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1、機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論 第二章第二章 空間描述和變換本章內(nèi)容2.1 概述2.2 描述:位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系2.3 映射:從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換2.4 總結(jié)2.5變換算法2.1 概述機(jī)器人操作:通過(guò)某種機(jī)構(gòu)使零件和工具在空間中運(yùn)動(dòng)。如何定義和運(yùn)用表達(dá)操作臂位姿的數(shù)學(xué)量?我們必須定義坐標(biāo)系并并給出表達(dá)規(guī)則。世界坐標(biāo)系:我們采用的一個(gè)體系,作為我們討論任何問(wèn)題,特別是定義其它坐標(biāo)系的一個(gè)參照坐標(biāo)系。1.位置描述一旦建立了坐標(biāo)系,我們就能用一個(gè)31位置矢量對(duì)世界坐標(biāo)系中的任何點(diǎn)進(jìn)行定位。其它坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系2.姿態(tài)描述對(duì)于一個(gè)剛體來(lái)說(shuō),我們發(fā)現(xiàn)不僅經(jīng)常需要表示它在空間中的位置,還經(jīng)常需要描述空間中物體的姿態(tài)
2、。為了描述剛體的姿態(tài),我們將在剛體上固定一個(gè)坐標(biāo)系并且給出此坐標(biāo)系相對(duì)于參考系的表達(dá)。已知坐標(biāo)系B以某種方式固定在物體上因此點(diǎn)的位置可用矢量描述,物體的姿態(tài)可用固定在物體上的坐標(biāo)系來(lái)描述。坐標(biāo)系B主軸方向的三個(gè)單位矢量,把它們?cè)谧鴺?biāo)系A(chǔ)中表達(dá)出來(lái)坐標(biāo)系B的單位矢量寫(xiě)成在A中的表達(dá)我們將這三個(gè)單位矢量按照 的順序排列組成一個(gè)33的矩陣位置能用矢量來(lái)表示,姿態(tài)能用旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)表示怎樣計(jì)算 ? 可用每個(gè)矢量在其參考坐標(biāo)系中單位方向上投影的分量來(lái)表示。這個(gè)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)矩陣于是,旋轉(zhuǎn)矩陣 的各個(gè)分量可用一對(duì)單位矢量的點(diǎn)積來(lái)表示:兩個(gè)單位矢量的點(diǎn)積可得到二者之間夾角的余弦,因此各分量又被稱(chēng)作方向余弦以上表明旋轉(zhuǎn)
3、矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣3.坐標(biāo)系的描述完整描述圖中的操作手位姿所需的信息為位置和姿態(tài)我們定義這樣一對(duì)包含位置和姿態(tài)信息的坐標(biāo)實(shí)體旋轉(zhuǎn)矩陣原點(diǎn)位置矢量一個(gè)參考系可以用一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于另一坐標(biāo)系的關(guān)系來(lái)描述。2.3 映射什么是映射? 描述一個(gè)量從一個(gè)坐標(biāo)系到另一個(gè)坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)變換。1.平移映射兩個(gè)坐標(biāo)系具有相同的姿態(tài)我們已知矢量相對(duì)于某坐標(biāo)系B的定義 ,怎樣求矢量相對(duì)另一個(gè)坐標(biāo)系A(chǔ)的定義 ? 且這兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。例2.1 圖中表示坐標(biāo)系B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)繞 軸旋轉(zhuǎn)30度。這里 軸指向?yàn)橛杉埫嫦蛲?。B繞 軸旋轉(zhuǎn)30度在A中寫(xiě)出B的單位矢量,并且將它們按列組成旋轉(zhuǎn)矩陣,得到:已知:求出 :這里
4、, 的作用是將相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)描述的 映射到 。注意:從映射的角度看,原矢量P在空間并沒(méi)有改變,我們只不過(guò)求出了這個(gè)矢量相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系的新的描述。3.關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射問(wèn)題:我們已知矢量相對(duì)某坐標(biāo)系B的描述,想求出它相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系A(chǔ)的描述。一般的情形:(1)坐標(biāo)系B和坐標(biāo)系A(chǔ)不具有相同的姿態(tài)(2)坐標(biāo)系B和坐標(biāo)系A(chǔ)原點(diǎn)不重合(1)在坐標(biāo)系B和坐標(biāo)系A(chǔ)之間有一個(gè)矢量偏移(2) B 相對(duì)于A有旋轉(zhuǎn),用 描述問(wèn)題:給出 ,試著計(jì)算例2.2 圖2-8表示了一個(gè)坐標(biāo)系B,它繞坐標(biāo)系A(chǔ)的 軸旋轉(zhuǎn)了30度,沿 平移10個(gè)單位,再沿 平移5個(gè)單位。已知 ,求 。圖2-8 經(jīng)平移和旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系B坐標(biāo)系B
5、的定義為:按照B的定義和已知條件進(jìn)行變換:已知:2.4總結(jié)介紹了一個(gè)包括姿態(tài)和位置信息的4x4齊次變換矩陣,作為表示坐標(biāo)系的一般工具。它是坐標(biāo)系B相對(duì)于A的描述:它是變換映射:2.5變換算法混合變換(乘法變換)已知 ,求已知坐標(biāo)系C相對(duì)于坐標(biāo)系B,并且已知坐標(biāo)系B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)。即,我們知道答案:步驟(1)將 變換成 :步驟(2)將 變換成 :步驟(3)聯(lián)立步驟(1)、(2),消去中間項(xiàng) ,得到給定已知的B 和 C的描述:可以得到從 C到A的齊次變換矩陣:2.逆變換 已知坐標(biāo)系B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ) 的描述,即已知怎樣求A相對(duì)于B的描述? 一個(gè)可能的方法:直接對(duì)矩陣 求逆另一種方法:利用變換的性質(zhì)求逆,即利用矩陣 的特殊結(jié)構(gòu)步驟1) 由 計(jì)算
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