一元二次方程的解法

1、標(biāo)準(zhǔn)形式一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（即所有一元一次方程經(jīng)整理都能得到的形式）是（，為 HYPERLINK /view/122755.htm t /_blank 常數(shù)，為 HYPERLINK /subview/1017552/16596129.htm t /_blank 未知數(shù)，且）。其中是未知數(shù)的 HYPERLINK /view/960.htm t /_blank 系數(shù)，是常數(shù)，是未知數(shù)。未知數(shù)一般設(shè)為,。方程特點(diǎn)（1）該方程為 HYPERLINK /view/314056.htm t /_blank 整式方程。（2）該方程有且只含有一個(gè)未知數(shù)。（3）該方程中未知數(shù)的最高 HYPERLINK /v

2、iew/653919.htm t /_blank 次數(shù)是1。滿(mǎn)足以上三點(diǎn)的方程，就是一元一次方程。判斷方法要判斷一個(gè)方程是否為一 HYPERLINK /subview/6673/6324750.htm t /_blank 元一次方程，先看它是否為整式方程。若是，再對(duì)它進(jìn)行整理。如果能整理為的形式，則這個(gè)方程就為一元一次方程。里面要有等號(hào)，且分母里不含未知數(shù)。變形公式（，為 HYPERLINK /view/122755.htm t /_blank 常數(shù)，為未知數(shù)，且）求根公式一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0 (a0)其求 HYPERLINK /subview/41444/5672668.ht

3、m t /_blank 根公式為：x=-b/a一元一次方程只有一個(gè)根通常解法去分母去括號(hào)移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)x系數(shù)化為1（即化為x=a的形式）兩種類(lèi)型（1）總量等于各分量之和。將未知數(shù)放在等號(hào)左邊，常數(shù)放在右邊。如：。（2）等式兩邊都含未知數(shù)。如：，。方程舉例3b=-15a+2=52x=1都是一元一次方程。方程起源“方程”一詞來(lái)源于中國(guó)古算術(shù)書(shū) HYPERLINK /view/17765.htm t /_blank 九章算術(shù)。在這本著作中，已經(jīng)列出了一元一次方程。法國(guó)數(shù)學(xué)家 HYPERLINK /view/4704.htm t /_blank 笛卡爾把未知數(shù)和常數(shù)通過(guò) HYPERLINK /view

4、/711485.htm t /_blank 代數(shù)運(yùn)算所組成的方程稱(chēng)為 HYPERLINK /view/428926.htm t /_blank 代數(shù)方程。在19世紀(jì)以前，方程一直是 HYPERLINK /view/79404.htm t /_blank 代數(shù)的核心內(nèi)容。主要用途一元一次方程通?？捎糜谧鰬?yīng)用題，如工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、分配問(wèn)題、盈虧問(wèn)題、球賽積分表問(wèn)題、電話（水表、電表）計(jì)費(fèi)問(wèn)題、數(shù)字問(wèn)題等。12補(bǔ)充說(shuō)明 HYPERLINK /link?url=2PO1iZnvMVi1JvxAKlBo4TKzYaZMjjjGtdFyvKAHKDx5x-qSjZigtgobIgx1Mo6ZdzZ1L

5、3sc8MPkOMcXX1RlaK o 編輯本段 編輯合并同類(lèi)項(xiàng)（1）依據(jù)： HYPERLINK /view/126677.htm t /_blank 乘法分配律（2）把所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)合并成一項(xiàng)； HYPERLINK /view/122755.htm t /_blank 常數(shù)計(jì)算后合并成一項(xiàng)（3）合并時(shí)次數(shù)不變，只是 HYPERLINK /view/960.htm t /_blank 系數(shù)相加減。移項(xiàng)（1）依據(jù)：等式的性質(zhì)1（2）含有未知數(shù)的項(xiàng)變號(hào)后都移到方程左邊，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊。（3）把方程一邊某項(xiàng)移到另一邊時(shí)，一定要變號(hào)（如： HYPERLINK /view/56

6、1697.htm t /_blank 移項(xiàng)時(shí)將+改為-，改為）。等式性質(zhì) HYPERLINK /view/194373.htm t /_blank 等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè) HYPERLINK /view/328867.htm t /_blank 整式，等式仍然成立。等式的性質(zhì)二：等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)不為零的代數(shù)式，等式仍然成立。等式的性質(zhì)三：等式兩邊同時(shí) HYPERLINK /view/532153.htm t /_blank 乘方（或 HYPERLINK /view/594735.htm t /_blank 開(kāi)方），等式仍然成立。 HYPERLINK /

7、view/793482.htm t /_blank 解方程都是依據(jù)等式的這三個(gè) HYPERLINK /view/644615.htm t /_blank 性質(zhì)。解的定義：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，也可以說(shuō)是滿(mǎn)足方程的一個(gè)數(shù)值一、去分母做法：在方程兩邊各項(xiàng)都乘以各分母的 HYPERLINK /view/341375.htm t /_blank 最小公倍數(shù)；依據(jù)：等式的性質(zhì)2二、去括號(hào)一般先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，可根據(jù) HYPERLINK /view/126677.htm t /_blank 乘法分配律（記住如括號(hào)外有減號(hào)或除號(hào)的話一定要變號(hào)）依據(jù)：乘法分配律三、移

8、項(xiàng)做法：把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊（一般是含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程左邊，而把常數(shù)項(xiàng)移到右邊）依據(jù)：等式的性質(zhì)1四、合并同類(lèi)項(xiàng)做法：把方程化成ax=b（a0）的形式；依據(jù)：乘法分配律（逆用乘法分配律）五、系數(shù)化為1做法：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a。依據(jù)：等式的性質(zhì)2.解方程口訣去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)時(shí)，要變號(hào)， HYPERLINK /view/313812.htm t /_blank 同類(lèi)項(xiàng)，合并好，再把系數(shù)來(lái)除掉。同解方程如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做 HYPERLINK /view/867224.htm t /_blank 同解方程。同解原理（1

9、）方程的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)等式所得的方程與原方程是同解方程。（2）方程的兩邊同乘或同除同一個(gè)不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。求根公式由于一元一次方程是 HYPERLINK /view/4207550.htm t /_blank 基本方程，故教科書(shū)上的解法只有上述的方法。但對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式下的一元一次方程：ax+b=0 (a0)。可得出求根公式。函數(shù)解法由于一元一次函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常量，a0）的形式，所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某一個(gè)函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值。從圖像上看，這就相當(dāng)于求直線y=kx+b（k，b為常量，k0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。4

10、解法舉例例（1）題目：已知ax=b是關(guān)于x的方程（a、b為常數(shù)），求x的值。分析：要牢牢抓住一元一次方程的定義，進(jìn)行分類(lèi)討論。解：當(dāng)a0時(shí)，。當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解（注意：這種情況不屬于一元一次方程，而屬于恒等方程）當(dāng)a=0，b0時(shí)，方程無(wú)解（注意：此種情況也不屬于一元一次方程）例（2）題目：解方程分析：按照一元一次方程的解法順序一步步進(jìn)行，計(jì)算要細(xì)心。解：去 HYPERLINK /view/298946.htm t /_blank 分母，得 HYPERLINK /view/1937302.htm t /_blank 去括號(hào)，得 HYPERLINK /view/561697.htm

11、 t /_blank 移項(xiàng)，得 HYPERLINK /view/313935.htm t /_blank 合并同類(lèi)項(xiàng)，得 HYPERLINK /view/2009318.htm t /_blank 系數(shù)化為1，得檢驗(yàn)：把代入原方程左邊=右邊=左邊=右邊是原方程的解等式性質(zhì)若a=b，則a+c=b+c，a-c=b-c（等式的性質(zhì)1）。若a=b，則ac=bc，ac=bc (c0)（等式的性質(zhì)2）25解應(yīng)用題做一元一次方程 HYPERLINK /view/967722.htm t /_blank 應(yīng)用題的重要方法：（1）認(rèn)真 HYPERLINK /view/5675584.htm t /_blank

12、審題（審題）（2）分析已知和 HYPERLINK /view/11599920.htm t /_blank 未知量（3）找一個(gè)合適的 HYPERLINK /view/1276750.htm t /_blank 等量關(guān)系（4）設(shè)一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)（5）列出合理的方程 （列式）（6）解出方程（解題）（7） HYPERLINK /view/64218.htm t /_blank 檢驗(yàn)（8）寫(xiě)出答案（作答）6學(xué)習(xí)實(shí)踐 HYPERLINK /link?url=2PO1iZnvMVi1JvxAKlBo4TKzYaZMjjjGtdFyvKAHKDx5x-qSjZigtgobIgx1Mo6ZdzZ1L3sc8M

13、PkOMcXX1RlaK o 編輯本段 編輯在小學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)較淺的一元一次方程，到了初中開(kāi)始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解較難的應(yīng)用題。一元一次方程牽涉到許多的實(shí)際問(wèn)題，例如工程問(wèn)題、植樹(shù)問(wèn)題、比賽比分問(wèn)題、行程問(wèn)題、行船問(wèn)題、相向問(wèn)題分段收費(fèi)問(wèn)題、盈虧、利潤(rùn)問(wèn)題。列方程時(shí)，要先設(shè)字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問(wèn)題中的相等關(guān)系，寫(xiě)出含有未知數(shù)的等式，即 HYPERLINK /view/5925.htm t /_blank 方程（equation）。例如：（1）4x=24（2）1700+150 x=2450（3）0.52x-(1-0.52)x=80分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等

14、關(guān)系列出方程，是用 HYPERLINK /view/1284.htm t /_blank 數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法。7教學(xué)設(shè)計(jì) HYPERLINK /link?url=2PO1iZnvMVi1JvxAKlBo4TKzYaZMjjjGtdFyvKAHKDx5x-qSjZigtgobIgx1Mo6ZdzZ1L3sc8MPkOMcXX1RlaK o 編輯本段 編輯教學(xué)目標(biāo)（1）使學(xué)生初步掌握一元一次方程解簡(jiǎn)單應(yīng)用題的方法和步驟，并會(huì)列出一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題；（2）培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；（3）使學(xué)生初步養(yǎng)成正確思考問(wèn)題的良好習(xí)慣。重點(diǎn)及難點(diǎn)一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用

15、題的方法和步驟。過(guò)程設(shè)計(jì)（1）從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問(wèn)題：在小學(xué) HYPERLINK /view/17541.htm t /_blank 算術(shù)中，我們學(xué)習(xí)了用算術(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題的有關(guān)知識(shí)，那么，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題能否應(yīng)用一元一次方程來(lái)解決呢？若能解決，怎樣解？用一元一次方程解應(yīng)用題與用算術(shù)方法解應(yīng)用題相比較，它有什么優(yōu)越性呢？為了回答上述這幾個(gè)問(wèn)題，我們來(lái)看下面這個(gè)例題。例1：某數(shù)的3倍減2等于某數(shù)與4的和，求某數(shù)。（首先，用算術(shù)方法解，由學(xué)生回答，教師板書(shū)）解法1：（4+2）（3-1)=3。答：某數(shù)為3。（其次，用代數(shù)方法來(lái)解，教師引導(dǎo)，學(xué)生口述完成）解法2：設(shè)某數(shù)為x，則有3x-2=x+4。

16、解之，得x=3。答：某數(shù)為3?？v觀例1的這兩種解法，很明顯，算術(shù)方法不易思考，而應(yīng)用設(shè)未知數(shù)，列出方程并通過(guò)解方程求得應(yīng)用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學(xué)習(xí)運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的目的之一。我們知道方程是一個(gè)含有未知數(shù)的等式，而等式表示了一個(gè)相等關(guān)系。因此對(duì)于任何一個(gè)應(yīng)用題中提供的條件，應(yīng)首先從中找出一個(gè)相等關(guān)系，然后再將這個(gè)相等關(guān)系表示成方程。本節(jié)課，我們就通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明怎樣尋找一個(gè)相等的關(guān)系和把這個(gè)相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的方法和步驟。（2）師生共同分析、研究一元一次方程解簡(jiǎn)單應(yīng)用題的方法和步驟例2.某面粉倉(cāng)庫(kù)存放的面粉運(yùn)出15%后，還剩余42 500千克，這個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來(lái)有多少面粉

17、？師生共同分析：1本題中給出的已知量和未知量各是什么？2已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關(guān)系？（原來(lái)重量-運(yùn)出重量=剩余重量）3若設(shè)原來(lái)面粉有x千克，則運(yùn)出面粉可表示為多少千克？利用上述相等關(guān)系，如何布列方程？上述分析過(guò)程可列表如下：解：設(shè)原來(lái)有x千克面粉，那么運(yùn)出了15%x千克，由題意，得x-15%x=42500，所以 x=50000。答：原來(lái)有50000千克面粉。此時(shí)，讓學(xué)生討論：本題的相等關(guān)系除了上述表達(dá)形式以外，是否還有其他表達(dá)形式？若有，是什么？ （還有，原來(lái)重量=運(yùn)出重量+剩余重量；原來(lái)重量-剩余重量=運(yùn)出重量）教師應(yīng)指出：1.這兩種相等關(guān)系的表達(dá)形式與“原來(lái)重量-運(yùn)出重量=剩余

18、重量”，雖形式上不同，但實(shí)質(zhì)是一樣的，可以任意選擇其中的一個(gè)相等關(guān)系來(lái)列方程2.例2的解方程過(guò)程較為簡(jiǎn)捷，同學(xué)應(yīng)注意模仿依據(jù)例2的分析與解答過(guò)程，首先請(qǐng)同學(xué)們思考列一元一次方程解應(yīng)用題的方法和步驟；然后，采取提問(wèn)的方式，進(jìn)行反饋。最后，根據(jù)學(xué)生總結(jié)的情況，教師總結(jié)如下：1.仔細(xì)審題，透徹理解題意即弄清已知量、未知量及其相互關(guān)系，并用字母（如x）表示題中的一個(gè)合理未知數(shù)2.根據(jù)題意找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系（這是關(guān)鍵一步）；3.根據(jù)相等關(guān)系，正確列出方程即所列的方程應(yīng)滿(mǎn)足兩邊的量要相等；方程兩邊的代數(shù)式的單位要相同；題中條件應(yīng)充分利用，不能漏也不能將一個(gè)條件重復(fù)利用等；4.求出所列方程的解；5.檢驗(yàn)后明確地、完整地寫(xiě)出答案這里要求的檢驗(yàn)應(yīng)是，檢驗(yàn)所求出的解既能使方程成立，又能使應(yīng)用題有意義。6.最好能用計(jì)算器再進(jìn)行一次驗(yàn)算。教學(xué)手段引導(dǎo)活動(dòng)討論3教學(xué)方法啟發(fā)式教學(xué)。教學(xué)過(guò)程主要概念：1、 HYPERLINK /view/5925.htm t /_blank 方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 2、一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 4、解方程