九年級數(shù)學(xué)相似三角形的判定(教師版)知識點(diǎn)詳細(xì)答案

1、讓更多的孩子得到更好的教育相似三角形的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類比”思想的自覺性，提高推理能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形在和中，如果我們就說與相似，記作.k就是它們的相似比，“”讀作“相似于”.要點(diǎn)詮釋：(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即，則說明點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是B，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是C；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時，兩

2、個三角形全等.要點(diǎn)二、相似三角形的判定定理：1判定方法（一）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.：2判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.3判定方法（三）如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.4判定方法（四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.要點(diǎn)詮釋：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即

3、可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.要點(diǎn)三、相似三角形的常見圖形及其變換：讓更多的孩子得到更好的教育【典型例題】類型一、相似三角形1.下列能夠相似的一組三角形為().A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一組直角相等，其他的角是否對應(yīng)相等不可知；B中什么條件都不滿足；D中只有一條對應(yīng)邊的比相等；C中所有三角形都是由90、45、45角組成的三角形，且對應(yīng)邊的比也相等.答案選C.舉一反三：下列圖形中，必是相似形的是（）A都有一個角是40的兩個等腰三角形B都有一個角為50的兩個等

4、腰梯形C都有一個角是30的兩個菱形D鄰邊之比為2：3的兩個平行四邊形【答案】C類型二、相似三角形的判定2.如圖所示，已知中，E為AB延長線上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE與BC相交于F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.【答案】四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ADBC，BEFCDF，BEFAED.BEFCDFAED.當(dāng)BEFCDF時，相似比當(dāng)BEFAED時，相似比當(dāng)CDFAED時，相似比讓更多的孩子得到更好的教育；.3.梯形ABCD中，ABCD，AB=2CD，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，EF與BD交于M（eqoac(,1)）求證：EDMFBM；（2）若DB=9，求MB的長【答案

5、】（1）證明：為AB中點(diǎn)，又，四邊形BCDE是平行四邊形，EDMFBM（2）解：由（1）知，又，4.已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CFAB，延長BP交AC于E，交CF于F求證：BP2PEPF【答案】連接，是的中垂線，又，讓更多的孩子得到更好的教育，舉一反三：1、如圖，AD、CE是ABC的高，AD和CE相交于點(diǎn)F，求證：AFFD=CFFEAF求證：DE【答案】AD、CE是ABC的高,AEF=CDF=90,又AFE=CFE,AEFCDF.EF,即AFFD=CFFECFFD2、如圖，F(xiàn)是ABC的AC邊上一點(diǎn)，D為CB延長線一點(diǎn)，且AF=BD,連接DF,交AB于E.

6、AC.EFBCDEDE【答案】過點(diǎn)F作FGBC,交AB于G.則DBEFGEAGFABCDB,EFGF又AF=BD,AF.EFGFAGFABC讓更多的孩子得到更好的教育AFAC,GFBCDEAC即.EFBC3、已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)求證：ADQQCP【答案】在正方形ABCD中，Q是CD的中點(diǎn)，=2=3，=4,又BC=2DQ，=2,在ADQ和QCP中，ADQQCP4、如圖，弦和弦=，C=D=90，相交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：.【答案】連接在，中，.，。.4、如圖，小正方形邊長均為1，則圖中的三角形（陰影部分）與相似的是哪一個？讓更多的孩子得到更好的教育圖

7、（1）圖（2）圖（3）圖（4）【答案】圖中的三角形為格點(diǎn)三角形，可根據(jù)勾股定理求出各邊的長，然后根據(jù)三角形三邊的長度的比是否相等來判斷哪兩個三角形相似由勾股定理知，圖（1）中，三角形的三邊長分別為1，圖（2）中，三角形的三邊長分別為1，圖（3）中，三角形的三邊長分別為，3圖（4）中，三角形的三邊長分別為2，由于，故圖（2）中的三角形和相似5、如圖，正方形ABCD和等腰Rt，其中（1）求證：（2）若，求，G是CD與EF的交點(diǎn)的值【答案】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，是等腰直角三角形，（2）解：在中，DE=BF=4，DEC=BFC=90.EDC+DCE=90，F(xiàn)CD+DCE=90.讓更多的孩

8、子得到更好的教育EDC=FCD.,【鞏固練習(xí)一】一、選擇題1.下列判斷中正確的是().A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形eqoac(,2)已知ABC的三邊長分別為、2,ABC的兩邊長分別是1和,如果ABC與ABC相似,那么ABC的第三邊長應(yīng)該是().A.B.C.D.3如圖，在大小為44的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（）A和B和C和D和eqoac(,4.)在ABC和DEF中，A=35，B=100，D=35，F(xiàn)=45；AB=3cm，BC=5cm，B=50，DE=6cm，DF=10cm，D=50；其中能使

9、ABC與以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形相似的條件().A.只有B.只有C.和分別都是D.和都不是5在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點(diǎn)，若AEF90，則一定有（）.AADEAEFBECFAEFCADEECFDAEFABF6.如圖所示在平行四邊形ABCD中，EFAB，DE：EA=2：3，EF=4，則CD的長為().A.B.8C.10D.16讓更多的孩子得到更好的教育二、填空題7.如圖所示，D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上，且DE和BC不平行，請你填上一個你認(rèn)為合適的條件_使ADEACB.8如圖所示，C=E=90，AD=10，DE=8，AB=5，則AC=_.9.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(

10、4，0)，B(0，2)，如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_或_時，使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形與AOB相似(至少找出兩個滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)).10.如圖，已知ABBD，EDBD，C是線段BD的中點(diǎn)，且ACCE，ED=1，BD=4，那么AB=_.11.如圖，CDAB，AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F分別在AC、BD上，且EFAB,則圖中與OEF相似的三角形為_.12如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE交CD于點(diǎn)F,則圖中相似三角形共有_對.讓更多的孩子得到更好的教育三解答題13.如圖，在ABC中，DEBC，AD3，AE2，BD4，求的值及AC、EC的長度1

11、4.如圖在梯形ABCD中，ADBC，A90，且，求證：BDCD15.已知在eqoac(,Rt)ABC中，C=90，AB=10，BC=6.在eqoac(,Rt)EDF中，F(xiàn)=90，DF=3，EF=4，則ABC和EDF相似嗎？為什么？【答案與解析】一選擇題1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根據(jù)三邊對應(yīng)成比例，可以確定13第三邊=262，所以第三邊是3.【答案】C.【解析】設(shè)方格邊長為1，求出每個三角形的各邊長，運(yùn)用三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似的判定方法來確定相似三角形.讓更多的孩子得到更好的教育4.【答案】C.5.【答案】C.【解析】AEF90,1+2=90，又D=C=90，3+2=90，

12、即1=eqoac(,3)，ADEECF.6.【答案】C.【解析】EFAB，CD=10，故選C.二.填空題7.【答案】ADE=C或AED=B或.【解析】據(jù)判定三角形相似的方法來找條件.8.【答案】3.【解析】C=E，CAB=EAD，ACBAED，BC=4，在eqoac(,Rt)ABC中，.9【答案】；.10.【答案】4.【解析】ABBD，EDBD，B=D=90，又ACCE，BCA+DCE=90，BCA=eqoac(,E,)ABCCDE.C是線段BD的中點(diǎn)，ED=1，BD=4BC=CD=2ABCDCDDE,即AB=4.11.【答案】OAB,OCD.12.【答案】3.【解析】平行四邊形ABCD，AD

13、BE.ABCDEFCEAB;EFCAFD;AFDEAB.三綜合題13.【解析】DEeqoac(,BC)，ADEABC，AC，ECACAE14.【解析】ADBC，ADBDBC，又，ABDDCB，ABDC，A90，BDC90，BDCD15.【解析】已知ABC和EDF都是直角三角形，且已知兩邊長，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊是否對應(yīng)成比例.在eqoac(,Rt)ABC中，AB=10，BC=6，C=90.由勾股定理得在eqoac(,Rt)DEF中，DF=3，EF=4，F(xiàn)=90.讓更多的孩子得到更好的教育.由勾股定理，得在ABC和EDF中，.，ABCEDF(三邊對應(yīng)成比例，兩三角

14、形相似).【鞏固練習(xí)二】一、選擇題3eqoac(,5)1.已知eqoac(,A)1B1C1與eqoac(,A)2B2C2的相似比為4：，A2B2C2與A3B3C3的相似比為4：，則A1B1C1與eqoac(,A)3B3C3的相似比為().A.16：15B.15：16C.3：5D.16：15或15：162如圖，P是RtABC的斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn)，過點(diǎn)P做直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（）.A1條B2條C3條D4條eqoac(,3.)如圖，在ABC中，M是AC邊中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE=BC的延長線于D，此時BC：CD為().A.2：1B.3：2C.3

15、：1D.5：2AB，連結(jié)EM并延長，交E4.如圖，在平行四邊形ABCD中，是AD上的一點(diǎn)，連接CE并延長交BA的延長線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中錯誤的是（）.AAEFDECBFACDAEBCCFAABFEECDABDC讓更多的孩子得到更好的教育5如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，C90，CDAB，垂足為D，則圖中相似三角形有（）A4對B3對C2對D1對6.如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，下列條件中，不能推出ABP與ECP相似的是().A.APB=EPCB.APE=90C.P是BC的中點(diǎn)D.BP：BC=2：3二、填空題7.如圖,1=2=3,則圖中與CDE相似三角形是_和

16、_.8.如圖，P為線段AB上一點(diǎn)，AD與BC交于E，CPDAB，BC交PD于F，AD交PC于G，則圖中相似三角形有_對.9.如圖，是正方形ABCD的外接圓，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，CF的延長線交CF:EF的值是_.于點(diǎn)E,則讓更多的孩子得到更好的教育10.如圖，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在AM上，CM=CN,AMBMANCMeqoac(,)則ABMACB,ANCAMB,ANCACM,CMNBCA中正確的有_.11.如圖，在平行四邊形ABCD中，M,N為AB的三等分點(diǎn)，DM,DN分別交AC于P,Q兩點(diǎn)，則AP：PQ:QC=_.12.如圖，正方形ABCD的邊長為2，AE=EB,MN=1.線段MN的兩端在CB,C

17、D邊上滑動，當(dāng)CM=_時，AED與以M、N、C為頂點(diǎn)的三角形相似.三、解答題13.如圖，和都是等邊三角形，且B、C、D共線，BE分別和AC、AD相交于點(diǎn)M、G，CE和AD相交于點(diǎn)N求證：（1）CG平分（2）讓更多的孩子得到更好的教育14.如圖，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BDCE，AD與BE相交于點(diǎn)F（eqoac(,1)）試說明ABDBCE；（eqoac(,2)）EAF與EBA相似嗎？說說你的理由15.已知點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)O在線段AB的延長線上.以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作圓，點(diǎn)C是圓O上的一點(diǎn).(1)如圖，如果AP=2PB，PB=BO.求證：CAOBCO；(2)如果A

18、P=m(m是常數(shù)，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中項.當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動時，求的值(結(jié)果用含m的式子表示)；(3)在(2)的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)m的取值范圍.【答案與解析】一選擇題1.【答案】A.即AP=1讓更多的孩子得到更好的教育2.【答案】C.【解析】分別是過點(diǎn)P做AB,AC,BC的垂線.3.【答案】A.【解析】如圖，做CNAB,交ED于點(diǎn)N,M是AC邊中點(diǎn)eqoac(,)AEMCNM,即CN=AE,AE=AB，AE:BE=1:3，即CN:BE=1:3.CNeqoac(,AB)，DCNDBE,即CD:BD=CN:BE=1:3,CD

19、:BC=1:2.4.【答案】B.5.【答案】B.【解析】ABCACD;ABCCBD;CBDACD.6.【答案】C.【解析】當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時，EPC為等腰直角三角形.二.填空題eqoac(,7.)【答案】CEA、CAB.8.【答案】3對.【解析】由CPDAeqoac(,B)，得CPFCBP，DPGDAP，得CPBCFP，則APGBFP，得APGBFP，有3對.9【答案】5：1.【解析】如圖，連接AE,則AEFCBF,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),正方形ABCD,EF:AE=BF:BC=1:2.設(shè)EF=K,則AE=2K,AF=5K,即BF=5K,BC=25K，CF=5K.CF:EF=5:1.10.【答案】.11.【答案】5:3:12.【解析】平行四邊形ABCD,M,N為AB的三等分點(diǎn)AM:CD=AP:PC=1:3，AN:CD=AQ:QC=2: