非參數(shù)統(tǒng)計(jì)教學(xué)ppt課件(完整版)

1、第1章 導(dǎo) 言本章內(nèi)容：一、測(cè)量的層次二、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)基本思想回顧三、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法四、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)五、大樣本近似時(shí)的連續(xù)性修正六、功效函數(shù)和檢驗(yàn)的漸近相對(duì)效率一、測(cè)量的層次所謂測(cè)量，就是根據(jù)一定的法則，給事物或事件分配一定的數(shù)字或符號(hào)。數(shù)據(jù)屬于何種測(cè)量層次，決定該數(shù)據(jù)能夠使用何種類型的方法進(jìn)行分析。廣泛采用的測(cè)量層次為四種類型的尺度：定類尺度、定序尺度、定距尺度、定比尺度。測(cè)量時(shí)，無(wú)論哪一種測(cè)量層次，都必須具有完備性和互斥性。（不重不漏）（一）定類尺度定類尺度是按照事物的某些特征辨別和劃分的一種測(cè)量層次，也被稱作類別尺度、名義尺度。如性別、職業(yè)、民族等。定類尺度只能將事物分類，不能用以反映事物的

2、數(shù)量狀況。如性別這一變量，用“1”表示男性，“0”表示女性；職工對(duì)所從事的職業(yè)是否滿意，用“0”表示不滿意、用“1”表示滿意等，這里的“0”和“1”僅僅是人們賦予的識(shí)別標(biāo)志，并不說(shuō)明事物的數(shù)量，有時(shí)也稱這樣的變量為虛擬變量。定類尺度是最低一個(gè)層次的測(cè)量，它只能進(jìn)行“=”或“”的邏輯運(yùn)算。定類測(cè)量數(shù)據(jù)常用的描述統(tǒng)計(jì)量有：眾數(shù)、頻數(shù)、異眾比率等。（二）定序尺度定序尺度是按照事物的某種特征依大小、高低順序或級(jí)別進(jìn)行排列的一種測(cè)量層次，也稱作順序尺度、等級(jí)尺度。例如，測(cè)量職工的文化程度可以分為：碩士研究生及以上、本科、大專、中學(xué)及以下。定序尺度是比定類尺度高一層次的測(cè)量，它不僅能進(jìn)行“=”或“”的運(yùn)算

3、，還能進(jìn)行“”、“”的運(yùn)算。描述定序測(cè)量數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量除了眾數(shù)還有中位數(shù)，反映離散程度的除了異眾比率還有分位數(shù)。（三）定距尺度定距尺度是不僅能將事物區(qū)分類別和等級(jí)，還可以確定不同類別或等級(jí)之間的數(shù)量差別、間隔距離的一種測(cè)量層次，也稱作間隔尺度、區(qū)間尺度。例如，職工對(duì)自己職業(yè)的滿意程度測(cè)量，1分表示很不滿意，10分表示很滿意；對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)考試成績(jī)的測(cè)量，0表示試卷中沒有一個(gè)對(duì)的，100表示試卷中全部答對(duì)。定距尺度是一種定量的測(cè)量層次，它不僅能反映事物的類別和順序，而且能反映事物數(shù)量之間的距離。它是比定序尺度又高一層次的測(cè)量，不僅能進(jìn)行“=”和“”，“”和“”的運(yùn)算，還能進(jìn)行“+”、 “-”的

4、運(yùn)算。但是定距尺度沒有絕對(duì)“0”。例如，某門課程成績(jī)的百分制測(cè)量，0分不表示某考生沒有這門課方面的知識(shí)。甲考試成績(jī)?yōu)?0分，乙為85分，90-85=5分，只表明甲比乙在這門課考試成績(jī)中多5分，不能說(shuō)明甲掌握的這方面知識(shí)是乙的大約1.06倍（90/85）。（四）定比尺度定比尺度是在定距尺度的基礎(chǔ)上增加絕對(duì)零點(diǎn)的一種測(cè)量層次，也稱作等比尺度、比率尺度。是否具有實(shí)際意義的零點(diǎn)存在，是定比尺度與定距尺度的唯一區(qū)別。例如對(duì)職工年齡的測(cè)量，“0”歲是絕對(duì)的，對(duì)所有人都一樣，若甲為40歲，乙為20歲，可知甲的年齡是乙的2倍。定比尺度由于有一絕對(duì)零點(diǎn)存在，因而比定距尺度更利于反映事物之間的比例或比率關(guān)系，是所

5、有測(cè)量層次中最高一層次的測(cè)量，不僅能進(jìn)行“”、“”，“”、“”，“+”、“-”的運(yùn)算，而且能進(jìn)行“”、“”的運(yùn)算。在定比測(cè)量中，除了使用定距測(cè)量數(shù)據(jù)所有描述性統(tǒng)計(jì)量，還有幾何平均數(shù)、變異系數(shù)等。（五）四種測(cè)量尺度的關(guān)系首先，這些測(cè)量尺度之間有著包含關(guān)系，即高一層次的測(cè)量總是包含低層次的測(cè)量。定序尺度包含了定類尺度所有運(yùn)算性質(zhì)，定距尺度包含了定序、定類尺度所有運(yùn)算性質(zhì)，而定比尺度則包含了所有測(cè)量層次的運(yùn)算性質(zhì)。其次，四種測(cè)量尺度之間，低級(jí)的測(cè)量尺度往往能用較高級(jí)的測(cè)量尺度形式表示。例如，對(duì)學(xué)生考試成績(jī)的測(cè)量，進(jìn)行定類測(cè)量可分為及格、不及格：若將及格的成績(jī)高低排序，可分為優(yōu)、良、中、及格，這是定序

6、尺度；若再將各順序等級(jí)給出等級(jí)分，即按百分制測(cè)量，優(yōu)：90分以上，良：80-90分，中：70-80分，及格：60-70分。數(shù)據(jù)的測(cè)量層次和數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息相關(guān)，對(duì)于相同的樣本容量，越高層次的測(cè)量，意味著數(shù)據(jù)中有越豐富的信息，往往可使用更加復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析。二、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)基本思想回顧 三、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法非參數(shù)問題是指總體分布形式未知或雖已知卻不能用有限個(gè)參數(shù)刻畫的統(tǒng)計(jì)問題。當(dāng)總體分布不能由有限個(gè)實(shí)參數(shù)所刻劃或并不知曉總體分布或不關(guān)心總體分布時(shí)的統(tǒng)計(jì)方法，稱為非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法不依賴總體的具體分布形式，構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量以及估計(jì)常與具體分布無(wú)關(guān)，故又稱非參數(shù)方法為自由分布方法。非參數(shù)統(tǒng)計(jì)

7、包含兩大方面的問題：一是較為經(jīng)典的以檢驗(yàn)為主的統(tǒng)計(jì)推斷，如基于秩統(tǒng)計(jì)量的方法、列聯(lián)分析等 。另一方面是從無(wú)窮維的函數(shù)空間尋找恰當(dāng)?shù)目傮w分布或條件分布，如核密度估計(jì)、局部多項(xiàng)式回歸、樣條、可加模型等，這類方法與基于秩的方法有很大的不同，但同樣都不依賴于對(duì)總體分布所做的確定的假定、不依賴有限個(gè)參數(shù)，被稱為現(xiàn)代非參數(shù)統(tǒng)計(jì) 。非參數(shù)檢驗(yàn)在以下情形常為使用：待分析數(shù)據(jù)不滿足參數(shù)檢驗(yàn)所要求的假定例如，非正態(tài)總體小樣本，t-檢驗(yàn)不適用時(shí)，作為替代方法，可以采用非參數(shù)檢驗(yàn)。僅由一些等級(jí)構(gòu)成的數(shù)據(jù)例如，消費(fèi)者可能被問及對(duì)幾種不同商標(biāo)的飲料的喜歡程度，他們不能對(duì)每種商標(biāo)都指定一個(gè)數(shù)字來(lái)表示對(duì)該商標(biāo)的喜歡程度，卻能

8、將幾種商標(biāo)按喜歡的順序分成等級(jí)，如十分喜歡、比較喜歡、喜歡、不大喜歡、不喜歡等，無(wú)法采用參數(shù)檢驗(yàn)，宜采用非參數(shù)檢驗(yàn)。討論的問題中不包含參數(shù)例如，要判斷一個(gè)樣本是否為隨機(jī)樣本，采用非參數(shù)檢驗(yàn)法是適當(dāng)?shù)?。測(cè)量層次數(shù)學(xué)性質(zhì)描述統(tǒng)計(jì)量適合的統(tǒng)計(jì)方法定類尺度眾數(shù)頻率列聯(lián)系數(shù)非參數(shù)方法定序尺度中位數(shù)分位數(shù)肯德爾秩相關(guān)系數(shù)斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)定距尺度平均值方差皮爾遜相關(guān)系數(shù)參數(shù)和非參數(shù)方法定比尺度幾何均值標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)多重相關(guān)系數(shù)四、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)【例1.2】分別產(chǎn)生10、20、50、100個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，比較不同樣本量經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與總體分布函數(shù)的差異。五、大樣本近似時(shí)的連續(xù)性修正問題的提出：在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中

9、，統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布一般很難求，也有一些統(tǒng)計(jì)量沒有精確的分布；當(dāng)樣本量較大時(shí)，即使統(tǒng)計(jì)量有精確分布，計(jì)算量會(huì)很大，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，此時(shí)需要利用統(tǒng)計(jì)量的漸近分布進(jìn)行大樣本近似，例如正態(tài)近似、卡方近似等。精確分布是離散分布，但是漸近分布是連續(xù)分布，兩者存在差異。六、功效函數(shù)和檢驗(yàn)的漸近相對(duì)效率為了達(dá)到犯兩類錯(cuò)誤的概率盡可能小，理論上可以尋找到合適的樣本量，盡可能滿足事先規(guī)定的犯第一類和第二類錯(cuò)誤的概率。非參數(shù)檢驗(yàn)的功效函數(shù)在大多數(shù)情況下都很難求出精確表達(dá)式，研究功效時(shí)，常將不同的檢驗(yàn)做相對(duì)比較，比較的途徑基本兩條，一是對(duì)各種備擇假設(shè)做統(tǒng)計(jì)模擬，另一是求漸近相對(duì)效率。關(guān)于不同分布下各種檢驗(yàn)的漸近相對(duì)

10、效率可參考孫山澤，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)講義，北京大學(xué)出版社。第2章 單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)2.1 符號(hào)檢驗(yàn)符號(hào)檢驗(yàn)（Sign Test）是利用正，負(fù)號(hào)的數(shù)目對(duì)某種假設(shè)作出判定的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。本質(zhì)上而言，符號(hào)檢驗(yàn)是基于二項(xiàng)分布構(gòu)造的檢驗(yàn)方法，應(yīng)視為參數(shù)方法。但它與秩方法關(guān)系密切，所以作為最簡(jiǎn)單的非參數(shù)檢驗(yàn)也是合適的。2.1.1 普通的符號(hào)檢驗(yàn)備擇假設(shè)備擇假設(shè)普通的符號(hào)檢驗(yàn)p值計(jì)算方法：【例2.1】女性在對(duì)事物的看法上是否傾向于比男性保守？一些社會(huì)科學(xué)家對(duì)這樣的事實(shí)很感興趣，當(dāng)夫婦倆人有一個(gè)類似的觀點(diǎn)時(shí)，妻子可能比丈夫要保守。為了驗(yàn)證這一事實(shí)是否成立，隨機(jī)選取了50對(duì)夫婦進(jìn)行調(diào)查。按預(yù)先制定的問題每人分別被詢問

11、，結(jié)果只有10對(duì)夫婦的看法傾向性差異較大，而其中9對(duì)夫婦的妻子確實(shí)比丈夫保守?！纠?.2】為了解顧客對(duì)咖啡、茶的喜好情況，在某商店隨機(jī)抽取15名顧客進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有12名顧客更喜歡茶，2名顧客更喜歡咖啡，1名對(duì)兩者同樣愛好。請(qǐng)問顧客對(duì)咖啡、茶的喜好是否有顯著差異？若有差異，是否更喜歡茶。注意：（1）本例的數(shù)據(jù)中，有一個(gè)樣本是對(duì)茶和咖啡同樣愛好，在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常遇到。本例的處理方法是不考慮這個(gè)樣本。（2）p值什么時(shí)候可以被認(rèn)為充分??？一般來(lái)說(shuō)，0.05作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，如果p值小于0.05被認(rèn)為是一個(gè)小概率事件，本例和前一例都以顯著性水平0.05作為“小”的標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)際問題處理中可能會(huì)將p定得更小，

12、如0.01或者0.001，當(dāng)然有時(shí)也會(huì)將標(biāo)準(zhǔn)定為0.10，這時(shí)必須有充分理由認(rèn)為0.10是一個(gè)發(fā)生事件很小的概率。2.1.2 位置的符號(hào)檢驗(yàn)【例2.3】生產(chǎn)過(guò)程是否需要調(diào)整？某企業(yè)生產(chǎn)一種鋼管，規(guī)定長(zhǎng)度的中位數(shù)是10米?，F(xiàn)隨機(jī)地從正在生產(chǎn)的生產(chǎn)線上選取10根進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果為：9.8, 10.1, 9.7, 9.9, 9.8, 10.0, 9.7, 10.0, 9.9, 9.8。請(qǐng)問生產(chǎn)過(guò)程是否需要調(diào)整？配對(duì)樣本位置的符號(hào)檢驗(yàn)【例2.4】領(lǐng)導(dǎo)者的領(lǐng)導(dǎo)水平是否是可以訓(xùn)練的？為驗(yàn)證領(lǐng)導(dǎo)水平是可以訓(xùn)練的，根據(jù)人的聰明程度、人品、受教育狀況等，隨機(jī)抽選出12個(gè)人配成6對(duì)，每對(duì)中有一人隨機(jī)選擇受訓(xùn)，記作T

13、，另一人則不受訓(xùn)記作C。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，按被設(shè)計(jì)好的問題評(píng)價(jià)他們的領(lǐng)導(dǎo)水平，結(jié)果如表2-2。編號(hào)T的評(píng)價(jià)（x）C的評(píng)價(jià)（y）x-y的符號(hào)11310+2197+33420+42438-54022+63915+表2-2 配對(duì)樣本評(píng)價(jià)表2.1.3 二項(xiàng)式檢驗(yàn)和分位數(shù)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布：備擇假設(shè)p值（精確方法）二項(xiàng)檢驗(yàn)p值確定方法【例2.5】高中生晚自習(xí)是否應(yīng)延長(zhǎng)時(shí)間？某高中每晚8:30結(jié)束晚自習(xí)，有人建議應(yīng)延長(zhǎng)至10:00。為作出決定，現(xiàn)對(duì)該高中學(xué)生做一調(diào)查，若學(xué)生中有25%以上說(shuō)應(yīng)該延長(zhǎng)晚自習(xí)時(shí)間，則延長(zhǎng)時(shí)間。隨機(jī)選取18個(gè)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，有7個(gè)學(xué)生表示應(yīng)該延長(zhǎng)晚自習(xí)時(shí)間。2. 分位數(shù)檢驗(yàn)備

14、擇假設(shè)p值（精確方法）【例2.6】今天成年人的睡眠量是否少于5年前？5年前某地區(qū)的調(diào)查表明，成年人在每日24小時(shí)中的睡眠量中位數(shù)是7.5小時(shí)，每日睡眠量為6小時(shí)或少于6小時(shí)的占調(diào)查總數(shù)的5%，9小時(shí)和9小時(shí)以上的也占5%, 現(xiàn)對(duì)隨機(jī)抽取的8個(gè)普通成年人的調(diào)查結(jié)果為，每日24小時(shí)中睡眠量分為7.2, 8.3, 5.6, 7.4, 7.8, 5.2, 9.1, 5.8小時(shí)。2.2 Wilcoxon 符號(hào)秩檢驗(yàn)Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)（Wilcoxon Signed Rank Test) 亦稱威爾科克森帶符號(hào)的等級(jí)檢驗(yàn)。它是對(duì)符號(hào)檢驗(yàn)的一種改進(jìn)。符號(hào)檢驗(yàn)只利用關(guān)于樣本的差異方向上的信息，并未考慮差

15、別的大小。Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)彌補(bǔ)了符號(hào)檢驗(yàn)的這點(diǎn)不足。下面的例子很能說(shuō)明問題?！纠?.7】設(shè)想請(qǐng)13個(gè)人品嘗了甲、乙兩種酒，評(píng)分結(jié)果見表2-5。品酒人12345678910111213甲55324150.560483945484652.24544乙353743.1553450.34346.15147.35546.544符號(hào)+-+-0此處得分差為甲得分減去乙得分。問甲乙哪種酒好？分析：如果僅看得分差的符號(hào)，12個(gè)非0符號(hào)中，只有2個(gè)+，利用符號(hào)檢驗(yàn)不難得出乙種酒好的結(jié)論。但是進(jìn)一步思考會(huì)發(fā)現(xiàn)，認(rèn)為“乙種酒好”的10人中，給出的得分其實(shí)相差無(wú)幾，而認(rèn)為“甲種酒”好的2人中，給出的得分是甲遠(yuǎn)

16、高于乙。這說(shuō)明認(rèn)為“乙種酒好”的人心目中其實(shí)甲乙差不多，有可能是隨機(jī)因素造成了乙得分高。Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)在符號(hào)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了差異的大小，以消除隨機(jī)性帶來(lái)的影響。2.2.1 位置的Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)1. 基本方法Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)p值的計(jì)算方法：備擇假設(shè)p值（精確方法）p值（正態(tài)近似方法）【例2.8】鑄件的機(jī)加工是否應(yīng)轉(zhuǎn)包出去？ 某鋼鐵公司訂購(gòu)了一批鑄件，在使用前需進(jìn)行機(jī)加工。這一任務(wù)可由公司承擔(dān)，也可以轉(zhuǎn)包給他人。公司為減少加工費(fèi)用，所確定原則是：若鑄件重量的中位數(shù)超過(guò)25公斤，就包出去；等于或小于25公斤則不轉(zhuǎn)包。從這批100件鑄件中隨機(jī)抽取8件進(jìn)行測(cè)量，每件

17、重量分別為：24.3，25.8，25.4，24.8，25.2，25.1，25.0，25.5。使用這些數(shù)據(jù)，能否作出這批鑄件是否轉(zhuǎn)包的決定。編號(hào)重量差值D|D|D|的秩D的符號(hào)124.3-0.70.76-225.80.80.87+325.40.40.44+424.8-0.20.22.5-525.20.20.22.5+625.10.10.11+725.000825.50.50.55+例2.8秩計(jì)算的全部結(jié)果（平均秩法）：在配對(duì)樣本中的應(yīng)用【例2.9】 新配方是否有助于防曬黑？某防曬霜制造者，欲了解一種新配方是否有助于防曬黑，對(duì)7個(gè)志愿者進(jìn)行了試驗(yàn)。在每人脊椎一側(cè)涂原配方的防曬霜，另一側(cè)涂新配方的防

18、曬霜。背部在太陽(yáng)下暴曬后，按預(yù)先給定的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)定曬黑程度如下表。表中數(shù)值越大，表明曬黑程度越高。編號(hào)1234567原配方42513161445548新配方38533652334936得到p值為0.055。這個(gè)概率對(duì)于顯著性水平0.05來(lái)說(shuō)剛剛不能拒絕原假設(shè)。2.3 游程檢驗(yàn)1.游程的含義一個(gè)可以兩分的總體，如按性別區(qū)分的人群，按產(chǎn)品是否有缺陷區(qū)分的總體等等，隨機(jī)從中抽取一個(gè)樣本，樣本也可以分為兩類；類型和類型。若凡屬類型的給以符號(hào)A, 類型的給以符號(hào)B, 則當(dāng)樣本按某種順序排列（如按抽取時(shí)間先后排列）時(shí)，一個(gè)或者一個(gè)以上相同符號(hào)連續(xù)出現(xiàn)的段，就被稱作游程，也就是說(shuō)，游程是在一個(gè)兩種類型符號(hào)的有序

19、排列中，相同符號(hào)連續(xù)出現(xiàn)的段。例如，將某售票處排隊(duì)等候購(gòu)票的人按性別區(qū)分，男以A表示，女以B表示。按到來(lái)的時(shí)間先后觀測(cè)序列為：AABABB。在這個(gè)序列中，AA為一個(gè)游程，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)A;跟隨它的符號(hào)B是一個(gè)游程；BB也是一個(gè)游程，領(lǐng)先于它的A也是一個(gè)游程。在這個(gè)序列中，A的游程有2個(gè)，B的游程也有2個(gè)，序列共有4個(gè)游程。每一個(gè)游程所包含符號(hào)的個(gè)數(shù)，稱為游程的長(zhǎng)度。如上面的序列中，有一個(gè)長(zhǎng)度為2的A游程、一個(gè)長(zhǎng)度為2的B游程，長(zhǎng)度為1的A游程、B游程各有1個(gè)。2.基本方法隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，觀測(cè)值按某種順序排列，如果研究所關(guān)心的問題是：被有序排列的兩種類型符號(hào)是否隨機(jī)排列，則可以建立雙側(cè)備擇，假設(shè)

20、組為：為了對(duì)假設(shè)作出判定，被收集的樣本數(shù)據(jù)僅需定類尺度測(cè)量，但要求進(jìn)行有意義的排序，按一定次序排列的樣本觀測(cè)值能夠被變換為兩種類型的符號(hào)。備擇假設(shè)p值（精確方法）U的右尾概率U的左尾概率U較小尾部概率的2倍備擇假設(shè)p值（正態(tài)近似）Z較小尾部概率的2倍【例2.10】 某旅游點(diǎn)該年氣溫偏差是否隨機(jī)？某旅游點(diǎn)該年二月份的氣溫，連續(xù)10天被記錄，每天的最高氣溫與歷史上同期最高氣溫平均值比較，高于均值記作A，低于均值記錄作B，結(jié)果10天的氣溫依次記錄為AABABBAAAB, 使用=0.05的顯著性水平，檢驗(yàn)高溫的偏差是否隨機(jī)。得到p值為0.888。結(jié)果表明在0.05的水平上，不能拒絕氣溫偏差是隨機(jī)的原假

21、設(shè)。011101011101011101011111111111【例2.11】 從生產(chǎn)線上抽取產(chǎn)品檢驗(yàn)，是否應(yīng)采用頻繁抽取小樣本的方法？在一個(gè)剛建成的制造廠內(nèi)，質(zhì)量控制員需要設(shè)計(jì)一個(gè)抽樣方法，以保證質(zhì)量檢查的可靠。生產(chǎn)線上抽取的產(chǎn)品檢查結(jié)果可簡(jiǎn)單地分為兩類：有毛病、無(wú)毛病，檢驗(yàn)費(fèi)用與受檢產(chǎn)品總數(shù)有關(guān)，而與每次抽檢產(chǎn)品數(shù)量關(guān)系不大。一般來(lái)說(shuō)，有毛病的產(chǎn)品似乎是成群的，則每天應(yīng)頻繁抽取小樣本，以保證估計(jì)可靠；若有毛病的產(chǎn)品隨機(jī)產(chǎn)生，則每天以間隔較長(zhǎng)地抽取大樣本，就可以得到一個(gè)比較好的估計(jì)?，F(xiàn)隨機(jī)抽取30個(gè)產(chǎn)品，有毛病的編碼為0, 好的編碼為1,按從生產(chǎn)線抽取順序排列（下面是按列的順序排），結(jié)果為1

22、. 基本方法2. 應(yīng)用（1）理論頻數(shù)完全已知【例2.12】某金融機(jī)構(gòu)的貸款償還類型有A、B、C、D四種，各種的預(yù)期償還率為80%、12%、7%和1%,在一段時(shí)間的觀察記錄中，A型按時(shí)償還的有380第，B型有69筆，C型有43筆，D型有8筆。問在5%顯著性水平上，這些結(jié)果與預(yù)期的是否一致？類型A380400-204001.00B69609811.35C43358641.83D85391.80合計(jì)5005005.98計(jì)算細(xì)節(jié)：（2）理論頻數(shù)不完全已知【例2.13】從1500到1931年的432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)的次數(shù)可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，椐統(tǒng)計(jì)這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭(zhēng)，具體數(shù)據(jù)如下表。戰(zhàn)爭(zhēng)

23、次數(shù)年數(shù)0223114224831544問戰(zhàn)爭(zhēng)爆發(fā)的次數(shù)是否近似服從泊松分布？如果原假設(shè)成立，則理論期望頻率為223216.220142149.6524851.7891511.94842.390第3章 兩樣本非參數(shù)檢驗(yàn)本章內(nèi)容：3.1 兩個(gè)相關(guān)樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)3.2 兩個(gè)獨(dú)立樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)3.3 尺度檢驗(yàn)3.1 兩個(gè)相關(guān)樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)兩個(gè)相關(guān)樣本的定義：若一次抽樣的測(cè)量結(jié)果影響另一次抽樣測(cè)量結(jié)果，則這種抽樣是相關(guān)的。例如，對(duì)照實(shí)驗(yàn)得到的樣本就是相關(guān)樣本。在接受兩種不同訓(xùn)練方法的人員中，由于智力、接受能力、耐力等方面的不同，會(huì)導(dǎo)致不同處理的結(jié)果產(chǎn)生差異，這不是所要研究的問題，而是其它因素影響

24、產(chǎn)生的附加差異，這些其它影響因素也稱為混雜因素。這些因素在實(shí)施不同處理前必須排除。為獲取相關(guān)樣本，常應(yīng)用兩種方式。一是讓每一研究對(duì)象作為自身的對(duì)照者，另一是將研究對(duì)象兩兩配對(duì)，分別給每一對(duì)兩個(gè)成員以不同處理。3.1.1 兩個(gè)相關(guān)樣本的符號(hào)檢驗(yàn)1. 基本方法配對(duì)是處理相關(guān)樣本的基本手段。如果關(guān)心的是某一總體中位數(shù)是否大于另一總體中位數(shù)，則可建立單側(cè)備擇，假設(shè)組為2. 應(yīng)用【例3.1】教學(xué)參考資料對(duì)于指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)是否有效？為幫助學(xué)生通過(guò)自學(xué)提高對(duì)知識(shí)的掌握，編輯了符合教學(xué)大綱的教學(xué)參考資料。針對(duì)某一概念的掌握進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)選取15名學(xué)生，他們?cè)谑褂脜⒖假Y料之前的得分（5分制）如下表。學(xué)習(xí)參考資料后

25、，重新對(duì)這一概念進(jìn)行測(cè)試，得分也列在表中。檢驗(yàn)這部參考資料是否促進(jìn)學(xué)生掌握知識(shí)。學(xué)生編號(hào)123456789101112131415第一次成績(jī)222233333323323第二次成績(jī)342323442443444編號(hào)編號(hào)編號(hào)124735135423483314253359211555435103516355331125171563212253.1.2 兩個(gè)相關(guān)樣本的Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)1. 基本方法兩個(gè)相關(guān)樣本的Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)也是用來(lái)檢驗(yàn)配對(duì)樣本是否有顯著差異的方法。它不僅借助于兩個(gè)樣本差值的符號(hào)，而且利用差值的大小，因此它比符號(hào)檢驗(yàn)有更精確的判斷。建立假設(shè)組，當(dāng)研究的問題僅關(guān)

26、心兩個(gè)總體的分布是否相同，或說(shuō)兩個(gè)總體中位數(shù)是否相同時(shí)，采用雙側(cè)檢驗(yàn)為2應(yīng)用【例3.3】幼兒園的生活對(duì)孩子的社會(huì)知識(shí)是否有影響？有人認(rèn)為兒童上幼兒園有助于其認(rèn)識(shí)社會(huì)，有人則認(rèn)為兒童在家一樣可以獲得社會(huì)知識(shí)。為了解它們是否存在顯著差異，對(duì)8個(gè)同性孿生兒童進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)指定8對(duì)中一個(gè)上幼兒園，另一個(gè)則在家。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，通過(guò)對(duì)他們的詢問，分別作出相應(yīng)的評(píng)價(jià)，評(píng)分越高，表明社會(huì)知識(shí)越多，結(jié)果見下表。配對(duì)編號(hào)12345678上幼兒園兒童7870678176728583在家兒童6258637780738278分析：雖然可以相信得分多的孩子比得分少的孩子社會(huì)知識(shí)要多，但由于是定距尺度測(cè)量，無(wú)絕對(duì)零值，因

27、此不能認(rèn)為得80分的孩子社會(huì)知識(shí)是得40分的孩子的2倍，也不能認(rèn)為80分與60分的社會(huì)知識(shí)之差一定是60分與50分之差的2倍。但是，可以肯定，80分與60分所代表的社會(huì)知識(shí)之差一定大于60分和50分之間的差。所以將分?jǐn)?shù)差值的絕對(duì)值排序是有意義的，這樣就有能夠運(yùn)用Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)判定在家和上幼兒園對(duì)孩子的社會(huì)知識(shí)是否有顯著影響。3.2 兩個(gè)獨(dú)立樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)若第一次抽樣的所有樣本某一屬性的測(cè)量結(jié)果，不影響第二次抽樣的所有樣本同一屬性的測(cè)量結(jié)果，則這種抽樣是獨(dú)立的，得到的兩個(gè)樣本為獨(dú)立樣本。適用于獨(dú)立樣本的情況：樣本配對(duì)不當(dāng)、無(wú)法配對(duì)等，即不適宜視為相關(guān)樣本的情形。3.2.1 Mann

28、-Whitney-Wilcoxon檢驗(yàn)Mann-Whitney-Wilcoxon檢驗(yàn)，常譯為曼-惠特尼-維爾科克森檢驗(yàn)，簡(jiǎn)寫為M-W-W檢驗(yàn)，亦稱Wilcoxon秩和檢驗(yàn)。1. 基本方法若大部分的Y大于X 或大部分的X大于Y將不能證實(shí)這個(gè)有序的序列是一個(gè)隨機(jī)的混合，將拒絕X和Y來(lái)自一個(gè)相同總體的原假設(shè)?！纠?.4】一種藥物有效性的試驗(yàn)，一組為試驗(yàn)組，一組為對(duì)照組。試驗(yàn)結(jié)果評(píng)分如下表：試驗(yàn)組（X）81218對(duì)照組（Y）691113將表中評(píng)分按從小到大的順序排列，并注意哪一個(gè)評(píng)分為X組的，哪一個(gè)為Y組的，同時(shí)給出秩，結(jié)果如下：排序68911121318秩1234567組別YXYYXYX備擇假設(shè)p值

29、備擇假設(shè)p值 2. 應(yīng)用【例3.5】某種藥物對(duì)治療腫瘤是否有效？選擇9只白鼠，作為抗癌藥物篩選的對(duì)象，9只白鼠的基本條件相同，同時(shí)注射致癌物。然后隨機(jī)選取其中3只進(jìn)行抗癌藥物處理。腫瘤的重量是檢驗(yàn)藥物有效性的一個(gè)指標(biāo)。經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的時(shí)間周期后，將9只白鼠的腫瘤割除稱重，結(jié)果如下（重量單位是克）。 處理組（X）：0.94， 1.56， 1.15 控制組（Y）：1.20， 1.63， 2.26， 1.87， 2.20， 1.30 分析：若該種抗癌藥物有效，處理組白鼠腫瘤的重量應(yīng)該小于控制組的平均重量。由于這個(gè)試驗(yàn)采用的是小樣本，且為兩個(gè)獨(dú)立樣本，數(shù)據(jù)測(cè)量為定比尺度，可運(yùn)用Mann-Whitney-

30、Wilcoxon檢驗(yàn)，建立的假設(shè)組為將腫瘤重量從小到大排序并計(jì)算秩和組別得到下表結(jié)果：腫瘤重量0.941.151.201.301.561.631.872.202.26秩123456789組別XXYYXYYYY3. 同分的處理【例3.6】問題按難易次序提問是否影響學(xué)生正確回答的能力？從心理學(xué)的角度看，按問題的難易程度順序提問會(huì)影響學(xué)生正確回答的能力，從而影響他們的總分?jǐn)?shù)。為檢驗(yàn)這種觀點(diǎn)，隨機(jī)地將一班學(xué)生20人分成兩組，每組10人。設(shè)計(jì)一組問題，分成A和B卷，A卷是問題按從易到難的次序安排。B卷相反，從最難到最易。兩組學(xué)生分別回答A和B卷，考試被控制在完相同的條件下進(jìn)行，評(píng)分結(jié)果如下：A: 83,

31、 82, 84, 96, 90, 64, 91, 71, 75, 72B: 42, 61, 52, 78, 69, 81, 75, 78, 78, 65分析：這一問題可以考慮按考試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)來(lái)研究。若兩組成績(jī)的中位數(shù)相等，提問的次序?qū)W(xué)生的成績(jī)無(wú)顯著影響，若中位數(shù)不相等則不能認(rèn)為沒有顯著影響。由于是小樣本，并且為兩個(gè)獨(dú)立樣本，因而可以運(yùn)用M-W-W檢驗(yàn)，這是一個(gè)單側(cè)檢驗(yàn)，單側(cè)備擇應(yīng)是A組的成績(jī)平均高于B組。因?yàn)閮蓚€(gè)樣本的觀測(cè)值數(shù)目相同，無(wú)論哪組都可以記作X。若以X代表A組。則假設(shè)組為4. 移位參數(shù)的Mann-Whitney-Wilcoxon檢驗(yàn)3.2.2 Wald-Wolfowitz游程檢驗(yàn)

32、Wald-Wolfowitz Runs Test常譯為沃爾德-沃爾福威茨連串檢驗(yàn)或游程檢驗(yàn)，簡(jiǎn)寫為W-W串檢驗(yàn)。1. 基本方法思想方法：分析合并樣本的游程。例如，觀察兩組學(xué)生的考試成績(jī)，將7個(gè)分?jǐn)?shù)排列成一個(gè)從小到大的序列如下：第一組（X）727863第二組（Y）65798285觀察X和Y出現(xiàn)的次序以確定游程數(shù)。序列中有4個(gè)游程，一個(gè)由來(lái)自X的63分構(gòu)成的游程，隨后是一個(gè)由來(lái)自Y的65分構(gòu)成的游程，再后是由來(lái)自X的兩個(gè)分?jǐn)?shù)72和78構(gòu)成的游程，最后是三個(gè)來(lái)自Y的分?jǐn)?shù)構(gòu)成的1個(gè)游程。排序63657278798285組別XYXXYYY可以用序列的游程數(shù)作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，定義U為Wald-Wolfowi

33、tz檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量U = 游程的總數(shù)目2. 應(yīng)用【例3.7】問題的提問順序是否對(duì)學(xué)生正確回答的能力有影響？沿用例3.6的資料，考察問題的提問順序是否對(duì)學(xué)生成績(jī)產(chǎn)生影響。分析：由于只考察問題從易到排序和從難到易排序是否會(huì)影響學(xué)生的成績(jī)，且相互獨(dú)立，因此可以用Wald-Wolfowitez游程檢驗(yàn)。假設(shè)組為將試驗(yàn)數(shù)據(jù)即學(xué)生考試成績(jī)從小到大排序得到下表：42526164656971727575YYYXYYXXXY78787881828384909196YYYYXXXXXX3.3 尺度檢驗(yàn)尺度檢驗(yàn)用于考察兩個(gè)總體的分散程度是否一致。在總體分布為正態(tài)分布時(shí)，尺度檢驗(yàn)可以通過(guò)F檢驗(yàn)完成。但是在實(shí)際中，總體的

34、正態(tài)性假設(shè)往往不能滿足，需要用適用范圍更廣的尺度檢驗(yàn)。下面介紹兩種基于秩方法的尺度檢驗(yàn)：安薩里-布拉德利（Ansari-Bradley）檢驗(yàn)和平方秩檢驗(yàn)。3.3.1 安薩里-布拉德利（Ansari-Bradley）檢驗(yàn)1. 基本方法備擇假設(shè)p值計(jì)算方法（R語(yǔ)言命令）ansari.test(x,y,alternative=greater)ansari.test(x,y,alternative=less)ansari.test(x,y,alternative= two.sided)當(dāng)每個(gè)總體的樣本量都小于50個(gè)時(shí)，可以用精確檢驗(yàn)，此時(shí)，數(shù)據(jù)有同分（打結(jié)）對(duì)結(jié)果影響很小。當(dāng)每個(gè)總體的樣本量都大于50

35、時(shí)，可以用正態(tài)近似，只要在R命令中添加exact = F即可。此時(shí)，數(shù)據(jù)同分（打結(jié)）需要調(diào)整，R語(yǔ)言在計(jì)算時(shí)會(huì)自動(dòng)完成調(diào)整。2. 應(yīng)用【例3.8】?jī)蓚€(gè)經(jīng)銷商的鉛錠重量是否有相同的可靠度？?jī)蓚€(gè)經(jīng)銷商的鉛錠重量有相同的中位數(shù)，但是懷疑第一個(gè)經(jīng)銷商的重量變化幅度比第二個(gè)的大。隨機(jī)抽取了兩個(gè)經(jīng)銷商的22個(gè)鉛錠如下表（單位：千克）。經(jīng)銷商115.41615.615.716.616.316.416.815.216.915.1經(jīng)銷商215.716.115.916.215.91615.816.116.316.515.53.3.2 平方秩檢驗(yàn)Ansari-Bradley檢驗(yàn)要求待檢驗(yàn)的兩總體尺度參數(shù)（中位數(shù)）相

36、等或已知。但是實(shí)際問題中，有時(shí)候這樣的要求不能滿足。此時(shí)要檢驗(yàn)總體的分散程度可以選擇平方秩檢驗(yàn)。1. 基本方法備擇假設(shè)p值計(jì)算（正態(tài)近似）Z的右尾概率Z的左尾概率Z的小尾概率的2倍2. 應(yīng)用【例3.9】已知有兩群人的心率數(shù)據(jù)如下，請(qǐng)問兩群人的心率波動(dòng)大小是否相同？群體1：58, 76, 82, 74, 79, 65, 74, 86群體2：66, 74, 69, 76, 72, 73, 75, 67, 68分析：可以算出，兩個(gè)群體的平均心率分別是74.25和71.11，并且數(shù)據(jù)有同分，故采用正態(tài)近似的平方秩檢驗(yàn)。第4章 多樣本非參數(shù)檢驗(yàn)本章內(nèi)容：4.1 Cochran Q檢驗(yàn)及多重比較4.2 F

37、riedman 檢驗(yàn)及多重比較4.3 Kruskal-Wallis檢驗(yàn)及多重比較4.1 Cochran Q檢驗(yàn)及多重比較1. 基本方法為對(duì)假設(shè)作出判定，所分析的數(shù)據(jù)測(cè)量層次為定類尺度即可。獲得的數(shù)據(jù)可排成一個(gè)n行k列的表。例如教材例4.1中表4-1呈現(xiàn)的樣子。（1）檢驗(yàn)的基本思想（2）多重比較具體可通過(guò)相關(guān)樣本符號(hào)檢驗(yàn)實(shí)現(xiàn)，或者M(jìn)cNemar檢驗(yàn)實(shí)現(xiàn)，其中后者是Cochran Q檢驗(yàn)在兩樣本情形的特例。1（成功）0（失?。?（成功）0（失?。㎝cNemar檢驗(yàn)的基本思想：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為在進(jìn)行多次兩兩配對(duì)檢驗(yàn)時(shí)，需要對(duì)p值進(jìn)行調(diào)整，以防止犯第一類錯(cuò)誤過(guò)大。調(diào)整p值的方法與方差分析中多重比較時(shí)采用的

38、調(diào)整方法相同。無(wú)論用符號(hào)檢驗(yàn)還是用McNemar檢驗(yàn)做多重比較，檢驗(yàn)最終的p值都需要通過(guò)多重比較的調(diào)整方法算出。2. 應(yīng)用【例4.1】消費(fèi)者對(duì)飲料的愛好是否存在顯著差異？某飲料經(jīng)銷商為決定經(jīng)營(yíng)飲料的品種、數(shù)量，對(duì)消費(fèi)者的愛好進(jìn)行了一次調(diào)查。隨機(jī)抽取18個(gè)消費(fèi)者，請(qǐng)他們對(duì)四種飲料：奶茶、果茶、可樂、礦泉水的喜好作出評(píng)價(jià)，凡喜歡的記作1，不喜歡記作0。調(diào)查結(jié)果如教材表4-1（囿于篇幅不在此展示表格）。分析：在這個(gè)例子中，被調(diào)查的消費(fèi)者是同一批人，所以是相關(guān)樣本。并且所有的數(shù)據(jù)都表示兩種結(jié)果，1代表“成功”（喜歡），0代表“失敗”（不喜歡）。對(duì)這種來(lái)自k個(gè)總體的二元響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行差異性檢驗(yàn)，可以選擇C

39、ochran Q檢驗(yàn)。在R語(yǔ)言中，程序包RVAideMemoire中的函數(shù)cochran.qtest可以做Cochran Q檢驗(yàn)，并且輸出基于配對(duì)符號(hào)檢驗(yàn)的多重比較結(jié)果。輸出結(jié)果表明，p=0.914，對(duì)于顯著性水平0.05，p值足夠大。不能拒絕原假設(shè)，即這個(gè)調(diào)查結(jié)果不足以推翻消費(fèi)者對(duì)幾種飲料同樣喜歡的假設(shè)。從輸出結(jié)果還可以看到總體的比例估計(jì)，喜歡奶茶和果茶的比例都是0.444，喜歡可樂的比例為0.389，喜歡礦泉水的比例是0.333。從比例上看確實(shí)差不多。注：利用R程序包RVAideMemoire的cochran.qtest函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如果拒絕原假設(shè)，則可以自動(dòng)輸出基于符號(hào)檢驗(yàn)的多重比較結(jié)果

40、，本例沒有輸出多重比較的原因是本例沒有拒絕原假設(shè)?！纠?.2】三種不同教學(xué)方法的效果是否有顯著差異三種不同教學(xué)方法：網(wǎng)絡(luò)教學(xué)、課堂講授、課堂討論，對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)的效果是否有所不同。為檢驗(yàn)這一問題，抽選部分學(xué)生分為18組，每組3名匹配的學(xué)生，他們的有關(guān)情況類似。各組中3名學(xué)生被隨機(jī)地置于3種條件下，即隨機(jī)地指定接受某種教學(xué)方法。實(shí)施不同教學(xué)方法后進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，成績(jī)合格為有效，記作1； 成績(jī)不合格為無(wú)效，記作0。結(jié)果如教材表4-3。本例采用R語(yǔ)言兩種方法實(shí)現(xiàn)。方法1。采用R程序包RVAideMemoire的cochran.qtest函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，并輸出基于符號(hào)檢驗(yàn)的多重比較結(jié)果。輸出結(jié)果表明，p=0.

41、0015，對(duì)于顯著性水平0.01，這個(gè)p值足夠小，拒絕原假設(shè)，即可以認(rèn)為，該調(diào)查說(shuō)明三種教學(xué)方法的效果有顯著差異。方法2。采用程序包DescTools的CochranQTest函數(shù)完成檢驗(yàn)，并用程序包rcompanion的pairwiseMcnemar完成基于McNemar檢驗(yàn)的多重比較。輸出結(jié)果表明，p=0.0015，對(duì)于顯著性水平0.01，這個(gè)p值足夠小，拒絕原假設(shè)，即可以認(rèn)為，該調(diào)查說(shuō)明三種教學(xué)方法的效果有顯著差異。兩種方法的多重比較結(jié)果：樣本配對(duì)符號(hào)檢驗(yàn)多重比較p值（BH調(diào)整）0.0340.0061.000樣本配對(duì)McNemar檢驗(yàn)多重比較p值（BH調(diào)整）0.0340.0061.000

42、兩種方法的檢驗(yàn)結(jié)果一致，在顯著性水平0.05下，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)與課堂討論、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)和課堂教學(xué)都有顯著不同，課堂教學(xué)和課堂討論效果差不多。這個(gè)結(jié)果與比例估計(jì)的結(jié)果也是吻合的。4.2 Friedman 檢驗(yàn)及多重比較k個(gè)樣本是匹配的（相關(guān)樣本），實(shí)現(xiàn)匹配的方法與前面類似。可以是k個(gè)條件下同一組受試者構(gòu)成，即受試對(duì)象作為自身的對(duì)照者，也可以將受試者分為n個(gè)組、每組均有k個(gè)匹配的受試者，隨機(jī)地將k個(gè)受試者置于k個(gè)條件之下形成。在不同受試者匹配的樣本中，應(yīng)盡量使不同受試者的有關(guān)因素匹配即相似。1. 基本方法（1）檢驗(yàn)的基本思想與Cochran Q檢驗(yàn)相似，F(xiàn)riedman檢驗(yàn)也是用來(lái)檢驗(yàn)各個(gè)樣本所得的結(jié)果在整

43、體上是否存在顯著差異。因此建立的也是雙側(cè)備擇，假設(shè)組為為對(duì)假設(shè)作出判定，所分析的數(shù)據(jù)應(yīng)是定序尺度測(cè)量。獲得的數(shù)據(jù)排成一個(gè)n行k列的表，如教材表4-5，行代表不同的受試者或匹配的受試小組，列代表各種條件。用方差分析的語(yǔ)言來(lái)講，就是因子的k個(gè)水平有n個(gè)區(qū)組。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：由于是定序尺度測(cè)量的數(shù)據(jù)，因此，可以對(duì)每一行的觀測(cè)結(jié)果分別評(píng)秩，即評(píng)等級(jí)，等級(jí)1是最小的，依次排序，秩從1到k。（2）多重比較可以通過(guò)多種檢驗(yàn)方法實(shí)現(xiàn)（例如配對(duì)的wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)），并結(jié)合多重比較的p值調(diào)整方法得到最終的p值。本章采用基于Nemenyi檢驗(yàn)和基于Conover檢驗(yàn)實(shí)現(xiàn)多重比較。2. 應(yīng)用【例4.3】三種不同

44、教學(xué)方法的效果是否有顯著差異 三種不同教學(xué)方法同例4.2, 抽選的學(xué)生也分為18組，每組3名匹配的學(xué)生，其有關(guān)情況類似。各組中3名學(xué)生被隨機(jī)地安排接受某種教學(xué)方法。實(shí)施不同教學(xué)方法后，進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，按成績(jī)高低對(duì)3名匹配學(xué)生的成績(jī)排列等級(jí)即評(píng)秩，結(jié)果如教材表4-6。分析：這個(gè)問題與例4.2類似，也是檢驗(yàn)三種教學(xué)方法的效果有無(wú)差異，因而應(yīng)建立雙側(cè)備擇，假設(shè)組為由于數(shù)據(jù)的測(cè)量已轉(zhuǎn)化為定序尺度，且是兩個(gè)以上相關(guān)樣本，可以采用Friedman檢驗(yàn)?？梢钥闯龅?5個(gè)觀測(cè)存在同分，R語(yǔ)言會(huì)自動(dòng)對(duì)同分情況修正p值，利用R函數(shù)friedman.test即可。輸出結(jié)果表明，p=0.006。對(duì)于顯著性水平0.01，該值

45、足夠小。拒絕原假設(shè)，說(shuō)明三種教學(xué)方法的效果存在差異。三種教學(xué)方法的效果差異具體是誰(shuí)和誰(shuí)的差異？差異多大？需要進(jìn)一步通過(guò)多重比較分析得到。R程序包PMCMRplus中提供多種多重比較的函數(shù)，這里介紹兩種：基于Nemenyi檢驗(yàn)和基于Conover檢驗(yàn)的多重比較。結(jié)果如下：樣本配對(duì)Nemenyi多重比較p值（BH調(diào)整）0.0270.0100.941樣本配對(duì)Conover多重比較p值（BH調(diào)整）0.0000.0000.3803. Kendall協(xié)同系數(shù)Kendall協(xié)同系數(shù)在理論上與Friedman檢驗(yàn)完全等價(jià)，在應(yīng)用中，兩者的分析角度不一樣，可以互為補(bǔ)充。設(shè)對(duì)k個(gè)對(duì)象（總體）進(jìn)行n次評(píng)價(jià)，這種評(píng)價(jià)

46、可以是打分，可以是排序等。比如在例4.3中，相當(dāng)于n（=18）個(gè)學(xué)生（被動(dòng)地）對(duì)k（=3）種教學(xué)方式進(jìn)行了打分。這樣就得到的數(shù)據(jù)形成n行k列的評(píng)價(jià)結(jié)果（n行k列的數(shù)據(jù)陣）。研究想知道，n次評(píng)價(jià)在多大程度上是一致的？如果n次評(píng)價(jià)是隨機(jī)的，沒有必要做進(jìn)一步分析。Kendall協(xié)同系數(shù)可以回答這個(gè)問題?？梢?，Kendall協(xié)同系數(shù)與Friedman檢驗(yàn)是對(duì)同一個(gè)對(duì)象的兩種分析思路。沿用Friedman檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中的記號(hào)，Kendall協(xié)同系數(shù)定義為W的取值在0到1之間，若W=0，則表明對(duì)k個(gè)對(duì)象的n次評(píng)價(jià)是完全隨機(jī)的；若W=1，則表明對(duì)k個(gè)對(duì)象的n次評(píng)價(jià)是完全一致的。如果出現(xiàn)同分，則與Friedma

47、n檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的修正方式完全類似，修正的W為【例4.4】以例4.3用Kendall協(xié)同系數(shù)進(jìn)行分析。這個(gè)分析角度是從學(xué)生考試成績(jī)的角度分析3種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異，如果學(xué)生考試成績(jī)對(duì)不同教學(xué)方法而言都有好有壞，呈現(xiàn)隨機(jī)性，則教學(xué)方法沒有顯著差異。否則，就是教學(xué)方法的效果有差異。R程序包DescTools中的KendallW函數(shù)可以輸出Kendall協(xié)同系數(shù)。例4.3的Kendall協(xié)同系數(shù)為0.287。關(guān)于Kendall協(xié)同系數(shù)大小與評(píng)價(jià)一致性的關(guān)系，有經(jīng)驗(yàn)法則見下表。一致性強(qiáng)度弱中等強(qiáng)K=3K=5K=7K=9根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法則，學(xué)生的成績(jī)呈現(xiàn)較強(qiáng)的一致性，說(shuō)明3種教學(xué)方法的教學(xué)效果是不一樣的

48、。Kendall協(xié)同系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)對(duì)例4.4進(jìn)行W的顯著性檢驗(yàn)，得到p值為0.006，拒絕評(píng)價(jià)是隨機(jī)的原假設(shè)，此結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)法則得到結(jié)論是一致的。4.3 Kruskal-Wallis檢驗(yàn)及多重比較Kruskal-Wallis檢驗(yàn)是適用于檢驗(yàn)k個(gè)獨(dú)立樣本是否來(lái)自同一總體的非參數(shù)方法。Kruskal-Wallis檢驗(yàn)亦有譯為克拉夏爾-瓦里斯檢驗(yàn)，或簡(jiǎn)稱為克氏檢驗(yàn)。它是兩個(gè)獨(dú)立樣本Mann-Whitney-Wilcoxon檢驗(yàn)的一種推廣。1. 基本方法（1）檢驗(yàn)的基本思想注意，k個(gè)相關(guān)樣本情形是不能這么做的，因?yàn)楹喜⒑蟮臉颖军c(diǎn)將不再獨(dú)立，這是獨(dú)立樣本和相關(guān)樣本處理數(shù)據(jù)的本質(zhì)差異。對(duì)得到的單一樣本按從

49、小到大排序，將每一個(gè)觀測(cè)值給出一個(gè)等級(jí)即評(píng)秩，秩為整數(shù)，從1到N。對(duì)于N個(gè)觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，平均秩是可以看出，H的分子是每個(gè)樣本實(shí)際等級(jí)和與期望等級(jí)和的偏差平方和，如果原假設(shè)為真，該H的值應(yīng)該傾向很小，如果H的值過(guò)大，就有理由懷疑原假設(shè)不真。p值的計(jì)算（2）多重比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2. 應(yīng)用【例4.5】四種不同類型治療的有效性是否有顯著不同 對(duì)于精神錯(cuò)亂有4種不同的手段：電擊、心理療法，電擊加心理療法、無(wú)任何治療。為檢驗(yàn)這幾種不同手段對(duì)精神錯(cuò)亂治療的有效性是否有顯著不同，選取40個(gè)患者。他們?cè)谥橇?、品德、心理等因素方面相差不多。隨機(jī)地將40人分成4個(gè)組，每組10人。4個(gè)組分別接受不同方法的治療。一個(gè)周期

50、后，對(duì)每個(gè)患者相對(duì)改善程度進(jìn)行測(cè)量，依改善高低程度給40人分等級(jí)，等級(jí)1是改善的最高水平，依次排序，直至等級(jí)40是改善最小的水平。評(píng)秩結(jié)果如教材表4-10。分析：對(duì)任何一種方法判定其有效的標(biāo)志是患者分?jǐn)?shù)的中位數(shù)，若4種方法效果差異不大，則各總體的中位數(shù)應(yīng)相等。為檢驗(yàn)4種方法有效性是否有顯著差異，建立假設(shè)組為由于數(shù)據(jù)是定序尺度測(cè)量，有兩個(gè)以上獨(dú)立樣本，可以采用Kruskal-Wallis檢驗(yàn)，R函數(shù)為kruskal.test。利用多重比較進(jìn)一步分析各種治療方法之間的具體差異，利用R程序包FSA中的dunnTest函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)。多重比較結(jié)果整理如下表：療法配對(duì)p值（基于Dunn檢驗(yàn)和BH法）3.

51、同分的處理多重比較的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量也要作相應(yīng)的修正，修正后的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為【例4.6】三種不同教學(xué)方法的有效性是否有顯著差異 某大學(xué)制定三種不同的教學(xué)方法：大班講授、小班講授、小組討論。為檢驗(yàn)三種方法對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)的有效性是否有顯著相同，進(jìn)行了一次試驗(yàn)。選取二年級(jí)大學(xué)生50名，隨機(jī)地分為三組，分別接受三種不同方法教學(xué)。由同一教師按不同方法分別講授同一方面的知識(shí)，規(guī)定的內(nèi)容講授完后，對(duì)學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)一考試，成績(jī)?nèi)缃滩谋?-12。 分析：學(xué)生成績(jī)?yōu)槎ň喑叨葴y(cè)量，但為了避免作出某些假設(shè)，以使結(jié)論更具普遍性，不準(zhǔn)備采用參數(shù)檢驗(yàn)方法，而選用非參數(shù)檢驗(yàn)。由于三種不同教學(xué)方法是獨(dú)立的，故應(yīng)采用k個(gè)獨(dú)立樣本的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

52、對(duì)于三組學(xué)生成績(jī)集中趨勢(shì)的一個(gè)很好的度量指標(biāo)是中位數(shù)，成績(jī)由小到大排序給出等級(jí)，能夠采用Kruskal-Wallis檢驗(yàn)。建立假設(shè)組為為采用Kruskal-Wallis檢驗(yàn)對(duì)假設(shè)作出判定，將教材表4-12中的所有學(xué)生成績(jī)排序，最低分秩評(píng)為1，最高分秩評(píng)為50。由于50名學(xué)生中有不少是同分，需要用調(diào)整過(guò)后的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算p值。R中函數(shù)kruskal.test可以自動(dòng)計(jì)算出調(diào)整后的統(tǒng)計(jì)量值。雖然不能拒絕原假設(shè)，但是p值離0.05相差不遠(yuǎn)，可以做多重比較進(jìn)行更加細(xì)致的比較。結(jié)果整理如下表：教學(xué)方法配對(duì)p值（基于Dunn檢驗(yàn)和BH法）從表可知，調(diào)整的p值都大于0.05，不能拒絕原假設(shè)，表明數(shù)據(jù)無(wú)法拒絕

53、各種教學(xué)方法之間存在顯著差別，即三種教學(xué)方法的學(xué)生平均成績(jī)沒有顯著差異。第5章 非參數(shù)相關(guān)性度量本章內(nèi)容：5.1 斯皮爾曼（Spearman）秩相關(guān)5.2 肯德爾（Kendall）秩相關(guān)5.3 霍夫?。℉oeffding）獨(dú)立性檢驗(yàn)5.1 斯皮爾曼（Spearman）秩相關(guān)秩相關(guān)（Rank Correlation) 也稱作級(jí)序相關(guān)或等級(jí)相關(guān)，用于兩個(gè)至少是定序尺度測(cè)量的樣本間相關(guān)程度的測(cè)定。1. 基本方法X和Y的評(píng)秩完全相同（完全正相關(guān)）X和Y的評(píng)秩完全相反（完全負(fù)相關(guān)）X的秩Y的秩X的秩Y的秩111n222n-1n-1n-1n-12nnn1上面的式子取值在0到1之間。當(dāng)X和Y完全正相關(guān)時(shí)，取

54、值為0；當(dāng)X和Y完全負(fù)相關(guān)時(shí)，取值為1。當(dāng)數(shù)據(jù)沒有同分時(shí)，為了與皮爾遜相關(guān)相統(tǒng)一，定義斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)為這樣定義可以讓R的取值從-1到+1。其中，R=1表明X和Y完全相關(guān)，R=1為完全正相關(guān)，R=-1為完全負(fù)相關(guān)。R越接近于1, 表明相關(guān)程度越高。反之，R越接近于零，表明相關(guān)程度越低，R=0為完全不相關(guān)。通過(guò)一些代數(shù)運(yùn)算，可以得到這說(shuō)明，斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)本質(zhì)是用秩替換原始數(shù)據(jù)的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。2. 應(yīng)用【例5.1】2位教授對(duì)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)評(píng)分的相關(guān)分析。數(shù)據(jù)如下表：畢業(yè)生編號(hào)A教授B教授115223359496548664732871910710810分析：由于例5.1給出的數(shù)據(jù)為評(píng)分等級(jí)，

55、兩個(gè)定序數(shù)據(jù)間的相關(guān)程度測(cè)定可以采用斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)。利用R語(yǔ)言的函數(shù)cor可直接算出需要的數(shù)值。結(jié)果表明R=0.32120.8, 兩位教授對(duì)10名本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)評(píng)分的相關(guān)程度不高。注：斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)不僅可以直接用等級(jí)來(lái)進(jìn)行計(jì)算，也可以將高于定序尺度測(cè)量的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為秩次進(jìn)行計(jì)算。其使用范圍比皮爾遜相關(guān)系數(shù)廣?！纠?.2】經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和衛(wèi)生水平之間的相關(guān)分析。 對(duì)某地區(qū)12個(gè)街道進(jìn)行調(diào)查，并對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和衛(wèi)生水平按規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)打分，并按從小到大的順序排等級(jí)，得到評(píng)分的秩，評(píng)定結(jié)果如下表。街道編號(hào)經(jīng)濟(jì)水平及秩衛(wèi)生水平及秩街道編號(hào)經(jīng)濟(jì)水平及秩衛(wèi)生水平及秩18268697847807287978

56、6878477536016529805764498128810109411961257536411185885868910901112682703結(jié)果表明，R=0.8880.8，該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和衛(wèi)生水平存在著正相關(guān)，相關(guān)程度較高，為88.8%。3. 同分的處理公式中，u是X中同分的觀測(cè)值數(shù)目，v是Y中同分的觀測(cè)值數(shù)目。【例5.3】經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和衛(wèi)生水平間的相關(guān)分析某地區(qū)對(duì)24個(gè)地區(qū)進(jìn)行調(diào)查，并對(duì)各地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和衛(wèi)生水平按規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分，結(jié)果如下表。地區(qū)編號(hào)經(jīng)濟(jì)水平衛(wèi)生水平地區(qū)編號(hào)經(jīng)濟(jì)水平衛(wèi)生水平192561368552907014676639071156559487761664585

57、816917615068068186054779621959438777020554597664214634107663224232117454233930126865243831利用R語(yǔ)言的函數(shù)輸出結(jié)果表明，R=0.84900.8，說(shuō)明經(jīng)濟(jì)水平和衛(wèi)生水平之間存在較高的相關(guān)性。如果不對(duì)同分進(jìn)行修正，強(qiáng)行利用不修正的公式計(jì)算斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)為0.8491。數(shù)值上與修正結(jié)果有細(xì)微差別，但也是大于0.8的。對(duì)比兩個(gè)R值可知，由于同分的觀測(cè)值數(shù)目占觀測(cè)值總數(shù)目的比例不是很大，因而校正后的R與校正前的R變化不大。校正前的R略大于校正后的R，這說(shuō)明同分對(duì)R的影響雖然很小，但同分的影響是夸大R值。因此，在

58、X與Y中至少有一個(gè)存在大量同分時(shí)，應(yīng)進(jìn)行校正。4. 斯皮爾曼秩相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)對(duì)兩個(gè)樣本X和Y計(jì)算斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)之后，可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小，推斷總體秩相關(guān)的方向，并用顯著性檢驗(yàn)進(jìn)行回答。針對(duì)研究問題的不同，可以建立不同的假設(shè)組：為對(duì)假設(shè)作出判定，所需數(shù)據(jù)至少是定序尺度測(cè)量的。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量就是斯皮爾曼秩相關(guān)的公式（有同分時(shí)用修正公式），p值為相應(yīng)情況的尾部概率。當(dāng)原假設(shè)為真且樣本量比較大時(shí)備擇假設(shè)精確p值正態(tài)近似p值R的右尾概率Z的右尾概率R的左尾概率Z的左尾概率R的小尾概率的2倍Z的小尾概率的2倍【例5.4】對(duì)例5.3作顯著性檢驗(yàn)。5.2 肯德爾（Kendall）秩相關(guān)肯德爾秩相關(guān)與斯皮爾

59、曼秩相關(guān)一樣，也是用于兩個(gè)樣本相關(guān)程度的測(cè)量，要求數(shù)據(jù)至少是定序尺度的。它也是利用兩組秩次測(cè)定兩個(gè)樣本間相關(guān)程度的一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。1. 基本方法例如，X、Y的秩分別為X：2， 4， 3， 5， 1； Y：3 ，4， 1， 5， 2。 將X的秩按從小到大順序排列后，則X和Y的秩則為下面的形式：X：1，2， 3， 4， 5；Y：2，3， 1， 4， 5。 稱秩的大小方向一致的對(duì)為協(xié)同（concordant）對(duì)或一致對(duì)。由于X的秩次已經(jīng)按自然順序由小到大排列，因此，X的觀測(cè)值每?jī)蓚€(gè)之間都是一致對(duì)。考察Y的秩次情況，第一個(gè)秩為2，第二個(gè)為3，因?yàn)?小于3，是按自然順序增加，因此，這是一個(gè)一致對(duì)。再

60、考察2和1, 因?yàn)?大于1, 不是按自然順序增加排列，所以這是一個(gè)非一致對(duì)。依次考察下去，凡一致對(duì)記為+1分,非一致對(duì)記為-1分。Y的數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)總和2,318個(gè)+2個(gè)-2,1-12,412,513,1-13,413,511,411,514,51若以U表示Y的一致對(duì)數(shù)目，V表示Y的非一致對(duì)數(shù)目，則一致對(duì)評(píng)分與最大可能總評(píng)分之比為當(dāng)X和Y的順序完全一致時(shí)，上式的值為1；當(dāng)兩者順序完全相反時(shí)，上式值為0；當(dāng)X和Y之間的順序關(guān)系不確定時(shí)，該式取值在0和1之間。顯然，X和Y的這種順序關(guān)系反映出兩個(gè)總體之間的某種關(guān)聯(lián)性?？系聽栔认嚓P(guān)系數(shù)定義為當(dāng)X和Y的順序關(guān)系完全一致時(shí)，T為1；順序關(guān)系完全相反時(shí)，T為-1