常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列#

1、4常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列(1兩點(diǎn)分布像這樣的分布列叫做兩點(diǎn)分布列X01Pp如果隨機(jī)變量 X 的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱 X 服從分布，而稱 p P(X 1 為成功概率(2超幾何分布列一般地，在含有 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n件，其中恰有 X 件次品，則事件 X k發(fā)生的概率為P(Xk錯(cuò)誤! ，k0,1,2， m，其中 m min M，n ，且 nN，MN，n，M，NN*.稱分布列為超幾何分布列如果隨機(jī)變量X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布 .X01mP1 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求： (12X1 的分布列；

2、(2|X1|的分布列【思路啟迪】 利用 pi0，且所有概率之和為 1，求 m；求 2X1 的值及其分布列；求 |X1|的值及其分布列【解】 由分布列的性質(zhì)知：020.1 0.1 0.3 m 1， m 0.3.X01232X 11357|X1|1012首先列表為：4932 若離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為：X01P9c2c3 8c則常數(shù) c，P(X1.求離散型隨機(jī)變量的分布列步驟是：(1找出隨機(jī)變量 X 的所有可能取值 xi(i1,2， ；(2求出取各值 xi 的概率 P(Xxi；(3列表，求出分布列后要注意應(yīng)用性質(zhì)檢驗(yàn)所求的結(jié)果是否準(zhǔn)確常用類(lèi)型有：(1由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求離散型隨機(jī)變量的分布列，關(guān)鍵是

3、由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似表示該事件的概率，由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到的分布列可以幫助我們更好地理解分(3由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求分布列無(wú)布列的作用和意義 (2由古典概型來(lái)求隨機(jī)變量的分布列，這時(shí)需利用排列、組合求概率 論是何種類(lèi)型，都需要深刻理解隨機(jī)變量的含義及概率分布(2018 年福建 受轎車(chē)在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車(chē)的利潤(rùn)與該轎車(chē)首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)某轎車(chē)制造廠生 產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車(chē)，保修期均為2年現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車(chē)中各隨機(jī)抽取50 輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間 x( 年0 x 11202轎車(chē)數(shù)量 ( 輛2345545每輛利潤(rùn) (萬(wàn)元 12

4、31.82.9將頻率視為概率，解答下列問(wèn)題：(1從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車(chē)中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2 若該廠生產(chǎn)的轎車(chē)均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車(chē)的利潤(rùn)為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車(chē)的利潤(rùn)為X2，分別求 X1，X2的分布列；(3該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車(chē)銷(xiāo)量相當(dāng)，因?yàn)橘Y金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車(chē)若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn) 哪種品牌的轎車(chē)？說(shuō)明理由【解】 (1設(shè)“甲品牌轎車(chē)首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則 P(A錯(cuò)誤!錯(cuò)誤 !.(2依題意得， X1 的分布列為X1123P錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!X2的分布列為X21.82.9P錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!(3由(

5、2得，E(X11錯(cuò)誤!2錯(cuò)誤 !3錯(cuò)誤!錯(cuò)誤! 2.86(萬(wàn)元 ，E(X21.8錯(cuò)誤! 2.9錯(cuò)誤! 2.79(萬(wàn)元因?yàn)?E(X1E(X2，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車(chē)(2018 年湖南 某商店試銷(xiāo)某種商品 20 天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷(xiāo)售量 ( 件0123頻數(shù)1595試銷(xiāo)結(jié)束后 (假設(shè)該商品的日銷(xiāo)售量的分布規(guī)律不變，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品 3 件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨若發(fā)現(xiàn)存量少于 2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至 3 件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率(1求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2記 X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望解： (1P(“當(dāng)天商店不進(jìn)貨” P( “當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為 0件”

6、 P(“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為 1件” 錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! .(2由題意知， X 的可能取值為 2,3.P(X2P(“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為 1件”錯(cuò)誤!錯(cuò)誤! ；P(X3P(“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為 0件”P(pán)(“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為 2件”P(pán)(“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為 3件”錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!.故 X的分布列為X23P錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!X的數(shù)學(xué)期望為 E(X2錯(cuò)誤! 3錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! .袋中裝著標(biāo)有數(shù)字 1,2,3,4,5 的小球各 2個(gè)，從袋中任取 3個(gè)小球，按 3 個(gè)小球上最大數(shù)字的 9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相 等，用 X 表示取出的 3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：(1取出的 3 個(gè)小球上的數(shù)字互不相同

7、的概率；(2隨機(jī)變量 X 的分布列；(3計(jì)分介于 20 分到 40 分之間的概率思路啟迪】 (1是古典概型； (2關(guān)鍵是確定 X 的所有可能取值； (3計(jì)分介于 20分到 40分之間的概率等于 X3與 X 4的概率之和 【解】 (1“一次取出的 3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則 P(A錯(cuò)誤!錯(cuò)誤 !.(2隨機(jī)變量 X的可能取值為 2,3,4,5，取相應(yīng)值的概率分別為 P(X2錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!，P(X3錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤 ! ，P(X4錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !，P(X5錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤 ! .隨機(jī)變量 X 的分布列為X2345P錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(3因?yàn)榘?3個(gè)小球上最大

8、數(shù)字的 9倍計(jì)分，所以當(dāng)計(jì)分介于 20分 40分時(shí)， X的取值為 3或 4，所以所求概率為 PP(X3P(X4錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! .袋中裝有黑球和白球共 7 個(gè)，從中任取 2 個(gè)球都是白球的概率為 錯(cuò)誤! .現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用 X 表示取球終止時(shí)所需 要的取球次數(shù)(1求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2求隨機(jī)變量 X 的分布列；(3求甲取到白球的概率解： (1設(shè)袋中白球共有 x個(gè)，根據(jù)已知條件 錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! ，即 x2 x 6 0，解得 x3，或 x 2(舍去即袋中原有白

9、球的個(gè)數(shù)為 3.(2X 表示取球終止時(shí)所需要的次數(shù)，則 X 的取值分別為： 1,2,3,4,5.因此， P(X1錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !，P(X2錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，P(X3錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! ，P(X4錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !，P(X5 錯(cuò)誤 ! 錯(cuò)誤 ! .則隨機(jī)變量 X 的分布列為：X12345P錯(cuò)誤!錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(3甲取到白球的概率為 PP(X1P(X3P(X5錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !.1.超幾何分布是一種很重要的分布，其理論基礎(chǔ)是古典概型，主要運(yùn)用于抽查產(chǎn)品、取不同類(lèi)別的小球等概率模型，其中的隨機(jī)變量相應(yīng)是正品 (或次品 的件數(shù)、某種小球的個(gè)數(shù)如果一隨機(jī)變量 服從超幾何分布，那么事件

10、k 發(fā)生的概率為P( k 錯(cuò)誤 ! ，k0,1,2， m，mmin M，n 2超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)(2018 年江西 某飲料公司招聘了一名人員，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，以便確定工資級(jí)別公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8 杯，其顏色完全相同，并且其中 4杯為 A飲料，另外 4杯為 B飲料，公司要求此人員一一品嘗后，從 8杯飲料中選出 4杯 A飲料若 4杯都選對(duì)，則月工資定 為 3 500 元；若 4 杯選對(duì) 3 杯，則月工資定為 2 800 元；否則月工資定為 2 100 元令 X 表示此人選對(duì) A 飲料的杯數(shù)假設(shè)此人對(duì) A 和 B 兩 種飲料沒(méi)有鑒別能力 (1

11、求 X 的分布列；(2求此人員月工資的期望【解】 (1X的所有可能取值為： 0,1,2,3,4，P(Xi錯(cuò)誤! (i 0,1,2,3,4，則X01234P錯(cuò)誤!錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!(2令 Y表示此人員的月工資，則 Y的所有可能取值為 2 100,2 800,3 500，則 P(Y3 500P(X4錯(cuò)誤! ，P(Y2 800P(X3錯(cuò)誤! ，P(Y2 100P(X2錯(cuò)誤! ，E(Y3 500錯(cuò)誤! 2 800錯(cuò)誤! 2 100錯(cuò)誤!2 280， 所以此人員月工資的期望為 2 280元8 某校高三年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有6 名男生， 4名女生，從中選出 4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽測(cè)試，用 X

12、表示其中的男生人數(shù)，求 X 的分布列解： 依題意，隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布，所以 P(Xk錯(cuò)誤 ! (k0,1,2,3,4 P(X0錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! ，P(X1錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !，P(X2錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! ，P(X3錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤 !，P(X4錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤! ， X 的分布列為X01234P錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤 !錯(cuò)誤!易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)隨機(jī)變量的意義理解不到位某射手有 5 發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)X 的分布列【正確解答】 P(X10.9，P(X 20.1 0.90.09，P(X30.10.1 0.90.009，P(X40.10.10.10.90.000 9，當(dāng) X5 時(shí)，只要前四次射擊不中的都要射第5 發(fā)子彈，第 5發(fā)子彈可能射中也可能射不中5 4 4P(X5 0.15 0.14 0.9 0.14. 耗用子彈數(shù) X 的分布列為X12345P0.90.090.0090.000 90.0