎn)的個數(shù)為了數(shù)學(xué)上運(yùn)算簡化，可以將一行中所有各數(shù)均乘一個正整數(shù)，不影響穩(wěn)定性判斷。例 設(shè)有下列多項(xiàng)式：用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。s4 1 3 5s3 2 4 0 s2 1 5 s1 -6 s0 5系統(tǒng)不穩(wěn)定；且有兩個不穩(wěn)定根；s4 1 3 5s3 2 4 0 1 2 s2 1 5 s1 -3 s0 5系統(tǒng)不穩(wěn)定；且有兩個不穩(wěn)定根；例 設(shè)有下列多項(xiàng)式：用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。s4 1 1 1s3 3 3

24、0 s2 0 1 s1 (3-3)/s0 1因?yàn)?3-3)/0,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；且有兩個不穩(wěn)定根；當(dāng)某行第一列元素為零，而其余元素不全為零時，將第一列零元素設(shè)為， 為非常小的正數(shù)。例 設(shè)有下列多項(xiàng)式：用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的不穩(wěn)定根的個數(shù)。s5 1 24 25 s4 2 48 50 s3 0 0 0 s2 24 50s1 112.7 0s0 50只有一個不穩(wěn)定根；當(dāng)某行出現(xiàn)全零行時，將建立輔助多項(xiàng)式。8 96 0出現(xiàn)全零行時意味著存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的極點(diǎn)以全零行上一行系數(shù)建立輔助多項(xiàng)式P(s) 前面三個例子就是已知系統(tǒng)，分析其穩(wěn)定性系統(tǒng)分析； 當(dāng)一個系統(tǒng)某些參數(shù)可調(diào)整，根據(jù)穩(wěn)定性的要求確定參數(shù)范圍系統(tǒng)設(shè)計(jì) ；3、穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn)相對穩(wěn)定性：是指在穩(wěn)定的情況下有多少穩(wěn)定裕量。特征方程的左半平面的根越靠近虛軸穩(wěn)定性越差，穩(wěn)定裕量越小，相對穩(wěn)定性越差；即把虛袖左移a,將上式代入特征式，得以z為變量的新的特征方程式，然后再檢驗(yàn)新特征方程式有幾個根位于新虛軸(垂直線s=-a)的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊(新勞斯行列表第一列均為正數(shù))，則說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量a。可移動s平面的坐標(biāo)軸，然后再應(yīng)用勞斯判據(jù)。