數(shù)值分析引論26課件

1、6 埃爾米特(Hermite)插值Hermite插值問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法 其中互異,為正整數(shù), 給定函數(shù)y =f(x)函數(shù)表及各階導(dǎo)數(shù)表如下尋求m次多項(xiàng)式P(x)使?jié)M足插值條件:Hermite插值問(wèn)題共有m+1個(gè)條件mi,i=0,1,n可相同，亦可不同若記二、mi 不相等的Hermite插值問(wèn)題（例題）一、 mi都相等的Hermite插值問(wèn)題（以 mi=2, i=0,1,n 為例）一、mi都相等的Hermite插值問(wèn)題（以 mi=2, i=0,1,n 為例） 問(wèn)題 函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表已知函數(shù)其中互異,尋求次多項(xiàng)式使?jié)M足插值條件:1. Hermite插值多項(xiàng)式的存在性 第一步, 求Hermite 插值基函

2、數(shù)（用基函數(shù)法構(gòu)造）已知, 求次多項(xiàng)式第一組基函數(shù) （兩組） x x0 x1 xj xnf (x) y0 y1 yj yn x x0 x1 xj xnf (x) 0 0 1 0并估計(jì)誤差.滿足插值條件:2. Hermite插值多項(xiàng)式的唯一性 3. Hermite插值余項(xiàng),于是可令的二重零點(diǎn), (6.3)式求導(dǎo), 得其中C為待定常數(shù),所以 已知由于的二重零點(diǎn), 又由,則有則可令所以求次多項(xiàng)式,使?jié)M足插值條件: 第二組基函數(shù) 于是第二步, 求多項(xiàng)式 （滿足插值條件(6.2)的多項(xiàng)式）另一方面,即(6.5)式是滿足插值條件(6.2)的插值多項(xiàng)式.分別為其中？2. Hermite插值多項(xiàng)式的唯一性為次

3、數(shù)的多項(xiàng)式且滿足條件:及都是滿足Hermite 插值條件(6.2)的解, 則 設(shè)這說(shuō)明都是Q(x)的二重零點(diǎn),個(gè)零點(diǎn), 故, 即即Q(x)共有2n+2定理9 且已知f (x)函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表如果滿足插值條件:，則存在唯一次數(shù)不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式3. Hermite插值余項(xiàng) 定理10為Hermite插值多項(xiàng)式 , 注: 余項(xiàng)公式與拉格朗日余項(xiàng)公式類似; 則公式證明類似.n次拉格朗日插值余項(xiàng)本節(jié)重點(diǎn)： (1)理解H-插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法; (2) 對(duì)較簡(jiǎn)單的mi(i=0,1, ,n)都相等的Hermite插值問(wèn)題，會(huì)由(6.5)式寫出插值多項(xiàng)式、會(huì)求出插值余項(xiàng).證明與拉格朗日余項(xiàng)4. 重要特例:

4、帶導(dǎo)數(shù)的兩點(diǎn)插值 結(jié)論：函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表 問(wèn)題:已知使?jié)M足插值條件:存在且唯一，表達(dá)式為其中求3次多項(xiàng)式 H3(x),余項(xiàng)公式為:二、 mi 不相等的Hermite插值問(wèn)題（例題）例5已知函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表使?jié)M足插值條件：求次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式P3(x)， 分析：解法二，已知三點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)并估計(jì)誤差.1.已知節(jié)點(diǎn)xi (i=0,1,n)的 “連續(xù)” 信息量 解： 過(guò)3點(diǎn)用牛頓插值多項(xiàng)式的形式表示 2次多項(xiàng)式，可確定2次多項(xiàng)式，可節(jié)點(diǎn)，則增加三次項(xiàng)即可.解法一，的2次插值多項(xiàng)式為可由基函數(shù)法直接構(gòu)造插值多項(xiàng)式與余項(xiàng)；(解法二)一、mi都相等的Hermite插值問(wèn)題（以 mi=2, i=0

5、,1,n 為例）先求插值多項(xiàng)式由- 帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式設(shè)所求多項(xiàng)式為重節(jié)點(diǎn)定義重節(jié)點(diǎn)定義 解： 過(guò)3點(diǎn)的2次插值多項(xiàng)式(解法二)先求插值多項(xiàng)式插值余項(xiàng)（誤差估計(jì)）所以插值余項(xiàng) 事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)（作輔助函數(shù)): 設(shè), 其中k(x)為待定函數(shù).則2. 已知某些節(jié)點(diǎn)的信息量?jī)H僅是導(dǎo)數(shù)值補(bǔ)例已知f(x)函數(shù)表及并估計(jì)誤差.分析解法二，解法一，可由基函數(shù)法直接構(gòu)造插值多項(xiàng)式與余項(xiàng)；利用例5解法的思想方法，先構(gòu)造一個(gè)低一階的多項(xiàng)式，然后增加一項(xiàng)得到所求的插值多項(xiàng)式.但該題的條件不同于例5，先求一個(gè)易求的二次多項(xiàng)式，作二次多項(xiàng)式N(x)，可先由條件先求多項(xiàng)式解作二次多項(xiàng)式N(x) ，滿足易知導(dǎo)數(shù)表,在

6、a,b上求三次多項(xiàng)式H(x)，使得(解法二)先求多項(xiàng)式解作二次多項(xiàng)式N(x) ，滿足易知設(shè)易知h(x)是個(gè)三次多項(xiàng)式，且即a是h(x)的一個(gè)三重零點(diǎn)，于是，設(shè) 把上式與(1)式代入(2)式，得(1)(2)上式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)，得因而(3)代入(3)式，得估計(jì)誤差先求首項(xiàng)系數(shù)是1的四次多項(xiàng)式w(x),滿足 因a是w(x)的一個(gè)三重零點(diǎn)，于是令 求二階導(dǎo)數(shù)，得解得從而求余項(xiàng)當(dāng)x=a時(shí)，上式成立； 作輔助函數(shù) 則反復(fù)利用羅爾定理知(4)再由(5)式關(guān)于t 求四階導(dǎo)數(shù)，得 (5)代入(4)式，得本課重點(diǎn)：P.85 9，作業(yè): (1)理解H-插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法； (2)能根據(jù)具體條件求出H-插值多項(xiàng)式及插值余