現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)(第二版)第10章 期權(quán)定價模型

1、第10章 期權(quán)定價模型第10章 期權(quán)定價模型10.1 復(fù)合證券和衍生證券的定價原則 前提假設(shè)： a）經(jīng)濟(jì)行為主體及其效用函數(shù)的假設(shè) b）證券市場組成的假設(shè) c）證券市場的均衡消費配置是帕累托最優(yōu)的 在以上假設(shè)下，我們可以構(gòu)建一個具有嚴(yán)格凹的增效用函數(shù)u0 和u1 的代表性經(jīng)濟(jì)行為主體。并由此推導(dǎo)出證券的風(fēng)險補償均衡關(guān)系： 也即風(fēng)險證券j的風(fēng)險補償為正值的充分必要條件是其時期1的隨機(jī)收益與時期1的總財富正相關(guān)。 即在證券市場均衡時，證券j 的風(fēng)險補償和市場組合的風(fēng)險補償成比例。其比例系數(shù)等于rj和 利用效用函數(shù)的特點的協(xié)方差與rm和 的協(xié)方差之比。 （一）效用函數(shù)為冪函數(shù)時的定價關(guān)系 假設(shè)經(jīng)濟(jì)行

2、為主體在時期1的效用函數(shù)為冪函數(shù) a）當(dāng)B = -1時，經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)為二次效用函數(shù)，上式變?yōu)槲覀兯煜さ腃APM關(guān)系式。 b）當(dāng)B = -1/2時，代表性的經(jīng)濟(jì)行為主體時期1的消費的效用函數(shù)為三次函數(shù) （二）從純粹市場套利的觀點來討論的期權(quán)價格的一些性質(zhì) 由期權(quán)的性質(zhì)我們可以判斷期權(quán)的現(xiàn)時價格 并不依賴于經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)和標(biāo)的證券的未來收益分布。 以上嚴(yán)格不等式背后隱含的直觀經(jīng)濟(jì)含義如下： a）一個必須執(zhí)行的，以執(zhí)行價格k在時期1購買1個單位的標(biāo)的證券j的義務(wù)，其現(xiàn)值為pj k /(1+rf)。 b）當(dāng)存在一個嚴(yán)格正值的概率使得 嚴(yán)格小于k時，不用執(zhí)行購買的選擇權(quán)就具有嚴(yán)格正的

3、價值。 （三）從純粹市場套利的觀點來討論的期權(quán)價格的一些性質(zhì) 一支期權(quán)的價格是其執(zhí)行價格的凸函數(shù)?？梢宰C明，這個性質(zhì)在更加一般的條件下也成立，也即 一支標(biāo)的資產(chǎn)為正值權(quán)重的證券組合，執(zhí)行價格為k的期權(quán)，其價值要小于以組合中的證券為標(biāo)的資產(chǎn)，執(zhí)行價格同樣為k 的相同權(quán)重的期權(quán)組合的價值。10.2 布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式 這里我們將首先證明，在標(biāo)的證券或標(biāo)的資產(chǎn)的未來收益率分布業(yè)已固定的情況下，一個買入期權(quán)的價格是其標(biāo)的證券或標(biāo)的資產(chǎn)的價格的增函數(shù)和凸函數(shù)。 a）第一個證明是：看漲期權(quán)的價格vj (pj, k)是pj的增函數(shù)，并且如果 k的概率嚴(yán)格為正，則vj (pj, k)是pj的嚴(yán)格增函數(shù)

4、。第二個證明是：vj (pj, k)是pj的凸函數(shù)。 b）第二個證明是：vj (pj, k)是pj的凸函數(shù)。 （一）布萊克-舒爾斯(Black-Scholes)期權(quán)定價公式的推導(dǎo) 前提假設(shè) a）兩期的證券市場經(jīng)濟(jì) b）經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)如關(guān)系式(10.12)所定義 c） d）在時期，我們賦予經(jīng)濟(jì)行為主體消費物品和市場交易證券 e）選擇一個代表性的經(jīng)濟(jì)行為主體，使其效用函數(shù)為冪函數(shù) f）進(jìn)一步假設(shè) 和 服從二維對數(shù)正態(tài)分布。 求得布萊克-舒爾斯(Black-Scholes)期權(quán)定價公式如下： 幾點說明： a）期權(quán)定價公式是在一種特定假設(shè)的經(jīng)濟(jì)中推導(dǎo)的，在這種經(jīng)濟(jì)中，經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)是具

5、有相同謹(jǐn)慎度B的線性風(fēng)險容忍效用函數(shù)，并且假定經(jīng)濟(jì)行為主體的初始收入只是交易證券。 b）在市場均衡時，每個經(jīng)濟(jì)行為主體都持有一支無風(fēng)險證券和市場組合構(gòu)成的線性組合，并且實現(xiàn)了帕累托最優(yōu)。這樣，如果一個以某支證券為標(biāo)的的買入期權(quán)被引入經(jīng)濟(jì)中，在市場均衡時就沒有人需要這支期權(quán)。 c）這就是說，只要期權(quán)是按照關(guān)系式(10.32)和(10.35)式定價的，那么，在經(jīng)濟(jì)處于均衡時，引入一個買入期權(quán)，初始的均衡就不會遭到破壞。 d）期權(quán)的定價使得在均衡時的經(jīng)濟(jì)中沒有一個行為主體對其有所需求。在這樣的背景下，期權(quán)在經(jīng)濟(jì)均衡時就沒有配置資源的作用，因而有時就被稱為多余證券或資產(chǎn)。 （二）證券定價的兩個基本方法

6、： 均衡方法和無套利方法 均衡是從相互作用的經(jīng)濟(jì)行為主體的活動中產(chǎn)生，所以需要對經(jīng)濟(jì)主體效用函數(shù)作出假設(shè)。經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)被假定為是具有相同謹(jǐn)慎度B的線性風(fēng)險容忍效用函數(shù)，并且假定經(jīng)濟(jì)行為主體的初始收入只是交易證券。 無套利方法是基于無套利原理在沒有套利機(jī)會的金融市場中，兩個期末收益相同的證券在任一時刻的交易價格應(yīng)該相等。它只對價格進(jìn)行比較，所以與行為主體效用函數(shù)無關(guān)。不管什么樣的效用主體，只要市場是完全和有效的，則其價格關(guān)系必須滿足無套利原理。 無套利原理的核心思想是我們能用交易的證券完全復(fù)制一個證券，并因此給該證券定價。但無套利方法并不總是可以使用，有時我們無法使用無套利方法。但卻可

7、以使用均衡方法。 均衡方法為分析市場和證券定價提供了更一般的框架，也是一以貫之地在本書中得到體現(xiàn)和強調(diào)的思想邏輯主線。該方法把證券的價格更多地與基本經(jīng)濟(jì)概念聯(lián)系起來，即使是最簡單的確定性模型，也可導(dǎo)出資產(chǎn)價格關(guān)于經(jīng)濟(jì)參數(shù)的表達(dá)式。正是在這種意義上，均衡方法比無套利方法更基本，因為后者假定價格是給定的，而均衡方法則可以說明價格的起因。10.3 期權(quán)定價公式的應(yīng)用 期權(quán)定價公式的一個比較典型的應(yīng)用是對于有風(fēng)險的公司債券的定價研究。 前提假設(shè) a）假設(shè)公司j 有個單位的普通股股票和一支面值為k 的貼現(xiàn)債券在外流通。 b）股票和債券的價格分別為Sj和Dj，貼現(xiàn)公債在時期到期。 c（公司j 在時期的總收

8、入為 ，我們假設(shè) 與時期的總消費 構(gòu)成聯(lián)合對數(shù)正態(tài)分布，并且這個分部的參數(shù)和我們上一節(jié)的討論相同。 的現(xiàn)值是該公司在時期的價值，我們用Vj來表示，因此，Vj = Sj+Dj。 運用關(guān)系式（10.3）計算Dj 可得： 同時，我們也可以用布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式以一種更直接和直觀的方式來計算Dj 我們對有風(fēng)險的公司債券可以作出兩種解釋 a）第一種 b）第二種 在推導(dǎo)布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式的條件下，我們總可以利用關(guān)系式(10.32)和（10.35）對以總消費量或總財富為標(biāo)的的歐式買入期權(quán)進(jìn)行定價。依據(jù)第章的討論我們知道，可以利用這些期權(quán)價格對任何復(fù)合證券進(jìn)行定價。 a）qc(k)的一個比較靜態(tài)分析 b）從qc(k)在不同的k 之下的結(jié)構(gòu)提取一些信息 以上分析表明，用布萊克-舒爾斯期權(quán)定價公式對以總消費量為標(biāo)的的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行正確定價的充分條件是，時期的總消費量服從對數(shù)正態(tài)分布，并且代表性經(jīng)濟(jì)行為主體的相對風(fēng)險厭惡是固定的。 我們知道，一個以對總消費量的狀況權(quán)證的定價概率密度被該總消費水平發(fā)生的概率密度除的結(jié)果就