選修42矩陣與變換習(xí)題概要

1、選修4-2矩陣與變換習(xí)題綱領(lǐng)選修4-2矩陣與變換習(xí)題綱領(lǐng)17/17選修4-2矩陣與變換習(xí)題綱領(lǐng)第一講二階矩陣、二階矩陣與平面向量的乘法、二階矩陣與線性變換。一、二階矩陣1.矩陣的看法2OP(2,3)，將OP的坐標(biāo)排成一列，并簡記為yP(2,3)332233O2x某電視臺舉辦歌唱競賽，甲、乙兩名選手初、復(fù)賽成績以下：初賽復(fù)賽809090甲808688乙86882x3ymz1,3x2y4z2看法一：23m23m324簡記為3242象3809023mA、B、C表示，868832的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱為矩陣.平常用大寫的拉丁字母4橫排叫做矩陣的行,豎排叫做矩陣的列.名稱介紹：上述三個矩陣分別是21

2、矩陣，22矩陣（二階矩陣），23矩陣，注意行的個數(shù)在前。矩陣相等：行數(shù)、列數(shù)相等，對應(yīng)的元素也相等的兩個矩陣，稱為AB。行矩陣：a11,a12（僅有一行）列矩陣：a11（僅有一列）a21向量a（x,y），平面上的點P（x,y）都能夠看作行矩陣x,y或列矩陣x，在本書中規(guī)定全部的平面向量y均寫成列向量x的形式。y練習(xí)1：x31y1.已知A,Bz，若A=B，試求x,y,z4222xmnxy2.設(shè)A3，Bymny2x看法二：，若A=B，求x,y,m,n的值。由4個數(shù)a,b,c,d排成的正方形數(shù)表ab稱為矩陣的元素。c稱為二階矩陣。a,b,c,dd零矩陣：全部元素均為000，即，記為0。00二階單位矩

3、陣：10201，記為E.第1頁共16頁二、二階矩陣與平面向量的乘法abxaxbyabxaxby定義：規(guī)定二階矩陣A=，與向量y的乘積為A，即Adcxdycdcxdycy練習(xí)2：1231.（1）110（2）12101310 x=1x2.2y，求11y三、二階矩陣與線性變換1.旋轉(zhuǎn)變換問題1:P（x,y）繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)180o,y),為P在此旋轉(zhuǎn)變換作用下的象。其結(jié)果為xx獲取P(x稱Py，y也能夠表示為xx0y，即x10 xx怎么算出來的？y0 xyy01yy問題2.P（x,y）繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)30o獲取P(x,y),試達成以下任務(wù)寫出象P；寫出這個旋轉(zhuǎn)變換的方程組形式；寫出矩陣形式.30o問

4、題3.把問題2中的旋轉(zhuǎn)30o改為旋轉(zhuǎn)角，其結(jié)果又如何？2.反射變換定義：把平面上隨意一點P對應(yīng)到它對于直線l的對稱點P的線性變換叫做對于直線l的反射。研究：P（x,y）對于x軸的反射變換下的象P(x,y)的坐標(biāo)公式與二階矩陣。3.伸縮變換定義：將每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)楸緛淼膋1倍，縱坐標(biāo)變?yōu)楸緛淼膋2倍，（k1、k2均不為0），這樣的幾何變換為伸縮變換。試分別研究以下問題：.將平面內(nèi)每一點的縱坐標(biāo)變?yōu)楸緛淼?倍，橫坐標(biāo)不變的伸縮變換的坐標(biāo)公式與二階矩陣.將每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)楸緛淼膋1倍，縱坐標(biāo)變?yōu)楸緛淼膋2倍的伸縮變換的坐標(biāo)公式與二階矩陣.投影變換定義：將平面上每個點P對應(yīng)到它在直線l上的投影P（

5、即垂足），這個變換稱為對于直線l的投影變換。研究：P（x,y）在x軸上的（正）投影變換的的坐標(biāo)公式與二階矩陣。5.切變變換定義：將每一點P（x,y）沿著與x軸平行的方向平移ky個單位，稱為平行于x軸的切變變換。將每一點P（x,y）沿著與y軸平行的方向平移kx個單位，稱為平行于y軸的切變變換。研究：這兩個變換的坐標(biāo)公式和二階矩陣。練習(xí)：P10四、簡單應(yīng)用第2頁共16頁0設(shè)矩陣A=，求點P(2,2)在A所對應(yīng)的線性變換下的象。01練習(xí)：P13【第一講.作業(yè)】對于x軸的反射變換對應(yīng)的二階矩陣是2.在直角坐標(biāo)系下，將每個點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)120o的旋轉(zhuǎn)變換對應(yīng)的二階矩陣是假如一種旋轉(zhuǎn)變換對應(yīng)的矩陣為二

6、階單位矩陣，則該旋轉(zhuǎn)變換是4.平面內(nèi)的一種線性變換使拋物線yx2的焦點變?yōu)橹本€y=x上的點，則該線性變換對應(yīng)的二階矩陣能夠是5.平面上一點A先作對于x軸的反射變換，獲取點11o2A,在把A繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)180，獲取點A，若存在一種反射變換相同能夠使A變?yōu)锳2，則該反射變換對應(yīng)的二階矩陣是6.P（1，2）經(jīng)過平行于y軸的切變變換后變?yōu)辄cP1(1,-5)，則該切變變換對應(yīng)的坐標(biāo)公式為7.設(shè)A1x，Bzx2，且A=B.則x2x1yx2428.在平面直角坐標(biāo)系中，對于直線y=-x的正投影變換對應(yīng)的矩陣為9.在矩陣A12對應(yīng)的線性變換作用下，點P(2,1)的像的坐標(biāo)為2110.已知點A（2，1），B（

7、2，3），則向量AB在矩陣112對應(yīng)的線性變換下獲取的向量坐標(biāo)為0211.向量a在矩陣A12的作用下變?yōu)榕c向量1平行的單位向量，則a011511312.已知A2，a，bab，ab，求A，A；32，設(shè)4413.已知A10，a1，bx，若Aa與Ab的夾角為135o，求x.121114.一種線性變換對應(yīng)的矩陣為105，5）,求電A的坐標(biāo)；解1。若點A在該線性變換作用下的像為（0釋該線性變換的幾何意義。15.在平面直角坐標(biāo)系中，一種線性變換對應(yīng)的二階矩陣為10。求點A（1/5,3）在該變換作用下的像；012圓x2y21上隨意一點P(x0,y0)在該變換作用下的像。第3頁共16頁10130a10 x答案

8、：1.223.R360o4.5.x18.2.310a6.y7.01012xy221122719229.（0，5）10.（2，8）11.2，212.、112218422221xo13.2/314.(5,y)15.5,yo322第二講線性變換的性質(zhì)復(fù)合變換與二階矩陣的乘法一、數(shù)乘平面向量與平面向量的加法運算x，是隨意一個實數(shù)，則x1.數(shù)乘平面向量：設(shè)yy2.平面向量的加法：設(shè)x1，x2，則x1x2y1y2yy21性質(zhì)1,是平面上的隨意兩個向量，是隨意一個實數(shù)，則數(shù)乘聯(lián)合律：設(shè)A是一個二階矩陣，A()A；分派律：A()AA【研究1】對以上的性質(zhì)進行證明，而且說明其幾何意義。二、直線在線性變換下的圖形

9、研究ykxb分別在以下變換下的像所形成的圖形。伸縮變換：旋轉(zhuǎn)變換：切變變換：023122321201特別地：直線x=a對于x軸的投影變換？性質(zhì)2：二階矩陣對應(yīng)的變換（線性變換）把平面上的直線變?yōu)?（證明見課本P19）三、平面圖形在線性變換下的像所形成的圖形分別研究單位正方形地區(qū)在線性變換下的像所形成的圖形。恒等變換：旋轉(zhuǎn)變換：01cossinsincos第4頁共16頁切變變換：反射變換：投影變換：k10100【練習(xí)：P27】【應(yīng)用】22試研究函數(shù)1在旋轉(zhuǎn)變換22作用下獲取的新曲線的方程。y22x22四、復(fù)合變換與二階矩陣的乘法x3112x1.研究隨意愿量先在旋轉(zhuǎn)變換Ro：22作用，再經(jīng)過切變變

10、換：作用的向量y301301y222.二階矩陣的乘積定義：設(shè)矩陣Aa1b1，Ba2b2，則A與B的乘積c1d1c2d2a1b1a2b2ABd1c2d2c1【應(yīng)用】1.計算1-1102121cos-sin2.Acossincos-sin，Bcossin，求AB3.求1：A=10：B=12在經(jīng)過切變變換2，及切變變換0兩次變換后的像。3114.設(shè)壓縮變換10，旋轉(zhuǎn)變換R01Ro，求向量2：A2o：B，將兩個變換進行復(fù)合019010903x在復(fù)合變換下的像；求在復(fù)合變換下的像；在復(fù)合變換下單位正方形變?yōu)槭裁磮D形？y第5頁共16頁220.505.試研究橢圓xy1伸縮變換：旋轉(zhuǎn)變換：34011010換：

11、；投影變換：五種變換作用下的新曲線方程。0100進一步研究在，等變換下的新曲線方程。312；切變變換：12；反射變130122【練習(xí)：P35】【第二講.作業(yè)】A.B.C.D.1.以下線性變換中不會使正方形變?yōu)槠溆鄨D形的是（）A.反射變換B.投影變換C.切變變換D.伸縮變換2.10在切變變換：2作用下，直線y=2x-1變?yōu)?3.在A0.51作用下，直線l變?yōu)閥=-2x-3,則直線l為214.在10 x2y21對應(yīng)的線性邊變換作用下，橢圓21變?yōu)?45.已知平面內(nèi)矩形地區(qū)為xixj（0 x11,0 x22）,若一個線性變換將該矩形變?yōu)檎叫蔚貐^(qū)，則該線12性變換對應(yīng)的矩陣為x2y21繞原點順時針旋

12、轉(zhuǎn)后獲取新的橢圓方程為6.將橢圓344510對應(yīng)的線性邊變換作用下，圓(x+1)2+(y+1)2=1變?yōu)?.在108.計算：1311240421101111102111119.向量11110兩次變換后獲取的向量為經(jīng)過0和112110.向量3先逆時針旋轉(zhuǎn)45o，再順時針旋轉(zhuǎn)15o獲取的向量為111.函數(shù)ysin(x)的圖像經(jīng)過201001的伸縮變換，和的反射變換后的函數(shù)是30112.x2y21先后經(jīng)過反射變換0110橢圓431和伸縮變換后獲取的曲線方程為000.521，且12，求矩陣。13.已知1011100.5010 x2y214.分別求出在1變換后的方程，并作出2、01、00對應(yīng)的線性邊變換

13、作用下，橢圓04第6頁共16頁圖形。15.函數(shù)y1x2y21？寫出相應(yīng)的矩陣。先后經(jīng)過如何的變換能夠獲取44x答案：1.2.y=-13.3x-y+3=04.y=-x106.7x27y22xy2407.y=x（2x0）8.5.10211311213111.ysin(x)218、09.10.301152321112.xy2113.14.y=-2x(2x2)、y=0(2x2)、x2y2115.1030221122202221122第三講矩陣乘法的性質(zhì)逆變換、逆矩陣二、矩陣乘法的性質(zhì)0111011.設(shè)，2，1由A、B、C研究矩陣能否滿足，聯(lián)合律；互換律；消去律。1130結(jié)論：由聯(lián)合律研究矩陣的乘方運算

14、。單位矩陣的性質(zhì)【應(yīng)用】設(shè)01，求81【練習(xí)：P41】二、逆變換與逆矩陣1.逆變換：設(shè)是一個線性變換，假如存在一個線性變換，使得I，（I是恒等變換）則稱變換可逆，此中是的逆變換。2.逆矩陣：設(shè)是一個二階矩陣，假如存在二階矩陣，使得BA=AB=E2,則稱矩陣可逆，此中為的逆矩陣。1符號、記法：A，讀作的逆。1.試找尋30o的逆變換?！緫?yīng)用】1.A31，問A能否可逆？若可逆，求其逆矩陣A1。422.A21，問A能否可逆？若可逆，求其逆矩陣A1。42ab由以上兩題，總結(jié)一般矩陣A可逆的必需條件。cd第7頁共16頁三、逆矩陣的性質(zhì)1.二階矩陣可逆的獨一性。2.設(shè)二階矩陣A、B均可逆，則AB也可逆，且(

15、AB)1B1A1【練習(xí)：P50】【第三講.作業(yè)】1.已知非零二階矩陣A、B、C，以下結(jié)論正確的選項是（）A.AB=BAB.(AB)C=A(BC)C.若AC=BC則A=BD.若CA=CB則A=B2.以下變換不存在逆變換的是（）A.沿x軸方向，向y軸作投影變換。B.Ro變換。C.橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)增添橫坐標(biāo)的兩倍的切變變換。D.60以y軸為反射變換3.以下矩陣不存在逆矩陣的是（）A.01B.0.50C.011010011D.1004.設(shè)A,B可逆，以下式子不正確的選項是（）A.(AB)1A1B1B.(AB)1B1A1C.(A1)1AD.(A2)1(A1)25.N01，則2106.101011011

16、10201117.1223460312248.設(shè)A10，B021A的變211則向量經(jīng)過先再的變換后的向量為經(jīng)過先再01換后的向量為對于x軸的反射變換對應(yīng)矩陣的逆矩陣是10.變換將（3，2）變?yōu)椋?，0），設(shè)的逆變換為1，則1將（1，0）變?yōu)辄c0111.矩陣11的逆矩陣為12.設(shè)：x11x1的作用下的點的坐標(biāo)為y1，點（2，3）在0y111313.A22，則A1=01312214.ABC的極點A(0,0),B(2,0),C(0,1)。假如將三角形先后經(jīng)過11和10兩次變換變?yōu)锳BC,求A0111BC的面積。第8頁共16頁132015.已知A22，求圓x2y21在(AB)1變換作用下的圖形。31，

17、B102216.已知A21，試分別計算：A2,A3,A4,An02答案：1.B2.A3.D4.A5.106.127.248.229.10013406、3010.1111113（3，2）11.（1，3）13.2214.115.4x2y2116.112.313022448121632nn1A2、A32n2040、A40、An81602n第四講二階隊列式與逆矩陣逆矩陣與二元一次方程組.二階隊列式與逆矩陣【看法】abbc0.假如矩陣A是可逆的，則adcd此中abababbc，adabcd稱為二階隊列式，記作，即adbc也稱為隊列式的睜開式。符號cdcdcd記為：detA或|A|【可逆矩陣的充要條件】定

18、理：二階矩陣abdetA=adbc0.此時A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)cddbA1detAdetA（請同學(xué)一同證明此定理）adetAdetA【應(yīng)用】計算二階隊列式：31222341判斷以下二階矩陣能否可逆，若可逆，求出逆矩陣。01A011B00【練習(xí)：P55】第9頁共16頁二、二元一次方程組的矩陣形式二元一次方程組的矩陣形式axbye一般的，方程組可寫成矩陣形式為：cxdyf二元一次方程組的線性變換意義設(shè)變換abx、eaxbyexe：d，向量，則方程組cxdy，意即：ycyfff三、逆矩陣與二元一次方程組313xy1.研究方程組：22的矩陣形式與逆矩陣的關(guān)系。131xy22【定理】假如對于x,y的二元一次

19、方程組axbyeabcxdy的系數(shù)矩陣Ac是可逆的，則該方程組有獨一解：fdxab1eydfcaxby0（a,b,c,d,ab【推論】對于x,y的二元一次方程組dy0均不為0），有非零解0cxcd【應(yīng)用】1.用逆矩陣解二元一次方程組3xy24x2y0【思慮】課本60頁思慮axbye的系數(shù)矩陣Aabcxdyfc不行逆，方程組的解如何？d【練習(xí)：P61】【應(yīng)用】為什么值時，二元一次方程組三、三階矩陣與三階隊列式三階矩陣的形式三階隊列式的運算【第四講.作業(yè)】abxxcd有非零解？yy311.矩陣A，則|A|=2矩陣Ax21，若A是不行逆的，則x=105第10頁共16頁12的逆矩陣為3.431012，

20、則(AB)14.A，B01313x35.A，若A不行逆，則A1216.若對于x,y的二元一次方程組3xmy0m4x11y有非零解，則07.設(shè)二元一次方程組2mxx24沒有非零解，則m全部值的會合為yy8.向量在旋轉(zhuǎn)變換Ro的作用下變?yōu)?，則向量60313x19.若1，則x+y0y210.A3132滿足(AB1)31，B1，向量，則向量001用逆矩陣的方法解方程組：7x11y33xy0 xy012x4y012.求以下未知的二階矩陣X：12X32X12321113111313.當(dāng)為什么值時，二元一次方程組22xx有非零解？13yy14.設(shè)A12，矩陣B滿足ABA130，求矩陣B.111221721

21、5答案：1.22.23.554.7.m3135.6.-33/415101033131429.310.11.x1177、330,yx=k,y=3k12.661052775213.1或414.3321033第五講變換的不變量與特色向量.特色值與特色向量【研究】38.28717第11頁共16頁1.計算以下結(jié)果：10a01010001b以上的計算結(jié)果與計算以下結(jié)果：a0，的關(guān)系是如何的？0b10a02010002b以上的計算結(jié)果與a0，的關(guān)系是如何的？0b【定義】ab，假如存在實數(shù)及非零向量，使得A，則稱是矩陣A的一個特色值。設(shè)矩陣Adc是矩陣A的屬于特色值的一個特色向量。（聯(lián)合研究1、2說明，特色值

22、與特色向量）【定理1】假如是矩陣A的屬于特色值的一個特色向量，則對隨意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A的屬于特色值的特征向量。其幾何意義是什么？【定理2】屬于矩陣的不一樣特色值的特色向量不共線?！緫?yīng)用】31從幾何角度解說旋轉(zhuǎn)變換22的特色值與特色向量。32二、特色值與特色向量的計算2設(shè)A，求A的特色值及屬于每個特色值的一個特色向量。3【總結(jié)規(guī)律】ab一般的，矩陣A的特色值及屬于每個特色值的一個特色向量的求法。cd【應(yīng)用】12求A的特色值及屬于每個特色值的一個特色向量。14【練習(xí)：P70】【第五講.作業(yè)】第12頁共16頁1.設(shè)反射變換xx的特色向量的是:對應(yīng)的矩陣為A，則以下不是Ayy（）A.01C.

23、01B.01D.112.以下說法錯誤的選項是（）A.矩陣A的一個特色向量只好屬于A的一個特色值B.每個二階矩陣均有特色向量C.屬于矩陣A的不一樣特征值的特色向量必定不共線D.假如是矩陣A的屬于特色值的一個特色向量，則對隨意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A的屬于特色值的特色向量。3.設(shè)1，2分別是恒等變換與零變換的特色值，則124.投影變換00的全部特色值構(gòu)成的會合為:105.ab矩陣的特色多項式為d已知A是二階矩陣，且A20，則A的特色值為7.11A的屬于0的特色向量為若0是矩陣Ax的一個特色值，則08.已知1、2是矩陣A1mA13的特色值，則n9.若向量11m的一個特色向量，則m是矩陣22201求

24、以下矩陣的特色值及其對應(yīng)的全部特色向量：401034121511.已知向量01m的一個特色向量，求m的值。k是矩陣202a，分別求滿足以下條件的全部矩陣A：12的一個特色向量。1是A的12.設(shè)Ab是A的屬于232一個特色向量。x3mm的取值范圍。13.對隨意實數(shù)x，矩陣m2總存在特色向量，求214設(shè)A是可逆的二階矩陣，求證：A的特色值必定不是0；若是A的特色值，則1/是A1的特色值。1.2.3.4.0，15.f()2(ad)adbc6.07.k8.k10kk0319.10.2,0k0；1,0或k或2,k222k2kk第13頁共16頁2kk0k0或4kk011.01,k7,k2,k5k20212

25、13.3214.有特色多項式證明；A12.733322A1(A)A1()，A1()(A1)A11得征。第六講特色向量的應(yīng)用.An的簡單表示【研究1】對于x軸的反射變換的坐標(biāo)公式為：相應(yīng)的二階矩陣為A矩陣A的特色值為：對應(yīng)于每個特色值的特色向量為：試研究對特色向量作了n次變換后的結(jié)果：【定義】設(shè)矩陣Aab是矩陣A的屬于特色值的隨意一個特色向量，則Ann（nN*）c，d【研究2】設(shè)研究1中的兩個特色向量為1、2，由于這兩個向量不共線，因此平面上隨意一個向量能夠用1、2為基底表示為：試研究An的值?！拘再|(zhì)1】設(shè)1、2是二階矩陣A的兩個不一樣特色值，1、2是矩陣A的分別屬于特色值1、2的特色向量，對于

26、平面t11t22nnn上隨意一個非零向量，設(shè)，則At111t222【應(yīng)用】【P761、2】人口遷徙問題課本P73【第五講.作業(yè)】a求矩陣A的特色值及其對應(yīng)的全部特色向量。a02.設(shè)是矩陣A的一個特色值，求證：2A2A2A。求證A01是的一個特色值。若的特色值為或。3.設(shè)是矩陣A的屬于特色值的一個特色向量，求證：是An的屬于特色值n的一個特色向量。42綜合作業(yè)】一、選擇題192x5a）1.設(shè)矩陣A，B9，若AB，則x的值為（x20b第14頁共16頁A.3B.9C.-3D.32.矩陣01的逆矩陣為（）10A.01B.10C.10D.011001011012v2，則Av3.矩陣A，3（）31A.5B.10C.25D.1020 x2y24.在矩陣對應(yīng)的線性變換作用下，橢圓1對應(yīng)