新高考一輪復(fù)習(xí)人教版　二項(xiàng)分布與正態(tài)分布 作業(yè)

1、11.3二項(xiàng)分布與正態(tài)分布基礎(chǔ)篇固本夯基考點(diǎn)一條件概率、相互獨(dú)立事件及二項(xiàng)分布、全概率公式1.(2022屆長沙長郡中學(xué)月考,7)某電視臺的夏日水上闖關(guān)節(jié)目一共有三關(guān),第一關(guān)與第二關(guān)的過關(guān)率分別為23,34,只有通過前一關(guān)才能進(jìn)入下一關(guān),每一關(guān)都有兩次闖關(guān)機(jī)會,且通過每關(guān)相互獨(dú)立.一選手參加該節(jié)目,則該選手能進(jìn)人第三關(guān)的概率為()A.12B.56C.89D.1516答案B2.(2022屆武漢部分學(xué)校質(zhì)檢,5)在一次試驗(yàn)中,隨機(jī)事件A,B滿足P(A)=P(B)=23,則()A.事件A,B一定互斥B.事件A,B一定不互斥C.事件A,B一定互相獨(dú)立D.事件A,B一定不互相獨(dú)立答案B3.(2021新高考

2、,8,5分)有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則()A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立答案B4.(2018課標(biāo),8,5分)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),DX=2.4,P(X=4)P2,甲通過自主招生初試的可能性更大.(2)由題意可知,乙答對題的個數(shù)X的可能

3、取值為0,1,2,3,4,XB4,34,P(X=k)=C4k34k144-k(k=0,1,2,3,4)且Y=5X,故Y的分布列為Y05101520P125636427128276481256E(Y)=E(5X)=5E(X)=5434=15,D(Y)=D(5X)=52D(X)=254341-34=754.(2022屆山東濰坊階段測,20)智能體溫計(jì)測溫方便、快捷,已經(jīng)逐漸代替水銀體溫計(jì)應(yīng)用于日常體溫測量.調(diào)查發(fā)現(xiàn),使用水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果與人體的真實(shí)體溫基本一致,而使用智能體溫計(jì)測量體溫可能會產(chǎn)生誤差.對同一人而言,如果用智能體溫計(jì)與水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果相同,我們認(rèn)為智能體溫計(jì)“測溫準(zhǔn)確”;否則,我

4、們認(rèn)為智能體溫計(jì)“測溫失誤”.現(xiàn)在某社區(qū)隨機(jī)抽取了20人用兩種體溫計(jì)測量體溫,數(shù)據(jù)如下:序號智能體溫計(jì)測溫()水銀體溫計(jì)測溫()序號智能體溫計(jì)測溫()水銀體溫計(jì)測溫()0136.636.61136.336.20236.636.51236.736.70336.536.71336.236.20436.536.51435.435.40536.536.41535.235.30636.436.41635.635.60736.236.21737.237.00836.336.41836.836.80936.536.51936.636.61036.336.42036.736.7 (1)試估計(jì)用智能體溫計(jì)測量該

5、社區(qū)1人“測溫準(zhǔn)確”的概率;(2)從該社區(qū)中任意抽查3人用智能體溫計(jì)測量體溫,設(shè)隨機(jī)變量X為使用智能體溫計(jì)“測溫準(zhǔn)確”的人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析(1)題表20人的體溫?cái)?shù)據(jù)中,用智能體溫計(jì)與水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果相同的序號是01,04,06,07,09,12,13,14,16,18,19,20,共有12個,由此估計(jì)所求概率為1220=35.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.由(1)可知,用智能體溫計(jì)測量該社區(qū)1人“測溫準(zhǔn)確”的概率為35.所以P(X=0)=C303501-353=8125,P(X=1)=C313511-352=36125,P(X=2)=C323521-351=

6、54125,P(X=3)=C333531-350=27125,所以X的分布列為X0123P8125361255412527125故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=08125+136125+254125+327125=225125=95.14.(2019課標(biāo),18,12分)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成1010平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方1010平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲獲勝

7、”的概率.解析(1)X=2就是1010平后,兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束,則這2個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲獲勝,就是1010平后,兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束,且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.考點(diǎn)二正態(tài)分布1.(2022屆河北邢臺9月聯(lián)考,6)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3,4),若P(2c+1)=P(2c-1),則c的值為()A.32B.2C.1D.12答案A2.(2021廣東深圳一模,5)

8、已知隨機(jī)變量N(,2),有下列四個命題:甲:P(P(a+2).乙:P(a)=0.5.丙:P(a)=0.5.丁:P(aa+1)P(a+10)=0.9,則P(22a-5)=P(a+3),求a的值;(2)在(1)的條件下,為此次參加問卷調(diào)查的市民制訂如下獎勵方案:得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi);每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:贈送話費(fèi)的金額(單位:元)2050概率3414現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析(1)由題意得302+4013+5021+6025+7024+8011+904100=60.

9、5,=60.5.由題意得2a-5+a+3=260.5,解得a=41.(2)由題意知P(0,P(B)0,則下列說法正確的是()A.P(B|A)+P(B|A)=P(A)B.P(B|A)+P(B|A)=1C.若A,B獨(dú)立,則P(A|B)=P(A)D.若A,B互斥,則P(A|B)=P(B|A)答案BCD考法二n重伯努利試驗(yàn)及二項(xiàng)分布問題的求解方法1.(2021廣東深圳外國語學(xué)校月考,5)某同學(xué)進(jìn)行3分投籃訓(xùn)練,若該同學(xué)投中的概率為12,他連續(xù)投籃n次至少得到3分的概率大于0.9,那么n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案B2.(2020遼寧葫蘆島興城高級中學(xué)模擬)一個袋中有大小、形狀相同的小球,

10、其中紅球1個、黑球2個,現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球,當(dāng)有放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為1;當(dāng)無放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為2,則()A.E(1)E(2),D(1)D(2)C.E(1)=E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)答案B3.(多選)(2022屆山東濟(jì)寧一中開學(xué)考,11)某單位舉行建黨100周年黨史知識競賽,在必答題環(huán)節(jié)共設(shè)置了5道題,每道題答對得20分,答錯扣10分(每道題都必須回答,但相互不影響).設(shè)某選手每道題答對的概率均為23,其必答題環(huán)節(jié)的總得分為X,則()A.該選手恰好答對2道題的概率為49B.E(X)=50C.D(X)=1003D.P(X60)=112

11、243答案BD4.(2017課標(biāo),13,5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=.答案1.965.(2022屆山東濟(jì)寧一中開學(xué)考試,21)由于抵抗力差的人感染新冠肺炎的可能性相對更高,特別是老年人群體,因此某社區(qū)在疫情控制后,及時給老年人免費(fèi)體檢,通過體檢發(fā)現(xiàn)“高血糖,高血脂,高血壓”,即“三高”老人較多.為此社區(qū)根據(jù)醫(yī)生的建議為每位老人提供了一份詳細(xì)的健康安排表,還特地建設(shè)了一個老年人活動中心,老年人每天可以到該活動中心去活動,以增強(qiáng)體質(zhì).通過統(tǒng)計(jì)每周到活動中心運(yùn)動的老年人的活動時間,得到了以下頻率分布直方圖.(1

12、)從到活動中心參加活動的老年人中任意選取5人.若將頻率視為概率,求至少有3人每周活動時間在8,9)(單位:h)的概率;若抽取的5人中每周活動時間在8,11(單位:h)的人數(shù)為2人,從5人中選出3人進(jìn)行健康情況調(diào)查,記3人中每周活動時間在8,11(單位:h)的人數(shù)為,求的分布列和期望;(2)將某人的每周活動時間量與所有老年人的每周平均活動時間量比較,當(dāng)超出所有老年人的每周平均活動時間量不少于0.74h時,稱該老年人為“活動愛好者”,從參加活動的老年人中隨機(jī)抽取10人,且抽到k人為“活動愛好者”的可能性最大,試求k的值.(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)解析(1)由題圖可知,從到活動中心參加活動的老

13、年人中任意選取1人,每周活動時間在8,9)(單位:h)的概率為25.記“至少有3人每周活動時間在8,9)(單位:h)”為事件A,則P(A)=C532531-252+C542541-25+C55255=9923 125.隨機(jī)變量所有可能的取值為0,1,2,P(=0)=C33C53=110,P(=1)=C32C21C53=35,P(=2)=C31C22C53=310,則的分布列如下:012P11035310故E()=0110+135+2310=65.(2)老年人的每周活動時間的平均值為6.50.06+7.50.35+8.50.4+9.50.15+10.50.04=8.26(h),則老年人中“活動愛

14、好者”的活動時間為9,11(單位:h),參加活動的老年人中為“活動愛好者”的概率為p=0.19,若從參加活動的老年人中隨機(jī)抽取10人,且抽到X人為“活動愛好者”,則XB(10,0.19),若k人的可能性最大,則P(X=k)=C10kpk(1-p)10-k,k=0,1,2,3,10,由題意有P(X=k)P(X=k-1),P(X=k)P(X=k+1),即C10k(0.19)k(0.81)10-kC10k-1(0.19)k-1(0.81)11-k,C10k(0.19)k(0.81)10-kC10k+1(0.19)k+1(0.81)9-k,解得1.09k2.09,由kN*,得k=2.6.(2022屆廣

15、東汕頭金山中學(xué)期中,19)如圖,李先生家住H小區(qū),他工作在C科技園區(qū),從家開車到公司上班路上有L1、L2兩條路線,L1路線上有A1、A2、A3三個路口,各路口遇到紅燈的概率均為12;L2路線上有B1、B2兩個路口,各路口遇到紅燈的概率依次為34,35.(1)若走L1路線,求最多遇到1次紅燈的概率;(2)若走L2路線,求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(3)按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求,請你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條較好的上班路線,并說明理由.解析(1)設(shè)“走L1路線最多遇到1次紅燈”為事件A,則P(A)=C30123+C31121-122=12,所以走L1路線,最多遇到1次紅燈的概率為

16、12.(2)依題意,X的可能取值為0,1,2.P(X=0)=1-341-35=110,P(X=1)=341-35+1-3435=920,P(X=2)=3435=920.隨機(jī)變量X的分布列為X012P110920920所以E(X)=0110+1920+2920=2720.(3)設(shè)選擇L1路線遇到紅燈次數(shù)為Y,隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布YB3,12,所以E(Y)=312=32.因?yàn)镋(X)E(Y),所以選擇L2路線上班較好.7.(2019天津,16,13分)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.(1)用X表示甲

17、同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.解析(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立,且每天7:30之前到校的概率均為23,故XB3,23,從而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P1272949827隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=323=2.(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則YB3,23,且M=X=3,Y=1X=2,Y=0.由題意知事件X

18、=3,Y=1與X=2,Y=0互斥,且事件X=3與Y=1,事件X=2與Y=0均相互獨(dú)立,從而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=82729+49127=20243.8.(2018課標(biāo),20,12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p0;當(dāng)p(0.1,1)時,f(p)400,故應(yīng)該對

19、余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).考法三正態(tài)分布問題的求解方法1.(2022屆江蘇蘇州調(diào)研,3)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0,1),如果P(1)=0.84,則P(-10)=()A.0.34B.0.68C.0.15D.0.07答案A2.(2022屆江蘇徐州期中,5)某單位招聘員工,先對應(yīng)聘者的簡歷進(jìn)行評分,評分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試環(huán)節(jié),現(xiàn)有1000人應(yīng)聘,他們的簡歷評分X服從正態(tài)分布N(60,102),若80分及以上為達(dá)標(biāo),則估計(jì)進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)為()(附:若隨機(jī)變量XN(,2),則P(-X+)0.6827,P(-2X+2)0.9545,P(-3X0)=12D.P(X2)=12答案AC4.(2022屆河北9月開學(xué)

20、摸底聯(lián)考,7)含有海藻碘濃縮液的海藻碘鹽,是新一代的碘鹽產(chǎn)品.海藻中的碘80%為無機(jī)碘,10%20%為有機(jī)碘,海藻碘鹽兼?zhèn)錈o機(jī)碘和有機(jī)碘的優(yōu)點(diǎn).某超市銷售的袋裝海藻碘食用鹽的質(zhì)量X(單位:克)服從正態(tài)分布N(400,4),某顧客購買了4袋海藻碘食用鹽,則至少有2袋的質(zhì)量超過400克的概率為()A.1116B.34C.58D.516答案A5.(2022屆(新高考)第一次月考,19)數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個組成部分,數(shù)學(xué)建模能力是應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的重要表現(xiàn).為全面推動數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展,某學(xué)校舉行了一次數(shù)學(xué)建模競賽活動,已知該競賽共有60名學(xué)生參加,他們成績的頻率分布直方圖如圖.(1)為

21、了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,將60分以下的成績定為不合格,60分以上(含60分)的成績定為合格.為科學(xué)評估該校學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平,決定利用分層隨機(jī)抽樣的方法從這60名學(xué)生中選取10人,然后從這10人中抽取4人參加座談會.記為抽取的4人中,成績不合格的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競賽成績X服從正態(tài)分布N(,2),其中可用樣本平均數(shù)近似代替,2可用樣本方差近似代替(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),若成績在46分以上的學(xué)生均能得到獎勵,本次數(shù)學(xué)建模競賽滿分為100分,試估計(jì)此次競賽受到獎勵的人數(shù).(結(jié)果根據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位)若隨機(jī)變量XN(,2),則P(-X+)0.6827,

22、P(-2X+2)0.9545,P(-3X+3)0.9973.解析(1)由題中頻率分布直方圖和分層隨機(jī)抽樣的方法,可知抽取的10人中合格的人數(shù)為(0.01+0.02)2010=6,不合格的人數(shù)為10-6=4.因此,的可能值為0,1,2,3,4,P(=0)=C64C104=114,P(=1)=C41C63C104=821,P(=2)=C42C62C104=37,P(=3)=C43C61C104=435,P(=4)=C44C104=1210.故的分布列為01234P114821374351210所以的數(shù)學(xué)期望E()=0114+1821+237+3435+41210=85.(2)由題意可知,=(300

23、.005+500.015+700.02+900.01)20=64,2=(30-64)20.1+(50-64)20.3+(70-64)20.4+(90-64)20.2=324,所以=18.由X服從正態(tài)分布N(,2),得P(64-18X64+18)=P(4682)=12(1-0.6827)=0.15865,P(X46)=0.6827+0.15865=0.84135,600.8413550,所以估計(jì)此次競賽受到獎勵的人數(shù)為50.6.(2022屆遼寧渤海大學(xué)附中考試,20)隨著我國國民消費(fèi)水平的不斷提升,進(jìn)口水果受到了人們的喜愛,世界各地鮮果紛紛從空中、海上匯聚中國:泰國的榴蓮、山竹、椰青,厄瓜多爾的

24、香蕉,智利的車?yán)遄拥人哌M(jìn)了千家萬戶.某種水果按照果徑大小可分為五個等級:特等、一等、二等、三等和等外.某水果進(jìn)口商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取500個,利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下:等級特等一等二等三等等外個數(shù)501002506040 (1)若將樣本頻率視為概率,從這批水果中隨機(jī)抽取6個,求恰好有3個水果是二等級別的概率;(2)若水果進(jìn)口商進(jìn)口時將特等級別與一等級別的水果標(biāo)注為優(yōu)級水果,則用分層隨機(jī)抽樣的方法從這500個水果中抽取10個,再從抽取的10個水果中隨機(jī)抽取3個,Y表示抽取的優(yōu)級水果的數(shù)量,求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望E(Y).解析(1)設(shè)從500個水果中隨機(jī)抽取一個,抽到二等級

25、別水果的事件為A,則P(A)=250500=12,隨機(jī)抽取6個,設(shè)抽到二等級別水果的個數(shù)為X,則XB6,12,所以恰好抽到3個二等級別水果的概率為P(X=3)=C63123123=516.(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從500個水果中抽取10個,其中優(yōu)級水果有3個,非優(yōu)級水果有7個.則Y所有可能的取值為0,1,2,3.P(Y=0)=C73C103=724,P(Y=1)=C72C31C103=2140,P(Y=2)=C71C32C103=740,P(Y=3)=C33C103=1120.所以Y的分布列為Y0123P72421407401120所以E(Y)=0724+12140+2740+31120=9

26、10.7.(2017課標(biāo),19,12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數(shù),求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:9.9510.129.9