機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論 第二章知識

1、機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論 第二章第二章 空間描述和變換本章內(nèi)容2.1 概述2.2 描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系2.3 映射：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換2.4 總結(jié)2.5變換算法2.1 概述機(jī)器人操作：通過某種機(jī)構(gòu)使零件和工具在空間中運(yùn)動。如何定義和運(yùn)用表達(dá)操作臂位姿的數(shù)學(xué)量？我們必須定義坐標(biāo)系并并給出表達(dá)規(guī)則。世界坐標(biāo)系：我們采用的一個體系，作為我們討論任何問題，特別是定義其它坐標(biāo)系的一個參照坐標(biāo)系。1.位置描述一旦建立了坐標(biāo)系，我們就能用一個31位置矢量對世界坐標(biāo)系中的任何點進(jìn)行定位。其它坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系2.姿態(tài)描述對于一個剛體來說，我們發(fā)現(xiàn)不僅經(jīng)常需要表示它在空間中的位置，還經(jīng)常需要描述空間中物體的姿態(tài)

2、。為了描述剛體的姿態(tài)，我們將在剛體上固定一個坐標(biāo)系并且給出此坐標(biāo)系相對于參考系的表達(dá)。已知坐標(biāo)系B以某種方式固定在物體上因此點的位置可用矢量描述，物體的姿態(tài)可用固定在物體上的坐標(biāo)系來描述。坐標(biāo)系B主軸方向的三個單位矢量，把它們在坐標(biāo)系A(chǔ)中表達(dá)出來坐標(biāo)系B的單位矢量寫成在A中的表達(dá)我們將這三個單位矢量按照 的順序排列組成一個33的矩陣位置能用矢量來表示，姿態(tài)能用旋轉(zhuǎn)矩陣來表示怎樣計算 ? 可用每個矢量在其參考坐標(biāo)系中單位方向上投影的分量來表示。這個稱為旋轉(zhuǎn)矩陣于是，旋轉(zhuǎn)矩陣 的各個分量可用一對單位矢量的點積來表示：兩個單位矢量的點積可得到二者之間夾角的余弦，因此各分量又被稱作方向余弦以上表明旋轉(zhuǎn)

3、矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣3.坐標(biāo)系的描述完整描述圖中的操作手位姿所需的信息為位置和姿態(tài)我們定義這樣一對包含位置和姿態(tài)信息的坐標(biāo)實體旋轉(zhuǎn)矩陣原點位置矢量一個參考系可以用一個坐標(biāo)系相對于另一坐標(biāo)系的關(guān)系來描述。2.3 映射什么是映射？ 描述一個量從一個坐標(biāo)系到另一個坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)變換。1.平移映射兩個坐標(biāo)系具有相同的姿態(tài)我們已知矢量相對于某坐標(biāo)系B的定義 ，怎樣求矢量相對另一個坐標(biāo)系A(chǔ)的定義 ？ 且這兩個坐標(biāo)系原點重合。例2.1 圖中表示坐標(biāo)系B相對于坐標(biāo)系A(chǔ)繞 軸旋轉(zhuǎn)30度。這里 軸指向為由紙面向外。B繞 軸旋轉(zhuǎn)30度在A中寫出B的單位矢量，并且將它們按列組成旋轉(zhuǎn)矩陣，得到:已知：求出 ：這里

4、， 的作用是將相對于坐標(biāo)系A(chǔ)描述的 映射到 。注意:從映射的角度看，原矢量P在空間并沒有改變，我們只不過求出了這個矢量相對于另一個坐標(biāo)系的新的描述。3.關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射問題：我們已知矢量相對某坐標(biāo)系B的描述，想求出它相對于另一個坐標(biāo)系A(chǔ)的描述。一般的情形：（1）坐標(biāo)系B和坐標(biāo)系A(chǔ)不具有相同的姿態(tài)（2）坐標(biāo)系B和坐標(biāo)系A(chǔ)原點不重合(1)在坐標(biāo)系B和坐標(biāo)系A(chǔ)之間有一個矢量偏移(2) B 相對于A有旋轉(zhuǎn)，用 描述問題：給出 ，試著計算例2.2 圖2-8表示了一個坐標(biāo)系B，它繞坐標(biāo)系A(chǔ)的 軸旋轉(zhuǎn)了30度，沿 平移10個單位，再沿 平移5個單位。已知 ，求 。圖2-8 經(jīng)平移和旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系B坐標(biāo)系B

5、的定義為：按照B的定義和已知條件進(jìn)行變換：已知：2.4總結(jié)介紹了一個包括姿態(tài)和位置信息的4x4齊次變換矩陣，作為表示坐標(biāo)系的一般工具。它是坐標(biāo)系B相對于A的描述：它是變換映射：2.5變換算法混合變換（乘法變換）已知 ，求已知坐標(biāo)系C相對于坐標(biāo)系B，并且已知坐標(biāo)系B相對于坐標(biāo)系A(chǔ)。即，我們知道答案：步驟(1)將 變換成 ：步驟(2)將 變換成 ：步驟(3)聯(lián)立步驟(1)、(2)，消去中間項 ，得到給定已知的B 和 C的描述：可以得到從 C到A的齊次變換矩陣：2.逆變換 已知坐標(biāo)系B相對于坐標(biāo)系A(chǔ) 的描述，即已知怎樣求A相對于B的描述？ 一個可能的方法：直接對矩陣 求逆另一種方法：利用變換的性質(zhì)求逆，即利用矩陣 的特殊結(jié)構(gòu)步驟1) 由 計算