屆重慶市高三5月調(diào)研（三調(diào)）數(shù)學(xué)（理）試題

1、2019屆重慶市高三5月調(diào)研（三調(diào)）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（ ）ABCD【答案】D【解析】由變形得出，利用復(fù)數(shù)的除法法則得出復(fù)數(shù)的一般形式，利用共軛復(fù)數(shù)的定義得出復(fù)數(shù)【詳解】由，得，故選【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、共軛復(fù)數(shù)的概念，解決復(fù)數(shù)的問題，一般要利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則得出復(fù)數(shù)的一般形式，明確復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部求解2已知集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）AB，CD，【答案】B【解析】考查與的大小關(guān)系，結(jié)合條件并利用數(shù)軸可得出實(shí)數(shù)的取值范圍?！驹斀狻考?，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的交集運(yùn)算求參數(shù)的取值范圍，這類問題的

2、求解就是利用數(shù)軸，考查端點(diǎn)之間的位置關(guān)系結(jié)合已知條件得出有關(guān)參數(shù)的不等式進(jìn)行求解，屬于中等題。3已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是（ ）ABCD【答案】B【解析】先求導(dǎo)，將代入導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求解【詳解】由，由故選：B【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題4某中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)班共有10人，分為兩個(gè)小組，在一次模擬測試中兩個(gè)小組成績的莖葉圖如圖所示，已知甲乙兩組同學(xué)成績的平均數(shù)相同，則甲乙兩組同學(xué)成績的中位數(shù)之差的絕對(duì)值為（ ）A2BCD【答案】C【解析】利用平均數(shù)相等，得出，由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合中位數(shù)的定義得出甲乙兩組的中位數(shù)，即可得出甲乙兩組同學(xué)成績的中位數(shù)之差的絕對(duì)值.

3、【詳解】因?yàn)榧滓覂山M同學(xué)成績的平均數(shù)相同所以，解得由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的中位數(shù)為：；乙組同學(xué)的中位數(shù)為：甲乙兩組同學(xué)成績的中位數(shù)之差的絕對(duì)值為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了由莖葉圖計(jì)算中位數(shù)以及利用平均數(shù)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5已知兩條不同的直線，和一個(gè)平面，則使得“”成立的一個(gè)必要條件是（ ）A且B且C且D，與所成角相同【答案】D【解析】假設(shè)結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)的第一個(gè)條件看能不能推出第二個(gè)條件?！驹斀狻咳簦魟t或，故錯(cuò)誤，若，當(dāng)時(shí)或，故錯(cuò)誤，若，且不一定成立，故錯(cuò)誤，若則，與所成角相同，即正確，故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間線面關(guān)系以及充分必要條件，考查空間思維能力，屬于中等題。6某幾何體的三視圖如圖

4、所示，則該幾何體的表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】先由三視圖還原為實(shí)物圖，得知幾何體為直四棱錐，然后計(jì)算出每個(gè)面的面積，相加即可得出答案。【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為四棱錐，底面為邊長是2的正方形，側(cè)棱底面，且該幾何體的表面積為：故選：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及簡單幾何體表面積的計(jì)算，解決這類問題的關(guān)鍵在于將三視圖還原為幾何體的實(shí)物圖，在還原的過程中遵循“長對(duì)正、高平齊、寬相等”的基本原則，考查空間思維能力，屬于中等題。7執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為7，則框圖中處可以填入（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)程序框圖列出所有的循環(huán)步驟，最后一次循環(huán)中的滿足條件，以

5、及倒數(shù)第二次循環(huán)中不滿足條件來選擇四個(gè)選項(xiàng)中的判斷條件。【詳解】第一次循環(huán)：，不滿足條件，；第二次循環(huán)：，不滿足條件，；第三次循環(huán)：，不滿足條件，；第四次循環(huán)：，不滿足條件，；第五次循環(huán)：，不滿足條件，；第六次循環(huán)：，不滿足條件，；第七次循環(huán)：，滿足條件，輸出的值為7所以判斷框中的條件可填寫“”故選：【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖中判斷條件的選擇，這種類型的問題一般要列舉出所有的循環(huán)步驟，利用最后一次和倒數(shù)第二次循環(huán)中變量滿足與不滿足來篩選判斷條件，考查邏輯推理能力，屬于中等題。8已知等腰梯形中，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若記，則（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)三角形法則可知，再根據(jù)梯形的中位線

6、定理可知，所以，即可求出【詳解】依題意得，再根據(jù)梯形的中位線定理可知，所以，故故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查用基底表示平面向量，考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題9函數(shù)，的部分圖象如圖所示，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A向左平移B向左平移C向右平移D向右平移【答案】C【解析】由函數(shù)的最值求出，將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式求出，再將點(diǎn)代入該函數(shù)的解析式求出，得出，并利用誘導(dǎo)公式化為，再利用函數(shù)的圖象變化規(guī)律得出結(jié)論【詳解】由函數(shù)，的部分圖象，可得，由，可得，故可將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象故選【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)圖象求解析式、以及三角函數(shù)圖象變換，求圖象求三角函數(shù)的解析式的步

7、驟如下：（1）求、：，；（2）求：（其中為函數(shù)的最小正周期）；（3）求初相：代特殊點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或?qū)ΨQ中心點(diǎn)）求10某地區(qū)甲、乙、丙三所單位進(jìn)行招聘，其中甲單位招聘2名，乙單位招聘2名，丙單位招聘1名，并且甲單位要至少招聘一名男生，現(xiàn)有3男3女參加三所單位的招聘，則不同的錄取方案種數(shù)為（ ）A36B72C108D144【答案】D【解析】按三步分步進(jìn)行，先考慮甲單位招聘，利用間接法，因?yàn)橹辽僬衅敢幻猩瑢⒅徽信那闆r去掉，錄取方案數(shù)為，然后剩余四人依次分配給乙單位和丙單位，分別為、，然后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理將三個(gè)數(shù)相乘可得出答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，分3步進(jìn)行分析：單位甲在6人中任選2人招

8、聘，要求至少招聘一名男生，有種情況，單位乙在剩下的4人中任選2人招聘，有種情況，單位丙在剩下的2人中任選1人招聘，有種情況，則有種不同的錄取方案；故選：【點(diǎn)睛】本題考查排列組合問題，將問題分步驟處理和分類別討論，是兩種最基本的求解排列組合問題的方法，在解題的時(shí)候要審清題意，選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵，著重考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中等題。11若函數(shù)，則的所有極大值點(diǎn)之和與所有極小值點(diǎn)之和的差為( )ABCD【答案】A【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，在內(nèi)解出方程，即為函數(shù)在所有的極值點(diǎn)，并分析函數(shù)在這些極值點(diǎn)附近的單調(diào)性，確定極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，再將所有極大值點(diǎn)之和與所有極小值點(diǎn)之和作差可得出答

9、案。【詳解】函數(shù)，時(shí)，時(shí)，時(shí)遞增，時(shí)遞減，當(dāng)時(shí)，取極小值，當(dāng)時(shí)，取極大值，則的所有極大值點(diǎn)之和與所有極小值點(diǎn)為計(jì)算時(shí)可得；的所有極大值點(diǎn)：，的所有極小值點(diǎn)：，故：，故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，在確定極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)屬性時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：（1）除了令導(dǎo)數(shù)為零，解出相應(yīng)的根之外，還要注意到導(dǎo)數(shù)圖象在軸要穿過此零點(diǎn)，否則不算極值點(diǎn)；（2）另外導(dǎo)數(shù)在其零點(diǎn)附近左正右負(fù)，該點(diǎn)為極大值點(diǎn)；左負(fù)右正，該點(diǎn)為極小值點(diǎn)。12已知直線與橢圓切于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的最大值為（ ）AB2CD1【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，利用四點(diǎn)，共圓，求得以為直徑的圓，與已知圓的方

10、程相減得出直線的方程，直線與過點(diǎn)的橢圓的切線重合，兩個(gè)方程相等，可得,，再由橢圓的參數(shù)方程和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模，結(jié)合三角形的面積公式和三角恒等變換以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)求出所求的最大值【詳解】設(shè)，由，可得四點(diǎn)，共圓，可得以為直徑的圓，方程為，聯(lián)立圓，相減可得的方程為，又與橢圓相切，可得過的切線方程為，即為，由兩直線重合的條件可得，由于在橢圓上，可設(shè)，即有，可得，且，即有，當(dāng)即或或或時(shí)，的面積取得最大值故選【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和圓的方程的應(yīng)用，考查直線和橢圓、直線與圓相切的條件，以及運(yùn)用參數(shù)方程和三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力與分析問題的能力，屬于難題二、填空題13在

11、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則_【答案】【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出和的值，再利用二倍角的正弦公式可計(jì)算出答案【詳解】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)的定義以及二倍角公式，著重考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)定義的理解以及三角公式的掌握情況，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題14在圓上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線的距離不小于的概率為_【答案】【解析】先利用幾何法判斷出直線與圓相切，然后平移該直線，使得平移后的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，并使得兩直線的距離為，計(jì)算出的大小，結(jié)合圖象知符合題中的點(diǎn)在劣弧，然后計(jì)算與周角的比例可得出答案?！驹斀狻咳鐖D所示，圓的圓心到直線的距離為1，設(shè)所在直線與直線

12、平行，由到的距離為，得，在劣弧上，在圓上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線的距離不小于的概率為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型、直線與圓的位置關(guān)系，對(duì)于幾何概型的問題，關(guān)鍵是要找出臨界區(qū)域，本題中抓住點(diǎn)到直線的距離不小于，臨界位置就是點(diǎn)到直線的距離等于，可利用平移的方法得到，所以在求幾何概型問題的時(shí)候，一定要抓住這個(gè)“臨界位置”去進(jìn)行分析。15雙曲線的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線與軸及雙曲線的右支分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】由知為的中點(diǎn)，連接，利用中位線的性質(zhì)得出，利用直線的斜率得出，可得出，由勾股定理得出，最后利用雙曲線的定義得出與的等量關(guān)系，從而可求出雙曲線離心率的值【詳解

13、】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，可得為的中點(diǎn)，即有軸，由題意可得，即有，可得，由雙曲線的定義可得，可得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，充分分析焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)、利用三角形中相關(guān)定理以及雙曲線的定義來解題，是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，著重考查學(xué)生分析能力和運(yùn)算求解能力，屬于中等題16已知數(shù)列中，對(duì)任意，成等差數(shù)列，公差為，則_【答案】5101【解析】由題意得出，兩式相加得，從而得出數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，然后利用累加法求出，結(jié)合題中定義得出，可求出的值?！驹斀狻繑?shù)列中，對(duì)任意，成等差數(shù)列，公差為，兩式相加得，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，所以，以上等式全部相加得，則，由題中

14、定義可得，則。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查數(shù)列相關(guān)項(xiàng)的求解，本題中要充分利用數(shù)列的定義，本題中，在定義中，有兩個(gè)相鄰的偶數(shù)項(xiàng)，因此，利用累加法求出偶數(shù)項(xiàng)是解本題的關(guān)鍵，著重考查學(xué)生對(duì)數(shù)列定義以及數(shù)列通項(xiàng)公式求解方法的掌握情況，屬于難題。三、解答題17已知銳角中，角，所對(duì)的邊分別為，（1）求角；（2）若，求邊上的高長【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用內(nèi)角和定理以及兩角和的正弦公式得，代入題干中的等式，經(jīng)過化簡求出的值，即可得出角的值；（2）設(shè)邊上的高為，對(duì)角使用余弦定理求出，再利用三角形的面積公式得出，即可求出邊上的高【詳解】（1），（2）由余弦定理可得：，可得：，可得：，由等面積可得：，

15、可得：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及三角形的面積公式，在已知等式出出現(xiàn)三個(gè)角時(shí)，應(yīng)充分利用內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦、余弦公式解題，另外在求高時(shí)，應(yīng)轉(zhuǎn)化為面積問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題18中國國際智能產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)（智博會(huì)）每年在重慶市舉辦一屆，每年參加服務(wù)的志愿者分“嘉賓”、“法醫(yī)”等若干小組2018年底，來自重慶大學(xué)、西南大學(xué)、重慶醫(yī)科大學(xué)、西南政法大學(xué)的500名學(xué)生在重慶科技館多功能廳參加了“志愿者培訓(xùn)”，如圖是四所大學(xué)參加培訓(xùn)人數(shù)的不完整條形統(tǒng)計(jì)圖，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽出50人作為2019年中國國際智博會(huì)服務(wù)的志愿者（1）若“嘉賓”小組需要2名志愿者，求這2人分別來自不

16、同大學(xué)的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）（2）若法醫(yī)小組的3名志愿者只能從重慶醫(yī)科大學(xué)或西南政法大學(xué)抽出，用5表示抽出志愿者來自重慶醫(yī)科大學(xué)的人數(shù)，求的分布列.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）由分層抽樣的性質(zhì)得出重慶大學(xué)、西南大學(xué)、重慶醫(yī)科大學(xué)、西南政法大學(xué)志愿者分別為15，20，10，5人，用減去2人都在同一所大學(xué)的概率，即可得出這2人分別來自不同大學(xué)的概率；（2）得出的可能取值，并算出對(duì)應(yīng)的概率，即可得出的分布列.【詳解】解：（1）2019年中國國際智博會(huì)服務(wù)的志愿者中重慶醫(yī)科大學(xué)的人數(shù)為人則重慶大學(xué)、西南大學(xué)、重慶醫(yī)科大學(xué)、西南政法大學(xué)志愿者分別為15，20，10，5人所以.（2）的可能取

17、值為：0，1，2，3則分布列為：0123P【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計(jì)算概率以及求超幾何分布的分布列，屬于中檔題.19如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，平面，（1）求證；平面平面（2）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明，由平面，得出，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理證明平面，最后由平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（2）計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用向量計(jì)算出向量與的夾角的余弦值，取其絕對(duì)值作為直線與平面所成角的正弦值【詳解】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過

18、作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，0，0，平面，平面，面，平面，平面平面（2）以為原點(diǎn)，分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，0，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直的判定、以及利用空間向量求解直線與平面所成的角，利用空間向量解決空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系的證明以及空間角與距離的計(jì)算，關(guān)鍵就是要找準(zhǔn)合適的位置建立空間直角坐標(biāo)系，并列出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過向量建立數(shù)與形之間的關(guān)系20已知點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)（1）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程（2）設(shè)、兩點(diǎn)在（1）中軌跡上，點(diǎn)，兩直線與的斜率之積為，且（1）中軌跡上存在點(diǎn)滿足，當(dāng)面積

19、最小時(shí)，求直線的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后代入橢圓方程并化簡后得出所求軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓聯(lián)立，消去，并列出韋達(dá)定理，利用直線和的斜率之積得出，可得出，由知，于是得出直線的方程為，將該直線與橢圓方程聯(lián)立并結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得出，最后利用三角形的面積公式以及基本不等式求出面積的最小值，利用基本不等式等號(hào)成立的條件求出的值，即可求出直線的方程?！驹斀狻浚?）設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，即；（2）設(shè)直線，聯(lián)立，得，得到則為，解得，同理，當(dāng)，即時(shí)，有最小值為此時(shí)直線的方程為【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求解、直線與橢圓的綜合

20、問題，求解直線與圓錐曲線的綜合問題，聯(lián)立與韋達(dá)定理法是常見解法，弄清楚這種方法的應(yīng)用情形，另外在求最值時(shí)，常用基本不等式法，此外，二次函數(shù)法、單調(diào)性法以及三角換元法等都是常用方法。21已知，函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）證明：【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）求函數(shù)的定義域，以及導(dǎo)數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為二次方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，再分析、對(duì)稱軸以及二次函數(shù)在處函數(shù)值的正負(fù)，列出有關(guān)的不等式組解出即可；（2）由、為二次方程的兩根，列出韋達(dá)定理，再將韋達(dá)定理代入代數(shù)式，經(jīng)過化簡得出關(guān)于的函數(shù)，并令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性證明結(jié)論成立【詳解】（

21、1），函數(shù) 定義域：，函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，對(duì)于中的應(yīng)滿足三個(gè)條件：，由可得的取值范圍：，（2）證明：，得：，令，則，將其令為即：，則有：，在定義域是單調(diào)遞減的函數(shù)，（4），在定義域也是單調(diào)遞減的函數(shù)，（4）即：得證【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，本題的關(guān)鍵在于根據(jù)極值點(diǎn)與二次方程根據(jù)系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理代入將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為有關(guān)參數(shù)的函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)來證明，考查分析問題以及運(yùn)算求解能力，屬于難題22在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)且，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與曲線分別交于點(diǎn)，求的最大值【答案】（1）：，：；（2）【解析】（1