2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換課時(shí)訓(xùn)練新人教A版必修4

1、PAGE PAGE 123.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換1半角的正弦、余弦、正切公式（1）半角的正弦公式在公式中用來(lái)代替，得到公式，即_.（2）半角的余弦公式在公式中用來(lái)代替，得到公式，即_.（3）半角的正切公式由于，則_.上述三個(gè)式子稱為半角公式（不要求記憶），符號(hào)由所在象限決定.2三角函數(shù)的積化和差、和差化積公式（1）積化和差公式；.（2）和差化積公式；.3輔助角公式，其中，此公式我們稱為輔助角公式.利用輔助角公式,可將形如的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如的函數(shù),此形式可方便研究函數(shù)的性質(zhì)，此過(guò)程蘊(yùn)含了化歸思想.參考答案：1（1）（2）（3）重點(diǎn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明難點(diǎn)三角恒等變換中角的變換易錯(cuò)求三角函數(shù)

2、值時(shí)公式選用錯(cuò)誤一、輔助角公式的應(yīng)用依據(jù)題中的函數(shù)形式，正確轉(zhuǎn)化為輔助角公式的形式是一種化簡(jiǎn)方法，也為解決復(fù)雜三角函數(shù)解析式的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題提供了一個(gè)解題方向.【例1】（2015福建）已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)如下變換得到：先將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.()求函數(shù)的解析式，并求其圖象的對(duì)稱軸方程；()已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）證明：【解析】()將的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，故，從而函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為()（1）（

3、其中）.依題意，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解當(dāng)且僅當(dāng)，故m的取值范圍是.（2）方法一：因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)的兩個(gè)不同的解，所以，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 所以方法二：因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)的兩個(gè)不同的解，所以，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), .所以.于是二、三角恒等變換1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)是三角變換應(yīng)用的一個(gè)重要方面，基本方法是統(tǒng)一角，統(tǒng)一三角函數(shù)的名稱.2.三角恒等式的證明實(shí)質(zhì)上是消除式子左、右兩邊的結(jié)構(gòu)、角、函數(shù)名等的差異,有目的地化繁為簡(jiǎn).常用定義法、化弦法、化切法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換、公式變形等. 3.三角函數(shù)求值主要有兩種類型，即：（1）“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，觀察發(fā)現(xiàn)題中的角與特殊角都有著一定的關(guān)

4、系，如和或差為特殊角，必要時(shí)運(yùn)用誘導(dǎo)公式；（2）“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)的值，這類求值問(wèn)題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角.【例2】已知sin=1213,sin+=45,與均為銳角,求cos2.【解析】因?yàn)?2,所以cos=1-sin2=513.又因?yàn)?2,02，所以0+，若0+2，因?yàn)閟in+sin,所以+不可能.故2+，所以cos+=-35.所以cos=cos+-=cos+cos+sin+sin=-35513+451213=3365,因?yàn)?2，所以024.故cos2=1+cos2=76565.【例3】求下列各式的值：（1）cos8+cos38

5、-2sin4cos8;（2）sin 138-cos 12+sin 54.【解析】（1）cos8+cos38-2sin4cos8=2cos8+382cos8-382-2cos8=2cos4cos8-2cos8=2cos8-2cos8=0.（2）sin 138-cos 12+sin 54=sin 42-cos 12+sin 54=sin 42-sin 78+sin 54=-2cos 60sin 18+sin 54=sin 54-sin 18=2cos 36sin 18=12.三、求三角函數(shù)值時(shí)錯(cuò)選公式【例4】若cos -cos =12,sin -sin =-13,求sin(+)的值.【錯(cuò)解】由2+

6、2得2-2cos(-)=1336,cos(-)=5972.由2-2得cos 2+cos 2-2cos(+)=536,即cos(+)2cos(-)-2=536.把cos(-)=5972代入上式,得cos(+)=-513,sin(+)=1-cos2(+)=1213.【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中無(wú)法判定sin(+)的符號(hào),因而對(duì)所得結(jié)論也無(wú)法驗(yàn)證其正確性,解題時(shí)應(yīng)恰當(dāng)選擇解法,合理選用公式.【正解】將兩式左邊和差化積,得-2sin+2sin-2=12,2cos+2sin-2=-13,由得sin-20,于是,得tan+2=32,sin(+)=2tan+21+tan2+2=1213.【名師點(diǎn)睛】在解決有關(guān)三角函數(shù)

7、求值問(wèn)題時(shí)，不同的思路與方法求出的值可能不同，但是最終的結(jié)果應(yīng)該相同，因此應(yīng)該避開含有正負(fù)號(hào)的公式，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式求解.1若cos=-35,32,則tan2=A2B12C-2D-122若2,則化簡(jiǎn)1-cos(-)2的結(jié)果是Asin2Bcos2C-cos2D-sin23在中,若B=45,則cos Asin C的取值范圍是A-1,1B2-24,2+24C-1,2+24D24,2+244若當(dāng)x=時(shí)，f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cos的值為A255B55C-255D-555若，則.6等腰三角形的頂角的正弦值為513,則它的底角的余弦值為.7函數(shù)y=sin(2+x)cos(6-x)

8、的最大值為.8已知|cos |=35,且520),且y=f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為4.（1）求的值；（2）求f(x)在區(qū)間,32上的最大值和最小值. 16（2016山東）函數(shù)f（x）=（sin x+cos x）（cos x sin x）的最小正周期是ABCD217（2016北京）已知函數(shù)f（x）=2sin x cos x+ cos 2x（0）的最小正周期為.（I）求的值；（II）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.18（2015安徽）已知函數(shù).（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值.1C 【解析】32，2234，tan20，.故選C.2C 【解析】2,22,cos20,

9、則原式=|cos2|=-cos2.故選C.3B 【解析】在中,B=45,所以cos Asin C=12sin(A+C)-sin(A-C)=24-12sin(A-C),因?yàn)?1sin(A-C)1,所以cos Asin C,故選B.4C 【解析】由題意知, fx=sinx-2cosx=5sinx+，其中,cos=55，sin=-255，當(dāng)x=時(shí)，f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則sin+=1,即sin-2cos=5,所以sin=2cos+5,因?yàn)閟in2+cos2=1,所以cos=-255.選C.50 因?yàn)?，所?62626或52626【解析】設(shè)等腰三角形的頂角為,則底角為-2,由題意可

10、知=513,所以=1-(513)2=1213,所以cos-2=sin2=1-cos2=112132,所以cos-2=2626或52626.734+12【解析】方法一：y=sin(2+x)cos(6-x)=cos x(cos6cos x+sin6sin x)=32cos2x+12cos xsin x=34(cos 2x+1)+14sin 2x=34+12.所以函數(shù)y=sin(2+x)cos(6-x)的最大值為34+12.方法二：根據(jù)積化和差公式得y=sin(2+x)cos(6-x)=12sin(2+x+6-x)+sin(2+x-6+x)=12sin23+sin(2x+3)12(32+1)=34+

11、12.8【解析】|cos |=35,523,cos =-35,5420,cos=2550,所以的終邊落在第一象限,2的終邊落在第一、三象限.所以tan20,故.12B 【解析】在中，sinAsinB=cos2C2=1+cosC2=1-cos(A+B)2=12(1-cosAcosB+sinAsinB)cosAcosB+sinAsinB=1, cos(A-B)=1, A-B(-,)，A-B=0，即.是等腰三角形.故選B.13【解析】由題意可知為第二象限角.原式.14【解析】因?yàn)樽筮?sin2(B+C)+1-cos2B2-1-cos2C2=sin2(B+C)+12(cos 2C-cos 2B)=si

12、n2(B+C)+sin(B+C)sin(B-C)=sin(B+C)sin(B+C)+sin(B-C)=sin(B+C)2sin Bcos C=2sin Asin Bcos C=右邊,所以原命題成立.15【解析】（1）f(x)=32-3sin2x-sin xcos x=32-31-cos2x2-12sin 2x=32cos 2x-12sin 2x=-sin(2x-3).因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為4,又0,所以22=44,因此=1.（2）由（1）知f(x)=-sin(2x-3).當(dāng)x32時(shí),532x-383.所以-32sin(2x-3)1.因此-1f(x)32.故f(x)在區(qū)間,