數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)椅子問題

1、關(guān)于數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)椅子問題第一張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCODC B A 用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性第二張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f() , g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意, f(), g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問題已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ;

2、 對(duì)任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地第三張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0.由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因?yàn)閒() g()=0, 所以f(0) = g(0) =

3、0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì) 考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和 f(), g()的確定第四張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1.3.2 商人們?cè)鯓影踩^河問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)第五張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月模型構(gòu)成xk第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,

4、 yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合uk第k次渡船上的商人數(shù)vk第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題第六張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月模型求解xy3322110 窮舉法 編程上

5、機(jī) 圖解法狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn) 10個(gè) 點(diǎn)允許決策 移動(dòng)1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, ，d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2第七張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 19

6、95 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長(zhǎng)1.3.3 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)第八張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計(jì)算公式x(t) 時(shí)刻t的人口基本假設(shè) : 人口(相對(duì))增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)第九張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合19世紀(jì)后多數(shù)地

7、區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)第十張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第十一張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)第十二張，PPT共十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2