《理論力學(xué)教案》

1、理論力學(xué)教案理論力學(xué)課程基本信息課程名稱：理論力學(xué)學(xué)時(shí)學(xué)分：每周 4 學(xué)時(shí)，學(xué)分 4予修課程：力學(xué)、高等數(shù)學(xué)使用教材：金尚年、馬永力編著理論力學(xué)，第二版 .，北京：高等教育出版社， 2002 年 7 月，面向 21 世紀(jì)課程教材。教學(xué)參考書：周衍柏 理論力學(xué)教程（第二版），北京：高等教育出版社，1986 年。郭士望 理論力學(xué)上、下冊(cè)，北京：高等教育出版社，1982。梁昆森 力學(xué)上、下冊(cè)，北京：人民教育出版社，1979。教學(xué)方法：課堂講授，啟發(fā)式教學(xué)教學(xué)手段：傳統(tǒng)講授與多媒體教學(xué)相結(jié)合考核方式：閉卷考試占總成績(jī) 70%，平時(shí)作業(yè)成績(jī)占 30%學(xué)生創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的培養(yǎng)方法：在課程講授過程中注意

2、采用啟發(fā)式教學(xué)手段，將基本的概念和規(guī)律講清、講透，而將一些具有推廣性的問題留給學(xué)生思考，以此來提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。并且在課堂講授時(shí)多聯(lián)系實(shí)際的力學(xué)問題，以此來提高 學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。（十）其他要求：每堂課后布置適量的課后作業(yè)并定期批改、檢查和給出成績(jī)，這部分成 績(jī)將占期末總成績(jī)的 30%。緒 論一：理論力學(xué)課程的內(nèi)容：該課程是以牛頓力學(xué)和分析力學(xué)為主要內(nèi)容的力學(xué)理論，是理論物理的第一門課程。是從物理學(xué)的基本經(jīng)驗(yàn)規(guī)律出發(fā)，借助于微積分等數(shù)學(xué)工具， 推導(dǎo)出關(guān)于物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的整體規(guī)律的一門課程。二：理論力學(xué)與力學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系內(nèi)容：理論力學(xué)包括牛頓力學(xué)和分析力學(xué)，是力學(xué)課程

3、的深入和提高；而力 學(xué)課程僅講授牛頓力學(xué)，且研究的深度不及理論力學(xué)。研究手段：力學(xué)是從物理現(xiàn)象出發(fā)，通過歸納總結(jié)出物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。理論力學(xué)是從經(jīng)驗(yàn)規(guī)律出發(fā)，借助于數(shù)學(xué)工具，推導(dǎo)出物質(zhì)運(yùn)動(dòng)所滿足的規(guī)律，并通 過實(shí)踐來檢驗(yàn)該規(guī)律的真?zhèn)?，著重培養(yǎng)學(xué)生理性思維的能力。三：本教材的特點(diǎn)：將牛頓力學(xué)和分析力學(xué)穿插在一起講解，可對(duì)比二者在處理力學(xué)問題 時(shí)各自的優(yōu)缺點(diǎn)，并適當(dāng)增加了分析力學(xué)在這門課中的比重。第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程教學(xué)目的和基本要求：要求學(xué)生了解牛頓運(yùn)動(dòng)定律的歷史地位，掌握牛頓第二定律在常用坐標(biāo)系中的表達(dá)式和使用方法；熟練掌握運(yùn)用運(yùn)動(dòng)微分方程求解并討論力學(xué)問題的方法；理解質(zhì)

4、點(diǎn)系、質(zhì)心、動(dòng)量、角動(dòng)量和能量的概念；熟練掌握三個(gè)基本定理、三個(gè)守恒定律的內(nèi)容和它們的適用條件，以及應(yīng)用它們求解問題的方法步驟；了解研究變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng) 的指導(dǎo)思想和處理方法。教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握牛頓運(yùn)動(dòng)定律，動(dòng)量、角動(dòng)量、能量定理以及運(yùn)用這些定理解決力學(xué) 問題的方法。教學(xué)難點(diǎn)：如何講清牛頓第二定律、三個(gè)守恒定律在具體力學(xué)問題中的應(yīng)用方法。1.1 牛頓的原理奠定了經(jīng)典力學(xué)的理論基礎(chǔ)一：經(jīng)典力學(xué)的理論基礎(chǔ)牛頓于 1687 年發(fā)表的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理，簡(jiǎn)稱原理，是牛頓在總結(jié)伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的。在原理中牛頓提出了著名的力學(xué)三定律和萬有引力定律，并闡述了關(guān)于時(shí)間、空間的基本

5、概念和區(qū)別相對(duì) 運(yùn)動(dòng)和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的思想。在物理學(xué)中將以原理為依據(jù)的力學(xué)稱為經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)。二：經(jīng)典力學(xué)的物質(zhì)觀、時(shí)空觀及運(yùn)動(dòng)觀。1. 物質(zhì)觀、時(shí)空觀及運(yùn)動(dòng)觀在力學(xué)中的重要性。力學(xué)研究的是物體的空間位形隨時(shí)間的變化規(guī)律，因此要建立力學(xué)的理論體系首先就要 對(duì)什么是物質(zhì)、時(shí)間、空間和運(yùn)動(dòng)有科學(xué)的認(rèn)識(shí)和明確的規(guī)定。物質(zhì)觀、時(shí)空觀及運(yùn)動(dòng)觀的發(fā)展歷史：亞里士多德，笛卡爾等。牛頓力學(xué)的物質(zhì)觀、時(shí)空觀及運(yùn)動(dòng)觀。物質(zhì)觀：以古希臘原子論為基礎(chǔ)，認(rèn)為世界是由原子構(gòu)成，原子間的作用力構(gòu)成萬 物的運(yùn)動(dòng)。時(shí)空觀：“絕對(duì)的、真正的、數(shù)學(xué)的時(shí)間自身在流逝著，而且由于其本性而在均勻地，與其他任何事物無關(guān)地流逝著”，即時(shí)間是一

6、維的、均勻的、無限的，與空間和物質(zhì)無關(guān)。牛頓還認(rèn)為在宇宙中存在著絕對(duì)的、三維的、均勻的和各向同性的絕對(duì)空間。在絕對(duì)空間1第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程中可取這樣的坐標(biāo)系：原點(diǎn)靜止于絕對(duì)空間中，坐標(biāo)軸的方向一經(jīng)選定就不再改變，那么這個(gè)坐標(biāo)系就代表了絕對(duì)空間。物體相對(duì)于該坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)即為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。一切相對(duì)于絕 對(duì)空間做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系慣性參考系。（3 ）運(yùn)動(dòng)觀：牛頓第三定律和力學(xué)相對(duì)性原理，它們可以看成是力學(xué)的最高原理。另外 還包括萬有引力定律。此外在原理一書中牛頓還明確定義了動(dòng)力學(xué)理論所必需的一系列完整的輔助概念， 發(fā)明了微積分，將力學(xué)原理與數(shù)學(xué)結(jié)合起來，使力學(xué)成為了嚴(yán)密的科學(xué)理論。三：牛頓運(yùn)動(dòng)三定

7、律1：運(yùn)動(dòng)三定律：第一定律：一個(gè)物體，若沒有外力影響使其改變狀態(tài)，則該物體仍保持其原來靜止的或勻 速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。第二定律：運(yùn)動(dòng)的變化，與所加的力成正比，其方向?yàn)榱ψ饔玫姆较?。第三定律：作用恒與其反作用相等，方向則相反。d ( mv )其中最重要的是第二定律，其原始的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 Fdt dv d 2 r如果將物體質(zhì)量 m 看成常量，上式可改寫為 m F 或 m Fdt dt 2（1.1）（1.2）2：力學(xué)相對(duì)性原理：在一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部的任何力學(xué)實(shí)驗(yàn)，都不能決定這一系統(tǒng)是靜止的還 是在作勻速直線運(yùn)動(dòng)。意義：根據(jù)這一原理，相對(duì)于絕對(duì)空間做勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止的參考系力學(xué)規(guī)律完全相同，這樣將牛頓定律的

8、適用范圍從絕對(duì)空間推廣到慣性系。因牛頓設(shè)想的絕對(duì)空間實(shí)際上是不 存在的，這樣就為牛頓力學(xué)的使用找到了一個(gè)理論依據(jù)。3：伽利略變換。設(shè)參考系 S 和 S均為慣性系且 S相對(duì)于 S 以勻速 u 運(yùn)動(dòng)，那么這兩個(gè)參考系之間的時(shí)空坐標(biāo)的變換關(guān)系為： r r utt t （1.3）將上式代入（1.2）式可見牛頓第二定律在伽利略變換下保持不變，因此力學(xué)相對(duì)性原理又 可表述為：力學(xué)定律對(duì)于伽利略變換保持不變。四：牛頓運(yùn)動(dòng)三定律的局限性：適用于低速宏觀物體。2 第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程五：牛頓的認(rèn)識(shí)論、方法論簡(jiǎn)介：簡(jiǎn)單性，因果性，同一性和真理性。簡(jiǎn)單性：科學(xué)上正確的東西都是簡(jiǎn)單的，如果同一個(gè)問題可用簡(jiǎn)繁不同的方

9、法得到相同的 結(jié)論，應(yīng)該選用簡(jiǎn)單的方法。因果性（決定論）：就是由一定的前因按照自然規(guī)律必然可確定唯一的結(jié)果，反之由一定結(jié)果必然可確定唯一的原因。這在量子力學(xué)出現(xiàn)之前一直是物理學(xué)最牢固的一個(gè)信條。統(tǒng)一性：指原理中所闡述的定律和物質(zhì)觀等在沒有證明它的局限性和錯(cuò)誤性之前應(yīng)該 認(rèn)為它對(duì)整個(gè)自然界都是普遍適用的。真理性：就是承認(rèn)的相對(duì)性和絕對(duì)性。六：本節(jié)重點(diǎn)：了解力學(xué)的發(fā)展歷史，掌握牛頓運(yùn)動(dòng)三定律。1.2 牛頓第二定律在常用坐標(biāo)系中的表達(dá)式牛頓運(yùn)動(dòng)定律的核心是第二定律，本節(jié)將就其數(shù)學(xué)表達(dá)式做深入探討。d ( mv )一：牛頓第二定律： Fdt在經(jīng)典力學(xué)中物體的 m 為常數(shù)，牛頓定律變?yōu)椋?m dv d

10、2 rF , 或m F 。 dt dt 2（2.1） 一般情況下 F 為坐標(biāo)、速度和時(shí)間的函數(shù)，即 F F ( r , r , t )（2.2），所以牛頓第二定律可 進(jìn)一步表示為： mr F (r , r , t )或mdv F ( r , r , t )dt（2.3）此式為二階微分方程，在具體求解力學(xué)問題時(shí)，需要將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)量方程。根據(jù)坐標(biāo)系的 不同，牛頓第二定律有以下表達(dá)式。二：牛頓第二定律在常用坐標(biāo)系中的表達(dá)式：1.直角坐標(biāo)系：空間任一點(diǎn) P 位置可用 x、y、z 三個(gè)參數(shù)來表示，用 i、j、k 分別表示沿 x 軸、y 軸、z 軸的單位矢量，則空間任一點(diǎn) P 的位置矢量可表示為： r x

11、i yj zk（2.4） 進(jìn)一步可得 v r xi yj zk及 a r xi yj zk（2.5）3xrr m( r2r) F r r rm( sin 2 r第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程mxF ( x, y,z; x , y ,z ,t )牛頓第二定律的可表示為： myF ( x, y,z; x , y ,z ,t )ymzF ( x, y,z; x , y ,z ,t ) z（2.6）2.平面極坐標(biāo)系：平面上任一點(diǎn) P 的位置可用參數(shù) r、 來表示。e 和 e 分別表示矢徑 rr 增加方向和極角 增加方向的單位矢量(如圖 1.1），它們的方向隨著 P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而改變，則 位矢 r re （2.9

12、）。由圖 1.1 可將 e 和 e 化為 i、jr 的函數(shù)： e cos i sin j ， e sin i cos j ，進(jìn)一步得erederddedddtddteer（2.7），（2.8）接著可求出 v r re rer （2.10）， a r ( r r2)e ( r2r)er （2.11），牛頓第二定律的可表示為：m( r r2 ) Fr （2.12）3. 球坐標(biāo)：空間任一點(diǎn) P 的位置可用參數(shù) r、 、 來表 示， e 、e 、 e 分別表示 r、 、 三個(gè)參數(shù)增加方r 向的單位矢量 (如圖 1.2），它們的方向隨著 P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 而改變。將 e 、 e 和 e 化為 i 、 j 、

13、 k 的函數(shù)，如r e sin cos i sin sin j cos k ，re coscos i cos sin j sin k e e e sin r i cos j ，進(jìn)一步可求出 e e sin e e ecos e e sin ecos e r ，結(jié)合 r re ,v r re re rsiner r 可得m( r r2 r2 sin 2 ) F牛頓第二定律的可表示為： m( r2rr2sincos ) F r sin 2rcos)F4（2.21） n2tntv2第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程4.柱坐標(biāo)：空間任一點(diǎn) P 的位置可用參數(shù) R、 、z 來表示， e 、e 、 k 分別表示相R

14、應(yīng)的單位矢量(如圖 1.3） 。 e 、e 的方向隨著 P 點(diǎn)R 的運(yùn)動(dòng)而改變，而 k 的大小方向均不變，參考平面極 坐標(biāo)可得： r Re zkR v r re re zkR 牛頓第二定律的表達(dá)式為：（2.23）（2.24）m( RR2) FRm( R2R)FmzFz（2.25）5. 自然坐標(biāo)和內(nèi)稟方程：以上坐標(biāo)系中其單位矢量或者與運(yùn)動(dòng)無關(guān)，或者僅與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)的速度（方向）均無關(guān)。還有一種自然坐標(biāo)，其單位矢量的方向由任一時(shí) 刻速度的方向決定，相應(yīng)的牛頓動(dòng)力學(xué)方程被稱為本性方程或內(nèi)稟方程。（1）平面自然坐標(biāo)：用 e 、e 分別表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的切線和法線方向的單位矢量(如圖t n1

15、.4）， 即 e 與任一時(shí)刻速度 V 同向，顯然 e 、e 二者t t n為變矢量，有 v vet（2.26） de d dds v de 另由 t 及 t e 可得 dt dt ds dt dt dv v a e edt （2.27）進(jìn)一步可得牛頓第二定律的表達(dá)式為： dvm F dtm F n（2.28）（2）空間自然坐標(biāo)：基本概念：密切面：PP 與 PP 所構(gòu)成的極限平面。1 2e ：在密切面內(nèi)沿軌道曲線切線方向的單位矢量，其方向 t沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向。e ：在密切面內(nèi)與 e 垂直的單位矢量，其方向指向曲線 n t的凹側(cè)。52ntnt2n第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程主法線：與 e 同向的法線。 e

16、 ：由 e e 決定的單n b t n位矢量。次法線：與 e 同向的法線。 法平面：由 e 、b ne 構(gòu)成的平面。直切平面：由 e 、e 構(gòu)成的平面。 b t n用 e 、e 、 e 分別表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的切線、主法 t n b線和次法線方向的單位矢量，e 與任一時(shí)刻速度 V 同t向，顯然 e 、e 、 e 三者均為變矢量。t n b 類似于平面自然坐標(biāo)，利用 v ve ,t dvm Fdt v為： m F F 0bde v dv v t e , a e e 得牛頓第二定律的表達(dá)式 dt dt （2.29）（3）適用范圍：適用于運(yùn)動(dòng)軌道已知的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，或用于介質(zhì)阻力不能忽略的運(yùn)動(dòng)。三：本節(jié)重

17、點(diǎn)：掌握直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、平面曲線自然坐標(biāo)系中牛頓 第二定律的分量表達(dá)式。1.3 質(zhì)點(diǎn)系牛頓運(yùn)動(dòng)定律是針對(duì)質(zhì)點(diǎn)提出的，對(duì)于不能看成質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)體系，則必須重新分析討論。一：質(zhì)點(diǎn)系：（1）定義：由兩個(gè)或兩個(gè)以上相互聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的力學(xué)體系為質(zhì)點(diǎn)系， 質(zhì)點(diǎn)間的聯(lián)系體現(xiàn)在質(zhì)點(diǎn)間的相互作用對(duì)發(fā)生作用的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均有影響。（2）實(shí)例：A：太陽九大行星B：m、m通過輕繩聯(lián)系在一起，如圖 1.5。前者是九個(gè)單質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)問題，后者是兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。（3）結(jié)論：A：不能以質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的多少來推斷是否為質(zhì)點(diǎn)系，而應(yīng)該看質(zhì)點(diǎn)之間的作用力是否對(duì)發(fā)生作用的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均有影響。B：內(nèi)力和外力的區(qū)分。

18、6 dpii第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程二：質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)方程1.一般方法：設(shè)有 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成一質(zhì)點(diǎn)系，由牛頓第二定律可得： mr F ( r , r , t ) ，i=1，2.n i i i i（3.1），共 3n 個(gè)標(biāo)量方程。若質(zhì)點(diǎn)系受內(nèi)部或外界的約束共 k 個(gè)，則 F 中會(huì)含由 k 個(gè)未知的約束力 F ，則可得 k 個(gè)i ni 約束方程： f ( r , r , t ) 0j i i，j=1，2.k（3.2）聯(lián)立以上共 3n+k 個(gè)方程可求出 3n+k 個(gè)未知數(shù)。2. 一般方法的困難性和解決方法：以上方法需求解的方程個(gè)數(shù)太多，可借助于動(dòng)量、角動(dòng) 量、能量定理簡(jiǎn)化求解過程。三：本節(jié)重點(diǎn)：正確理解

19、質(zhì)點(diǎn)系的概念和力學(xué)問題的處理方法。1.4 動(dòng)量定理一：動(dòng)量及動(dòng)量定理1.質(zhì)點(diǎn)：定義動(dòng)量為 P=mv，由牛頓第二定律可得動(dòng)量定理為dpdtF ，若 F=0，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量 P=C，即動(dòng)量守恒。注：雖然這里由牛頓第二定律推出動(dòng)量定理，但后者的適用范圍超過前者，所以有些場(chǎng)合 將牛頓第二定律看成動(dòng)量定理的推論。2.質(zhì)點(diǎn)系：（1）動(dòng)量：定義質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為 P p mvS i i（2）動(dòng)量定理：對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量定理可得：dpidt F ( e ) Fi i( i )， i=1，2n.（4.3） 其中 F ( e ) 表示質(zhì)點(diǎn)所受的合外力，F(xiàn) ( i ) 表示質(zhì)點(diǎn)所受的內(nèi)力的合力，且 Fi i i 式共

20、n 個(gè)方程相加在一起，可得：( i )n F ，將（4.3） jij i i F ( e ) F dt( i )（4.4）7 ( i )icsdt第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程 n n 考慮到 F F ，所以上式中 F F 0 ，這樣（4.4）可簡(jiǎn)化為 ji ij i jii j idp s F ( e ) Fdt( e )（4.6）上式即為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，它表示質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化率等于體系所受的的合外力，與內(nèi) 力無關(guān)。二：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒： 在動(dòng)量定理（4.6）式中如果 F ( e ) 0 ，則可得 P C ，即質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量守恒。s當(dāng) F ( e ) x0 得 P C ，即動(dòng)量在某一方向上（如 x

21、 方向）的分量守恒，如發(fā)射炮彈的問題。 sx 當(dāng) F ( e ) 0 時(shí)，則可得 P C ，如碰撞問題。s三：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：1. 質(zhì) 心 ： 定 義 質(zhì) 心 的 位 矢 r 為d( m r )i i則有 P m v m vdts i is Cr cm ri imi m ri ims（ 4.9 ）（4.10）即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可看成將質(zhì)量集中在質(zhì)心上并以質(zhì)心的速度運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所具有的動(dòng)量。 2. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理： dp 將 P m v 代入動(dòng)量定理 ss CF( e )可得 msdvcdtF( e )或m a Fs c( e )（4.11）上式即為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，它說明質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)就象一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一樣，此

22、質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于 質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力等于質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力。四：本節(jié)重點(diǎn)：掌握質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。1.5 角動(dòng)量定理一：.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理 1.角動(dòng)量8 dL dr dp iii ，iiiiii i 第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程定義質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）L 為位矢 r 與動(dòng)量 p mv 的矢量積，即 L r mv （5.1）2.角動(dòng)量定理：dL r F M ，即質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的力矩。 dt推導(dǎo)：由角動(dòng)量的定義式 L=rp，兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得： p r r mv r F ，因 r mv 0 dt dt dtdL 量定理 r F Md

23、t，又定義力矩 M r F ，最終可得角動(dòng)（5.2）3.角動(dòng)量守恒：如果質(zhì)點(diǎn)所受的力矩 M=0，則可得 L=C，即如果質(zhì)點(diǎn)所受的力矩為零， 則其角動(dòng)量守恒。注：M、L 必須是針對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)或慣性系的同一點(diǎn)而言。 4.應(yīng)用：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)，易得 F Fe ， M r F 0 ，則有r L re (mre mre ) mr 2k Cr r 二：.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理1.角動(dòng)量：定義質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量 L 為各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量 L 的矢量和，即 L L r m v 。i i i i2. 角動(dòng)量定理：dL r Fdt( e ) M ( e ) Mi( e )，即質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所

24、受的外力矩之和，與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)。推導(dǎo)：由動(dòng)量的定義式 L L r m v ，兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：i i i idL dr d (m v ) i m v r i r ma r F ( e ) r F ( i ) dt dt dt 考慮到上式中 r F ( i ) r F ( i ) r F ( i ) 0 ，i i i ji i ji最終可得角動(dòng)量定理dLdtj i i 1 j i r F ( e ) M ( e ) i i i（5.5）3. 角動(dòng)量守恒：同質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒一致，當(dāng) M( e )i 0 時(shí)，有 L C ，即角動(dòng)量守恒。以上討論的均是相對(duì)于慣性系的坐標(biāo)原點(diǎn)而言，但在處理實(shí)際的力學(xué)問題

25、時(shí)，往往選取 相對(duì)于某一點(diǎn) P 的 L、M 比選取相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的更方便，下面我們就專門討論這種情況。 4.相對(duì)于慣性系中任一點(diǎn) P 的角動(dòng)量定理9 ppsp Sppp S Pp s c PC iicdt第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程 定義 L rmv ， M rFP i i i P i i( e )，參考圖 1.6 利用 r r ri ip ， L r m v ( rr) m v i i i i p i i L r m v rmv r P Lp i i i i i p SP 同 理 可 得 M ( e ) M r FP PdL M ( e ) 可得：dt( e )， 將 代 入 角 動(dòng) 量 定 理

26、dv dLr m c v P M ( e ) M r FP Pdt dt dL dL v P M 或 v m v Mdt dt( e )（5.6）討論：A：當(dāng) Vp=0 時(shí)，P 為慣性系中的定點(diǎn)，角動(dòng)量的形式不變，dLpdtM 。PB：Vp0，但 Vp 與 Vc 同向，角動(dòng)量的形式不變，dLpdtM 。PC： r rp cdL ，角動(dòng)量的形式不變， C M 。dt三：質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理1.質(zhì)心系：以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)且相對(duì)于慣性系做平動(dòng)的參考系為質(zhì)心系，其坐標(biāo)軸始終平行與慣性系中相應(yīng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，多為理論工作者使用。2.實(shí)驗(yàn)室系：以慣性系為運(yùn)動(dòng)參考的參考系，以前我們所討論的問題均是在實(shí)驗(yàn)室系中

27、討論的，多為 實(shí)驗(yàn)工作者使用。3.質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理：首先定義 r ,v ,L,M dr分別代表質(zhì)心系中的位置矢量，速度，角動(dòng)量，力矩,且有 vdt dr （嚴(yán)格來說應(yīng)為 v ，詳見第五章）， Lrmv，M rF(e) M 。i i i10注： L與 L 是不同的兩概念， L r iic ci iccC2 22iii 2iiiii i第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程 mv ， v 與 v 是不同的速度，前者是質(zhì)點(diǎn)在慣性系c C i i i i i中的速度，而后者是質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)心系中的速度。但是可以證明 L、 L 二者相等。C dr dr dr 證明：因 i i c ，所以有 v v v （5.10） dt

28、 dt dt L r mv r mv r mv L m r vC i i i i i i i i c i i C dL m r 0，所以L L，接著將 c M 中的 L 、 M 用 Ldt， M （5.11）替換掉，最終可得dLdtM 。四 本節(jié)重點(diǎn)：重點(diǎn)掌握慣性系中的角動(dòng)量定理。1.6 能量定理一：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能： T 1 1 mv 2 或 T mv2 22（6.1）2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理： dT dW F dr （6.2），即作用在質(zhì)點(diǎn)上的力 F 所做的元功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。證明：由 T 1 mv 2 等式兩邊求微分可得 2 dT mvdv m dr dv dv m dr ma

29、drdt dt dT F dr一段過程： T dT W 2F dr1 1二：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理1.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能：1 1 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能為所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和，即 T T mv mv ， （6.3）2 2 2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理： dT F ( e ) dr F ( i ) dri i i i 1 dr dv 將動(dòng)能表達(dá)式 T mv 兩邊取微分 dT dT m i dv m i dr ma dr2 dt dt11222 （6.6）2i ii i2iici22i ci ii i c222 V V V 第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程 dT Fi( e )dr Fi i( i )dri（6.4 ）即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等

30、于外力和內(nèi)力所做的元功之和，注：動(dòng)能的增量與體系的內(nèi)力有關(guān)，這一點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量、角動(dòng)量定理有明顯的區(qū)別。 以上我們只證明了動(dòng)能定理對(duì)慣性系成立，對(duì)于質(zhì)心系是否成立需證明。3.寇尼希定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量集中在質(zhì)心并以質(zhì)心的速度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，再加上各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心系運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，即 T 1 m v Ts c（6.5），其中T1 1 m v m v 2 21 證明：由 T mv 及 v v v21 1 可得 T m v m v m v v2 21 T m v Ts c ，其中用到 m v vv m v 0。i i c c i i4.質(zhì)心系中的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)能的增量等于作

31、用于質(zhì)點(diǎn)系的外力和內(nèi)力在質(zhì)心系中所做的元功之和，即 dTFi( e )driFi( i )dri（6.7）1 由 T m vs c2T 兩邊取微分可得 dT m v dv dTs c c ma dr dTs c c另由 dT Fi( e )dr Fi i( i )dr Fi i( e ) (dr drc i)Fi( i ) (dr drc i) dT Fi( e ) dr ( F ( i ) F c i i( e ) dri 聯(lián)立且由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 m a F ( e ) ，可得 dT F ( e ) dr F ( i ) drs c i i i i i三：保守力和勢(shì)能在動(dòng)能定理中有 W 2 F

32、 dr ，因 F F ( r , r , t ) ，因此 W 一般很難直接求出，但可以證1明當(dāng) F 為某一類特殊的力時(shí)，W 可方便的求出。 1.保守力：當(dāng) F 為某一位置函數(shù) V ( r ) 的梯度即 F ( r ) V( r ) 時(shí)，該 F ( r ) 被稱為保守力， 此時(shí) F ( r ) 做功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。 證明：由 F ( r ) V(r ) (i j k ) ，將上式代入 dW F dr 可得 x y zV V V V V V dW ( i j k ) (dxi dyj dzk ) ( dx dy dz ) dV (r ) ，x y z x y z12F dr V ( r )

33、V ( r )r 22dv dm 第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程即 dW dV ( r ) ，兩邊積分可得 W r 00（6.11）說明：可見保守力做功只與始末位置 r 、 r 有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)的具體路徑無關(guān)。0 可證明保守力 F 滿足 F ( r ) 0 。常見的保守力：重力、彈力、萬有引力、庫侖力等。2.勢(shì)能：當(dāng)某位置函數(shù)V ( r ) 滿足 F ( r ) V( r ) （6.9），該函數(shù)V ( r ) 被稱為勢(shì)能。它由發(fā)生相互作用的物體共有，且勢(shì)能為相對(duì)量，當(dāng)給出它的具體數(shù)值時(shí)必須指出勢(shì)能的參考零點(diǎn)。 由 dW Fdr dV ( r ) ，可得 V ( r ) F dr V ( r ) ，013.

34、機(jī)械能守恒：定義動(dòng)能 T 與勢(shì)能 V 之和為機(jī)械能 E，當(dāng)體系僅受保守力作用時(shí)，可證明 此時(shí)機(jī)械能守恒。證明：由 dT F dr dV d (T V ) 0 T V E C （6.13），即機(jī)械能守恒。4.質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能：因勢(shì)能為標(biāo)量，所以質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能為所有質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能之和，即 V V ( r )i i， 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受內(nèi)、外力均為保守力時(shí)，V (F ( i ) F ( e ) ) dr Vi i 01（6.14）5.例：計(jì)算受中心力的兩質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能（從略）四：本節(jié)重點(diǎn)：重點(diǎn)掌握慣性系中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理和寇尼希定理以及保守力、勢(shì)能的概念。1.7 變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程一：變質(zhì)量力學(xué)問題分類1.質(zhì)量隨 t 增加而增

35、加：dmdt0 ，例：雨滴dm2.質(zhì)量隨 t 增加而減?。?0 ，例：火箭dt以上兩類問題均可用動(dòng)量定理推導(dǎo)出的變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程求解。 二：變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程1.運(yùn)動(dòng)方程： m ( v u ) Fdt dt2.推導(dǎo)：t 時(shí)刻：m，v ， p mv1t+ t： m- m、 v v ； m、 u ； p (m - m)( v v) mu213dp p dv m dv dm dpdv dm R rRR rrrr00rr第一章 牛頓動(dòng)力學(xué)方程 p p p (m - m)( v v) mu - mv mv - m( v - u) - mv mv - m( v - u)2 1 lim m lim ( v u )

36、 m ( v u ) ,由牛頓第二定律 F ， dt t 0 t dt t 0 t dt dt dt最終可得 m ( v u ) F （7.1） 即變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程。 dt dt注： v ,u 均是相對(duì)于慣性系的速度，即絕對(duì)速度。dv 3.密斯?fàn)査够匠蹋?m F Fdt（7.3）在上述方程的基礎(chǔ)上，令 v u v 為廢氣相對(duì)于火箭的速度，它與 v 反向。設(shè) e 為火箭r r前進(jìn)方向上的單位矢量，即 e 與 v 同向，則有： v u v ve ，將上式代入變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)r r r dv dm dv dm 方程可得： m v F 或 m F F ，其中 F v e ，為推進(jìn)力。dt dt dt dt結(jié)

37、論：要提高火箭的 v ，需設(shè)法提高 F ，即提高 v 和R rdmdt。三：實(shí)例：設(shè) F 0 ，火箭做直線運(yùn)動(dòng)且 v =C，則有 mrdv dm dv dm v dt dt v mr，設(shè) m m f ( t )且 f ( 0 ) 1 ，則有 0dv df v v ln f C ，令 t=0 時(shí)， v v ，可得： v frv v ln f v v v ln r 0 rm0 v 。m如令 v 0 ，m 0 o為空火箭的質(zhì)量，m為燃料的質(zhì)量，則有 v v lnrmm 0m0m2.3v ln( 1 ) 。m0結(jié)論：（1） v 與 v 成正比（2） v 與rmm0m成正變關(guān)系，且增大 v 比增大 的效

38、果好。m0四：本節(jié)重點(diǎn)：了解變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程，掌握 v 、r1.8 綜合例題（從略）mm0對(duì)提高火箭 v 的影響。掌握例 1、例 2、例 4，了解例 3。本章習(xí)題：1.1、1.4、1.6、1.7、1.10、1.13、1.20、1.24、1.29、1.35、1.37。14k 個(gè)不立坐標(biāo)kk個(gè)第三章 兩體問題第二章 拉格朗日方程教學(xué)目的和基本要求：正確理解各種約束的物理意義，掌握判斷力學(xué)體系自由度的方法和選擇廣義坐標(biāo)的基本原則；能應(yīng)用虛功原理求解處于靜平衡的力學(xué)體系的各類問題；掌握運(yùn)用廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間來表示拉格朗日函數(shù)的方法；能熟練地用理想、完整 體系拉格朗日方程建立力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)微分方程。

39、教學(xué)重點(diǎn)：在理解各種約束、自由度的物理意義的基礎(chǔ)上，熟練掌握應(yīng)用拉格朗日方 程求解力學(xué)問題的方法。教學(xué)難點(diǎn)：約束、自由度的物理意義及拉格朗日方程在力學(xué)問題中的應(yīng)用。2.1 理想約束、達(dá)朗貝爾方程一：牛頓動(dòng)力學(xué)方程的一般解法1. 一般解法：設(shè)有 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，受到 k 個(gè)約束的質(zhì)點(diǎn)系，則有 3n 個(gè)未知的坐標(biāo)（和 k 個(gè)未知約束力，為求解這 3n 個(gè)未知的坐標(biāo)，解方程的一般步驟如下：x , y ,zi i i）牛頓第二定律 3n 個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程+k 個(gè)約束方程 消去k個(gè)未知Fn3n 個(gè)微分方程利用約束方程消去個(gè)獨(dú)的（3n-k）個(gè)微分方程 解出個(gè)未知的（3n-k）獨(dú)立坐標(biāo)利用約束方程解出全部 3n

40、個(gè)未知坐標(biāo)和 k 個(gè)未知約束力。實(shí)例：以圖 1.7 的力學(xué)問題為例（從略）局限性：當(dāng) n、k 的個(gè)數(shù)較大時(shí)，求解方程將十分困難甚至無法完成。因此當(dāng) n 較大時(shí)如果我們能直接寫出（3n+k）個(gè)不含未知約束力和非獨(dú)立坐標(biāo)的方程，求解方程的過程將大大簡(jiǎn)化，。這種方法正是拉格朗日方程所采取的方法，此外拉格朗日方程的物理意義還 超出了力學(xué)的范疇而擴(kuò)展到物理學(xué)別的領(lǐng)域。二：虛位移、約束和虛功1.實(shí)位移和虛位移 實(shí)位移：質(zhì)點(diǎn)按 r r( t ) 力學(xué)規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，在 dt 時(shí)間內(nèi)實(shí)際所發(fā)生的位移，用 dr 表示。15N 1N 2N 1N 2第二章 拉格朗日方程以前我們所討論的位移均為實(shí)位移。虛位移：想象在某一

41、時(shí)刻 t，質(zhì)點(diǎn)所發(fā)生的約束所允許的無限小的位移為虛位移，用 表示。它不是質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移，因而不需要時(shí)間，只要滿足約束條件即可。r 的運(yùn)算法則： 被稱為變分符號(hào)，它作用在坐標(biāo)和函數(shù)上時(shí)與微分符號(hào) d 完全相同，如： ( xy ) xy，(x 2 ) 2xx。但作用于時(shí)間時(shí)為零即 t 0 ，這一點(diǎn)與 d 不同。2.約束：力學(xué)體系在運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的某些規(guī)律，約束在物理上均可用約束方程的形式確 切地表達(dá)出來。例：z=0，限制質(zhì)點(diǎn)在 xy 平面上運(yùn)動(dòng)；z=0 且 x2+y2=0，限制質(zhì)點(diǎn)在 xy 平面上做圓周運(yùn)動(dòng)。 3.實(shí)位移和虛位移地關(guān)系體系受穩(wěn)定約束（約束條件不隨時(shí)間而變化，約束方程中不含時(shí)

42、間 t）時(shí)，實(shí)位移是眾 多虛位移中的一個(gè)。體系受不穩(wěn)定約束（約束方程中含時(shí)間 t）時(shí)，實(shí)位移與虛位移無直接關(guān)系。 三：虛功：（想象的）力 F 在質(zhì)點(diǎn)的虛位移 r 上所做的功為虛功， W F r（1.1）四：理想約束：1.定義：所有約束力（內(nèi)，外約束力）在體系的任意虛位移上所做的虛功之和為零，則這種約束為理想約束?？捎孟率奖磉_(dá)該約束的特點(diǎn)： F Nir 0i（1.2）F 表示第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的內(nèi)、外約束力之和。Ni2.常見的理想約束：（1）質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲面（曲線）運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的約束。 因 F 沿曲面法線方向而 r 沿曲面切線方向即有 F N N（2）質(zhì)量可忽略的剛性桿所連接的兩質(zhì)點(diǎn)。r ，所以 W

43、 F Nr 0 。 如圖 2.3 所示， F , F 為作用在 P 、P 上的約束力，其方向1 2 在 P P 的連線方向上，由牛頓第三定律可得 F F ，因此 1 216 第二章 拉格朗日方程 W F N 1r F 1 N 2r F 2 N 1 r ， r r r P P 。 對(duì) 于 剛 性 桿 因 r 為 常 數(shù) ， 所 以1 2 1 2 r r r F ，最終可得 W F r0N 1 N 1（3）兩個(gè)剛體以光滑表面相接觸。 用 F , F 表示兩個(gè)剛體相互之間的作用力和反作 N 1 N 2 用力，則 F FN 1 N 20 。由于兩個(gè)剛體之間有相對(duì)滑動(dòng)，因此 r r 0 但可以證明 r

44、r在接觸點(diǎn)的公切面1 2 1 2 內(nèi)，而 F , F 垂直于公切面，因此 W F (rr) 0 。N 1 N 2 N 1 1 2（4）兩剛體以完全粗糙的表面相接觸。因剛體在這種約束下只能做純滾動(dòng)，即 v v 0 ，約束條件為 r r 0 ，因此有1 2 1 2 W F N 1r F 1 N 2 r F (rr) 0 2 N 1 1 2（5）兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)以柔軟不可伸長(zhǎng)的繩子相連接?？捎妙愃朴冢?）的方法證明。實(shí)際的力學(xué)體系可看成由剛體和質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，只要相互之間的聯(lián)結(jié)是剛性的，接觸面是光滑或絕對(duì)粗糙的，那么該體系所受的約束都可看成理想約束。如果存在摩擦力 F ，可將其f看成主動(dòng)力，則力學(xué)體系所受的約束仍

45、為理想約束。 五：達(dá)朗貝爾方程： ( F m r ) r 0i i i i 證明：設(shè)體系由 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成， F 為主動(dòng)力， F 為約束力。i Ni（1.4） 由牛頓第二定律： m r F Fi i i Nii=1，2，n將 n 個(gè)方程分別乘以 r 后相加、移項(xiàng)可得 i ( F F m r ) r0 i Ni i i i ( F m r ) r F r0 ( F m r ) r0。最后一步用到了理想約束的 i i i i Ni i i i i i特點(diǎn) F Nir 0 ，在該方程中約束力 F 不再出現(xiàn)。 i Ni六：例：用達(dá)朗貝爾方程寫出圖 1.7 所示力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程（從略）17 第二章 拉

46、格朗日方程七：本節(jié)重點(diǎn)：重點(diǎn)掌握虛位移、虛功、理想約束等物理概念，掌握用達(dá)朗貝爾方程求 解簡(jiǎn)單力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程的方法。2.2 完整約束 廣義坐標(biāo)達(dá)朗貝爾方程中雖然不含 F ，但仍有非獨(dú)立坐標(biāo)，對(duì)于一種完整約束，可在達(dá)朗貝爾Ni方程的基礎(chǔ)上直接寫出不含 F 、非獨(dú)立坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程。Ni一：完整約束 1.定義：約束條件只和體系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) r 有關(guān)，即約束方程中只含 r 和 t，不含 r , r ，i i i i約束方程為 f ( r ,r .r ,t ) 01 2 n例：繞 O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)管中的質(zhì)點(diǎn)，雙單擺（2.1）2.性質(zhì)：理論上可證明，凡是完整約束都可以通過約束方程用代數(shù)的方法將非獨(dú)立

47、坐標(biāo)消 去，每一個(gè)約束方程可以消去一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。如果 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的力學(xué)體系受到 k 個(gè)完整約束，約束方程為f ( r , r .r , t ) 0 j=1，2，k， j 1 2 n獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為 s=3n-k（2.2）（2.3）3.自由度：力學(xué)體系中獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù) s 被稱為體系的自由度。二：非完整約束1.定義：如果體系所受的約束不能由約束方程直接消去非獨(dú)立坐標(biāo)，該約束為非完整約束。 2.分類：非完整約束包括運(yùn)動(dòng)約束（微分約束）和可解約束兩類。 （1）運(yùn)動(dòng)約束：約束方程中除了含有 r 和 t 外還含有 r 關(guān)于時(shí)間 t 的一次或高次導(dǎo)數(shù) r 、i i i18 第二章 拉格朗日方程 r 等

48、，約束方程為 f ( r ,r , r ,t ) 0 。在動(dòng)力學(xué)方程未解出之前，無法通過約束方程將非獨(dú)立 i i i i坐標(biāo)消去。如圖 2.7 輪子在 xy 平面上做曲線純滾動(dòng)，確定輪子在空間的位置需要 x、y、 和自轉(zhuǎn)角 ，但由于受到純滾動(dòng)的約束輪心的速度 v xy和自轉(zhuǎn)角速度 之間存在約束 v r。另由圖 2.8 可得 xv cos, yv sin，將約束方程 v r代入以上兩式可得dx r sin d0 dy r cosd0（2.4）上式表明 4 個(gè)坐標(biāo)中獨(dú)立的坐標(biāo)只有兩個(gè)，但在動(dòng)力學(xué)方程未解出之前，我們無法通過積 分的方法利用（ 2.4 ）式將不獨(dú)立的坐標(biāo)消去。但可證明如果輪子做直線滾

49、動(dòng)即 為常數(shù) 則可以將不獨(dú)立坐標(biāo)消去。（2）可解約束（單面約束）：約束方程中雖不含 r 的微分項(xiàng)，但方程中含有不等式。顯然i由于方程中存在不等式，所以也無法用代數(shù)法通過約束方程消去非獨(dú)立坐標(biāo)，例：用長(zhǎng)為 L 的繩子將質(zhì)點(diǎn)懸掛于固定點(diǎn)，x2+y2+z2L2。這種約束通常將其分為兩種約束，增加一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，這樣可解約束將變?yōu)椴豢山饧s束， 也就是成為了完整約束。綜上所述，非完整約束一般專指微分約束。此外，約束還可根據(jù)約束方程中是否含有時(shí)間 t 將約束分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定約束。三：廣義坐標(biāo)：1.定義：建立一個(gè)力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)方程所需要的獨(dú)立坐標(biāo)被稱為廣義坐標(biāo)。一個(gè)力學(xué) 體系的廣義坐標(biāo)一旦確定了，其在空間的

50、位形也就確定下來。廣義坐標(biāo)與自由度的關(guān)系：完整約束其廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)與自由度個(gè)數(shù)相等。非完整約束其廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)可大于自由度個(gè)數(shù)?？珊?jiǎn)單地認(rèn)為自由度比廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性更強(qiáng)，獨(dú)立的也更徹底。在本書以后的討論中均限于完整約束，所以可認(rèn)為廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)等于自 由度個(gè)數(shù)。2.選取：從理論上講，可選取任意能反映力學(xué)體系位形的相互獨(dú)立的 s 個(gè)變量作為廣義19 ii12sss niiin r d r nnni ii ii in2i iq rni ii i ii i i i第二章 拉格朗日方程坐標(biāo)，不僅僅局限于傳統(tǒng)意義上的反映位置的長(zhǎng)度坐標(biāo)和角度等，如能量 E，動(dòng)量 P 等。3.位形空間：由 s 個(gè)廣義坐標(biāo)所

51、構(gòu)成的一個(gè)抽象的 s 維空間，此空間的任一點(diǎn)代表力學(xué) 體系的一種可能的位形。四：總結(jié)：掌握完整約束和自由度、廣義坐標(biāo)的物理意義。2.3 理想、完整約束體系的拉格朗日方程對(duì)于理想、完整約束體系，在選取合適的廣義坐標(biāo)后可直接由廣義坐標(biāo)寫出體系的動(dòng)力學(xué)方程拉格朗日方程，該方程中是不含 F 、非獨(dú)立坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程。Ni一：理想、完整約束拉格朗日方程：1.推導(dǎo)過程：設(shè)有 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的受 k 個(gè)約束的力學(xué)體系，如所受約束為理想、完整約束， 則廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為 s=3n-k。取 q ，q q 為廣義坐標(biāo)，則有 r r ( q ,q .q ,t )1 2 s r i1riqq ，將其代入達(dá)朗貝爾方程 (

52、 F m r ) r 0 消去 i i i ir 化簡(jiǎn)后可得： i ( F m r ) i i i1 i 1riq q 0 ，因上式中的 q 相互獨(dú)立，要使該式恒成立必有： ni 1 r( F m r ) i 0 ， 1,2.s.q或者寫成m r i ii 1riqQ ， 1,2.s. （3.3）其中Qni 1F iriq， 1,2.s.（3.4）， Q 被稱為廣義力，與廣義坐標(biāo) q 相對(duì)應(yīng)。 方程（3.3）左邊可變成： m r i ( m r i ) m r q dt qi 1 i 1 i 1riq（3.5）另由 T i11 rm r i2 qTT( q ,q .q ,q ,q .q ,t

53、) 可得： i 1 2 s 1 2 sm r i ， qi 1 又因 n r r r r r i q i i iq t t t i1 T n r n r 可得 i m r i m r iq q q i1 i1 （3.8）T n r 另有 i m r iq q i 1 （3.9）20 r n rniii ii i i，in第二章 拉格朗日方程 將（3.8）、（3.9）代回（3.5）式消去 m r i 和mr i 可得：q qi1 i1 ni1 r d T T m r i ( ) q dt q q ，再將結(jié)果代入（3.3）可得理想、完整約束拉格朗日方程。d T T n 2.結(jié)論： ( ) Q ,

54、其中 Q F dt q q i 1riq， 1,2.s.（3.10）該方程是由 s 個(gè)二階微分方程構(gòu)成的微分方程組。 二 保守體系的拉格朗日方程：1.方程：對(duì)于保守體系， Q 可進(jìn)一步化簡(jiǎn)如下： Fi V(r )i n r n V( r ) r Q F i i i q r qi 1 i 1 i i 1V( r ) Vi q q （3.11）將上式代入理想、完整約束拉格朗日方程（3.10）式可得：d T T V ( ) dt q q q d (T V ) (T V ) ( ) 0dt q q ，令 LTV L ( q , q , t ) （3.13）L 稱為拉格朗日函數(shù)，則上式可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：d

55、 L L ( ) 0dt q q ， 1,2.s.（3.12）（3.12）為保守體系的拉格朗日方程，有些教材將其稱為第二類拉格朗日方程，它在力 學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，在分析力學(xué)中占有重要的地位。2.討論：（1）方程中的 L、T、V 為廣義坐標(biāo) q 和廣義速度 q 的函數(shù)，在應(yīng)用方程時(shí)，首先需將 L、T、V 化成 q 、 q 的函數(shù)。該方程只適用于理想、完整約束的保守體系。保守體系：傳統(tǒng)定義 所有內(nèi)力與外力均為保守力，或內(nèi)力雖不是保守力，但所有 內(nèi)力所做的功的和為零。分析力學(xué)的定義理想、完整約束下，只要主動(dòng)力為保守力，這樣的體系均為保守體系。從兩種定義的比較可知，后者是對(duì)傳統(tǒng)定義的擴(kuò)展。對(duì)于理想、

56、完整體系而言其約束力可能是非保守力，在受不穩(wěn)定約束時(shí)雖然約束力的實(shí)功之和不為零，但約束力的虛功之和仍為零，保守體系的拉格朗日方程仍成立，所以這樣的力學(xué)體系在分析力學(xué)中也被成為 保守體系。21Vi非第二章 拉格朗日方程n （4）非保守體系：將非保守力部分用 Q F i非i 1riq表示，而將保守力部分仍用 表q示，理想、完整約束拉格朗日方程（3.10）式可表達(dá)為：d L L n ( ) Q , 其中 Q F dt q q i 1riq，1,2.s.（3.14）三：拉格朗日方程與牛頓方程的區(qū)別與聯(lián)系1. 拉格朗日方程用廣義坐標(biāo) q列出 s=3n-k 個(gè)動(dòng)力學(xué)方程，較牛頓方程列出的 3n+k 個(gè)方程

57、更為簡(jiǎn)捷。2. 拉格朗日方程從能量的角度分析力學(xué)問題，而牛頓方程從受力的角度分析問題，顯然能量的數(shù)學(xué)處理比力 F 的處理簡(jiǎn)單，更重要的是能量的概念貫穿與物理學(xué)的所有領(lǐng)域，因此 拉格朗日方程的應(yīng)用也得以推廣。3.對(duì)簡(jiǎn)單的力學(xué)問題而言，用牛頓方程比用拉格朗日方程更簡(jiǎn)單、直接。四：解題步驟：解題之前要正確劃分體系與外界，進(jìn)而判定所研究的體系是否為理想、完整保守體系。根據(jù)體系所含質(zhì)點(diǎn)數(shù) n 和所受約束的個(gè)數(shù) k 來判定自由度的個(gè)數(shù) s=3n-k，也可由經(jīng)驗(yàn)直接判定自由度的個(gè)數(shù)，然后選取合適的廣義坐標(biāo)q ,q .q1 2 s。將動(dòng)能 T、勢(shì)能 V 或拉格朗日函數(shù) L 表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)后代入拉格朗日方

58、程，可得 s 個(gè)動(dòng)力學(xué)方程。求解這 s 個(gè)動(dòng)力學(xué)方程可確定所有的廣義坐標(biāo)。：例題（從略）：本節(jié)重點(diǎn)：掌握理想、完整約束保守體系拉格朗日方程及其適用條件，會(huì)用該方程求 解一般的力學(xué)問題。2.4 拉格朗日方程對(duì)平衡問題的應(yīng)用一：靜力學(xué)問題：當(dāng)力學(xué)體系相對(duì)于慣性系靜止時(shí)，我們就說該體系處于力學(xué)平衡，這類22N可得： i第二章 拉格朗日方程問題為靜力學(xué)問題，主要分為兩類。已知主動(dòng)力，求體系平衡時(shí)的位置。已知體系的平衡位置，求體系各部分之間的約束力 F 。上述第一類問題用拉格朗日方程求解很方便，第二類問題可結(jié)合拉格朗日方程、牛頓方程 求解。二：拉格朗日平衡方程：當(dāng)體系平衡時(shí)其動(dòng)能 T 恒為零，則T T，

59、 均為零。根據(jù)理想、完整約束拉格朗日方 q q 程（3.10）式d T T n ( ) Q Q F dt q q i 1riq0，1,2.s.（4.1）對(duì)于保守體系則有：Vq0，1,2.s.（4.2）：例題（從略）：重點(diǎn)掌握：掌握用拉格朗日平衡方程求解力學(xué)平衡問題的一般方法。2.7 對(duì)稱性和守恒定律一：力學(xué)中的守恒定律：1.牛頓力學(xué)：利用動(dòng)量、角動(dòng)量、能量守恒定律來取代牛頓動(dòng)力學(xué)方程的全部或其中的一 部分，可直接得到一階的微分方程，而牛頓動(dòng)力學(xué)方程為二階微分方程。例：質(zhì)點(diǎn)在有心力、萬有引力作用下的力學(xué)問題。2.分析力學(xué)中的守恒量運(yùn)動(dòng)積分eq oac(,1)運(yùn)動(dòng)積分：具有 s 個(gè)自由度的力學(xué)體系

60、，如果 q ， q 的某個(gè)函數(shù)在力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)過程中保持不變，則該函數(shù)被稱為運(yùn)動(dòng)積分。理論上可用這些運(yùn)動(dòng)積分取代拉格朗日方程的全部或其中的一部分，類似于牛頓力學(xué)中用動(dòng)量、角動(dòng)量、能量守恒定律來取代牛頓動(dòng) 力學(xué)方程。eq oac(,2)s 個(gè)自由度的力學(xué)體系最多具有（2s-1）個(gè)運(yùn)動(dòng)積分。23aaaaaaa eq oac(,。)第二章 拉格朗日方程證明：任一時(shí)刻體系的拉格朗日函數(shù)為 L (q , q , t ) ，所以體系的狀態(tài)可由 2s 個(gè)變量 q , q決定，一般情況下有q q (t , c , c ,.c ) 1 2 2 sq q (t , c , c ,.c ) 1 2 2 s1,2.