備戰(zhàn)2017高考數(shù)學(xué)（精講 精練 精析）專(zhuān)題4.3 解三角形試題（江蘇版）（含解析）

1、專(zhuān)題3 解三角形【三年高考】1. 【2016高考江蘇，理15】在中，AC=6，（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求的值. 【答案】（1）；(2) （2）在中，所以，于是又故因?yàn)?，所以因此【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正余弦定理、兩角和與差的正余弦公式【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先應(yīng)從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙鉀Q三角問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)應(yīng)明確角的范圍、開(kāi)方時(shí)正負(fù)的取舍等.2【2015江蘇高考，15】（本小題滿分14分）在中，已知.（1）求的

2、長(zhǎng)；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）已知兩邊及夾角求第三邊，應(yīng)用余弦定理，可得的長(zhǎng)，（2）利用（1）的結(jié)果，則由余弦定理先求出角C的余弦值，再根據(jù)平方關(guān)系及三角形角的范圍求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值.試題解析：（1）由余弦定理知，所以（2）由正弦定理知，所以因?yàn)?，所以為銳角，則因此【考點(diǎn)定位】余弦定理，二倍角公式32016高考新課標(biāo)文數(shù)改編在中，邊上的高等于,則（ ）【答案】【解析】試題分析：設(shè)邊上的高線為，則，所以由正弦定理，知，即，解得考點(diǎn)：正弦定理【方法點(diǎn)撥】在平面幾何圖形中求相關(guān)的幾何量時(shí)，需尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，常常將

3、所涉及到已知幾何量與所求幾何集中到某一個(gè)三角形，然后選用正弦定理與余弦定理求解4【2016高考山東文數(shù)改編】中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知,則A=【答案】考點(diǎn)：余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用、三角函數(shù)的同角公式及誘導(dǎo)公式，是高考?？贾R(shí)內(nèi)容.本題難度較小，解答此類(lèi)問(wèn)題，注重邊角的相互轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵，本題能較好的考查考生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、基本計(jì)算能力等.5【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，a=1，則b=_.【答案】【解析】試題分析：因?yàn)?，且為三角形?nèi)角，所以，又因?yàn)?，所?考點(diǎn)： 正弦定理，三角函數(shù)和差公式.【名師點(diǎn)睛】

4、在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到6【2016高考北京文數(shù)】在ABC中， ，則=_.【答案】1考點(diǎn)：解三角形【名師點(diǎn)睛】根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用7【2016高考四川文科】（本題滿分12分）在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.（I

5、）證明：；（II）若，求.【答案】（）證明詳見(jiàn)解析；（）4.【解析】試題分析：（）已知條件式中有邊有角，利用正弦定理，將邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)化（本小題是將邊轉(zhuǎn)化為角），結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明；（）從已知式可以看出首先利用余弦定理解出cos A=，再根據(jù)平方關(guān)系解出sinA，代入（）中等式sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，解出tanB的值.試題解析：（）根據(jù)正弦定理，可設(shè)=k(k0)則a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C代入+=中，有+=，變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)在ABC中，由A+B+C=，有s

6、in(A+B)=sin(C)=sin C，所以sin Asin B=sin C考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.在解三角形的應(yīng)用中，凡是遇到等式中有邊又有角時(shí)，可用正弦定理進(jìn)行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問(wèn)題，一般是化為代數(shù)式變形問(wèn)題在角的變化過(guò)程中注意三角形的內(nèi)角和為這個(gè)結(jié)論，否則難以得出結(jié)論8【2016高考天津文數(shù)】（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，已知.()求B；()若，求sinC的值.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）利用正弦定理，將邊化為角：,再根據(jù)

7、三角形內(nèi)角范圍化簡(jiǎn)得，（）問(wèn)題為“已知兩角，求第三角”，先利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解試題解析：（）解：在中，由，可得，又由得，所以，得；（）解：由得，則，所以考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開(kāi)方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證.9【2016高考浙江文數(shù)】（本題滿分

8、14分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c已知b+c=2acos B（）證明：A=2B；（）若cos B=，求cos C的值【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）.【解析】試題分析：（I）先由正弦定理可得，進(jìn)而由兩角和的正弦公式可得，再判斷的取值范圍，進(jìn)而可證；（II）先用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，再用二倍角公式可得，進(jìn)而可得和，最后用兩角和的余弦公式可得試題解析：（I）由正弦定理得，故，于是，又，故，所以或，因此，（舍去）或，所以，.（II）由，得，故，.考點(diǎn)：三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理.【思路點(diǎn)睛】（I）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，

9、根據(jù)角的范圍可證；（II）先用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式可得，進(jìn)而可得和，再用兩角和的余弦公式可得10【2016高考新課標(biāo)1卷】 （本小題滿分為12分）的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知 （I）求C；（II）若的面積為,求的周長(zhǎng)【答案】（I）（II）【解析】試題分析：（I）先利用正弦定理進(jìn)行邊角代換化簡(jiǎn)得得,故；（II）根據(jù)及得再利用余弦定理得 再根據(jù)可得的周長(zhǎng)為試題解析：（I）由已知及正弦定理得,即故可得,所以（II）由已知,又,所以由已知及余弦定理得,故,從而所以的周長(zhǎng)為考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式【名師點(diǎn)睛】三角形中的三角變換常用到誘導(dǎo)公式, ,就是常用的結(jié)

10、論,另外利用正弦定理或余弦定理處理?xiàng)l件中含有邊或角的等式,?？紤]對(duì)其實(shí)施“邊化角”或“角化邊.”11【2015高考上海，理14】在銳角三角形中，為邊上的點(diǎn)，與的面積分別為和過(guò)作于，于，則 【答案】【解析】由題意得：，又,因?yàn)镈EAF四點(diǎn)共圓，因此12.【2015高考湖北，理13】如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 【答案】【解析】依題意，在中，由，所以，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即m，在中，因?yàn)?，所以，所以m.13.【2015高考山東，理16】設(shè).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）

11、在銳角中，角的對(duì)邊分別為,若,求面積的最大值.（II）由 得 ，由題意知為銳角，所以 ，由余弦定理： ，可得： ，即： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因此 ，所以面積的最大值為14.【2015高考四川，理19】 如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.（1）證明：（2）若求的值.【解析】（1）.（2）由，得.由（1），有 連結(jié)BD，在中，有，在中，有，所以 ，則，于是.連結(jié)AC，同理可得，于是，所以.15【2015高考陜西，理17】的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，向量與平行（I）求；（II）若，求的面積【解析】（I）因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，又，從而，由于，所?II)解法一：由余弦定理，得，而，

12、得，即，因?yàn)椋?故的面積為.解法二：由正弦定理，得，從而，又由，知，所以.故，所以的面積為.16. 【2014全國(guó)2高考理第4題】鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC= ，則AC=_.【答案】17.【2014天津高考理第12題】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是已知，則的值為_(kāi)【答案】【解析】因?yàn)榇氲?，由余弦定理?8.【2014全國(guó)1高考理第16題】已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則面積的最大值為_(kāi)【答案】19.【2014高考浙江理第18題】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，（I）求角的大小；（II）若，求的面積. 【解析】（I）由題意得，即，由得，又，得，即，所以；（II）由，得，由，得，從而

13、，故，所以的面積為【2017年高考命題預(yù)測(cè)】縱觀2016各地高考試題，解三角形問(wèn)題，是每年高考必考的知識(shí)點(diǎn)之一，題型一般是選擇和填空的形式，大題往往結(jié)合三角恒等變換，也有單獨(dú)解三角形,主要考查正弦定理或余弦定理的運(yùn)用，以及在三角形中運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換的能力和利用三角形面積求邊長(zhǎng)等,考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能，以及基本運(yùn)算的能力，特別突出算理方法的考查難度屬于中、低檔；分值為5分，或12分.高考對(duì)解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的綜合運(yùn)用為主，從近幾年的高考試題來(lái)看，正弦定理、余弦定理是高考的熱點(diǎn)，主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式

14、的證明問(wèn)題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關(guān)角等問(wèn)題.今后高考的命題會(huì)以正弦定理、余弦定理為知識(shí)框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用.題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題, 主要考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和處理交匯性問(wèn)題的能力故在201.7年復(fù)習(xí)備考中，注意掌握利用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為三角形中各邊之間的關(guān)系或各角之間的關(guān)系，并結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值預(yù)測(cè)2017年高考仍將以正弦定理、余弦定理，尤其是兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查計(jì)算能力以及應(yīng)用

15、數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力【2017年高考考點(diǎn)定位】高考對(duì)解三角形的考查有兩種主要形式：一是直接考查正弦定理、余弦定理；二是以正弦定理、余弦定理為工具考查涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問(wèn)題.從涉及的知識(shí)上講，常與誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,向量等知識(shí)相聯(lián)系，小題目綜合化是這部分內(nèi)容的一種趨勢(shì).【考點(diǎn)1】利用正余弦定理在三角形中求三角函數(shù)值、求角、求邊長(zhǎng)【備考知識(shí)梳理】1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在中，.（1）三邊之間的關(guān)系：.（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函

16、數(shù)定義），.2斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在中，為其內(nèi)角，分別表示的對(duì)邊.（1）三角形內(nèi)角和：.（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.（為外接圓半徑）變形：，;；.（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍；.推論：;.變形：;.【規(guī)律方法技巧】解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如），由求，由正弦定理求；（2）已知兩邊和夾角（如），應(yīng)用余弦定理求邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如），應(yīng)用正弦定理求B，由求，再由正弦定理或余弦定理求邊，要注意解可

17、能有多種情況；A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解也可設(shè)出第三邊,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.（4）已知三邊，應(yīng)余弦定理求，再由，求角. (5)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用(6)在含有三角形內(nèi)角的三角函數(shù)和邊的混合關(guān)系式中要注意變換方向的選擇正弦定理、余弦定理、三角形面積公式本身就是一個(gè)方程，在解三角形的試題中方程思想是主要的數(shù)學(xué)思想方法，要注意從方程的角度出發(fā)分析問(wèn)題(7)如何恰當(dāng)選擇正弦定理與余弦定理解題利用正弦定理解三角形時(shí)，可將正弦定理視為方程或方程

18、組，利用方程思想處理已知量與未知量的關(guān)系.熟記正弦定理同三角形外接圓半徑、三角形面積之間的關(guān)系等結(jié)論，對(duì)于相關(guān)問(wèn)題是十分有益的.利用正弦定理可解決以下兩類(lèi)問(wèn)題：一是已知兩角和一角的對(duì)邊，求其他邊角；二是已知兩邊和一邊對(duì)應(yīng)的角，求其他邊角，由于此時(shí)的三角形不能確定，應(yīng)對(duì)它進(jìn)行分類(lèi)討論.利用正弦定理解題一般適應(yīng)的特點(diǎn)（1）如果所給的等式兩邊有齊次的邊的形式或齊次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，這是高考中常見(jiàn)的形式；（2）根據(jù)所給條件構(gòu)造（1）的形式，便于利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用.余弦定理與平面幾何知識(shí)、向量、三角函數(shù)有著密切的聯(lián)系，常解決一下兩類(lèi)問(wèn)題：一

19、是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊角；二是已知三邊求三角.由于這兩種情形下三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一. 余弦定理的重要應(yīng)用(8)三角形的余弦定理作為解決三角形問(wèn)題的利劍，必須熟練掌握應(yīng)用.為此，就其常見(jiàn)的幾種變形形式，介紹如下.聯(lián)系完全平方式巧過(guò)渡:由則.聯(lián)系重要不等式求范圍：由，則當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.聯(lián)系數(shù)量積的定義式妙轉(zhuǎn)化：在中，由.(9)在三角形內(nèi)求值、證明或判斷三角形形狀時(shí)，要用正、余弦定理完成邊與角的互化，一般是都化為邊或都化為角，然后用三角公式或代數(shù)方法求解，從而達(dá)到求值、證明或判斷的目的解題時(shí)要注意隱含條件【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1. 【江蘇省如東高級(jí)中學(xué)2016屆高三上學(xué)期期中考

20、試數(shù)學(xué)試題】在銳角中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,的面積為，則的最大角的正切值是_【答案】【解析】由題意得，由余弦定理得：，因此B角最大，2.已知的三邊所對(duì)的角分別為,且, 則的值為_(kāi).【答案】【解析】由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以【考點(diǎn)2】利用正余弦定理求三角形面積【備考知識(shí)梳理】三角形的面積公式：（1）（分別表示上的高）；（2）；（3）；（4）；（為外接圓半徑）（5）；（6）；（7）.（為內(nèi)切圓半徑, ）【規(guī)律方法技巧】利用來(lái)求的面積是在已知兩邊及夾角的前提下來(lái)求的，事實(shí)上，兩邊及夾角中的某個(gè)(或兩個(gè))量需要通過(guò)解三角形求出，這就需要先利用正、余弦定理解三角形求

21、解此類(lèi)三角形的基本量的技巧：先將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，正確分析已知等式中的邊角關(guān)系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面積公式等工具進(jìn)行三角形中邊角的互化，若要把“邊”化為“角”，常利用“，;”，若要把“角”化為“邊”，常利用，;等；然后利用三角形的內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角等知識(shí)求出三角形的基本量解三角形中，應(yīng)特別注意問(wèn)題中的隱含條件，正弦定理和余弦定理，三角形的面積公式，三角形中的邊角關(guān)系，內(nèi)角和定理等例如利用邊的值判斷隱含條件或，極其隱蔽另外常見(jiàn)的錯(cuò)誤還有：(1)在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式子時(shí)要注意恒等變形不要輕易約分(消去某一個(gè)式子)等，(2)在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一

22、邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解，所以要進(jìn)行分類(lèi)討論【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1. 【江蘇省南京市2016屆高三年級(jí)第三次學(xué)情調(diào)研適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)】在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b3，sinC2sinA，則ABC的面積為 【答案】【解析】由正弦定理得：，因此由余弦定理得：，因此2【江蘇省啟東中學(xué)2015屆高三下學(xué)期期初調(diào)研測(cè)】.已知ABC中，B45，AC4，則ABC面積的最大值為 .【答案】；【解析】，得，ABC面積的最大值為【考點(diǎn)3】利用正余弦定理判斷三角形形狀【備考知識(shí)梳理】解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)的三邊為，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為.（1）角與角關(guān)系：；（

23、2）邊與邊關(guān)系：，；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理 .（為外接圓半徑）；余弦定理 ；.它們的變形形式有：，.5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn).（1）角的變換因?yàn)樵谥?，所以?；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式面積公式r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半.（3）在中，熟記并會(huì)證明：成等差數(shù)列的充分必要條件是；是正三角形的充分必要條件是成等差數(shù)列且成等比數(shù)列.【規(guī)律方法技巧】依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法：1利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的

24、形狀；2利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用這個(gè)結(jié)論如何利用余弦定理判定三角形的形狀由于與同號(hào)，故當(dāng)時(shí)，角為銳角；當(dāng)時(shí)，三角形為直角三角形；當(dāng)時(shí)，三角形為鈍角三角形三角形中常見(jiàn)的結(jié)論(1) .(2)在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4)在中，是的充要條件【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1. 【江蘇省啟東中學(xué)20152016學(xué)年度第一學(xué)期第一次階段測(cè)試】(本小題滿分14分)已知中，角、所對(duì)的邊分別為、，滿足求角的值；若，成等差數(shù)列，試判斷的形狀 【答案】（1）；（2）

25、等邊三角形【解析】由正弦定理，得：，整理，得：， 由余弦定理，得：，是的內(nèi)角，； ，成等差數(shù)列，由可知，整理，得：， 由，得，是等邊三角形2.設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若，則的形狀為_(kāi).【答案】直角三角形【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，所以，即，A為三角形內(nèi)角，所以sinA=1，A=，所以三角形是直角三角形 【考點(diǎn)4】正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用【備考知識(shí)梳理】仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角(如圖(a)2方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角如B點(diǎn)的方位角為(如圖

26、(b)3方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)度易混點(diǎn)：易混淆方位角與方向角概念：方位角是指北方向與目標(biāo)方向線按順時(shí)針之間的夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角【規(guī)律方法技巧】三角形應(yīng)用題的解題要點(diǎn)：解斜三角形的問(wèn)題，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中尋找出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形得出所要求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解有些時(shí)候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等正確理解和掌握方位角、俯角、仰角對(duì)于解決三角形應(yīng)用題也是必不可少的把握解三角形應(yīng)用題的四步：(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未

27、知，理清量與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型；(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解；(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等求距離問(wèn)題的注意事項(xiàng)：(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理求解高度問(wèn)題應(yīng)注意：(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫(huà)出示意圖；(3)運(yùn)用正

28、、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問(wèn)題的答案，注意方程思想的運(yùn)用解決測(cè)量角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)：(1)明確方位角的含義；(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步；(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1. 【江蘇省清江中學(xué)數(shù)學(xué)模擬試卷】（15分）在一個(gè)六角形體育館的一角MAN內(nèi)，用長(zhǎng)為a的圍欄設(shè)置一個(gè)運(yùn)動(dòng)器材存儲(chǔ)區(qū)域（如圖所示），已知，B是墻角線AM上的一點(diǎn)，C是墻角線AN上的一點(diǎn).（1）若，求存儲(chǔ)區(qū)域面積的最大值；（2）若，在折線MBCN內(nèi)選一點(diǎn)D，使，求四邊形存儲(chǔ)區(qū)域DBAC的最大面積.【

29、答案】（1）最大值為；（2）最大面積為.（2）由，知點(diǎn)D在以B，C為焦點(diǎn)的橢圓上，要使四邊形DBAC面積最大，只需的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點(diǎn).由，得短半軸長(zhǎng)，面積的最大值為.因此，四邊形ACDB面積的最大值為.2. 【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2015屆高三8月開(kāi)學(xué)】一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁和外壁都是半徑為1m的四分之一圓弧，分別與圓弧相切于兩點(diǎn)，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m.（1）若水平放置的木棒的兩個(gè)端點(diǎn)分別在外壁和上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)設(shè)試用表示木棒的長(zhǎng)度（2）若一根水平放置的木棒能通過(guò)該走廊拐角處，求木棒長(zhǎng)度的最大值若M在線段CT上，即若S

30、在線段GT的延長(zhǎng)線上，則TS=QS-QT，在中，因此（2）設(shè)，則，因此因?yàn)?，又，所以恒成立，因此函?shù)在是減函數(shù)，所以，即所以一根水平放置的木棒若能通過(guò)該走廊拐角處，則其長(zhǎng)度的最大值為【兩年模擬詳解析】1【南京市、鹽城市2016屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)】在中，設(shè)分別為角的對(duì)邊，若，則邊= .【答案】7【解析】由得，由得，由得2【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)20152016學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)】已知，若存在，滿足,則稱(chēng)是的一個(gè)“友好”三角形.若等腰存在“友好”三角形，則其底角的弧度數(shù)為 【答案】【解析】不妨設(shè)為頂角，則由題意得，且,因此有，逐一驗(yàn)證得：滿足3【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2016屆高三4月質(zhì)量監(jiān)測(cè)】已知A

31、BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且BC邊上的高為a，則的最大值為_(kāi)【答案】【解析】由題意得，因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)4【江蘇省蘇北三市（徐州市、連云港市、宿遷市）2016屆高三最后一次模擬考試】已知函數(shù)和函數(shù)的圖象交于三點(diǎn)，則的面積為 .【答案】5【鹽城市2016屆高三年級(jí)第三次模擬考試】在中，角所對(duì)的邊分別為，若為銳角三角形，且滿足，則的取值范圍是 .【答案】【解析】由得，因此即，因?yàn)闉殇J角三角形，所以從而，6【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)20152016學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)】設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且為鈍角.（1）證明：； （2）求的取值范圍.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由及正弦

32、定理，得，即，又為鈍角，因此，(不寫(xiě)范圍的扣1分)故，即；（2）由（1）知， 于是，因此，由此可知的取值范圍是7【江蘇省蘇中三市2016屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題】在斜三角形中，（1）求的值；（2）若，求的周長(zhǎng)【答案】（1）（2）（2）在中，則，由正弦定理，得， 故， 所以的周長(zhǎng)為8【江蘇省南京市2016屆高三年級(jí)第三次學(xué)情調(diào)研適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)】(本小題滿分14分)如圖，某水域的兩直線型岸邊l1，l2 成定角120o，在該水域中位于該角角平分線上且與頂點(diǎn)A相距1公里的D處有一固定樁現(xiàn)某漁民準(zhǔn)備經(jīng)過(guò)該固定樁安裝一直線型隔離網(wǎng)BC（B，C分別在l1和l2上），圍出三角形ABC養(yǎng)殖區(qū)，且AB和AC都

33、不超過(guò)5公里設(shè)ABx公里，ACy公里 （1）將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；（2）該漁民至少可以圍出多少平方公里的養(yǎng)殖區(qū)？【答案】（1）y,x|x5（2）【解析】(1)由SABDSACDSABC得xsin60ysin60 xysin120，所以x+y=xy，所以y，又0y5，0 x5，所以x5 所以定義域?yàn)閤|x5 ；(2)設(shè)ABC的面積為S，則結(jié)合（1）易得SxysinAxsin120，(x5)10分當(dāng)僅當(dāng)，x2時(shí)取等號(hào).故當(dāng)x=y=2時(shí)，面積S取最小值（平方公里）答：該漁民總共至少可以圍出平方公里的養(yǎng)殖區(qū)9【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題】在中，角的對(duì)邊分別是

34、，已知向量，且（1）求的值；（2）若，的面積，求的值【答案】（1）（2）10【江蘇省蘇北三市2016屆高三最后一次模擬考試】如圖，在梯形中，已知，.求：（1）的長(zhǎng)；（2）的面積.【答案】（1）（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以所以?在中，由正弦定理得（2）因?yàn)椋?所以在中，由余弦定理，得，解得，所以.11【江蘇省淮安市2015屆高三第五次模擬考試】在中，若，則的面積為 【答案】【解析】由，可得，又，則,所以,則12【淮安市淮海中學(xué)2015屆高三沖刺四統(tǒng)測(cè)模擬測(cè)試】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若且，則的面積的最大值為 【答案】13【揚(yáng)州市20142015學(xué)年度第四次調(diào)研測(cè)試試題高三數(shù)學(xué)】銳角中角的對(duì)邊

35、分別是, 的面積為, 則 【答案】【解析】由, 的面積為,可得,所以,又是銳角三角形,所以,所以.14【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2015屆高三第四次模擬考試（5月）】（本小題滿分15分）如圖，某廣場(chǎng)為一半徑為80米的半圓形區(qū)域，現(xiàn)準(zhǔn)備在其一扇形區(qū)域OAB內(nèi)建兩個(gè)圓形花壇，該扇形的圓心角為變量2（），其中半徑較大的花壇P內(nèi)切于該扇形，半徑較小的花壇Q與P外切，且與OA、OB相切（1）求半徑較大的花壇P的半徑（用表示）；（2）求半徑較小的花壇Q的半徑的最大值【答案】（1） ()；（2）最大值10.【解析】(1)設(shè)P切OA于M，連PM，Q切OA于N，連QN，記P、Q的半徑分別為P與O內(nèi)切，|OP|80， ()

36、 (2)|PQ|OP|OQ| ()法一：令t1sin(1,2)，令，80(2m23m1) 時(shí)，有最大值10 注意：換元不寫(xiě)范圍扣1分法二：sin(1sin) 此時(shí)sin，注意：不指出取等號(hào)的條件扣1分法三：令tsin(0,1)，令得：t，【列表略】故t時(shí)，Q的半徑的最大值為10 注意：不列表扣1分答：Q的半徑的最大值為10 注意：應(yīng)用題不寫(xiě)答扣1分15【2015年高考模擬(南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題)(2)】已知ABC的內(nèi)角A的大小為120，面積為（1）若AB，求ABC的另外兩條邊長(zhǎng)；（2）設(shè)O為ABC的外心，當(dāng)時(shí)，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，

37、b，c，于是，所以bc=4 因?yàn)?，所以由余弦定理?（2）由得，即，解得或4 設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則，因?yàn)镺為ABC的外心，所以，于是 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，16【南京市2015屆高三年級(jí)第三次模擬考試】（本小題滿分14分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c已知acosCccosA2bcosA（1）求角A的值；（2）求sinBsinC的取值范圍【答案】（1）Aeq F(,3)；（2）(eq F(eq R(,3),2)，eq R(,3) （2）sinBsinCsinBsin(eq F(2,3)B)sinBsineq F(2,3)cosBcoseq F(2,3)sinBeq F(3,2)

38、sinBeq F(eq R(,3),2)cosBeq R(,3)sin(Beq F(,6) 因?yàn)?Beq F(2,3)，所以eq F(,6)Beq F(,6)eq F(5,6)所以sinBsinC的取值范圍為(eq F(eq R(,3),2)，eq R(,3)17【南京市2015屆高三年級(jí)第三次模擬考試】如圖，摩天輪的半徑OA為50m，它的最低點(diǎn)A距地面的高度忽略不計(jì)地面上有一長(zhǎng)度為240m的景觀帶MN，它與摩天輪在同一豎直平面內(nèi)，且AM60m點(diǎn)P從最低點(diǎn)A處按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到最高點(diǎn)B處，記AOP， (0，)（1）當(dāng) eq f(2,3) 時(shí)，求點(diǎn)P距地面的高度PQ；（2）試確定 的值，使得MP

39、N取得最大值【答案】（1）75m；（2） eq f(,2)【解析】（1）由題意，得PQ5050cos 從而，當(dāng) eq f(2,3) 時(shí)，PQ5050cos eq f(2,3)75即點(diǎn)P距地面的高度為75m （2）（方法一）由題意，得AQ50sin ，從而MQ6050sin ，NQ30050sin 又PQ5050cos ，所以tanNPQ eq f(NQ,PQ) eq f(6sin,1cos) ，tanMPQ eq f(MQ,PQ) eq f(65sin,55cos) 從而tanMPNtan(NPQMPQ) eq f(tanNPQtanMPQ,1tanNPQtanMPQ) eq f( eq f(6sin,1cos) eq f(65sin,55cos),1 eq f(6sin,1cos) eq f(65sin,55cos) eq f(12(1cos),2318sin5cos) 令g( ) eq f(12(1cos),2318sin5cos) ， (0，)，則g() eq f(1218(sincos1),(2318sin5cos)2) ， (0，)由g()0，得sin cos 10，解得 eq f(,2) 當(dāng) (0， eq f(,2)時(shí)，g( )0，g