六年級(jí)奧數(shù)第11講周期工程問題（教師版）

1、 PAGE 頁碼 13 / NUMPAGES 總頁數(shù) 13六年級(jí)奧數(shù)第11講周期工程問題教師版教學(xué)目標(biāo)了解工作量、工作時(shí)間及工作效率的意思；能夠從題目中找出工作量、工作時(shí)間及工作效率；理解三者之間的關(guān)系,并用三者關(guān)系解題。知識(shí)梳理 熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法；工程問題中常出現(xiàn)單獨(dú)做,幾人合作或輪流做,分析時(shí)一定要學(xué)會(huì)分段處理；根據(jù)題目中的實(shí)際情況能夠正確進(jìn)行單位“1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術(shù)方法在其他類型題目中的應(yīng)用典例分析 考點(diǎn)一：周期性工程問題例1、一件工程,甲單獨(dú)做要小時(shí),乙單獨(dú)做要小時(shí),如果接甲、乙、甲、乙順序交替工作,每次小時(shí),那么需要多長

2、時(shí)間完成？【解析】甲小時(shí)完成整個(gè)工程的,乙小時(shí)完成整個(gè)工程的,交替干活時(shí)兩個(gè)小時(shí)完成整個(gè)工程的,甲、乙各干小時(shí)后完成整個(gè)工程的,還剩下,甲再干小時(shí)完成整個(gè)工程的,還剩下,乙花小時(shí)即分鐘即可完成所以需要小時(shí)分鐘來完成整個(gè)工程例2、一項(xiàng)工程,乙單獨(dú)做要天完成如果第一天甲做,第二天乙做,這樣交替輪流做,那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙做,第二天甲做,這樣交替輪流做,那么比上次輪流的做法多用半天完工問：甲單獨(dú)做需要幾天？【解析】甲、乙輪流做,如果是偶數(shù)天完成,那么乙、甲輪流做必然也是偶數(shù)天完成,且等于甲、乙輪流做的天數(shù),與題意不符；所以甲、乙輪流做是奇數(shù)天完成,最后一天是甲做的那么乙、甲輪流做比甲、

3、乙輪流做多用半天,這半天是甲做的如果設(shè)甲、乙工作效率分別為和,那么,所以,乙單獨(dú)做要用天,甲的工作效率是乙的倍,所以甲單獨(dú)做需要天例3、蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管要灌滿一池水,單開進(jìn)水管需小時(shí)；排光一池水,單開排水管需小時(shí)現(xiàn)在池內(nèi)有半池水,如果按進(jìn)水,排水,進(jìn)水,排水的順序輪流各開小時(shí)問：多長時(shí)間后水池的水剛好排完？精確到分鐘【解析】法一：小時(shí)排水比小時(shí)進(jìn)水多,說明排水開了小時(shí)后實(shí)際加上進(jìn)水3小時(shí),已經(jīng)過去小時(shí)了,水池還剩一池子水的,再過小時(shí),水池里的水為一池子水的,把這些水排完需要小時(shí),不到1小時(shí),所以共需要 小時(shí)小時(shí)分法二：小時(shí)排水比小時(shí)進(jìn)水多,說明小時(shí)以后,水池的水全部排完,并且多排

4、了一池子水的,排一池子需要小時(shí),排一池子水的需要小時(shí),所以實(shí)際需要小時(shí)小時(shí)分考點(diǎn)二：水管問題例1、一池水,甲、乙兩管同時(shí)開,5小時(shí)灌滿；乙、丙兩管同時(shí)開,4小時(shí)灌滿現(xiàn)在先開乙管6小時(shí),還需甲、丙兩管同時(shí)開2小時(shí)才能灌滿乙單獨(dú)開幾小時(shí)可以灌滿？【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了,根據(jù)“現(xiàn)在先開乙管6小時(shí),還需甲、丙兩管同時(shí)開2小時(shí)灌滿”,我們可以把乙管的6小時(shí)分成3個(gè)2小時(shí),第一個(gè)2小時(shí)和甲同時(shí)開,第二個(gè)2小時(shí)和丙同時(shí)開,第三個(gè)2小時(shí)乙管單獨(dú)開這樣就變成了甲、乙同時(shí)開2小時(shí),乙、丙同時(shí)開2小時(shí),乙單獨(dú)開2小時(shí),正好灌滿一池水可以計(jì)算出乙單獨(dú)灌水的工作量為,所以乙的工作效率為：,所以

5、整池水由乙管單獨(dú)灌水,需要小時(shí)例2、一個(gè)蓄水池,每分鐘流入4立方米水.如果打開5個(gè)水龍頭,2小時(shí)半就把水池水放空,如果打開8個(gè)水龍頭,1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭,問要多少時(shí)間才能把水放空？【解析】先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘,多流入水4 60= 240立方米.時(shí)間都用分鐘作單位,1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240 5 150- 8 90= 8立方米,8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8 8 90,其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 90,因此原來水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400立方米.打開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水813,除去每分鐘流入

6、4,其余將放出原存的水,放空原存的5400,需要5400 8 13- 4=54分鐘.所以打開13個(gè)龍頭,放空水池要54分鐘.水池中的水,有兩部分,原存有水與新流入的水,就需要分開考慮,解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.考點(diǎn)三：比例法及工資分配問題例1、有一項(xiàng)工程,有三個(gè)工程隊(duì)來爭奪施工權(quán)利,已知甲乙丙三個(gè)工程隊(duì)都是工作時(shí)間長短來付費(fèi)的,甲、乙兩隊(duì)合作,天可以全部完工,共需要支付元,由乙、丙兩隊(duì)合作,天可以完工,共需要支付元,由甲、丙兩隊(duì)合作,天可以完成,共需要支付,如果該工程只需要一個(gè)工程隊(duì)承建,如果只能一個(gè)隊(duì)伍單獨(dú)施工,那么最快的比最慢的會(huì)早完工_天.需要支付速度最

7、快的隊(duì)伍_元. 【解析】甲乙丙的工效和為,所以甲的工效為,乙的工效為,丙的工效為,所以從時(shí)間上考慮,應(yīng)該選擇甲,會(huì)比丙早完工天,同樣的道理,甲乙丙的每日工資之和是 元,所以甲的每日費(fèi)用為元,乙的費(fèi)用為元,丙的費(fèi)用為元,所以需要支付速度最快的隊(duì)伍元例2、一項(xiàng)工程,甲15天做了后,乙加入進(jìn)來,甲、乙一起又做了,這時(shí)丙也加入進(jìn)甲、乙、丙一起做完已知乙、丙的工作效率的比為3：5,整個(gè)過程中,乙、丙工作的天數(shù)之比為2：1,問題中情形下做完整個(gè)工程需多少天? 【解析】方法一：先把整個(gè)工程分為三個(gè)階段：；且易知甲的工作效率為又乙、丙工作的天數(shù)之比為+：=2：1,所以有階段和階段所需的時(shí)間相等即甲、乙合作完成

8、的的工程與甲、乙、丙合作完成的工程所需的時(shí)間相等所以對(duì)于工作效率有：甲+乙2=甲+乙+丙,甲+乙=丙,那么有丙-乙=又有乙、丙的工作效率的比為3：5易知乙的工作效率為丙的工作效率為：那么這種情形下完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為：天.方法二：顯然甲的工作效率為設(shè)乙的工作效率為,那么丙的工作效率為所以有乙工作的天數(shù)為丙工作的天數(shù)為且有即解得所以乙的工作效率為丙的工作效率為高那么這種情形下完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為：天.實(shí)戰(zhàn)演練 課堂狙擊1.一項(xiàng)工程,甲單獨(dú)完成需l2小時(shí),乙單獨(dú)完成需15小時(shí)。甲乙合做1小時(shí)后,由甲單獨(dú)做1小時(shí),再由乙單獨(dú)做1小時(shí),甲、乙如此交替下去,則完成該工程共用_小時(shí)。【解析】甲乙合

9、做1小時(shí)后,還剩下：,甲乙單獨(dú)做2小時(shí),共做,還需要做25=10小時(shí),還剩下,需要甲做1小時(shí),還有,乙還需要做小時(shí),一共需要1+10+1+ 0.25=12.25小時(shí)2.規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程,要求第一個(gè)人先做1個(gè)小時(shí),第二個(gè)人接著做一個(gè)小時(shí),然后再由第一個(gè)人做1個(gè)小時(shí),然后又由第二個(gè)人做1個(gè)小時(shí),如此反復(fù),做完為止如果甲、乙輪流做一個(gè)工程需要小時(shí),而乙、甲輪流做同樣的工程只需要小時(shí),那乙單獨(dú)做這個(gè)工程需要多少小時(shí)？【解析】根據(jù)題意,有：,可知,甲做小時(shí)與乙做小時(shí)的工作量相等,故甲工作2小時(shí),相當(dāng)于乙1小時(shí)的工作量,所以,乙單獨(dú)工作需要小時(shí)3.蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管,要灌滿一

10、池水,單開甲管需小時(shí),單開丙管需要小時(shí),要排光一池水,單開乙管需要小時(shí),單開丁管需要小時(shí),現(xiàn)在池內(nèi)有的水,若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁的順序輪流打開小時(shí),問多少時(shí)間后水開始溢出水池？【解析】甲乙丙丁順序循環(huán)各開小時(shí)可進(jìn)水：,循環(huán)次后水池還空：,的工作量由甲管注水需要：小時(shí),所以經(jīng)過小時(shí)后水開始溢出水池4.某水池可以用甲、乙兩個(gè)水管注水,單開甲管需12小時(shí)注滿,單開乙管需24小時(shí)注滿,若要求10小時(shí)注滿水池,且甲、乙兩管同時(shí)打開的時(shí)間盡量少,那么甲、乙最少要同時(shí)開放 小時(shí)【解析】要想同時(shí)開的時(shí)間最小,則根據(jù)工效,讓甲“滿負(fù)荷”地做,才可能使得同時(shí)開放的時(shí)間最小所以,乙開放的時(shí)間為小時(shí),即甲

11、、乙最少要同時(shí)開放4小時(shí)5.一個(gè)水箱,用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水若只開甲、丙兩管,甲管注入18噸水時(shí),水箱已滿；若只開乙、丙兩管,乙管注入27噸水時(shí),水箱才滿又知,乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍則該水箱最多可容納多少噸水？【解析】由于乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍那么甲管注入18噸水的時(shí)間是乙管注入噸水的時(shí)間,則甲管注入18噸水的時(shí)間與乙管注入27噸水的時(shí)間比是那么在這兩種情況下丙管注水的時(shí)間比為,而且前一種情況比后一種情況多注入噸水,則甲管注入18噸水時(shí),丙管注入水噸所以該水箱最多可容納水噸6.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路,最終按工作量分配8400元工資按兩隊(duì)原計(jì)劃的工作效率,

12、乙隊(duì)?wèi)?yīng)獲5040元實(shí)際上從第5天開始,甲隊(duì)的工作效率提高了1倍,這樣甲隊(duì)最終可比原計(jì)劃多獲得960元那么兩隊(duì)原計(jì)劃完成修路任務(wù)要多少天？【解析】開始時(shí)甲隊(duì)拿到元,甲、乙的工資比等于甲、乙的工效比,即為；甲提高工效后,甲、乙總的工資及工效比為設(shè)甲開始時(shí)的工效為“2”,那么乙的工效為“3”,設(shè)甲在提高工效后還需天才能完成任務(wù)有,化簡為,解得工程總量為,所以原計(jì)劃天完成7.某工地用種型號(hào)的卡車運(yùn)送土方已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為,速度比為,運(yùn)送土方的路程之比為,三種車的輛數(shù)之比為工程開始時(shí),乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸,但甲種車只有一半投入,直到天后,另一半甲種車才投入工作,一共干了天完成任務(wù)那么

13、,甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？【解析】由于甲、乙、丙三種卡車運(yùn)送土方的路程之比為,速度之比為,所以它們運(yùn)送次所需的時(shí)間之比為,相同時(shí)間內(nèi)它們運(yùn)送的次數(shù)比為：在前天,甲車只有一半投入使用,因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為由于三種卡車載重量之比為,所以三種卡車的總載重量之比為那么三種卡車在前天內(nèi)的工作量之比為：在后天,由于甲車全部投入使用,所以在后天里的工作量之比為所以在這天內(nèi),甲的工作量與總工作量之比為：8.一項(xiàng)工程,甲、乙兩隊(duì)合干需天,需支付工程款元；乙、丙兩隊(duì)合干需天,需支付工程款元；甲、丙兩隊(duì)合干需天,需支付工程款元如果要求總工程款盡量少,應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)？【解析】甲、乙一天完成工程

14、的；乙、丙一天完成工程的；甲、丙一天完成工程的所以,甲的工效為；乙的工效為；丙的工效為甲、乙一天需工程款元；乙、丙一天需工程款元；甲、丙一天需工程款元所以,甲一天的工程款為元；乙一天的工程款為元丙一天的工程款為元單獨(dú)完成整個(gè)工程,甲隊(duì)需工程款元；乙隊(duì)需工程款元；丙隊(duì)需工程款元所以應(yīng)該選擇乙隊(duì)課后反擊1、一項(xiàng)工程,甲單獨(dú)做要12小時(shí)完成,乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成若甲先做1小時(shí),然后乙接替甲做1小時(shí),再由甲接替乙做1小時(shí),兩人如此交替工作,請(qǐng)問：完成任務(wù)時(shí),共用了多少小時(shí)？【解析】 若甲、乙兩人合作共需多少小時(shí)？ 小時(shí) 甲、乙兩人各單獨(dú)做7小時(shí)后,還剩多少？ 余下的由甲獨(dú)做需要多少小時(shí)？ 小時(shí) 共用

15、了多少小時(shí)？ 小時(shí)2、一項(xiàng)工程,甲、乙合作小時(shí)可以完成,若第小時(shí)甲做,第小時(shí)乙做,這樣交替輪流做,恰好整數(shù)小時(shí)做完；若第小時(shí)乙做,第小時(shí)甲做,這樣交替輪流做,比上次輪流做要多小時(shí),那么這項(xiàng)工作由甲單獨(dú)做,要用多少小時(shí)才能完成？【解析】若第一種做法的最后一小時(shí)是乙做的,那么甲、乙共做了偶數(shù)個(gè)小時(shí),那么第二種做法中甲、乙用的時(shí)間應(yīng)與第一種做法相同,不會(huì)多小時(shí),與題意不符所以第一種做法的最后一小時(shí)是甲做的,第二種做法中最后小時(shí)是甲做的,而這小時(shí)之前的一小時(shí)是乙做的,所以乙甲甲,得乙甲甲、乙工作效率之和為：,甲的工作效率為：, 所以甲單獨(dú)做的時(shí)間為小時(shí)3、一項(xiàng)工程,甲隊(duì)單獨(dú)完成需40天。若乙隊(duì)先做10

16、天,余下的工程由甲、乙兩隊(duì)合作,又需20天可完成。如果乙隊(duì)單獨(dú)完成此工程,則需_天?！窘馕觥考酌刻焱瓿?甲乙合作中,甲一共完成,所以乙也一共完成,乙每天完成,乙單獨(dú)做要60天.4、有一項(xiàng)工程,甲單獨(dú)做需要36天完成,乙單獨(dú)做需要30天完成,丙單獨(dú)做需要48天完成現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時(shí)做,在工作期間,丙休息了整數(shù)天,而甲和乙一直工作至完成,最后完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天那么丙休息了 天【解析】設(shè)甲、乙工作了天,丙工作了天,則有：,化簡得由于和720都是15的倍數(shù),所以也是15的倍數(shù),而,所以,所以丙休息了天5、一個(gè)蓄水池裝有9根水管,其中1根為進(jìn)水管,其余8根為相同的出水管。開始進(jìn)水管以均勻的速

17、度不停地向這個(gè)蓄水池蓄水。池內(nèi)注入了一些水后,有人想把出水管也打開,使池內(nèi)的水再全部排光。如果把8根出水管全部打開,需要3小時(shí)可將池內(nèi)的水排光；而若僅打開3根出水管,則需要18小時(shí)。問如果想要在8小時(shí)內(nèi)將池中的水全部排光,最少要打開幾根出水管？【解析】設(shè)根排水管小時(shí)排水為“”,進(jìn)水速度為,原有水量為,如果想要在小時(shí)內(nèi)將池中的水全部排光,最少要打開根出水管,每根出水管1小時(shí)排水1份,又出水管的根數(shù)是整數(shù),故最少要打開5根出水管。6、某市有一項(xiàng)工程舉行公開招標(biāo),有甲、乙、丙三家公司參加競標(biāo)三家公司的競標(biāo)條件如下：公司名稱單獨(dú)完成工程所需天數(shù)每天工資/萬元甲10乙15丙30如果想盡快完工,應(yīng)該選擇哪

18、兩家公司合作？需要多少天完成？如果想盡量降低工資成本,應(yīng)該選擇哪兩家公司合作？完工時(shí)要付工資多少元？【解析】如果要想盡快完工,應(yīng)該選擇效率較高的兩家公司由于甲、乙、丙三家公司單獨(dú)做時(shí),每天完成的工作量分別為、,所以應(yīng)該選擇甲、乙這兩家公司合作甲、乙兩公司合作,完成工程需要的時(shí)間為天；如果想盡量降低工資成本,應(yīng)該選擇完成全部工程所需總工資較少的兩家公司由于甲、乙、丙三家公司單獨(dú)完成全部工程所需要的工資成本分別為萬元、萬元、萬元,所以應(yīng)當(dāng)選擇甲、丙這兩家公司合作甲、丙兩公司合作需要天才能完成工程,完工時(shí)要付的工資為：元7、一項(xiàng)工程,若請(qǐng)甲工程隊(duì)單獨(dú)做需個(gè)月完成,每月要耗資萬元；若請(qǐng)乙工程隊(duì)單獨(dú)做此項(xiàng)工程需個(gè)月完成,每月耗資萬元請(qǐng)問甲、乙兩工程隊(duì)合作需幾個(gè)月完成？耗資多少萬元？現(xiàn)要求最遲個(gè)月完成此項(xiàng)工程即可,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案,既保證按時(shí)完成任務(wù),又最大限度節(jié)省資金【解析】甲、乙兩工程隊(duì)每月完成的工程量分別占全部工程的、,那么甲、乙合作所需時(shí)間為：個(gè)月；甲、乙合作個(gè)月所耗資金為：萬元甲工程隊(duì)完成全部工作要耗資萬元,乙工程隊(duì)完成全部工作要耗資萬元,乙工程隊(duì)耗資較少,為了節(jié)省資金,應(yīng)盡量請(qǐng)乙工程隊(duì)來做,但是乙工程隊(duì)無法單獨(dú)在