數(shù)學(xué)思想史剖析

1、 -數(shù)學(xué)史復(fù)習(xí)一、單項(xiàng)選擇題1對古代埃及數(shù)學(xué)成就的了解主要來源于（A）A.紙草書B.羊皮書C.泥版D.金字塔內(nèi)的石刻2對古代巴比倫數(shù)學(xué)成就的了解主要來源于（C）A.紙草書B.羊皮書C.泥版D.金字塔內(nèi)的石刻九章算術(shù)中的“陽馬”是指一種特殊的（B）A.棱柱B.棱錐C.棱臺D.楔形體九章算術(shù)中的“壍堵”是指一種特殊的（A）A.三棱柱B.三棱錐C.四棱臺D.楔形體5射影幾何產(chǎn)生于文藝復(fù)興時期的（C）A.音樂演奏B.服裝設(shè)計C.繪畫藝術(shù)D.雕刻藝術(shù)6歐洲中世紀(jì)漫長的黑暗時期過后，第一位有影響的數(shù)學(xué)家是（A）。A.斐波那契B.卡爾丹C.塔塔利亞D.費(fèi)羅7被稱作“第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)的鼻祖”的數(shù)學(xué)家是

2、（B）A.歐幾里得B.泰勒斯C.畢達(dá)哥拉斯D.阿波羅尼奧斯&公元前4世紀(jì)，數(shù)學(xué)家梅內(nèi)赫莫斯在研究下面的哪個問題時發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線？（C）A.不可公度數(shù)B.化圓為方C.倍立方體D.三等分角印度古代數(shù)學(xué)著作計算方法綱要的作者是（C）A.阿耶波多B.婆羅摩笈多C.馬哈維拉D.婆什迦羅最早證明了有理數(shù)集是可數(shù)集的數(shù)學(xué)家是（A）A.康托爾B.歐拉C.魏爾斯特拉斯D.柯西11在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上提出了23個著名的數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)家是（A）A.希爾伯特B.龐加萊C.羅素D.F克萊因12與祖暅原理本質(zhì)上一致的是（D）A.德沙格原理B.中值定理C.泰勒定理D.卡瓦列里原理13.世界上第一個把n計算到3.

3、1415926Vn3.1415927的數(shù)學(xué)家是（B）A.劉徽B.祖沖之C.阿基米德D.卡瓦列里14.我國元代數(shù)學(xué)著作四元玉鑒的作者是（C）一 一A.秦九韶B.楊輝C.朱世杰D.賈憲就微分學(xué)與積分學(xué)的起源而言（A）A.積分學(xué)早于微分學(xué)B.微分學(xué)早于積分學(xué)C.積分學(xué)與微分學(xué)同期D.不確定16在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，最早的一部是（D）A.孫子算經(jīng)B.墨經(jīng)C.算數(shù)書D.周髀算經(jīng)發(fā)現(xiàn)著名公式eie=cos0+isin&的是（D）A.笛卡爾B.牛頓C.萊布尼茨D.歐拉中國古典數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰時期是（D）A.兩漢時期B.隋唐時期C.魏晉南北朝時期D.宋元時期最早使用“函數(shù)”（function）這一術(shù)語的數(shù)

4、學(xué)家是（A）A.萊布尼茨B.約翰伯努利C.雅各布伯努利D.歐拉大數(shù)學(xué)家歐拉出生于（A）A.瑞士B.奧地利C.德國D.法國21首先獲得四次方程一般解法的數(shù)學(xué)家是（D）A.塔塔利亞B.卡當(dāng)C.費(fèi)羅D.費(fèi)拉利最早采用位值制記數(shù)的國家或民族是（A）A.美索不達(dá)米亞B.埃及C.阿拉伯D.印度給出“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系”這個關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的論述的人是（B）A.笛卡爾B.恩格斯C.康托D.羅素提出“集合論悖論”的數(shù)學(xué)家是（B）A.康托爾B.羅素C.龐加萊D.希爾伯特下面那位數(shù)學(xué)家對勾股定理的貢獻(xiàn)最早CA.歐幾里德B.祖沖之C.畢達(dá)哥拉斯D.阿基米德對負(fù)數(shù)最早認(rèn)識是下列哪個國家AA.中國B

5、.阿拉伯C.巴比倫D.印度27今天代數(shù)學(xué)這個名稱最早來源于下面那位數(shù)學(xué)家的著作CA.阿羅摩及多B.馬哈維拉C.花拉子謎D.奧馬.海亞母下列哪位數(shù)學(xué)家首先證明了五次和五次以上代數(shù)方程根式可解得充要條件C一 一A.拉格朗日B.阿貝爾C.伽羅瓦D.哈密頓29、下列數(shù)學(xué)家中那位建立了集合論CA.柯西B.威爾斯特拉斯C.康托爾D.黎曼30、20世紀(jì)，在關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的大討論中形成了三大學(xué)派,其中形式主義的代表人物是CA.羅素B.布勞威爾C.希爾伯特D.歌德爾31、秦九韶是宋兀四大家之一，其代表作是CA.九章算術(shù)B.九章算術(shù)注C.數(shù)書九章D.四元玉鑒32、下列哪位數(shù)學(xué)家最早得到了正確的球體積公式DA.歐幾里

6、得B.祖沖之C.劉徽D.阿基米德33、古代幾何知識來源于實(shí)踐，在不同的地區(qū)，不同的幾何學(xué)實(shí)踐來源不盡相同，古代埃及的幾何學(xué)產(chǎn)生于AA.測地B.宗教C.天文D.航海TOC o 1-5 h z34、零號的發(fā)明是對世界文明的杰出貢獻(xiàn)，它是由下列國家發(fā)明的DA.中國B.阿拉伯C.巴比倫D.印度35、最早發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的是下列哪位數(shù)學(xué)家DA.歐幾里得B.阿波羅尼斯C.畢達(dá)哥拉斯D.梅內(nèi)赫姆斯36、下列哪位數(shù)學(xué)家提出猜想：每個偶數(shù)是兩個素數(shù)之和；每個奇數(shù)是三個素數(shù)之和CA.費(fèi)馬B.歐拉C.哥德巴赫D.華林37、下列哪位數(shù)學(xué)家首先證明了五次和五次以上的代數(shù)方程的根式不可解性BA.拉格朗日B.阿貝爾C.伽羅瓦D

7、.哈密頓38、在非歐幾何的先行者中，最先對第五共設(shè)能由其他共設(shè)證明表示懷疑的數(shù)學(xué)家AA.克呂格爾B.普羅克魯斯C.蘭伯特D.撒開里39、下列數(shù)學(xué)家中哪位數(shù)學(xué)家被稱作現(xiàn)代分析學(xué)之父BA.柯西B.維爾斯特拉斯C.康托爾D.黎曼40、在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，最早的一部是BA.九章算術(shù)B.周髀算經(jīng)C.墨經(jīng)D.孫子算經(jīng)二、填空題古希臘著名的三大尺規(guī)作圖問題分別是：化圓為方，即作一個與給定的圓面積相等的正方形。倍立方體，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍。三等分角，即分任意角為三等分。歐幾里德是古希臘論證數(shù)學(xué)的集大成者，他通過繼承和發(fā)展前人的研究成果，編撰出曠世巨著原本.中國古代把直角三角形

8、的兩條直角邊分別稱為勾和，斜邊稱為_.4“萬物皆數(shù)”是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的基本信條.1687年，牛頓的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理出版，它具有劃時代的意義，是微積分創(chuàng)立的重要標(biāo)志之一，被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”1637年，笛卡兒發(fā)表了他的哲學(xué)名著更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論，解析幾何的發(fā)明包含在這本書的附錄幾何學(xué)中.非歐幾何的創(chuàng)立主要?dú)w功于數(shù)學(xué)家高斯，波約和羅巴切夫斯基。解析幾何的發(fā)明歸功于法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和笛卡爾.徽率、祖率（或密率）分別是157/50和355/113徽率、祖率（或密率）、約率分別是157/50、355/113和22/7海島算經(jīng)的作者是劉徽，四元玉鑒的作者是朱世杰.秦九韶

9、的代表作是數(shù)書九章,他的提出正負(fù)開方術(shù)是求高次代數(shù)方程的完整算法,他提出的大衍總數(shù)術(shù)是求解一次同余方程組的一般方法.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用來推算圓周率的方法叫割圓術(shù)，用來計算面積和體積的一條基本原理是“出入相補(bǔ)”原理：一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和不變14對數(shù)的發(fā)明者納皮爾是一位貴族數(shù)學(xué)家,拉普拉斯曾贊譽(yù)道:“對數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學(xué)家的壽命”歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)流數(shù)簡論的作者是生頓，第一個公開發(fā)表微積分論文的數(shù)學(xué)家是萊布尼茨古代美索不達(dá)米亞的數(shù)學(xué)常常記載在泥板上，在代數(shù)與幾何這兩個傳統(tǒng)領(lǐng)域，他們成就比較高的是代數(shù)領(lǐng)域.阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米

10、的還原與對消計算概要第一次給出了一元二次程的一般解法,并用幾何方法對這一解法給出了證明.“非歐幾何”理論的建立源于對歐幾里得幾何體系中歐幾里得平行公設(shè)的證明，最先建立“非歐幾何”理論的數(shù)學(xué)家是羅巴切夫斯基.起源于“英國海岸線長度”問題的一個數(shù)學(xué)分支是分形幾何，它誕生于20世紀(jì).恩格斯在19世紀(jì)有一個對數(shù)學(xué)的經(jīng)典論述：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)- -古代印度幾何的起源與宗教有關(guān)，古代中國起源多與相聯(lián)系在古希臘數(shù)學(xué)的黃金時期，以歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家的成就標(biāo)志了古希臘數(shù)學(xué)的巔峰我國宋元時期出現(xiàn)了四位最突出的數(shù)學(xué)家，被稱為宋元四大家，他們分別是楊輝、秦九韶、朱世

11、杰和李冶關(guān)于五次以及以上方程式不可解首先是由數(shù)學(xué)家阿貝爾完成的，接著是數(shù)學(xué)家伽羅瓦徹底解決方程根式可解的判別法。希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即：相容性、獨(dú)立性、完備性_。在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，周髀算經(jīng)是最早的一部。卷上敘述的關(guān)于榮方與陳子的對話，包含了勾股定理的一般形式。二項(xiàng)式展開式的系數(shù)圖表，在中學(xué)課本中稱其為楊輝三角，而數(shù)學(xué)史學(xué)者常常稱它為賈憲三角。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的代數(shù)學(xué)第一次給出了一次和二次方程的一般解法，并用-幾何方法對這一解法給出了證明。-在微積分方法正式發(fā)明之前，許多數(shù)學(xué)家的工作已經(jīng)顯示著微積分的萌芽，如開普勒的旋轉(zhuǎn)體體積計算、巴羅的微分

12、三角形方法以及費(fèi)馬的求極大值與極小值的方法等。創(chuàng)造并最先使用-6語言的數(shù)學(xué)家是維爾斯特拉斯。數(shù)學(xué)家們?yōu)檠芯抗畔ＥD三大尺規(guī)作圖難題花費(fèi)了兩千年的時間，1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了兀的超越性。羅巴契夫斯基所建立的“非歐幾何”假定過直線外一點(diǎn)，至少有兩條直線與已知直線平行，而且在該幾何體系中，三角形內(nèi)角和_小于一_兩直角。被稱為“現(xiàn)代分析之父”的數(shù)學(xué)家是柯西，被稱為“數(shù)學(xué)之王”的數(shù)學(xué)家是高斯_。1900年，德國數(shù)學(xué)家在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上提出了23個尚未解決的數(shù)學(xué)問題，在整個二十世紀(jì)，這些問題一直激發(fā)著數(shù)學(xué)家們濃厚的研究興趣。首先將三次方程一般解法公開的是意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹，首先獲得四次方程一般

13、解法的數(shù)學(xué)家是費(fèi)拉里。歐氏幾何、羅巴契夫斯基幾何都是三維空間中黎曼幾何的特例，其中歐氏幾何對應(yīng)的情形是曲率恒等于零，羅巴切夫斯基幾何對應(yīng)的情形是曲率為負(fù)常數(shù)。中國歷史上最早敘述勾股定理的著作是九章算術(shù)中國歷史上最早完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是三國時期的趙爽。兩千年來有關(guān)歐幾里得幾何原本第五公設(shè)的爭議，導(dǎo)致了非歐幾何的誕生。河谷文明主要是指古巴比倫、中國、印度、古埃及文明畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)上的主要成就是畢達(dá)哥拉斯定理、正多面體作圖、形數(shù)、無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)等。20世紀(jì)在對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探討過程中形成了一些學(xué)派，包括那些學(xué)派是邏輯主義學(xué)派、直覺主義學(xué)派、形式主義學(xué)派。在幾個古代文明地區(qū)幾種早期起源主要有測地

14、、宗教、天文方面。數(shù)學(xué)家費(fèi)羅、塔塔利亞、卡爾丹、費(fèi)拉里對三、四次方程代數(shù)解法作岀了貢獻(xiàn)。歐拉在18世紀(jì)出版的微積分史上里程碑式的著作是無限小分析引論微分學(xué)、積分學(xué)。三、名詞解釋可公度量：對于任何給定的線段，總能找到某第三階段，以它為單位線段能將給定的兩條線段劃分為整數(shù)段，這樣的兩條線段為可公度量，即有公共度量的度量單位。倍立方體：做一個與已知立方體2倍的立方體祖氏原理：幕勢既同，則積不容異四色定理：任何一張地圖，最多只需4種顏色就可以將不同區(qū)域的邊界區(qū)分開來出入相補(bǔ)原理：一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割若干部分后，面積獲體積總和保持不變。費(fèi)馬大定理：關(guān)于的x,y,z不定方程x2+y2=z2

15、，對于任意大于2的自然數(shù)n無非零整數(shù)解。割圓術(shù)：用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓，這是我國數(shù)學(xué)家劉徽提出來的，并用于作為計算圓的周長、面積以及圓周率的方法基礎(chǔ)。中國剩余定理：是指關(guān)于一次同余組求解的剩余定理。這是我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的，稱之為“大衍總數(shù)術(shù)”代數(shù)基本定理：對于次多項(xiàng)式方程，如果把不可能的（復(fù)數(shù)根）考慮在內(nèi)，并包括重根，則應(yīng)有個根，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉德1629年提出來的。牟合方蓋：在一個立方體內(nèi)做兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱，這兩個圓柱體相交的部分，就是牟合方蓋，是劉徽為了推算球體積公式而構(gòu)造的一個幾何體。愛爾朗根綱領(lǐng)：1872年，德國數(shù)學(xué)家克萊因在埃爾朗根大學(xué)做教授就職演講，在這個演講中，闡

16、述了幾何學(xué)統(tǒng)一的思想：所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)說，或者說，任何一種幾何學(xué)只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量。五、簡答或證明請列舉九章算術(shù)各章的名稱和主要研究內(nèi)容.題數(shù)術(shù)數(shù)主要內(nèi)容、方田0.各種面和計算公式與既數(shù)運(yùn)算間題Q二、粟米畑伽各種比例間題護(hù)三、衰務(wù)2022比例配看問題四、少廣241和開平壽；開亞方等計算間題Q五、商功*仲24體積的計算間題Q;最均輸Q緲緲與運(yùn)輸納稅苞芙的加極比例等間題卓七、盈不斥屮盈5間題的解法與比例間題屮)小方程*1陰19*線性方程組的應(yīng)用間題Q:九、勾股Q22勾股定理及其應(yīng)用間題門共計護(hù)2462024幾何原本中的5條公理和5條公設(shè)分

17、別是什么公理是：1等于同量的量彼此相等2等量加等量，和相等3等量減等量，差相等4彼此重合的圖形是全等得5.整體大于部分公設(shè)是：1.假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線2.一條有限直線可不斷延長3.以任意中心和直徑可以畫圓4凡直角都彼此相等5若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角那么把兩直線無線延長，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。請列出“算經(jīng)十書”所包括的古算書書名.周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)、張邱建算經(jīng)、五曹算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)、夏侯陽算經(jīng)、綴術(shù)和輯古算經(jīng)請簡述幾何原本和九章算術(shù)的思想方法特點(diǎn)，并比較兩者的異同.幾何原本是以形式邏輯方法把所有內(nèi)容組織為有機(jī)的整體，九章算

18、術(shù)則按問題的性質(zhì)和解法分類編排；幾何原本注重演繹推理，較少實(shí)用，九章算術(shù)則全是實(shí)用算法；原本內(nèi)容全是為幾何或幾何外衣下的算術(shù)，九章算術(shù)則集中了算術(shù)、代數(shù)、幾何等我國當(dāng)時全部的數(shù)學(xué)知識。九章算術(shù)成書標(biāo)志著中國數(shù)學(xué)體系的形成，九章算術(shù)及其著文中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想不僅對我國古代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，也極大地促進(jìn)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。幾何原本的公理化思想和方法在其他學(xué)科中也得到了廣泛的應(yīng)用，指明了數(shù)學(xué)乃至其他科學(xué)的前進(jìn)道路。請簡述微積分誕生的醞釀時期微分學(xué)的基本問題和積分學(xué)的基本問題.非勻速運(yùn)動物體的速度與加速度使瞬時變化率問題的研究成為當(dāng)務(wù)之急;望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計需要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線，這又使求任意曲線

19、的切線問題變得不可回避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題行星沿軌道運(yùn)動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等又使積分學(xué)的基本問題面積、體積、曲線長、重心和引力計算用九章算術(shù)中的遍乘直除法解下面問題：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”P73推導(dǎo)三次方程x3=px+q的求根公式一一卡爾丹公式.P1277、用阿基米德的平衡法推導(dǎo)球體積公式。P538、用幾何方法證明方程x2+6=5x的根是2和3.9、簡述數(shù)學(xué)的文化特

20、點(diǎn)數(shù)學(xué)以抽象的形式，追求高度精確、可靠的知識；數(shù)學(xué)追求最大限度的一般性模式，特別是一般性算法的傾向；數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性活動的結(jié)果，追求藝術(shù)和美的特征10、簡述歐幾里得原本中所確立的公理化思想公理化思想是古希臘時期在歐氏幾何中確立的數(shù)學(xué)演繹范式這種范式要求一門學(xué)科中的每一個命題必須是在它之前已建立的一些命題的邏輯結(jié)論，二所有這樣的推理鏈的共同出發(fā)點(diǎn)，就是一些基本定義和被認(rèn)為不正自明的基本原理一一公理或公設(shè)，這就是所謂的公理化思想。11、簡述數(shù)學(xué)符號化在近代的發(fā)展過程數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)化首先歸功于法國國防大學(xué)數(shù)學(xué)家韋達(dá)，由于他的符號體系指點(diǎn)入導(dǎo)致代數(shù)性質(zhì)上產(chǎn)生重大變革；吉拉德的代數(shù)新發(fā)現(xiàn)和奧特雷德的實(shí)用分析術(shù)

21、繼承了韋達(dá)的符號使用方法，特別是通過后者的著作使采用符號的風(fēng)氣流行起來；笛卡爾改進(jìn)韋達(dá)的符號體系，用拉丁字母的前幾個ab,c,dL)表示已知量，后幾個xy,z,wL)表示未知量成為今天的習(xí)慣。12、簡述解析幾何的基本思想- -一 一解析幾何的基本思想是在平面內(nèi)引進(jìn)所謂的坐標(biāo)的概念；借助這種坐標(biāo)概念，把平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(x,y)之間建立對應(yīng)關(guān)系，即每一實(shí)數(shù)對都對應(yīng)于平面上的一個點(diǎn)，反之，每一個點(diǎn)都對應(yīng)于它的坐標(biāo)，這樣，可以將一個代數(shù)方程f(x,y)=O與平面上的一條曲線對應(yīng)起來，于是幾何問題便可以歸結(jié)為代數(shù)問題，并反過來通過代數(shù)問題的研究發(fā)現(xiàn)新的集合結(jié)果。簡述現(xiàn)代公理化方法建立的意義希爾伯

22、特在1899年發(fā)表的幾何基礎(chǔ)第一次提出完備的公理系統(tǒng)，完成了兩個本質(zhì)的飛躍：(1)幾何對象達(dá)到了更深刻的抽象，賦予了公理系統(tǒng)具有更大的一般性；(2)明確提出了公理體系的基本邏輯要求。三次數(shù)學(xué)危機(jī)分別發(fā)生在何時？主要內(nèi)容是什么？是如何解決的？第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：公元前六世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯悖論:無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，避免直接出現(xiàn)無理數(shù)；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)：十七世紀(jì)，貝克萊悖論：“無窮小量究竟是否為0”的問題：極限理論、實(shí)數(shù)理論和集合論三大理論的完善，微積分學(xué)堅實(shí)牢固基礎(chǔ)的建立。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)：十九世紀(jì)下半葉，羅素悖論：羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成，康托

23、爾集合論是有漏洞的。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論。簡述數(shù)系的幾次擴(kuò)張從自然數(shù)開始，到分?jǐn)?shù)概念的產(chǎn)生，這是數(shù)系的第一次擴(kuò)張；負(fù)數(shù)的產(chǎn)生與確定，數(shù)系的第二次擴(kuò)張；無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)系的第三次擴(kuò)張；虛數(shù)、復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)，數(shù)系的第四次擴(kuò)張。簡述劉徽在數(shù)學(xué)上的主要成就劉徽生活在三國時代，代表著作有九章算術(shù)著海島算經(jīng)，主要成就：算術(shù)上給出了系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)算法，各種比例算法，求最大公約數(shù)的方法，代數(shù)上有方程術(shù),正負(fù)數(shù)加減法則的建立和開平方或開立方法；在幾何上有出入相補(bǔ)原理、體積理論、截割原理、勾股不失本率原理與重差術(shù)、割圓術(shù)及徽率。五、論述題論述數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的意義和作用.數(shù)學(xué)史進(jìn)入課程是數(shù)

24、學(xué)新課程改革的重要理念之一。對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化生成的文庫性資源，是最具權(quán)威的課程資源，具有明理、哲思與求真三重教育價值。明理：數(shù)學(xué)知識從何而來?數(shù)學(xué)史展示數(shù)學(xué)知識的起源、形成與發(fā)展過程，詮釋數(shù)學(xué)知識的源與流；哲思：數(shù)學(xué)是一門什么樣的科學(xué)?數(shù)學(xué)史明晰數(shù)學(xué)科學(xué)的思想脈絡(luò)和發(fā)展趨勢，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)觀問題自覺地進(jìn)行哲學(xué)沉思，有利于學(xué)生追求真理和尊崇科學(xué)品德的形成（3）求真：數(shù)學(xué)科學(xué)有什么用?數(shù)學(xué)史引證數(shù)學(xué)科學(xué)偉大的理性力量，讓學(xué)生感悟概念思維創(chuàng)生的數(shù)學(xué)模式對于解析客觀物質(zhì)世界的真理性，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值的認(rèn)識。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以幫助人們一一

25、理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)、掌握數(shù)學(xué)的思想與方法、重走數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的（思維的）關(guān)鍵性步子。因此，要重視數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和作用，通過數(shù)學(xué)教學(xué)展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)歷程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，是數(shù)學(xué)教學(xué)的有效策略。展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)過程，不是簡單敘述數(shù)學(xué)史實(shí)，重復(fù)數(shù)學(xué)家的“原發(fā)現(xiàn)過程”而是需要教師開展教育取向的數(shù)學(xué)史研究，從中獲得對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示，引導(dǎo)學(xué)生重走數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之路。論述群概念產(chǎn)生的意義（1）伽羅瓦在18291831年間完成的幾篇論文中，提出群的概念來解決方程根式解性問題，通過引進(jìn)全新的的群的概念，建立了判別式根式可解的充分必要條件，從而宣告了方程根式可解這一經(jīng)歷了三百年的難題的徹底解決。

26、（2）群概念的提出可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端，不僅是因?yàn)樗鉀Q了方程根可解這一數(shù)學(xué)難題，而且更重要的是它導(dǎo)致了代數(shù)學(xué)在對象、內(nèi)容和方法上的深刻變革（3）19世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)家們又認(rèn)識到，群可以是一個更加普遍的概念，而不必僅限于置換群，在這樣定義的群中，集合元素本身的具體內(nèi)容無關(guān)緊要，關(guān)鍵是聯(lián)系這些元素的運(yùn)算關(guān)系，這樣建立起來的一般群論是描寫其他各種數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象的對稱性質(zhì)的普遍工具（4）代數(shù)學(xué)由于群的概念的引進(jìn)和發(fā)展而獲得新生，它不再僅僅是研究代數(shù)方程，而更多的是研究各種抽象的“對象”的運(yùn)算關(guān)系，19世紀(jì)中葉以后，這種抽象的“對象”層出不窮，從而為20世紀(jì)代數(shù)結(jié)構(gòu)觀念的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。3、論述非歐幾何誕生的意義（1）非歐幾何的創(chuàng)立解決了長期關(guān)于歐氏幾何中平行共設(shè)的爭議（2）非歐幾何對人們的空間觀念產(chǎn)生了及其深遠(yuǎn)的影響19世紀(jì)，占統(tǒng)治地位的是歐幾里得的絕對空間觀念，非歐幾何的創(chuàng)始人無一例外的都對這種傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn)。（3）非歐幾何的出現(xiàn)引起了新的幾何學(xué)的誕生與繁榮19世紀(jì)中葉以后，通過否定歐式幾何中這樣或那樣的共設(shè)公理