概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章課后習(xí)題

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章課后習(xí)題答案概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章課后習(xí)題答案25/25概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章課后習(xí)題答案習(xí)題三1.將一硬幣投擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫出X和Y的結(jié)合散布律.【解】X和Y的結(jié)合散布律如表：X0123Y10C31g1113C32g1113/80222822231001111822282.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的結(jié)合散布律.【解】X和Y的結(jié)合散布律如表：X0123Y000C32gC223C33gC122C7435C

2、743510C13gC12gC226C32gC12gC1212C33gC122C7435C7435C74352P(0黑,2紅,2白)=12162230C22gC22/C741C3gC2gC2C3gC2C7435C7435353.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的結(jié)合散布函數(shù)為F（x，y）=sinxsiny,0 x2,0y20,其他.求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長(zhǎng)方形域0yx,63內(nèi)的概率.4【解】如圖P0XY4,公式(3.2)63F(F(0,F(0,F(,),)3)6)4346singsinsingsin6sin0gsinsin0gsin43436231).(4說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)

3、隨機(jī)變量（X，Y）的散布密度Aef（x，y）=0,題3圖(3x4y),x0,y0,其他.求：（1）常數(shù)A；2）隨機(jī)變量（X，Y）的散布函數(shù)；3）P0X1，0Y2.【解】（1）由f(x,y)dxdyAe-(3x4y)dxdyA10012得A=12（2）由定義，有yxF(x,y)f(u,v)dudvyy(3u4v)dudv(1e3x)(1e4y)y0,x0,012e00,其他0,P0X1,0Y2P0X1,0Y212(3x4y)dxdy(1e3)(1e8)0.9499.012e05.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=k(6xy),0 x2,2y4,0,其他.1）確定常數(shù)k；2）求PX1，

4、Y3；3）求PX；4）求PX+Y4.【解】（1）由性質(zhì)有24f(x,y)dxdyk(6xy)dydx8k1,02故1R8（2）PX1,Y313f(x,y)dydx131x3k(6y)dydx0288(3)PX1.5f(x,y)dxdy如圖af(x,y)dxdyx1.5D11.541y)dy27dx(6x.02832(4)PXY4f(x,y)dxdy如圖bf(x,y)dxdyXY4D224x1xy)dy2dx2(6.083題5圖6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，）上聽從平均散布，Y的密度函數(shù)為5e5y,y0,fY（y）=0,其他.求：（1）X與Y的結(jié)合散布密度；（2）PYX.題6圖

5、【解】（1）因X在（0，）上聽從平均散布，所以X的密度函數(shù)為1,0 x0.2,fX(x)0.20,其他.而fY(y)所以5e5y,y0,0,其他.f(x,y)X,Y獨(dú)立fX(x)gfY(y)15e5y25e5y,0 x且y0,0.20.20,其他.0,(2)P(YX)f(x,y)dxdy如圖25e5ydxdyyxD0.2dxx25e-5ydy0.2(5e5x5)dx000=e-10.3679.7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的結(jié)合散布函數(shù)為F（x，y）=(1e4x)(1e2y),x0,y0,0,其他.求（X，Y）的結(jié)合散布密度.【解】f(x,y)2F(x,y)8e(4x2y),x0,y0,xy0,

6、其他.8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為4.8y(2x),0 x1,0yx,（x，y）=0,其他.求邊緣概率密度.【解】fX(x)f(x,y)dyx2.4x2(2x),0 x1,=4.8y(2x)dy00,其他.0,fY(y)f(x,y)dx14.8y(2x)dx2.4y(34yy2),0y1,=y0,0,其他.題8圖題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為ey,0 xy,f（x，y）=0,其他.求邊緣概率密度.【解】fX(x)f(x,y)dy=eydyex,x0,x0,其他.0,fY(y)f(x,y)dxyydxyex,y0,=e00,其他.0,題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，

7、Y）的概率密度為cx2y,x2y1,f（x，y）=0,其他.（1）試確定常數(shù)c；（2）求邊緣概率密度.【解】（1）f(x,y)dxdy如圖f(x,y)dxdyD114c1.=dxx2cx2ydy-12121得c.4(2)fX(x)f(x,y)dy1212ydy212(1x4),1x1,2xxx480,0,其他.fY(y)f(x,y)dx215yx2ydx7y2,0y1,0,y420,其他.11.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=1,yx,0 x1,0,其他.求條件概率密度fYX（yx），fXY（xy）.題11圖【解】fX(x)f(x,y)dyx1dy2x,0 x1,x0,其他.11

8、y,1y0,1dxyfY(y)1f(x,y)dx1dx1y,0y1,y0,其他.所以f(x,y)1,|y|x1,fY|X(y|x)2xfX(x)0,其他.1,yx1,1yfX|Y(x|y)f(x,y)1,yx1,fY(y)1y0,其他.12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為Y.1）求X與Y的結(jié)合概率散布；2）X與Y是否相互獨(dú)立【解】（1）X與Y的結(jié)合散布律如下表Y345PXxiX1112233610C5310C5310C5310201122310C310C3105530011110C5210PYyi136101010(2)因PX6161

9、1gPY310100PX1,Y3,故X與Y不獨(dú)立101013.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的結(jié)合散布律為YX2581）求對(duì)于X和對(duì)于Y的邊緣散布；2）X與Y是否相互獨(dú)立【解】（1）X和Y的邊緣散布如下表X258PY=yiYPXxi(2)因PX2gPY0.160.15P(X2,Y0.4),故X與Y不獨(dú)立.14.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上聽從平均散布，Y的概率密度為Y1ey/2,y0,f（y）=2其他.0,（1）求X和Y的結(jié)合概率密度；（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.y1,0 x1,fY(y)1e2,y1,【解】（1）因fX

10、(x)其他;20,0,其他.故f(x,y)X,Y獨(dú)立fX(x)gfY(y)1ey/20 x1,y0,20,其他.題14圖(2)方程a22XaY0有實(shí)根的條件是(2X)24Y0故X2Y，進(jìn)而方程有實(shí)根的概率為：PX2Yf(x,y)dxdyx2y1x21y/2dydxe00212(1)(0)0.1445.15.設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且聽從同一散布，其概率密度為1000,x1000,f（x）=x20,其他.求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的散布函數(shù)()XFZzPZzPYz(1)當(dāng)z0時(shí)，F(xiàn)Z(z)0（2）當(dāng)0z0)的泊松散布，每位乘客在中途下車

11、的概率為p（0p1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率散布.【解】(1)PYm|XnCnmpm(1p)nm,0mn,n0,1,2,L.(2)PXn,YmPXngPYm|Xnmpm(1p)nmen,nmn,n0,1,2,L.Cngn!24.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，其中X的概率散布為X12f(y)，0.3，而Y的概率密度為0.7求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).【解】設(shè)F（y）是Y的散布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的散布函數(shù)為G(u)PXYu0.3PXYu|X10.7PXYu|

12、X20.3PYu1|X10.7PYu2|X2由于X和Y獨(dú)立，可見G(u)0.3PYu10.7PYu20.3F(u1)0.7F(u2).由此，得U的概率密度為g(u)G(u)0.3F(u1)0.7F(u2)0.3f(u1)0.7f(u2).25.25.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均聽從區(qū)間0,3上的平均散布，求PmaxX,Y1.解：因?yàn)殡S即變量聽從0，3上的平均散布，于是有10 x3,10y3,f(y),f(x)330,x0,x3;0,y0,y3.因?yàn)閄，Y相互獨(dú)立，所以10 x3,0y3,f(x,y),90,x0,y0,x3,y3.推得PmaxX,Y11.9設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率散布為

13、X101Y1a00b100.1c其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)希望E(X)=,PY0|X0=，記Z=X+Y.求：1）a,b,c的值；2）Z的概率散布；3）PX=Z.解(1)由概率散布的性質(zhì)知，a+b+c+=1即a+b+c=.由E(X)0.2，可得ac0.1.再由PX0,Y0ab0.1PY0X00ab0.5,PX0.5得ab0.3.解以上對(duì)于a，b，c的三個(gè)方程得0.2,b0.1,c0.1.Z的可能取值為2，1，0，1，2，PZ2PX1,Y10.2，PZ1PX1,Y0PX0,Y10.1，PZ0PX1,Y1PX0,Y0PX1,Y10.3，PZ1PX1,Y0PX0,Y10.3，PZ2PX1,Y10

14、.1，即Z的概率散布為Z21012P(3)PXZPY00.1b0.20.4.習(xí)題四1.設(shè)隨機(jī)變量X的散布律為X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)E(X)(1)11112110284;82(2)E(X2)(1)210211212215;821844(3)E(2X3)2E(X)323422.已知100個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，求隨意取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)希望、方差.【解】設(shè)任取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的散布律為X012345PC9050.583C101C9040.340C102C903C103C902C104C190

15、0C1050C1005C1005C10050.0700.007C1005C1005C1005故E(X)0.58300.34010.07020.007304050.501,5E(X)2PiD(X)xii0(00.501)20.583(10.501)20.340L(50.501)200.432.3.設(shè)隨機(jī)變量X的散布律為X101Pp1p2p3且已知E（X）=,E(X2123)=,求P，P，P.【解】因P1P2P31,又E(X)(1)P0gP1gPPP0.1,12331E(X2)(1)2gP102gP212gP3P1P30.9由聯(lián)立解得P10.4,P20.1,P30.5.4.袋中有N只球，其中的白球

16、數(shù)X為一隨機(jī)變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌佟窘狻坑汚=從袋中任取1球?yàn)榘浊?，則NP(A)全概率公式PA|XkgPXkk0Nk1NkPXkPXkk0NNk0gE(X)n.NN5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為x,0 x1,f（x）=2x,1x2,0,其他.求E（X），D（X）.【解】E(X)1x2dx2x)dxxf(x)dxx(2011x31x32x21.3031E(X2)x2f(x)dx122(2x)dx7x3dxx016D(X)E(X2)E(X)21.故66.設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)希望.1）U=2

17、X+3Y+1；2）V=YZ4X.【解】(1)EUE(2X3Y1)2E(X)3E(Y)125311144.(2)EVEYZ4XEYZ4E(X)因Y,Z獨(dú)立E(Y)gE(Z)4E(X)1184568.7.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）.【解】(1)E(3X2Y)3E(X)2E(Y)33233.(2)D(2X3Y)22D(X)(3)2DY412916192.8.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=k,0 x1,0yx,0,其他.試確定常數(shù)k，并求E（XY）.11x【解】因f(x,y)dxdydx0kdyk

18、1,故k=202E(XY)xyf(x,y)dxdy1x0.25.xdx2ydy009.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fX（x）=2x,0 x1,e(y5),y5,0,fY（y）=0,其他.其他;求E（XY）.【解】方法一：先求X與Y的均值g2E(X)1,x2xdx03E(Y)ye(y5)dy令zy5zdzzezdz516.5e500由X與Y的獨(dú)立性，得E(XY)E(X)gE(Y)264.3方法二：利用隨機(jī)變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨(dú)立，故結(jié)合密度為f(x,y)fX(x)gfY(y)2xe(y5),0 x1,y5,0,其他,于是E(XY)1g(y5)dxdy12gye(y5)d

19、y25xy2xe2xdx564.00310.設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率密度分別為fX（x）=2e2x,x0,fY（y）=4e4y,y0,x0;0,y0.0,求（1）E（X+Y）;（2）E（2X3Y2）.【解】(X)xfX(x)dx0 xg2e2xdxxe2x00e-2xdx0e2xdx1.21.E(Y)yfY(y)dy0yg4e4ydy4212)y2fY(y)dyy2g4ydy.E(Y04e428進(jìn)而(1)E(XY)E(X)E(Y)11324.4115(2)E(2X3Y2)2E(X)3E(Y2)2328811.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=cxek2x2,x0,0,x0.求（1）系數(shù)c;（2）

20、E（X）;（3）D（X）.【解】(1)由f(x)dx0cxek2x2dxc21得c2k2.2k(2)E(X)xf(x)d(x)g2xek2x20 x2kdx2k22ek2x20 xdx2k.(3)E(X2)x2f(x)d(x)0 x2g2k2xek2x212.k2D(X)E(X2)E(X)214故k22k4k2.12.袋中有12個(gè)部件，其中9個(gè)合格品，3個(gè)廢品.安裝機(jī)器時(shí)，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品從前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品從前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，3.為求其散布律，下面求取這些可能值

21、的概率，易知PX90.750,PX1390.204,0121112PX3290.041,PX33219211101211100.005.129于是，獲得X的概率散布表如下：X0123P由此可得E(X)00.75010.20420.04130.0050.301.E(X2)02750120.204220.041320.0050.413D(X)E(X2)E(X)20.413(0.301)20.322.13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)施的壽命X（以年計(jì)）聽從指數(shù)散布，概率密度為xf（x）=1e4,x0,4x0.0,為保證消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定銷售的設(shè)施若在一年內(nèi)破壞能夠調(diào)動(dòng).若售出一臺(tái)設(shè)施，工廠贏利100元，而

22、調(diào)動(dòng)一臺(tái)則損失200元，試求工廠銷售一臺(tái)設(shè)施贏利的數(shù)學(xué)希望.【解】廠方銷售一臺(tái)設(shè)施凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和200元PY100PX111ex/4dxe1/44PY200PX11e1/4.故E(Y)100e1/4(200)(1e1/4)300e1/420033.64(元).2，i=1，2，n，14.設(shè)X1，X2，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=，D（Xi）=記X1nXi,S2，S2=1n(XiX)2.ni1n1i1（1）考證E(X)=，D(X)=2；n1(n2Xi2（2）考證S2=nX)；n1i1（3）考證E（S2）=2.【證】(1)E(X)E1nXi1E(nX)1nE(Xi)1n

23、uu.ninini1g1i1nD(X)D1n1nXi)Xi之間相互獨(dú)立1gnniXin2D(n2DXi1i1i1122.2gnnn(2)因nX)2n(Xi22nXi22n(Xi2XXi)XnX2XXii1i1i1i1nXi22nXi22nX2XgnXnXi1i1故S21n2(Xi21nX).ni1(3)因E(Xi)u,D(Xi)2,故E(Xi2)D(Xi)(EXi)22u2.222u2同理因E(X)u,D(X)n,故E(X)n.進(jìn)而E(s2)E1nXi2(n1i11nE(Xi2)n1i121nE(2nX)Xi2)nE(X)n1i1nE(X2)12n(2u2)nu22.ggnn115.對(duì)隨機(jī)變量

24、X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1,計(jì)算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）.【解】Cov(3X2Y1,X4Y3)3D(X)10Cov(X,Y)8D(Y)3210(1)8328(因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余近似).16.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=1,x2y21,0,其他.試考證X和Y是不有關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè)D(x,y)|x2y21.E(X)xf(x,y)dxdy1xdxdyx2y21121g0.=rcosrdrd00同理E(Y)=0.而Cov(X,Y)xE(x)gyE(Y)f(x,

25、y)dxdy1xydxdy1212sincosrdrd0,rx2y2100由此得XY0,故X與Y不有關(guān).1x2下面議論獨(dú)立性，當(dāng)|x|1時(shí)，fX(x)11x2dy21x2.當(dāng)|y|1時(shí)，fY1y2(y)211ydx21y2.顯然fX(x)gfY(y)f(x,y).故X和Y不是相互獨(dú)立的.17.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的散布律為X101Y11/81/81/801/801/811/81/81/8考證X和Y是不有關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】結(jié)合散布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由結(jié)合散布律易求得X，Y及XY的分布律，其散布律如下表X101P323888Y101P323888XY101P242

26、888由希望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.進(jìn)而E(XY)=E(X)E(Y),再由有關(guān)系數(shù)性質(zhì)知XY=0,即X與Y的有關(guān)系數(shù)為0，進(jìn)而X和Y是不有關(guān)的.又PX1gPY331PX1,Y11888進(jìn)而X與Y不是相互獨(dú)立的.18.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為極點(diǎn)的三角形地區(qū)上聽從均勻散布，求Cov（X，Y），.XY【解】如圖，SD=1，故（X，Y）的概率密度為2題18圖2,(x,y)D,f(x,y)其他.0,E(X)xf(x,y)dxdy11x1dxxg2dy3D00E(X2)x2f(x,y)dxdy11x1dx2x2dyD006進(jìn)而D(X)E(X2)E(X)21211.6318同理E(Y)1,D(Y)1.318而所以進(jìn)而E(XY)xyf(x,y)dxdy11x1.2xydxdydx2xydy0012DDCov(X,Y)E(XY)E(X)gE(Y)11111233.36Cov(X,Y)1136XY112D(X)gD(Y)181819.設(shè)（X，Y）的概率密度為1sin(xy),0 x,0y,f（x，y）=2220,其他.求協(xié)方差Cov（X，Y）和有關(guān)系數(shù)XY.【解】E(X)xf(x,y)dxdy/2/21sin(xdx0 xgy)dy.0242E(X2)2dx2x2g1sin(xy)dy2.00282進(jìn)而2D(X)E