屆全國(guó)大聯(lián)考高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析

1、2020屆全國(guó)大聯(lián)考高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1會(huì)合Mxx60,Nx2x7，則MIN（）Ax7x6Bx7x2Cx2x6Dx2x6【答案】C【解析】根據(jù)會(huì)合交集的定義，聯(lián)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)镸xx6,Nx2x7，所以MNx2x6.應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】本題考察會(huì)合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2在等差數(shù)列an中，a2a810,a37，則數(shù)列an的公差為（）A1B2C1D2【答案】A【解析】由題，得a1da17d10.a12d7，解方程組即可獲得本題答案【詳解】在等差數(shù)列an中，設(shè)公差為d，由a2a810,a37a1da17d10a19，得a12d，解得d.71應(yīng)選：A.【點(diǎn)睛】本題主要

2、考察利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求公差d，屬基礎(chǔ)題.3設(shè)a1.20.4,b1.20.8,clog32，則a,b,c的大小關(guān)系是（）AbcaBbacCcbaDabc【答案】B第1頁(yè)共16頁(yè)【解析】由函數(shù)的單一性及與中間值“1的”大小關(guān)系，即可獲得本題答案.【詳解】由y1.2x在區(qū)間(,)是單一增函數(shù)，得1.20.81.20.41.201，又因?yàn)閏log32log331，所以bac.應(yīng)選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考察指數(shù)、對(duì)數(shù)比較大小的問(wèn)題，利用函數(shù)的單一性及中間值“1”是解決本題的重點(diǎn).4若ab0,dc0，則一定有（）Aacbc11CacbdDadbcBbab【答案】D【解析】利用不等式的基本性質(zhì)及特殊

3、值，即可獲得本題答案.【詳解】由ab0,dc0，得acbc，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令a5,b1,c1,d8，有11,acbd，故B，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；abb因?yàn)閍b0,dc0，所以adbd,bdbc，則有adbc，故D選項(xiàng)正確.應(yīng)選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考察利用不等式的基本性質(zhì)及特殊值判斷大小關(guān)系，考察推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a216,a164a4，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S6等于（）636363D63ABC324168【答案】A【解析】由a216,a164a4，可得等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1和公比q，進(jìn)而可求得數(shù)列an的首項(xiàng)和公比，然后套用等比數(shù)列的求和公式，即可獲得本題答案.【詳

4、解】設(shè)數(shù)列an的公比為q，由題知，164q3，解得第2頁(yè)共16頁(yè)1a264,a18,q1an是以8為首項(xiàng)，1為公比的等q,a1q，所以數(shù)列2426811比數(shù)列，所以S6263.1412應(yīng)選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的綜合應(yīng)用，考察計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6若log3(2ab)1log3ab，則4a2b的最小值為（）A6B816173CD33【答案】C【解析】由log3(2ab)1log3ab，得213，且a0,b0，又由ba4a2b1(4a2b)21，展開之后利用基本不等式，即可獲得本題答案.3ba【詳解】因?yàn)閘og3(2ab)1log3ab，即log32ablog3

5、3log3ablog33ab，所以，2ab3ab，等式兩邊同時(shí)除以ab得213，且a0,b0，ba所以4a2b1(4a2b)(21)1(88a2b)1(8216)16，3ba3ba33當(dāng)且僅當(dāng)8a2b，即b2a時(shí)取等號(hào)，所以4a2b的最小值為16.ba3應(yīng)選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考察利用基本不等式求最值，其中波及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考察計(jì)算能力，屬于中等題.7意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，即F(1)F(2)1,F(n)F(n1)F(n2)n3,nN*，此數(shù)列在物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有寬泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)組成一個(gè)新數(shù)列

6、an，則數(shù)列an的前2020項(xiàng)的和為（）A1347B1348C1349D1346【答案】A第3頁(yè)共16頁(yè)【解析】由題，得數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，前三項(xiàng)和為1102，又202067331，由此即可獲得本題答案.【詳解】由數(shù)列1123581321，34，各項(xiàng)除以2的余數(shù)，可得數(shù)列an為1，1，0，1，1，0，1，1，0，所以數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，前三項(xiàng)和為1102，又因?yàn)?02067331，所以數(shù)列an的前2020項(xiàng)的和為673211347.應(yīng)選：A【點(diǎn)睛】本題主要考察利用數(shù)列的周期性求和，考察學(xué)生的推理解析能力.8若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則“na1an”是“數(shù)列an是等差數(shù)列”

7、的Sn2（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】必要性顯然建立；由Snna1an，Sn1(n1)a1an1，得22(n1)an1a1(n2)an，同理可得(n2)an2a1(n3)an1，綜合，得2an1anan2，充分性得證，即可獲得本題答案.【詳解】必要性顯然建立；下面來(lái)證明充分性，若Snna1an，所以當(dāng)n2時(shí)，Sn1(n1)a1an1，22所以2anna1an(n1)a1an1，化簡(jiǎn)得(n1)an1a1(n2)an，所以當(dāng)n3時(shí)，(n2)an2a1(n3)an1，得2(n2)an1(n2)anan2，所以2an1anan2，即數(shù)列an是等差

8、數(shù)列，充分性得證，所以na1anan是等差數(shù)列”的充要條件.“”是“數(shù)列Sn2應(yīng)選：C.第4頁(yè)共16頁(yè)【點(diǎn)睛】本題主要考察等差數(shù)列的判斷與證明的問(wèn)題，考察推理能力，屬于中等題.9在ABC中，AB5,BC6,AC7，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFBC交AC所在的直線于點(diǎn)uuuruuurF，則向量AF在向量BC方向上的投影為（）A2B3C1D32【答案】Auuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur12，【解析】由AFAEEF1(ABAC)EF，EFBC，得AFBC2uuuruuuruuuruuurAFBC.然后套用公式向量AF在向量BC方向上的投影uuur，即可獲得本題答案|

9、BC|【詳解】uuuruuuruuur1uuuruuuruuur因?yàn)辄c(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，所以AFAEEF2(ABAC)EF，又因?yàn)镋FBC，所以u(píng)uuruuur1uuuruuuruuur1uuuruuuruuuruuur1uuur2uuur212，AFBC(ABAC)BC(ABAC)(ACAB)ACAB22uuuruuur2uuuruuurAFBC2.所以向量AF在向量BC方向上的投影為uuur|BC|應(yīng)選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考察向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題，其中波及平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的數(shù)量積，主要考察學(xué)生的轉(zhuǎn)變求解能力.10已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn1Snn225nnN*，若a13

10、a14，則Sn取最大值時(shí)，n的值為（）A14B12C15D13【答案】D【解析】對(duì)遞推關(guān)系式再遞推一步，獲得一個(gè)新的遞推關(guān)系式，兩個(gè)遞推關(guān)系式再相減，獲得an1an262n(n2)，聯(lián)合已知a13a14，聯(lián)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)镾n1Snn225n(nN*)，所以當(dāng)n2時(shí)，SnSn12n125n1，兩第5頁(yè)共16頁(yè)式相減得an1an262n(n2)，當(dāng)n13時(shí)，a13a140，又因?yàn)閍13a14，所以a130a14，所以S14S13，且S12S13，又因?yàn)楫?dāng)n14時(shí)，an1an0，所以SnS13，所以Sn取最大值時(shí)，n的值為13.應(yīng)選：D【點(diǎn)睛】本題考察數(shù)列的最值.考察了遞推

11、關(guān)系的應(yīng)用，考察了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11已知函數(shù)f(x)2sinx6cosx圖象與直線y3相交，若在y軸右6側(cè)的交點(diǎn)自左向右依次記為M1,M2,M3,L，則M1M14（）19B37C731A6D36【答案】B【解析】化簡(jiǎn)得，f(x)sin2x3，由已知函數(shù)f(x)的圖象與直線y3相交，2得sin2x3，解得M16,3,M2,3,M37,3，由此即可獲得236本題答案.【詳解】f(x)2sinx6cosx62(3sinx1cosx)(3cosx1sinx)22222sinxcosx3sin2x3cos2xsin2x3，442因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2sinx6cosx6圖象與直線y3相交，所以sin2x3，

12、解得M1,3,M2,3,M37,3，2636由此可知M1M14M1M13M13M14637.66應(yīng)選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考察三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考察學(xué)生的解析能力及運(yùn)算能力.12數(shù)列an知足a12019，且對(duì)隨意的nN*，有an3an72n，則a2020（）第6頁(yè)共16頁(yè)A220192018B220192017C220202017D220202018【答案】C【解析】根據(jù)遞推關(guān)系式運(yùn)用累和的方法，聯(lián)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閍n3an72n，所以a2020a2020a2017a2017a2014a4a1a1722017722014L7212019222019120

13、19220202017.718應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】本題考察等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考察了累和法的應(yīng)用，考察了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題x413不等式0的解集為_.x【答案】x|x0或x4【解析】不等式x(x4)x040的等價(jià)條件為，解不等式組的解，即可獲得本題xx0答案.【詳解】不等式x4(x4)x0，x0的等價(jià)條件為0 x解得x0或x4，所以不等式的解集為x|x0或x4.故答案為：x|x0或x4【點(diǎn)睛】本題主要考察分式不等式的求法，轉(zhuǎn)變?yōu)榍笠辉尾坏仁绞墙鉀Q本題的重點(diǎn).xy40 x的最大值為_.14若x,y知足拘束條件x2y5，則2xy,0y5第7頁(yè)共16頁(yè)【答案】3【解析】在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出拘束

14、條件表示的可行域，根據(jù)y的幾何意義進(jìn)行求解即x可.【詳解】由x，y知足拘束條件，畫出可行域，如下列圖，y表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)O的斜率，由圖知，yx1，0，y的最小值為直線OB的斜率，易求點(diǎn)B3,1，所以y的最小值為xxx3x故的最大值為3.y故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考察線性規(guī)劃的應(yīng)用，考察了直線斜率模型的應(yīng)用，考察了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15已知數(shù)列an知足a15,nan1anann(n1)nN*，若對(duì)于隨意的*a2t217t的取值范圍為_.nN，不等式恒建立，則實(shí)數(shù)n【答案】2,2【解析】由nan1anann(n1)nN*，得an1an1，所以n1nann(n6)(n3)299，經(jīng)過(guò)解不等式92t

15、217，即可獲得本題答案.【詳解】由nan1anann(n1)nN*，整理得nan1n1annn1，第8頁(yè)共16頁(yè)等式兩邊同時(shí)除以nn1得an1an1，n1n所以an為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為-5，公差為1，所以ann6，nn所以ann(n6)(n3)299，所以92t217，解得2剟t2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍2,2.故答案為：2,2【點(diǎn)睛】本題主要考察數(shù)列與不等式恒建立問(wèn)題的綜合應(yīng)用，考察學(xué)生解析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)變和化歸的數(shù)學(xué)思想.16已知定義在R上函數(shù)fx知足f(x)f(x)2sinx，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)cosx恒建立，則不等式f(x)fxsinxsinx3的解集為_.3【答案】x

16、x6【解析】根據(jù)所求不等式的形式，聯(lián)合f(x)f(x)2sinx，結(jié)構(gòu)函數(shù)gxfxsinx，聯(lián)合判斷該函數(shù)的單一性和奇偶性，利用gx的單一性和奇偶性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閒xfx2sinx，所以fxsinxfxsinx，令gxfxsinx，則函數(shù)gx為偶函數(shù)，因?yàn)間xfxcosx，且當(dāng)x0時(shí)，fxcosx，所以當(dāng)x0，時(shí)，gx0，故函數(shù)gx在區(qū)間0,上單一遞增，在區(qū)間,0上單遞減，因?yàn)閒(x)fxsinxsinx,f(x)sinxfxsinx3333f(x)sinxfxgxgxxx，解得x.3336故答案為：xx6【點(diǎn)睛】本題考察了利用結(jié)構(gòu)新函數(shù)法，利用新函數(shù)的單一性和奇偶性解不等式問(wèn)題，

17、考察了導(dǎo)第9頁(yè)共16頁(yè)數(shù)的應(yīng)用，考察了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題17已知對(duì)于x的不等式(ax3)x24a0的解集為M.（1）當(dāng)a1時(shí)，求會(huì)合M；（2）當(dāng)1M且1M時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21x|x2或2x32）11(3,6【答案】（）；（,416【解析】（1）利用穿根法，即可獲得(x3)(x2)(x2)0的解集；（2）由1M，得(a3)(14a)0，又由111，解2M，得a34a024不等式組即可獲得本題答案.【詳解】（）當(dāng)1時(shí)，(x3)x240(x3)(x2)(x2)0，1a所以Mx|x2或2x3；（2）因?yàn)?M，所以(a3)(14a)0，得a1或a3，4又因?yàn)?M，所以1a314a0不建立，

18、224即1a314a0，解得1剟a6，2416綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍1,1(3,6.164【點(diǎn)睛】本題主要考察高次不等式的求法，以及根據(jù)元素與會(huì)合的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍.18已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snan53n3,bn2ann.4n13（1）證明：數(shù)列an23n為常數(shù)列.（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）證明看法析；（2）2n2n1第10頁(yè)共16頁(yè)【解析】（1）由anS1,n1，得2anan103n1，即SnSn1,n12an23n1an123n1，又由a12310，即可獲得本題答案；2（2）由（1）得，bn23n2111，即可獲得本題答案.4n213n4n212n

19、12n【詳解】（1）當(dāng)n1時(shí)，S1a153312，所以a16；當(dāng)n2時(shí)，由San53n3，得Sn1an153n13，n-得，2anan1103n1，所以an23n1an123n1，因?yàn)閍16，所以a12310，所以2an23n0，故數(shù)列an23n為常數(shù)列；2123nbn23n2114n213n4n212n12n1，（）由（）知，an，所以所以Tnb1b2b3Lbn111111L111335572n12n112n.12n12n【點(diǎn)睛】本題主要考察anS1,n1的應(yīng)用及用裂項(xiàng)相消法求和，考察計(jì)算能力，屬于SnSn1,n2中等題.19在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且sinA2si

20、nBcos(C)0.（1）判斷ABC的形狀；（2）若cosA7，ABC的周長(zhǎng)為16，求ABC外接圓的面積.981【答案】（1）等腰三角形；（2）【解析】（1）聯(lián)合誘導(dǎo)公式及和差公式化簡(jiǎn)，即可獲得本題答案；（2）由bc,cosAb2c2a22b2a27，得3a2b，聯(lián)合ABC的周長(zhǎng)2bc2b29第11頁(yè)共16頁(yè)為16，可求得a,b,c，又由cosA7，求得sinA，然后根據(jù)2Ra9，即可獲得sinA本題答案.【詳解】（1）因?yàn)閟inA2sinBcos(C)0，所以sin(BC)2sinBcosC0，所以所以sinBcosCcosBsinC2sinBcosC0，cosBsinCsinBcosC0，

21、即sin(CB)0，又因?yàn)锽,C為ABC的內(nèi)角，所以BC，即ABC為等腰三角形；（2）由（1）知，bc,cosAb2c2a22b2a27，解得3a2b，2bc2b29又因?yàn)閍bc16，解得a4,bc6，因?yàn)閏osA7,A(0,)，所以sinA42，992R49ABC外接圓的半徑為42，解得R設(shè)R，所以2，92故ABC外接圓的面積為81.8【點(diǎn)睛】本題主要考察利用誘導(dǎo)公式及和差公式恒等變形判斷三角形的形狀，以及利用余弦定理解三角形.20某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B,C三種原料，一件甲產(chǎn)品需要A原料8kg，B原料6kg，C原料8kg，一件乙產(chǎn)品需要A原料6kg，B原料6kg，C原料7kg，

22、銷售一件甲產(chǎn)品可贏利7萬(wàn)元，銷售一件乙產(chǎn)品可贏利6萬(wàn)元，現(xiàn)有A原料48kg，B原料42kg，C原料56kg，請(qǐng)問(wèn)該怎樣安排生產(chǎn)可使得收益最大？【答案】生產(chǎn)3件甲產(chǎn)品，4件乙產(chǎn)品【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，可獲得的收益為z萬(wàn)元，根據(jù)題意列出可行解域，然后運(yùn)用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】第12頁(yè)共16頁(yè)設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，可獲得的收益為z萬(wàn)元，由題知，x7x6y，且x，y知足以下條件8x6y484x,243y6x6y42，即xy,78x,568x,567y7y做出可行域如下列圖，作直線l:7x6y0，平移直線l至l0，當(dāng)直線l0 xy7經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可使z達(dá)到最大

23、值，由3y，解得4x24x3y，4即點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,4，此時(shí)z736445，所以生產(chǎn)3件甲產(chǎn)品，4件乙產(chǎn)品，可獲得最大收益，且最大收益為45萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考察線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出拘束條件是解題的重點(diǎn)，考察了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11,Sn12Sn1nN*.第13頁(yè)共16頁(yè)（1）令cS1，求數(shù)列c的通項(xiàng)公式；nnn（2）若數(shù)列bn知足：b11,bn1bn12.an1求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù)n，使得b1b2b3Lbn2n1n52建立？若存在，求出所有n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因.【答案】（1）cn2n；（2）bn；存在，n5n2n1【解析】

24、（1）由題，得Sn112Sn1，即可獲得本題答案；2由Sn2n1，得an=2n-1bn1，恒等變形得，（），所以bn122n2nb12n1b1，由此即可獲得本題答案；nn由錯(cuò)位相減求和公式，得bn的前n項(xiàng)和Tn=42n44n2，然后經(jīng)過(guò)求2nn122n1(n2)n52的解，即可獲得本題答案.【詳解】（1）因?yàn)镾n12Sn1，所以Sn112Sn1，即cn12cn，又因?yàn)閍11，所以S11，即c12，所以數(shù)列cn是以2為公比和首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以cn2n；（2）由（1）知，S2n1aSS2n11，n，當(dāng)n2時(shí)，nnn又因?yàn)閍11也知足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1，因?yàn)閎n1bn1，所以bn1bn1，所以2nbn12n1bn1，2an122n即2nbn12n1bn1，因?yàn)閎11，所以數(shù)列2n1bn是以1為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，所以2n1bnn，故bnn1；2n123n設(shè)Tnb1b2b3bn，則Tn，2021222n11123n所以Tn212223n，22第14頁(yè)共16頁(yè)11111n11nn2兩式相減得2n，