阿羅不可能定理

1、阿羅不可能定理本詞條缺少名片圖，補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容使詞條更完整，還能快速升級(jí)，趕緊來(lái)編輯吧！阿羅不可能性定理(Arrow定理)是指，如果眾多的社會(huì)成員具有不同的偏好，而社會(huì) 又有多種備選方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都滿意的結(jié)果。定理是由 1972年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家肯尼思J 阿羅提出。中文名阿羅不可能定理外文名Arrows impossibility theorem提出肯尼斯約瑟夫阿羅時(shí)間1951年簡(jiǎn)介編輯1951年肯尼斯約瑟夫阿羅( KennethJ . Arrow )在他的經(jīng)濟(jì)社會(huì)選擇與個(gè)人價(jià)值社會(huì)選擇與個(gè)人價(jià)值學(xué)經(jīng)典著作的社會(huì)選擇與個(gè)人價(jià)值一書(shū)中，采用數(shù)學(xué)的公理

2、化方法對(duì)通行的投票選 舉方式能否保證產(chǎn)生出合乎大多數(shù)人意愿的領(lǐng)導(dǎo)者或者說(shuō)“將每個(gè)個(gè)體表達(dá)的先后次序綜合成整個(gè)群體的偏好次序”進(jìn)行了研究。結(jié)果，他得出了一個(gè)驚人的結(jié)論：絕大多數(shù)情況下是 不可能的！更準(zhǔn)確的表達(dá)則是：當(dāng)至少有三名候選人和兩位選民時(shí)，不存在滿足阿羅公理的選舉規(guī)則?；蛘咭部梢哉f(shuō)是：隨著候選人和選民的增加，“程序民主”必將越來(lái)越遠(yuǎn)離“實(shí)質(zhì)民主”。從而給出了證明一個(gè)不可思議的定理：假如有一個(gè)非常民主的群體，或者說(shuō) 是一個(gè)希望在民主基礎(chǔ)上作出自己的所有決策的社會(huì)，對(duì)它來(lái)說(shuō)，群體中每一個(gè)成員的要求都是同等重要的。一般地，對(duì)于最應(yīng)該做的事情，群體的每一個(gè)成員都有自己的偏好。為了決策，就要建立一個(gè)

3、公正而一致的程序，能把個(gè)體的偏好結(jié)合起來(lái)，達(dá)成某種共識(shí)。這就要進(jìn)一步假設(shè)群體中的每一個(gè)成員都能夠按自己的偏好對(duì)所需要的各種選擇進(jìn)行排序，對(duì)所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。產(chǎn)生編輯阿羅不可能定理(Arrows impossibility theorem )的證明并不難，但是需要嚴(yán)格的 數(shù)學(xué)邏輯思維。哥倫比亞大學(xué)哥倫比亞大學(xué)關(guān)于這個(gè)定理還有一段情節(jié)頗為曲折的故事。阿羅在大學(xué)期間就迷上了數(shù)學(xué)邏輯：讀四年級(jí)的時(shí)候，波蘭大邏輯學(xué)家塔斯基(Tarski )到阿羅所在的大學(xué)講了一年的關(guān)系演算，阿羅在他那里接觸到諸如傳遞性、排序等概念在此之前.阿羅對(duì)他所著迷的邏輯學(xué)還是全靠自學(xué)呢。后來(lái)，阿羅考上研究生，在

4、哈羅德霍特林( HaroldHotelling )的指導(dǎo)下攻讀數(shù)理經(jīng) 濟(jì)學(xué)他發(fā)現(xiàn)，邏輯學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中大有用武之地。就拿消費(fèi)者的最優(yōu)決策來(lái)說(shuō)吧，消費(fèi)者從許多商品組合中選出其最偏好的組臺(tái)、這正好與邏輯學(xué)上的排序概念吻合。又如廠商理論總是假設(shè)廠商追求利潤(rùn)最大化，當(dāng)考慮時(shí)間因素時(shí)，因?yàn)閷?lái)的價(jià)格是未知的廠商只能力圖使基于期望價(jià)格的期望利潤(rùn)最大化。人們知道現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)中的企業(yè)一般是由許多股東所共同擁有， 100個(gè)股東對(duì)將來(lái)的價(jià)格可能有100種不同的期望，相應(yīng)地根據(jù)期望利潤(rùn)進(jìn)行諸如投資之類(lèi)的決策時(shí)便有100種方案。那么，問(wèn)題如何解決呢？一個(gè)自然的辦法是由股東(按其占有股份 多少)進(jìn)行投票表決，得票最多的方案獲勝

5、。這又是一個(gè)排序問(wèn)題，阿羅所受的邏輯訓(xùn)練使他自然而然地對(duì)這種關(guān)系的傳遞性進(jìn)行考察，結(jié)果輕而易舉地舉出了一個(gè)反例。阿羅第一次對(duì)社會(huì)選擇問(wèn)題的嚴(yán)肅思考就這樣成為他學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)廠商理論的一個(gè)副產(chǎn)品， 不滿足傳遞性的反例激起了阿羅的極大興趣，但同時(shí)也成為他進(jìn)一步研究的障礙，因?yàn)樗X(jué)得這個(gè)悖論素未謀面但又似曾相識(shí)。事實(shí)上這的確是一個(gè)十分古老的悖論，是由法國(guó)政治哲學(xué)家、概率理論家貢多賽在1785年提出的。但是阿羅那時(shí)對(duì)貢多賽和其他原始材料一無(wú)所知，于是暫時(shí)放棄了進(jìn)一步的研究，這是 1947年。1948年，在芝加哥考爾斯（Cowles）經(jīng)濟(jì)研究委員會(huì)，阿羅出于某種原因?qū)?jīng)濟(jì)研究委員會(huì)選擇政治學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣：

6、他發(fā)現(xiàn)在某些條件下，“少數(shù)服從多數(shù)”的確可以成為一個(gè)合理的投票規(guī)則。但是一個(gè)月后，他在政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志里發(fā)現(xiàn)布萊克 （Black ）的一 篇文章已捷足先登，這篇文章表達(dá)了同樣的思想看來(lái)只好再一次半途而廢了。阿羅沒(méi)有繼續(xù)研究下去其實(shí)還有另一層的原因，就是他一直以嚴(yán)肅的經(jīng)濟(jì)學(xué)研究為己任，特別是致力于運(yùn)用一般均衡理論來(lái)建立一個(gè)切實(shí)可行的模型作為經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析的基礎(chǔ)他認(rèn)為在除此以外的 “旁門(mén)左道”中深究下去會(huì)分散他的精力。1949年夏天，阿羅擔(dān)任蘭德公司 （Rand）的顧問(wèn)。這個(gè)為給美國(guó)空軍提供咨詢而建立起 來(lái)的公司那時(shí)的研究范圍十分廣泛，包括當(dāng)時(shí)尚屬鮮為人知的對(duì)策論。職員中有個(gè)名叫赫爾墨（口Helmed

7、）的哲學(xué)家試圖將對(duì)策論應(yīng)用于國(guó)家關(guān)系的研究，但是有個(gè)問(wèn)題令他感到十分棘手：當(dāng)將局中人詮釋為國(guó)家時(shí)，盡管個(gè)人的偏好是足夠清楚的，但是由個(gè)人組成的集體的偏好是如何定義的呢 ？阿羅告訴他，經(jīng)濟(jì)學(xué)家已經(jīng)考慮過(guò)這個(gè)問(wèn)題，并且一個(gè)恰當(dāng)?shù)男问?化描述已蘭德公司經(jīng)由伯格森（Bergson ）在1938年給出。伯格森用一個(gè)叫做社會(huì)福利函數(shù)的映射來(lái)描述 將個(gè)人偏好匯集成為社會(huì)偏好的問(wèn)題，它將諸個(gè)人的效用組成的向量轉(zhuǎn)化為一個(gè)社會(huì)效用， 雖然伯格森的敘述是基于基數(shù)效用概念的，但是阿羅告訴赫爾墨，不難用序數(shù)效用概念加以重新表述。于是赫爾墨順?biāo)浦?，?qǐng)阿羅為他寫(xiě)一個(gè)詳細(xì)的說(shuō)明。當(dāng)阿羅依囑著手去做時(shí)， 他立即意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題

8、跟兩年來(lái)一直困擾著他的問(wèn)題實(shí)際上是一樣的。既然已經(jīng)知道“少數(shù)服從多數(shù)” 一般來(lái)說(shuō)不能將個(gè)人的偏好匯集成社會(huì)的偏好，阿羅猜測(cè)也許會(huì)有其他方法。幾天的試探碰壁之后，阿羅懷疑這個(gè)問(wèn)題會(huì)有一個(gè)不可能性的結(jié)果。果然，他很快就發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)結(jié)果；幾個(gè)星期以后，他又對(duì)這個(gè)結(jié)果作進(jìn)一步加強(qiáng)。阿羅不可能定理就這樣誕生了。從1947年萌發(fā)胚芽到1950年開(kāi)花結(jié)果，阿羅不可能定理的問(wèn)世可謂一波三折，千呼萬(wàn)喚始出來(lái)，而且頗有點(diǎn)無(wú)心插柳的意味。但是，正是在這無(wú)心背后的對(duì)科學(xué)鍥而不舍的追求， 才使邏輯學(xué)在社會(huì)科學(xué)這塊他鄉(xiāng)異壤開(kāi)出一朵千古留芳的奇葩這不能不說(shuō)是耐人尋味的。內(nèi)容編輯阿羅的不可能定理源自孔多塞的“投票悖論”，早

9、在十八世紀(jì)法國(guó)思想西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家孔多賽就提出了著名的“投票悖論”：假設(shè)甲乙丙三人，面對(duì) ABC三個(gè)備選方案，有如圖的偏好排序。甲（abc）;乙（bca）;丙（cab）注：甲（abc）代表甲偏好 a勝于b,又偏女b b勝于c。1、若取“ a”、“b”對(duì)決，那么按照偏好次序排列如下：甲（ab）;乙（ba）;丙（ab）;社會(huì)次序偏好為（ab）2、若取“ b”、“c”對(duì)決，那么按照偏好次序排列如下： 甲（bc）;乙（bc）;丙（cb）;社會(huì)次序偏好為（bc） 3、若取“ a”、“c”對(duì)決，那么按照偏好次序排列如下： 甲（ac）;乙（ca）;丙（ca）;社會(huì)次序偏好為（ca） 于是得到三個(gè)社會(huì)偏好次序一一

10、（ab）、（bc）、（ca）,其投票結(jié)果顯示“社會(huì)偏好”有如下事實(shí)：社會(huì)偏好a勝于b、偏女? b勝于c、偏好c勝于a。顯而易見(jiàn)，這種所謂的 “社會(huì)偏好次序”包含有內(nèi)在的矛盾，即社會(huì)偏好a勝于c,而又認(rèn)為a不如c!所以按照投票的大多數(shù)規(guī)則，不能得出合理的社會(huì)偏好次序。表1投票悖論投票者對(duì)不同選擇方案的偏好次序 甲 a b c 乙 b c a 丙 c a b 證明編輯阿羅的不可能性定理是指，如果眾多的社會(huì)成員具有不同的偏好，而社會(huì)又有多種備選方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都滿意的結(jié)果。阿羅不可能定理說(shuō)明， 依靠簡(jiǎn)單多數(shù)的投票原則，要在各種個(gè)人偏好中選擇出一個(gè)共同一致的順序，是不可能的

11、。這樣，一個(gè)合理的公共產(chǎn)品決定只能來(lái)自于一個(gè)可以勝任的公共 權(quán)利機(jī)關(guān)，要想借助于投票過(guò)程來(lái)達(dá)到協(xié)調(diào)一致的集體選擇結(jié)果，一般是不可能的。推理及評(píng)價(jià)編輯推理為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定，每個(gè)個(gè)體至少有3個(gè)供排列的選項(xiàng)，可以用各種味道的餅干為選 項(xiàng)的例子，如，香草餅干（V）、巧克力餅干（C）和草莓餅干（S）,每一個(gè)人要形成一個(gè)序列， 表示出他對(duì)3種味道的喜愛(ài)程度，如VSC表示這個(gè)人最喜歡香草餅干，其次是草莓餅干，最后是巧克力餅干。設(shè)有甲乙丙三人作選擇，他們的個(gè)人偏好為：甲：VCS 乙：CSV 丙：SVC投票者對(duì)不同選擇方案的偏好次序，甲：V;C;So乙：C;S;V。丙：S;V;Co用民主的多數(shù)表決方式，如果三

12、個(gè)人都能充分表達(dá)自己的意見(jiàn)，則結(jié)果必然如下所示： 首先，在V和C中選擇，甲、丙喜歡 V,乙喜歡C;然后，在C和S中選擇，甲、乙喜歡 C,丙喜歡S;最后，在V和S中選擇，乙、丙喜歡 S,甲喜歡V。這樣三個(gè)人的最終表決結(jié)果如下：VC CS SV可見(jiàn)，利用少數(shù)服從多數(shù)的投票機(jī)制，將產(chǎn)生不出一個(gè)令所有人滿意的 結(jié)論，這就是著名的“投票悖論（paradoxofvoting ）。這個(gè)投票悖論最早是由康德?tīng)栙悾–oudorcet , Marquisde ）在18世紀(jì)提出的，因而該悖論又稱(chēng)為“康德?tīng)栙愋?yīng)“，而利用數(shù)學(xué)對(duì)其進(jìn)行論證的則是阿羅。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，即：假設(shè)群體S上有m個(gè)個(gè)體成員，群體中出現(xiàn)的各群體種

13、事件構(gòu)成一個(gè)集合 X,每個(gè)個(gè)體對(duì)每一事件都有自己的態(tài)度，即每個(gè)人都對(duì)集合X有一個(gè)偏好關(guān)系i=1 , 2,傕即可以按自己的偏好為事件排序。定義群體的偏好為：其中P是一種由每個(gè)個(gè)體偏好得出群體偏好的規(guī)則。按這個(gè)規(guī)則從個(gè)體排序（偏好）得到群體排 序（偏好），而且這個(gè)排序符合民主社會(huì)的民主決策的各種要求。注意這個(gè)排序是自反的， 即如果AB,那么，BB BC則有AC;并且還是完全的，即要 么AB,要么BA,二者只有其一而且必有其一。這首先要考察一下民主社會(huì)的民主決策的 各種要求是什么，阿羅用4個(gè)公理（有時(shí)表述為5條，把公理1分為兩條）表述出這些要求。 他用的是數(shù)學(xué)方法， 符號(hào)化的公理和數(shù)理邏輯的證明方法

14、，為了簡(jiǎn)單地說(shuō)明問(wèn)題， 采用了自然語(yǔ)言解釋。公理公理1:個(gè)體可以有任何偏好；而且是民主選擇一一每個(gè)社會(huì)成員都可以自由地按自己 的偏好進(jìn)行選擇（數(shù)學(xué)上稱(chēng)為原則U-無(wú)限制原則：i,u=1, 2, , m在x上的定義方式無(wú)任何限制）。公理2：不相干的選擇是互相獨(dú)立的；（數(shù)學(xué)上稱(chēng)為原則I 獨(dú)立性原則：對(duì)于X中的 兩個(gè)事件X和Y,對(duì)它們做出的偏好判斷與 X中的任何其他事件無(wú)關(guān)）。公理3:社會(huì)價(jià)值與個(gè)體價(jià)值之間有正向關(guān)聯(lián)；（數(shù)學(xué)上稱(chēng)為原則 P致性原則：如果對(duì)X中的兩個(gè)事件 X和Y,對(duì)于所有的i都有xiY不成立。就是說(shuō)，每人都有同樣明確態(tài)度 的兩件事，社會(huì)也應(yīng)該有同樣的態(tài)度。）公理4:沒(méi)有獨(dú)裁者一一不存在能

15、把個(gè)體偏好強(qiáng)加給社會(huì)的可能。（數(shù)學(xué)上稱(chēng)為原則 D非獨(dú)裁原則：不存在某個(gè)i ,使得阿羅證明，滿足這 4條公理表述的要求的民主決策的規(guī)則是不存在的，就是著名的“阿羅不可能性定理”：如果X中的事件個(gè)數(shù)不小于 3,那么就不存在任何遵循原則 U, P, I, D的規(guī)則（稱(chēng)為“社會(huì)福利函數(shù)”）。這表明滿足所有一般 條件的民主選擇要么是強(qiáng)加的，要么就是獨(dú)裁的結(jié)果。換句話說(shuō)，阿羅不可能性定理指出，多數(shù)規(guī)則（majorilyrule ）的一個(gè)根本缺陷就是在實(shí)際決策中往往導(dǎo)致循環(huán)投票。在得多數(shù)票獲勝的規(guī)則下，每個(gè)人均按照他的偏好來(lái)投票。不難看出，大多數(shù)人是偏好X勝于Y,同樣大多數(shù)人也是偏好 Y勝于Z。按照邏輯上的

16、一致性，這種偏好應(yīng)當(dāng)是可以傳 遞的（transitivity ）,即大多數(shù)人偏好 X勝于Z。但實(shí)際上，大多數(shù)人偏好Z勝于X。因此, 以投票的多數(shù)規(guī)則來(lái)確定社會(huì)或集體的選擇會(huì)產(chǎn)生循環(huán)的結(jié)果。結(jié)果，在這些選擇方案中， 沒(méi)有一個(gè)能夠獲得多數(shù)票而通過(guò)，這就是“投票悖論”，它對(duì)所有的公共選擇問(wèn)題都是一種固有的難題，所有的公共選擇規(guī)則都難以避開(kāi)這兩難境地。那么，能不能設(shè)計(jì)出一個(gè)消除循環(huán)投票，做出合理決策的投票方案呢？阿羅的結(jié)論是：根本不存在一種能保證效率、尊重個(gè)人偏好、并且不依賴程序（agenda ）的多數(shù)規(guī)則的投票方案。簡(jiǎn)單地說(shuō)，阿羅的不可能定理意味著， 在通常情況下，當(dāng)社會(huì)所有成員的偏好為已知 時(shí)，不

17、可能通過(guò)一定的方法從個(gè)人偏好次序得出社會(huì)偏好次序，不可能通過(guò)一定的程序準(zhǔn)確地表達(dá)社會(huì)全體成員的個(gè)人偏好或者達(dá)到合意的公共決策。這個(gè)結(jié)果是令人震動(dòng)的：一個(gè)社會(huì)不可能有完全的每個(gè)個(gè)人的自由一一否則將導(dǎo)致獨(dú) 裁；一個(gè)社會(huì)也不可能實(shí)現(xiàn)完全的自由經(jīng)濟(jì)一一否則將導(dǎo)致壟斷。人們對(duì)社會(huì)的認(rèn)識(shí)達(dá)到一個(gè)新的高度。因此阿羅的不可能定理一經(jīng)問(wèn)世便對(duì)當(dāng)時(shí)的政治哲學(xué)和福利經(jīng)濟(jì)學(xué)產(chǎn)生了巨大 的沖擊，甚至招來(lái)了上百篇文章對(duì)他的定理的駁斥。李特爾、薩繆爾森試圖以與福利經(jīng)濟(jì)學(xué)不相干的論點(diǎn)來(lái)駁倒阿羅的不可能定理，但又遭到肯普、黃有光和帕克斯的反駁， 他們甚至建立了在給定個(gè)人次序情況下的不可能性結(jié)果。事實(shí)上，阿羅的不可能性定理經(jīng)受住

18、了所有技術(shù)上的批評(píng)，其基本理論從來(lái)沒(méi)有受到重大挑戰(zhàn)，可以說(shuō)是無(wú)懈可擊的，于是阿羅不可能定理似乎成為規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的一個(gè)不可逾 越的障礙。怎樣綜合社會(huì)個(gè)體的偏好，怎樣在理論上找到一個(gè)令人滿意的評(píng)價(jià)不同社會(huì)形態(tài) 的方法，成為一個(gè)世界性難題。這時(shí)候出現(xiàn)了阿馬弟亞森（AmartyaKumarSen, 1933 ）從20世紀(jì)60年代中期起，森在工具性建設(shè)方面的貢獻(xiàn)減少了這種悲觀主義色彩。森在這方面的研究推動(dòng)了規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)跨越這個(gè)障礙向前發(fā)展。他的研究工作不僅豐富了社會(huì)選擇理論的原則，而且開(kāi)辟了一個(gè)新的、重要的研究天地。 森1970年的著作集體選擇和社會(huì)福利是其最重要的一部著作，它使許多研究者恢復(fù)了對(duì)基本福

19、利的興趣。森所建議的解決方法其實(shí)非常簡(jiǎn)單。森發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所有人都同意其中一項(xiàng)選擇方案并非最佳的情況下，阿羅的“投票悖論”就可以迎刃而解。比如，假定所有人均同意V項(xiàng)選擇方案并非最佳，這樣上面的表 1就變?yōu)楸?,僅僅甲的偏好由于同意“ V并非最佳”而 V和C的 順序互換了一下，別的都不變。投票者對(duì)不同選擇方案的偏好次序，甲：C;V;S。乙：C;S;V。丙：S;V;Co在V和C兩種方案投票時(shí)，C以兩票（甲乙）對(duì)一票（丙）而勝出于V（CV）;同理，在XV和S以及C和S分別進(jìn)行投票時(shí)，可以得到 S以兩票（乙丙）對(duì)一票（甲）而勝出于 V（SV）; C以兩票（甲乙）對(duì)一票（丙）而勝出于 S（CS）。這樣，CS-

20、SV-CV,投票悖論 就此宣告消失，唯有 C項(xiàng)選擇方案得到大多數(shù)票而獲勝。森把這個(gè)發(fā)現(xiàn)加以延伸和拓展，得出了解決投票悖論的三種選擇模式：所有人都同意其中一項(xiàng)選擇方案并非最佳；所有人都同意其中一項(xiàng)選擇方案并非次佳；表2投票悖論的解決投票者對(duì)不同選擇方案的偏好次序 甲 CVS乙CSV丙SVC所有人都同意其中一項(xiàng)選擇方案并非最差。森認(rèn)為，在上述三種選擇模式下， 投票悖論不會(huì)再出現(xiàn)， 取而代之的結(jié)果是得大多數(shù)票 者獲勝的規(guī)則總是能達(dá)到唯一的決定。一個(gè)更完整、更簡(jiǎn)單也更具一般意義的不可能性定理，是艾利亞斯在2004年發(fā)表的。這一定理聲稱(chēng)：如果有多于兩個(gè)可供選擇的社會(huì)狀態(tài)，那么，任何社會(huì)集結(jié)算子， 只要滿足“偏好逆轉(zhuǎn)”假設(shè)和“弱帕累托”假設(shè)，就必定是獨(dú)裁的。特別地，阿羅的社會(huì)福利函數(shù)和森的社會(huì)選擇函數(shù)，都是社會(huì)集結(jié)算子的特例，并且偏好逆轉(zhuǎn)假設(shè)在阿羅和繆勒各自定義的社會(huì)選擇框架內(nèi)分別等價(jià)于阿羅的“獨(dú)立性假設(shè)”和繆勒的“單調(diào)性假設(shè)”，從而阿羅的不可能性定理、森的最小自由與帕累托效率兼容的不可能性定理、繆勒和塞特斯維特的一般不可能性定