2018年高考數學專題27應用基本不等式求最值的求解策略黃金解題模板

1、PAGE 15專題27 應用基本不等式求最值的求解策略【高考地位】基本不等式是不等式一章重要內容之一，是求函數最值的一個重要工具，也是高考?？嫉囊粋€重要知識點。應用基本不等式求最值時，要把握基本不等式成立的三個條件“一正二定三相等”，忽略理任何一個條件，就會導致解題失敗，因此熟練掌握基本不等式求解一些函數的最值問題的解題策略是至關重要的?！痉椒c評】方法一 湊項法使用情景：某一類函數的最值問題解題模板：第一步 根據觀察已知函數的表達式，通常不符合基本不等式成立的三個條件“一正二定三相等”，將其配湊（湊項、湊系數等）成符合其條件； 第二步 使用基本不等式對其進行求解即可；第三步 得出結論.例1

2、已知點A在線段BC上（不含端點），O是直線BC外一點，且,則的最小值是_【答案】【變式演練1】已知，求函數的最大值?！敬鸢浮?【解析】試題分析：因，所以首先要“調整”符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。點評：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值?！咀兪窖菥?】求函數的最小值?！敬鸢浮?.方法二 分離法使用情景：某一類函數的最值問題解題模板：第一步 首先觀察已知函數的表達式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式； 第二步 把分母或分子的一次形式當成一個整體，并將分子或分母的二次形式配湊成一次形式的二次函數形式； 第

3、三步 將其化簡即可得到基本不等式的形式，并運用基本不等式對其進行求解即可得出所求的結果.例2 求的值域。【答案】詳見解析. 【解析】試題分析：當,即時,（當且僅當x1時取“”號）?！痉椒c晴】本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。【變式演練3】求函數的最值?！敬鸢浮吭斠娊馕?方法三 函數法使用情景：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況解題模板：第一步 運用湊項或換元法將所給的函數化簡為滿足基本不等式

4、的形式； 第二步 運用基本不等式并檢驗其等號成立的條件，若等號取不到則進行第三步，否則，直接得出結果即可； 第三步 結合函數的單調性，并運用其圖像與性質求出其函數的最值即可； 第四步 得出結論.例3 求函數的值域?！敬鸢浮吭斠娊馕?【變式演練4】下列函數中，最小值為4的是（ ）A B（）C D【答案】C【解析】試題分析：，當且僅當時等號成立，故選C.考點：基本不等式【高考再現】1.【2017山東理，7】若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】試題分析：因為，且，所以 ，所以選B. 【考點】1.指數函數與對數函數的性質.2.基本不等式.【名師點睛】比較冪或對數值

5、的大小,若冪的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數單調性進行比較,若底數不同,可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數函數、對數函數的性質及基本不等式作出判斷.2. 【2015高考四川，理9】如果函數在區(qū)間上單調遞減，則mn的最大值為（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【考點定位】函數與不等式的綜合應用.【名師點睛】首先弄清拋物線的開口方向和對稱軸，結合所給單調區(qū)間找到m、n滿足的條件，然后利用基本不等式求解.本題將函數的單調性與基本不等式結合考查，檢測了學生綜合運用知識解題的能力.在知識的交匯點命題，這是高考的一個方向，這類

6、題往往以中高檔題的形式出現.3. 【2015高考湖南，文7】若實數滿足，則的最小值為( )A、 B、2 C、2 D、4【答案】C【解析】，（當且僅當時取等號），所以的最小值為，故選C.【考點定位】基本不等式【名師點睛】基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數式的最值或取值范圍如果條件等式中，同時含有兩個變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個正數的和與積進行轉化，然后通過解不等式進行求解4. 【2015高考福建，文5】若直線過點，則的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【考點定位】基本不等

7、式【名師點睛】本題以直線方程為背景考查基本不等式，利用直線過點尋求變量關系，進而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三個條件“正，等，定”，屬于中檔題5.【2017江蘇，10】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是 .【答案】30【解析】總費用，當且僅當，即時等號成立.【考點】基本不等式求最值【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，

8、否則會出現錯誤.6.【2017山東文，12】若直線 過點（1,2）,則2a+b的最小值為 .【答案】【解析】【考點】基本不等式【名師點睛】應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”是指正數,“二定”是指應用基本不等式求最值時,和或積為定值,“三相等”是指滿足等號成立的條件在利用基本不等式求最值時,要根據式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數的形式,然后再利用基本不等式7. 【2015高考重慶，文14】設,則的最大值為_.【答案】【解析】由兩邊同時加上得兩邊同時開方即得：（且當且僅當時取“=”），從而有（當且僅當,即時，“=”成立），故填：.【考點定位】基本不

9、等式.【名師點睛】本題考查應用基本不等式求最值，先將基本不等式轉化為（a0,b0且當且僅當a=b時取“=”）再利用此不等式來求解.本題屬于中檔題，注意等號成立的條件.8.【2017天津理，12】若，則的最小值為_.【答案】 【考點】均值不等式【名師點睛】利用均指不等式求最值要靈活運用兩個公式，（1） ，當且僅當時取等號；（2） ， ，當且僅當時取等號；首先要注意公式的使用范圍，其次還要注意等號成立的條件；另外有時也考查利用“等轉不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.9. 【2015高考天津，文12】已知 則當a的值為 時取得最大值.【答案】4【反饋練習】1【安徽省蒙城縣2018屆高三上學期“五校

10、”聯(lián)考數學（文）試題】已知正項等比數列滿足，若存在兩項使得，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 因為正項等比數列滿足，所以，即，解得，因為存在兩項使得，所以，整理，得，所以，所以，當且僅當時，即等號成立，故選B.2【黑龍江省齊齊哈爾市2017屆高三上學期第一次模擬考試數學（文）試題】設，若恒成立，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于，則= 當2m=1-2m即m=時取等號；所以恒成立，轉化為的最小值大于等于，即 ；故選D 3【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年級第一學期聯(lián)考文科數學試題】已知正項等比數列的公比為2，若，則的最小值

11、等于（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】C 4【安徽省十大名校2018屆高三11月聯(lián)考數學（文）試題】若正數滿足，則（ ）A. 有最小值36，無最大值 B. 有最大值36,無最小值C. 有最小值6，無最大值 D. 有最大值6，無最小值【答案】A【解析】 因為，所以，因為，所以，解得，即，則的最小值為，無最大值，故選A.5【廣西桂林市柳州市2018年屆高三綜合模擬金卷（1）理科數學試題】已知圓和圓只有一條公切線，若且，則的最小值為（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 9【答案】D 6【2018屆高三南京市聯(lián)合體學校調研測試數學試題】已知實數 ， ，且滿足，則的最小值為_【答案】【解析】

12、 ，則 ，設 ，則由已知可得 解得 ，當且僅當 即 時等號成立即答案為7【遼寧省鞍山市第一中學2018屆高三上學期第二次模擬考試數學試題】函數（且）的圖象恒過定點，若點在直線上，其中均大于0，則的最小值為_【答案】【解析】函數的圖象恒過定點A(-3,-1),則,即.8【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區(qū)高中數學期中試題】已知， ， ，則的最大值為_.【答案】 9【江蘇省常州市武進區(qū)2018屆高三上學期期中考試數學（文）試題】已知， ， ，則的最小值為_.【答案】【解析】原式故答案為10【2017-2018學年度第一學期江蘇省常州北郊華羅庚江陰高中三校聯(lián)考高三數學試題】設是正實數，滿足，則的

13、最大值為_【答案】【解析】由題意可得，當且僅當且，即且時等號成立。所以。11【上海市交通大學附屬中學2018屆高三上學期開學摸底考試數學試題】已知兩正實數，滿足，則的最大值為_【答案】 12【江西省新余市第一中學2018屆畢業(yè)年級第二模擬考試理科數學試題】函數的圖像恒過定點，若點在直線上，且為正數，則的最小值為_【答案】4【解析】函數的圖象恒過定點， ， 點在直線上， ， ，當且僅當時取等號， 時， 的最小值為，故答案為.【易錯點晴】本題主要考查指數函數的性質以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.13【山東省德州市2017-2018學年高三年級上學期期中預測數學（文科）試題】如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在A