數(shù)理經(jīng)濟學教材課件匯總完整版ppt全套課件最全教學教程整本書電子教案全書教案課件合集

1、數(shù)理經(jīng)濟學丶課間休息數(shù)理經(jīng)濟學第1講：導論* 數(shù)理經(jīng)濟學的定義*數(shù)理經(jīng)濟學與微觀經(jīng)濟學、宏觀經(jīng)濟學、國際貿(mào)易學、國際經(jīng)濟學、計量經(jīng)濟學等學科之間的關系。* 數(shù)理經(jīng)濟學研究的基本內(nèi)容與方法：應用一般均衡與理論一般均衡區(qū)別與聯(lián)系。* 一般均衡的發(fā)展與各個階段的代表人物* 什么是經(jīng)濟學的永恒主題?* 尋找平衡增長軌道 “快車道”的3個研究方向 * 三個研究方向走向統(tǒng)一三分歸一統(tǒng)問題1：數(shù)理經(jīng)濟學的定義?問題1：數(shù)理經(jīng)濟學的定義?A. 采用更多數(shù)學來描述的經(jīng)濟學。B. 數(shù)學在經(jīng)濟學中的各種應用。問題2：經(jīng)濟學的定義?問題2：經(jīng)濟學的定義?利用有限資源，合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品在消費者中進行分配，達

2、到人類現(xiàn)在與未來的最大滿足。問題3：經(jīng)濟學的中心內(nèi)容?問題3：經(jīng)濟學的中心內(nèi)容?生產(chǎn)出來的產(chǎn)品=消費者需求供給=需求問題4：什么叫局部均衡?問題4：什么叫局部均衡?1種產(chǎn)品的供求平衡供給S(p)=需求D(p)問題4：局部均衡與馬歇爾剪刀?供給S(p)=需求D(p)S(p)D(p)pQ問題5：馬歇爾是何許人也?Q問題6：什么叫一般均衡?Q問題6：什么叫一般均衡?瓦爾拉斯一般均衡模型問題7：什么叫一般均衡?為什么稱瓦爾拉斯為創(chuàng)始人？問題7：什么叫一般均衡?瓦爾拉斯為何許人？瓦爾拉斯 萊昂.瓦爾拉斯（1834-1910 法國）是邊際革命的奠基者之一，洛桑學派創(chuàng)始人。他的主要著作有純粹經(jīng)濟學綱要、應用

3、經(jīng)濟學研究和社會經(jīng)濟研究。其主要貢獻是建立了說明交換價值的一般均衡理論，并將數(shù)學方法第一次大規(guī)模引入經(jīng)濟學研究。他從稀缺性出發(fā)，得到稀缺價值論，在此基礎上，他由簡到繁，從單純的交換到引入生產(chǎn)、資本、交換媒介等，建立了一般均衡模型，并說明了它的存在、最優(yōu)和穩(wěn)定。問題8：解決一般均衡解的存在性與惟一性的代表人物是誰?問題8：解決一般均衡解的存在性與惟一性的代表人物是阿羅、德布魯。問題9：“愛情”是文學的永恒主題，什么是經(jīng)濟學的永恒主題?問題9：“供給、需求、平衡、發(fā)展” 是經(jīng)濟學的永恒主題!問題10：瓦爾拉斯一般均衡解模型有沒有涉及經(jīng)濟增長問題?問題10：瓦爾拉斯沒有涉及經(jīng)濟增長問題,它是靜態(tài)平衡

4、方程。問題11：是誰最早給出涉及多部門經(jīng)濟增長問題的動態(tài)平衡方程。問題11：Leontief（列昂惕夫）最早給出涉及多部門經(jīng)濟增長動態(tài)平衡方程的經(jīng)濟學家之一。問題12：Leontief（列昂惕夫）最早給出涉及多部門經(jīng)濟增長問題的動態(tài)平衡方程叫什么模型。問題12：Leontief（列昂惕夫）最早給出涉及多部門經(jīng)濟增長問題的動態(tài)平衡方程叫:Leontief dynamic input output model（列昂惕夫動態(tài)投入產(chǎn)出模型)。x(t) = Ax(t)+Bx(t+1)-x(t)+c(t) “需求、供給、平衡、增長”是經(jīng)濟學最核心的8個字 平衡增長軌道 - “快車道”需求=供給實際增長軌道

5、 尋找平衡增長軌道 - “快車道”的3個研究方向 第一個方向： Walras(瓦爾拉斯)-列寫多種產(chǎn)品靜態(tài)供求平衡方程的方法，創(chuàng)立了非線性一般均衡理論。Arrow(阿羅)，Debreu(德布魯)(1955左右)-在一般情況下證明了供求平衡解的存在性和惟一性。Scarf(斯卡夫)等人給出了求解供求平衡點的具體算法。創(chuàng)建了可計算一般均衡(CGE)理論。目前CGE理論在實踐中獲得了廣泛的應用。但是，動態(tài)CGE理論尚未成熟。第二個方向：由Leontief(列昂惕夫)靜態(tài)與動態(tài)投入產(chǎn)出模型，創(chuàng)立了線性一般均衡理論。靜態(tài)投入產(chǎn)出模型可以被認為是靜態(tài)線性CGE理論，動態(tài)投入產(chǎn)出模型可以被認為是動態(tài)線性CGE

6、理論?？梢岳帽勇?弗羅賓紐斯定理以及線性代數(shù)理論求解供求靜態(tài)平衡點以及動態(tài)平衡增長軌道(又被稱為“馮.諾意曼射線”)。 總產(chǎn)出x(t)=中間投入Ax(t)+投資B x(t+1)-x(t)+消費c(t)薩繆爾森等人利用線性規(guī)劃理論給出求解線性動態(tài)最優(yōu)增長軌道(又被稱為“快車道”)的方法。Fujimoto等人將線性多部門投入產(chǎn)出模型推廣到非線性的情況。但只是做形式上的推廣，難以與實際數(shù)據(jù)相聯(lián)系，為不可計算模型。 x(t)=A(x)x(t)+B(x) x(t+1)-x(t)+c(t) 第三個方向： 宏觀經(jīng)濟學 -國民經(jīng)濟核算體系 總產(chǎn)出X=中間投入A+投資I+消費C 總產(chǎn)出X-中間投入A=國民生產(chǎn)

7、總值Y 國民生產(chǎn)總值Y=投資I+消費C 三個研究方向走向統(tǒng)一 -三分歸一統(tǒng) 話說天下大勢,合久必分, 分久必合1.瓦爾拉斯。 2. 列昂惕夫 3. 宏觀經(jīng)濟學 馮.紐曼Arrow(阿羅)， 薩繆爾森Debreu(德布魯) Fujimoto斯卡夫CGE 參考文獻 張金水，可計算非線性動態(tài)投入產(chǎn)出模型，清華大學出版社。1.瓦爾拉斯。 2. 列昂惕夫 3. 宏觀經(jīng)濟學 馮.諾意曼Arrow(阿羅)， 薩繆爾森Debreu(德布魯) Fujimoto斯卡夫CGE 參考文獻 可計算非線性動態(tài)投入產(chǎn)出模型 一國n部門動態(tài)模型 1. 張金水, 可計算非線性動態(tài)投入產(chǎn)出模型與動態(tài)CGE模型的統(tǒng)一 2. 張金水

8、, 中國 6部門可計算非線性動態(tài)投入產(chǎn)出模型的最優(yōu)增長解 1.瓦爾拉斯。 2. 列昂惕夫 3. 宏觀經(jīng)濟學 馮.諾意曼Arrow(阿羅)， 薩繆爾森Debreu(德布魯) Fujimoto斯卡夫CGE 可計算非線性動態(tài)投入產(chǎn)出模型 一國n部門動態(tài)模型 可計算非線性動態(tài)投入產(chǎn)出模型 多國n部門動態(tài)模型 表格1:應用一般均衡的歷史發(fā)展與主要成果表0.1 應用一般均衡的歷史發(fā)展與主要成果研究的難點與問題： 如果我們要構造多國家、多部門動態(tài)非線性的可計算一般均衡模型，并且給出計算的結果，這涉及到許多的經(jīng)濟變量，要收集很多的經(jīng)濟數(shù)據(jù)。 經(jīng)濟一體化情況下: 我國對外的進出口產(chǎn)品貿(mào)易數(shù)量， 資本流動的數(shù)量，

9、 人民幣對外合理匯率， 中國經(jīng)濟可以達到的最優(yōu)增長率， 各種產(chǎn)品的合理產(chǎn)出結構， 各種產(chǎn)品的合理價格。問題13：理論一般均衡與應用一般均衡的區(qū)別與聯(lián)系?問題14：本學期的主要內(nèi)容。本學期的主要內(nèi)容:* 掌握瓦爾拉斯，列昂惕夫一般均衡理論，初步了解一般均衡理論基本知識。* 掌握效用函數(shù)丶需求函數(shù)的各種數(shù)學表達式, 以及在實際中的具體應用。* 掌握生產(chǎn)函數(shù)、供給函數(shù)、要素需求函數(shù)的各種數(shù)學表達式, 以及在實際中的具體應用。* 掌握瓦爾拉斯一般均衡構模基本方法。* 掌握列昂惕夫(Leontief)線性多部門模型建模技術與基本應用。* 掌握應用上述模型與算法求解市場均衡價格，產(chǎn)業(yè)結構與比例，均衡增長率

10、 等重要經(jīng)濟變量。* 掌握線性多部門模型一些典型實用模型及均衡增長與最優(yōu)增長計算方法。45數(shù)理經(jīng)濟學丶課間休息 第2講第1章:效用函數(shù)與需求函數(shù)46了解效用函數(shù)與需求函數(shù)在實際中的應用47問題1: 什么是經(jīng)濟學？經(jīng)濟學可以簡單地定義如下：利用有限的資源，合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)的產(chǎn)品在消費者中進行合理的分配，達到人類現(xiàn)在與未來的最大滿足。 根據(jù)以上的定義，學習或者研究數(shù)量經(jīng)濟學的首要任務是：如何用數(shù)學公式來表示人類的滿足程度和個人的滿足程度。4849衣著食品住宅交通效用函數(shù)或生活水平函數(shù)U閑暇安全健康家庭榮譽50效用函數(shù)51BA123CDEF525354練習：寫出效用函數(shù)的數(shù)學表達式并畫出等效用線。

11、55練習：寫出效用函數(shù)的數(shù)學表達式。第1種類型：對數(shù)線性型、或者柯布道格拉斯型： 56練習：寫出效用函數(shù)的數(shù)學表達式。xy57練習：寫出效用函數(shù)的數(shù)學表達式。第2種類型：不變替代彈性型、或者CES型： 58xy練習：寫出效用函數(shù)的數(shù)學表達式。59練習：寫出效用函數(shù)的數(shù)學表達式。xy60練習：寫出效用函數(shù)的數(shù)學表達式。xy問題：請寫出效用最大數(shù)學模型與效用最大法則的數(shù)學表達式6162效用最大的數(shù)學模型 63效用最大法則:通過求解消費者效用最大法則，就可以得到是需求函數(shù)的數(shù)學表達式。64效用最大數(shù)學模型效用最大法則需求函數(shù)問題：選擇題：a. 需求函數(shù)與效用函數(shù)值的大小有關系。b.需求函數(shù)與效用函數(shù)

12、值的大小沒有關系。c.需求函數(shù)與效用函數(shù)值大小的關系不確定，有時候有關系，有時候沒有關系。65問題：有人認為，效用函數(shù)值的大小不能測量，所以應該全盤否定西方經(jīng)濟學。 這一句話有沒有道理？6667練習：如果人們收入中有60%購工業(yè)品，數(shù)量為x, 40%購農(nóng)業(yè)品，數(shù)量為y,寫出效用函數(shù)的數(shù)學表達式。68練習：如果人們收入中有60%購工業(yè)品，數(shù)量為x, 40%購農(nóng)業(yè)品，數(shù)量為y,寫出效用函數(shù)的數(shù)學表達式。69練習：請求解：解: 可以根據(jù)高等數(shù)學當中求極值的方法來求解以上問題 。 作拉格朗日函數(shù): 70那么，極值的必要條件為： 71那么，極值的必要條件為： 72那么，極值的必要條件為： 73那么，極值

13、的必要條件為： 747576練習：若效用函數(shù)為： bb)()(21CbCaU+= 求支出比例為多少？利用需求函數(shù)表達式可以求出： 7778練習：若效用函數(shù)為： bb)()(21CbCaU+= 支出比例為:79練習：工農(nóng)業(yè)品支出比例的對數(shù)值與工農(nóng)業(yè)品價格比的對數(shù)值符合下式，求效用函數(shù)表達式。80練習：工農(nóng)業(yè)品支出比例的對數(shù)值與工農(nóng)業(yè)品價格比的對數(shù)值符合下式，求效用函數(shù)表達式。效用函數(shù)的應用：考慮多個時期消費者最優(yōu)選擇經(jīng)濟學應用青年人向銀行貸款提前 消費的計算模型 經(jīng)濟學應用在實際中如何選擇跨期 消費的效用函數(shù) 81故事之一：這是一個真實的故事，刊登在光明日報報業(yè)集團主辦的文摘報，2002年度2月

14、21日，星期四，第1928期，第3版上面。題目是：“為付女兒學費 父親買房無家可歸”內(nèi)容大意如下：“1999年9月, 黑龍江省鐵力市李某某考取了大學，但她為3萬元的學費發(fā)愁。李某某的父親母親10年前就離婚了，她被判給了母親。母親下崗已經(jīng)多年，一直靠干零活供女兒勉強讀完高中。 李某某找父親要學費。53歲的父親己有5個孩子。再婚后最小的兒子只有三歲半。他給了李某某2300元，讓她學手藝, 放棄上大學。于是李某某將父親告上法庭。1999年月日，鐵力市法院判定李某某的30000元學費，由李某的父母各承擔一半。 判決生效后，李某某的父親在法定期限內(nèi)沒能給付這筆錢，李某某向法院申請強制執(zhí)行。2000年月，

15、法院將李某某父親唯一的房產(chǎn)變買了2.15萬元，用其中的一部分為李某某交了學費。房子被法院變賣后，李某某父親的再婚妻子離他而去，他領著小兒子過起了居無定所的生活。 李某某的父親提起申訴。目前，伊春市中級法院將此案發(fā)回重審。此時，李某某已經(jīng)讀到大學三年級，而他的父親和同父異母的弟弟仍在大街上流浪。2001年1月4日，我國婚姻法修正案的司法解釋通過，要求父母盡撫養(yǎng)義務的不能獨立生活的子女, 是指在校接受高中及高中以下學歷教育者，或者喪失勞動能力的成年子女。這給李某某父親申訴帶來的希望。” 摘自羊城晚報2002年月9號成剛、俊偉文。82評論: 這個故事里面的李某某考上大學，這應該是一件喜事。但是這個喜

16、事卻變成了一個悲哀的事情。它使得李某某父親的再婚妻子離他而去，并過起了居無定所的生活。這個問題的解決辦法是通過法院根據(jù)婚姻法來判決。無論法院如何判決，這都將仍然是一個悲哀的事情。因為如果李某某父親勝訴，這將造成李某某本人沒有錢交學費上大學。要想讓這件事情變悲劇為喜劇，不應該是利用法律的知識，而是應該利用經(jīng)濟學的知識。也就是說，要利用本節(jié)所提到的消費者多期消費最優(yōu)選擇的知識。并建立起健康健全的銀行個人貸款提前消費的業(yè)務。83故事之二：這是一個真實的故事。發(fā)表在光明日報報業(yè)集團主辦的文墑扳編輯部主辦的文摘報，2002年月日第1931期上。 題目為：“都市出現(xiàn)高新“女貧族”。內(nèi)容大意如下：“我這個做

17、老輩兒的，越來越看不懂如今的年輕人了?！奔易”本┏枀^(qū)的郭阿姨一提起自己的寶貝女兒小蕙止不住地唉聲嘆氣。小蕙是郭阿姨的獨生女，大學畢業(yè)后到外企就職?！艾F(xiàn)在她變得不可理喻了，花錢象流水，這兩年光彩電就換了三個，先是超平，后是純平的，后來把一臺大背投搬回了家，還說以后再換液晶顯示的。她每月50006000塊錢的工資卻喊不夠花，沒錢就找銀行借。我批評他兩句，她就給我講那個外國老太太和中國老太太的故事。”這是一個講濫了的故事，說的是一個外國老太太從年輕時就超前消費，享受了一輩子，死前剛把銀行貸款還清。而一個中國太大一生勞累，省吃儉用，紿子女留下了可觀的遺產(chǎn)，自己生前卻幾乎沒有享受過什么。如今，越來越多

18、的向小蕙這樣的中國白領女性開始向外國老太太看齊了。象小蕙這樣的白領女性被社會學界稱為城市“高薪女貧族”。他們一般都是5歲以下的中高等收入者，大多數(shù)收入花費在服飾、吃飯、交際、旅游上。月初有錢時，泡吧、購物、打車。月末囊中如洗，便蹭飯、借錢，卻并不以此為優(yōu)。這一群體形成的社會原因是由于他們大多一出生就遇上搞市場經(jīng)濟，一長大就明白了國際化，一交流就用上了互聯(lián)網(wǎng)。中國不斷膨脹的消費文化正與他們的成長同步發(fā)展。有關人士認為，“高薪女貧族”是城市的一種時尚病。他們的行為表明，他們只愛自己，而不承擔應有的責任，不可提倡。84評論：這一篇小短文所講的正是本書這一章所介紹的貸款提前消費的問題。我們看到，提前消

19、費可以使消費者一生的效用或生活水平得到大大的提高。因而是值得提倡的。而本文作者卻認為這是城市的一種時尚病, 是由于他們只愛自己，而不承擔應有的責任，不可提倡。這個觀點不一定正確。可以提倡在自己還貸能力內(nèi)的超前貨款消費。由于我國的消費者以及管理人員對經(jīng)濟學缺乏深入了解，消費觀念的轉變也需要時間。所以我國目前貸款提前消費還沒有進入一個健康健全的軌道。85經(jīng)濟學應用在實際中如何選擇跨期消費的效用函數(shù)8687 ba21CCU= 4.026.01CC= 首先考慮如下兩期消費的 柯布道格拉斯型的效用函數(shù)88 2C 2240 10 0 3360 123928 1C 柯布道格拉斯型效用函數(shù)的等效用線的漸近線

20、89以上計算表明，如果年輕的時候每個月消費 123928元、年老時候每個月消費10元, 與年輕的時候每個月消費 3360元、年老時候每個月消費2240元，兩者的生活水平是一樣的 。這顯然與我們的直覺不一樣。 因為盡管年輕的時候盡情享受, 但是年老時候每個月消費10元是無法生存的。所以一般人并不希望這樣的生活。反過來，如果年輕的時候每個月消費 10元，年老時候每個月消費幾十萬元，該消費者的生活水平或者效用函數(shù)的數(shù)值也可能為2856.95， 消費者更不喜歡這種選擇。因為年輕的時候每個月消費 10元早就餓死了, 年老的時候是每個月消費錢再多也沒什么用處了。由此可見, 柯布道格拉斯型的效用函數(shù)的數(shù)學表

21、達式用來描述人們的消費行為的時候存在一些問題 90我們再想辦法采取更能反映人們消費行為的效用函數(shù)的數(shù)學表達式?？紤]如下的改進型柯布-道格拉斯型效用函數(shù)的數(shù)學表達式： 9192 2C 400 0 600 1C 改進型柯布 - 道格拉斯型效用函數(shù)的等效用線的漸近線 如果我們采用這種形式的效用函數(shù)，那么不會產(chǎn)生年輕的時候消費數(shù)很大, 而到年老的時候消費數(shù)很小而無法生存的現(xiàn)象，也不會產(chǎn)生年輕的時候消費很少而無法生存, 但年老的時候消費很多的現(xiàn)象。 9394現(xiàn)在我們再來考慮如下的CES類型的效用函數(shù)的數(shù)學表達式： 95 2C 4000 U=10000 等效用線 U = 1000 400 0 600 60

22、00 1C CES型效用函數(shù)的等效用線的漸近線 96由以上的討論我們可以看出，如果我們采用CES類型的效用函數(shù)的數(shù)學表達式, 它能夠更加準確地反映出人們的消費行為。它表明當人們的生活水平逐漸提高的時候, 人們的最低生活水平消費支出額也逐漸地增加。因此在實際的工作中，如果我們希望計算結果比較符合實際，往往用CES類型的效用函數(shù)的數(shù)學表達式。 97現(xiàn)在我們考慮如下的CES類型的效用函數(shù)： 9899 考慮存款利息時的消費者兩期消費選擇 100101如果一個人現(xiàn)在這個時期的收入水平以及未來時期的收入水平都是已知的或者是可以預測的, 銀行的利息率也是不變的和已知的，那么這個人兩個時期的收入、儲蓄、消費支

23、出可以利用表格里的參數(shù)來表示。102103 表格 考慮利息率的兩期消費 現(xiàn)在時期 未來時期 收入水平 1Y 2Y 消費水平 1C 2C 儲蓄=收入水平-消費水平 1Y - 1C 儲蓄所得到的利息 (1+i)(1Y - 1C) 從表可以看出, 在未來時期，收入水平加上現(xiàn)在時期的儲蓄在未來時期所得到的利息收入應該等于未來時期的消費水平。也就是說應該成立下面的等式:104上面這個公式也可以寫成: 它就是消費者在兩期消費應滿足的預算約束。 消費者的效用函數(shù)一般地說不能夠直接測量。但是可以通過一些辦法來間接地測量出來。比如說，根據(jù)每個消費者對不同時期的消費安排，可以間接地測量出來先苦后樂型、及時行樂型、

24、平均消費型等各種消費者的效用函數(shù)。實際的工作當中，可以通過各種方法來測量出不同類型消費者的效用函數(shù)。而且應當指出效用函數(shù)的所有參數(shù)不一定都能夠測量出來, 但這不影響計算的結果。 105考慮銀行利息率的消費者兩期消費選擇的數(shù)學模型為:106107例 考慮及時享樂型消費者兩期消費選擇問題。它由如下的數(shù)學模型的表示： Max 4.026.01)()(CCU= S.t 21211111YiYCiC+=+ 請求解這種類型消費者的兩期最優(yōu)消費選擇。 108解: 如果令： 1p =1, ip+=112 , 2111YiYM+= 那么依需求函數(shù)表達式 ，可以求出消費者的兩期最優(yōu)消費為： )11(6.0211Y

25、iYC+= )11(4.011212YiYCi+=+ 或者： )11()1(4.0212YiYiC+= 解答完畢 如果該消費者在兩個時期的收入分別為： 5萬元，銀行的利息率i = 0.1, 那么根據(jù)以上的結果可以求出兩個時期的具體消費數(shù)額。如表所表示。 109110表格 考慮利息率的兩期最優(yōu)消費 現(xiàn)在時期 未來時期 收入水平 51=Y 萬元 52=Y 萬元 最優(yōu)消費水平 )11(6.0211YiYC+= =5.7272727 萬元 )11()1(4.0212YiYiC+= = 4.2 萬元 儲蓄=收入水平-消費水平 1Y - 1C 2116.04.0YiY+-= = -0.7272727 萬元

26、 儲蓄所得到的利息 (1+i)(1Y - 1C) 216.0)1(4.0YYi-+= = -0.8 萬元 以上我們主要采用柯布道格拉斯型的效用函數(shù)來求解兩期最優(yōu)消費問題。下面我們來討論如何利用不變替代彈性型的效用函數(shù)來求解兩期最優(yōu)消費問題。111下面我們給出方法來求解消費者多期最優(yōu)消費選擇問題。例: 有一個消費者20歲, 正在大學里讀書。他想計劃安排一下如何向銀行進行貸款來提前消費。他把自己的未來分為青年時期(2030歲)、青壯年時期(3140歲)、壯年時期(4150歲)、中年時期(5160歲)、老年時期(6170歲)，其他的時期不予考慮。根據(jù)當前的情況，它將各個時期的預期收入以及自己所希望的

27、支出占總支出的百分比列寫在表格當中。112113 表格 多期消費選擇的基本數(shù)據(jù) 青年時期(2030歲) 青壯年時期(3140歲) 壯年時期(4150歲) 中年時期(5160歲) 老年時期(6170歲) 預期收入 1Y =10萬元 2Y=50萬元 3Y=100萬元 4Y=130萬元 5Y=50萬元 希望的支出占總支出的百分比 20% 25% 25% 15% 15% 114表格 多期消費選擇的消費水平、負債水平 青年時期(2030歲) 青壯年時期(3140歲) 壯年時期(4150歲) 中年時期(5160歲) 老年時期(6170歲) 預期收入 1Y =10萬元 2Y=50萬元 3Y=100萬元 4Y

28、=130萬元 5Y=50萬元 希望的支出占總支出的百分比 20% 25% 25% 15% 15% 消費水平 1C 2C 3C 4C 5C 青年時期負債及其在后面各時期本加利 1Y - 1C (1+i)(1Y - 1C) +2)1(i (1Y - 1C) +3)1(i (1Y - 1C) +4)1(i (1Y - 1C) 青壯年時期負債及其在后面各時期本加利 2Y-2C (1+i) (2Y-2C) +2)1(i (2Y-2C) +3)1(i (2Y-2C) 壯年時期負債及其在后面各時期本加利 3Y-3C (1+i)(3Y-3C) +2)1(i (3Y-3C) 中年時期負債及其在后面各時期本加利

29、4Y-4C (1+i) (4Y-4C) 老年時期負債及其在后面各時期本加利 5Y-5C 解: 如果沒有利息率的情況下, 各種產(chǎn)品的消費支出成一固定比例, 那么消費者效用函數(shù)應該為柯布道格拉斯型。根據(jù)表格的數(shù)據(jù), 效用函數(shù)具有如下的具體形式： 115116考慮表格中 “青年時期負債及其在后面各時期本加利”這一行。該消費者在青年時期負債為1Y - 1C萬元。這1Y - 1C萬元到了青壯年時期連本帶利變?yōu)?1+i)(1Y - 1C)萬元(i為銀行利息率)。而到了壯年時期連本帶利變?yōu)?2)1(i(1Y - 1C)萬元, 再到了中年時期連本帶利變?yōu)?3)1(i(1Y - 1C), 最后到了老年時期連本帶

30、利變?yōu)?4)1(i (1Y - 1C)。 該消費者沒有給子女后代留下負債(或者遺產(chǎn))，那么各個時期在老年時期連本代利形成的負債額 之和應該為0。因此應該成立如下約束條件：117118119為了求出多個時期的最優(yōu)消費水平，還應當給出消費者的滿意度函數(shù)或效用函數(shù)。在表格中, 消費者對各個時期的消費比例有一個明確的數(shù)值。這個比例數(shù)值用數(shù)學公式來表示為： 20% : 25% : 25% : 15% : 15% 120121根據(jù)上面這個式子, 可以得到： kC=2.01 kC=25.02 kC=25.03 kC=15.04 kC=15.05 其中k 為待確定的比例系數(shù)。將上面這些式子代入預算約束條件中,

31、 得到 122 kiiii+15.0)1(115.0)1(125.0)1(125.0112.0432 = 54433221)1(1)1(1)1(111YiYiYiYiY+ 123124= 246.76529萬元 現(xiàn)在假設銀行的利息率為 i = 0. 5(注意: 這時的銀行的利息率不是年利息率, 而是十年期貸款利息率), 那么根據(jù)公式 求出比例系數(shù)k的大小為: 505.111305.111005.11505.1110432+ k = 15.05.1115.05.1125.05.1125.05.112.0432+ 求出了比例系數(shù)k具體數(shù)值的大小, 把它代入公式, 便可以求出各個時期的消費支出具體數(shù)

32、值大小為:125=2.01C 246.76529 = 49.353058 萬元 =25.02C 246.76529 = 61.691323 萬元 =25.03C 246.76529 = 61.691323 萬元 =15.04C 246.76529 = 37.014794萬元 =15.05C 246.76529 = 37.014794萬元 例 繼續(xù)討論上面這個例子。青壯年時期支出總額為 61.691323 萬元 ,如果該消費者對衣丶食丶住丶行丶其它等各項支出比例為: 衣:食:住:行:其它 = 0.6 : 5 : 3 : 0.8: 0.6 如果每平米住宅月租金為25元, 問這個時期該消費者可租住多

33、大面積住宅?126解: 將 61.691323 萬元 ，花在住宅上的支出為：0.361.691323 = 18.507397萬元 ，再將它平均分攤到每一個月中, 每個月花在住宅上的支出為： 18.507397 / 120 = 0.1542283 萬元 = 1542.283 元 那么該消費者能夠租到的住房面積為： 1542.283 元 / 25 = 61.69 平方米 (注意：以上準確地說僅僅是近似計算，因為每一個周期為10年，如果按照每一個周期為一年的話，那么計算結果有一些差別。) 解答完畢。 127以上我們對消費者多期消費的最優(yōu)選擇問題的解法作了簡要討論。給出的計算方法是比較簡單的 。我們注

34、意到，如果各個時期的消費支出成固定的比例，這意味著消費者效用函數(shù)為一種不可替代的效用函數(shù)類型。如果效用函數(shù)為柯布道格拉斯型或CES類型，那么計算過程要復雜得多。對多期消費的最優(yōu)選擇問題，讀者可能會產(chǎn)生如下3個問題：128 1. 在計算過程當中, 我們認為各個時期的收入是己知的。一個消費者能夠比較準確地預測出自己的未來幾十年當中的收入嗎? 回答是：很準確不太可能，較為準確是可能的。對發(fā)達國家來說，經(jīng)濟體制比較穩(wěn)定，如果一個人考上了大學，或考上其他類型的學校，他的一生當中的收入預測一般是比較準確的。當然不可排除某些個別意外。比如說, 比爾-蓋茨在短短的幾年時間內(nèi)積聚了大量的財產(chǎn)。在我國正處在經(jīng)濟改

35、革的激烈的變化過程中，一個人的收入也隨之急劇變化。比如說，過去的大學生每個月的收入為46元人民幣，可是現(xiàn)在收入比較高的可以在每個月一萬元以上。盡管個人收入預測比較困難，但是這種預測也有一定的準確度。比如說，對高新技術科技人員來說，可以肯定他們的收入將闊步地增加。而且，對整個國家來說，總體上人們的收入的增加是有規(guī)律的。比如說，中國經(jīng)濟的增長速度每年大約在9%左右, 整個國家不可能 象單個個人那樣短時間內(nèi)暴富起來。所以，所給出的計算方法模型應用在宏觀經(jīng)濟上是很有用處的。也可以用在個人的貸款提前消費上。 1292. 從計算結果可以看出，該消費者在各個時期的總收入為340萬元。但是由于提前消費，各個時

36、期的總消費支出實際為246.76529 萬元。也就是說，由于向銀行貸款而損失了340 -246.76529 =93.23471萬元。損失了這么多的利息值得嗎? 130回答是：完全值得。 131舉個例子來說，有一對青年戀人在馬路上散步，路過某一家咖啡屋，男主人公看到里面有幾對戀人正坐在蕩著秋千的椅子上，十分浪漫地品嘗著桌上的咖啡與小吃。他想幾杯咖啡花不了多少錢。于是毫不猶豫帶著女友也坐在蕩著秋千的椅子上，也非常浪漫地品嘗著桌上的咖啡與小吃。不過一結帳嚇了他一跳！一共花去60元, 他想問咖啡屋的老板為什么宰人這么狠，可當著女友的面 又不敢問(其實，從經(jīng)濟學的角度來說，這一杯咖啡價格里不僅僅包含咖啡

37、, 還包含著服務員的勞動以及咖啡店的固定資本投資)。這個男主人公父母親寄來的錢僅僅夠交學費以及日常的伙食費。60元相當于他好幾天的伙食費。為了在咖啡屋的一小時的浪漫, 該男主人公只好過了幾天吃咸菜的不浪漫的日子。如果能夠通過向銀行貸款的方式來進行提前消費，那么這個男主人公就沒有必要吃咸菜了。不僅進咖啡屋, 逛公園或者外出旅游都需要錢。如果能夠把自己在中老年時期的錢提前拿到青年時期來花, 毫無疑問, 將會大大地提高生活水平。在中老年時期的錢雖然比較多, 但是我們幾乎看不到滿臉皺紋的中老年伴侶坐在蕩著秋千的椅子上品嘗著桌上的咖啡與小吃。青年時期是是一生當中最美麗的時期, 身邊的錢往往又比較少。所以

38、通過向銀行貸款提前消費卻是十分合算的。132另外，讀者可能還會產(chǎn)生一個問題，總共340萬元的錢卻要付出93.23471萬元這么多的利息。在實際當中會有這么多嗎? 為了讓讀者有一個直覺的認識，讓我們來看一個具體的住宅貸款例子。下面是北京市海淀區(qū)2002年度2月份的一個兩居室貸款數(shù)據(jù)： 133下面是北京市海淀區(qū)2002年度2月份的一個兩居室貸款數(shù)據(jù)：建筑面積：91.6平方米套內(nèi)建筑面積：73.15平方米。每平方米價格：5888元。總價格： 539517元。首期付款額：109517元。貸款總額430000萬元。貸款年限：20年。每月還貸款數(shù)額：2977元。律師費：1075元。契稅：10790元。維修

39、基金：10790元。 134從上面的例子可以看出，貸款總額430000萬元，每月還貸款數(shù)額：2977元，一直要交20年, 差不多要還貸款720000元。因此要支付銀行利息大約290000元。盡管支付很多的利息，但是仍然有許多人要貸款購買房子提前消費。135下面我們來討論如何采用CES類型的效用函數(shù)來求解多期消費的消費者選擇問題 136137例請求解下面給出的多期最優(yōu)消費的數(shù)學模型。 Min bbb)()()(2211nnCaCaCaU+=L S.t MCpCpCpnn=+L2211 其中,Mpppn,21L為給定的參數(shù)。 解: 可以根據(jù)高等數(shù)學當中求極值的方法來求解以上問題 。作拉格朗日函數(shù):

40、138139那么，極值的必要條件為： 140 111110pCaC-=Y-lbb 212220pCaC-=Y-lbb nnnnpCaC-=Y-lbb10 141根據(jù)上面這兩個公式，可以得出： 1111/pCa-bb =2122/pCa-bb =nnnpCa/1-bb 142注意到公式 MCpCpCpnn=+L2211 與上式 是關于nCCC,21L的 n個未知數(shù)的n個方程。 143利用初等數(shù)學知識可以求出： MpapapaCpnn+=-)1/()1/(1)1/(1)1/(11)1/(1)1/(1111bbbbbbbbbL MpapapaCpnnnnnn+=-)1/()1/(1)1/(1)1/(

41、11)1/()1/(1bbbbbbbbbL 解答完畢 繼續(xù)討論多期消費選擇問題道，將效用函數(shù)改變?nèi)缦碌腃ES型的形式： 144 有一個消費者20歲, 正在大學里讀書。他想計劃安排一下如何向銀行進行貸款來提前消費。他把自己的未來分為青年時期(2030歲)、青壯年時期(3140歲)、壯年時期(4150歲)、中年時期(5160歲)、老年時期(6170歲)，其他的時期不予考慮。根據(jù)當前的情況，他的各個時期預期收入以及在利息率為0的情況下自己各個時期所希望的支出占總支出的百分比列寫在表格中(注意與前述表格數(shù)據(jù)完全一樣, 但含義不同, 前述表格指得是無論利息率多少, 各期消費比例都不變, 而這里表格指得是

42、利息率為0時的各期消費比例) 145146 表格 多期消費選擇的基本數(shù)據(jù) 青年時期(2030歲) 青壯年時期(3140歲) 壯年時期(4150歲) 中年時期(5160歲) 老年時期(6170歲) 預期收入 1Y =10萬元 2Y=50萬元 3Y=100萬元 4Y=130萬元 5Y=50萬元 希望的支出占總支出的百分比 20% 25% 25% 15% 15% 請求解這種類型消費者的多期最優(yōu)消費選擇。 147148那么求解這種類型消費者的多期最優(yōu)消費選擇數(shù)學模型為 : 1514131211)(15.0)(15.0)(25.0)(25.0)(2.0-+=CCCCCUMin S.t 5413221)1

43、(1)1(111CiCiCiC+L = 543221)1(1)1(111YiYiYiY+L 149如果令: 1p =1, 1.11112=+=ip , 4451.11)1(1=+=ip M = 543221)1(1)1(111YiYiYiY+L =501.111001.11501.111042+L = 269.92077 那么可以得到: 150151 92.2691.1115.02.02.02/142/12/12/11+=LC 92.2691.1115.02.01.1115.01.112/142/12/12/12/154+=LC 152求出消費者的多期最優(yōu)消費為： 1C = 59.339177

44、萬元 =2C69.581337萬元 =3C72.97752萬元 =4C59.287219萬元 =5C62.180959萬元 解答完畢 各個時期的收入丶支出丶儲蓄或負債情況如表格所示。 153154表格 多期消費選擇的消費水平、負債水平 青年時期(2030歲) 青壯年時期(3140歲) 壯年時期(4150歲) 中年時期(5160歲) 老年時期(6170歲) 預期收入 1Y =10萬元 2Y=50萬元 3Y=100萬元 4Y=130萬元 5Y=50萬元 無利息率時各期希望的支出占總支出的百分比 20% 25% 25% 15% 15% 消費水平 1C =59.339177 2C =69.581337

45、 3C =72.97752 4C =59.287219 5C =62.180959 青年時期負債及其在后面各時期本加利 1Y - 1C = -49.339177 (1+i)(1Y - 1C) +2)1(i (1Y - 1C) +3)1(i (1Y - 1C) +4)1(i (1Y - 1C) = -72.23748 青壯年時期負債及其在后面各時期本加利 2Y-2C = -19.58133 (1+i) (2Y-2C) +2)1(i (2Y-2C) +3)1(i (2Y-2C) = -26.06276 壯年時期負債及其在后面各時期本加利 3Y-3C =27.02248 (1+i)(3Y-3C) +

46、2)1(i (3Y-3C) =32.6972 中年時期負債及其在后面各時期本加利 4Y-4C =70.71278 (1+i) (4Y-4C) =88.78405 老年時期負債及其在后面各時期本加 5Y-5C 155數(shù)理經(jīng)濟學丶課間休息 第3講第2章:生產(chǎn)函數(shù)與供給函數(shù)及要素需求函數(shù)156了解生產(chǎn)函數(shù)與供給函數(shù)及要素需求函數(shù)在實際中的應用157158生產(chǎn)函數(shù)YKL利潤最大決策Max Ys.t rK+wL=CCrw159練習1：寫出生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學表達式并畫出等產(chǎn)量線。160練習1：寫出生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學表達式。KL161練習1：寫出生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學表達式。KL162練習1：寫出生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學表達式。KL

47、163練習1：寫出生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學表達式。KL練習1：寫出生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學表達式。164165練習2：寫出利潤最大法則的數(shù)學表達式。166練習2：寫出利潤最大法則的數(shù)學表達式。167練習2：寫出利潤最大法則的數(shù)學表達式。168練習3：邊際利潤率=利潤率?169練習3：邊際利潤率=利潤率!170練習4：利潤率=1時，求供給函數(shù)及要素需求函數(shù)。171練習4：利潤率=1時，求供給函數(shù)及要素需求函數(shù)。172練習4：利潤率=1時，求供給函數(shù)及要 素需求函數(shù)。173練習4：利潤率=1時，求供給函數(shù)及要素需求函數(shù)。174練習4：利潤率=1時，求供給函數(shù)及要素需求函數(shù)。175練習4：利潤率=1時，求供給函數(shù)及要素

48、需求函數(shù)。要素需求函數(shù)prwK/Y176練習4：利潤率=1時，求供給函數(shù)及要素需求函數(shù)。要素需求函數(shù)prwL/Y177練習4：利潤率=1時，求供給函數(shù)及要素需求函數(shù)。供給函數(shù)或成本定價方程prw178練習4：利潤率=1時，求供給函數(shù)及要素需求函數(shù)。供給函數(shù)、要素需求函數(shù)、成本函數(shù)的應用179供給函數(shù)、要素需求函數(shù)、成本函數(shù)的數(shù)學表達式 經(jīng)濟學應用 一塊面包應該賣多少錢?180181N2原材料調(diào)料消耗Q產(chǎn)出數(shù)量 K固定資本生產(chǎn)函數(shù) N1原材料面粉消耗練習：請寫出生產(chǎn)函數(shù)表達式182N2原材料調(diào)料消耗Q產(chǎn)出數(shù)量 K固定資本生產(chǎn)函數(shù) N1原材料面粉消耗生產(chǎn)函數(shù) V增加值183N2原材料調(diào)料消耗Q產(chǎn)出

49、數(shù)量 K固定資本生產(chǎn)函數(shù) N1原材料面粉消耗生產(chǎn)函數(shù) V增加值 184N2原材料調(diào)料消耗Q產(chǎn)出數(shù)量 K固定資本生產(chǎn)函數(shù) N1原材料面粉消耗生產(chǎn)函數(shù) V增加值 一塊面包要0.8斤面粉,0.5元調(diào)料185N2原材料調(diào)料消耗Q產(chǎn)出數(shù)量 K固定資本生產(chǎn)函數(shù) N1原材料面粉消耗生產(chǎn)函數(shù) V增加值 一塊面包要0.8斤面粉,0.5元調(diào)料若：資本回報率r=0.035, w=0.2萬元/人月, 面粉每斤2元，問：一塊面包要賣多少錢？186產(chǎn)值增加值qV增加值V187188189190191192193194195產(chǎn)品的價格p為：196197198199200課堂練習：一塊面包應該賣多少錢? 201202產(chǎn)值增加

50、值qV增加值VK1廠房 K2設備203 =2.5186 萬元/萬個 = 2.5186 元/個204數(shù)理經(jīng)濟學丶課間休息 第4、5講第3章 物價指數(shù)與國民經(jīng)濟產(chǎn)品的綜合 205問題1： 千千萬萬種產(chǎn)品通過什么辦法把他歸結為一種或幾種產(chǎn)品？206問題1： 千千萬萬種產(chǎn)品通過什么辦法把他歸結為一種或幾種產(chǎn)品？答案：物價指數(shù)。207問題2： 如果將千千萬萬種產(chǎn)品歸結為工業(yè)品和農(nóng)業(yè)品兩種產(chǎn)品, 一單位工業(yè)品指的是什么東西？208問題3： 如果將千千萬萬種產(chǎn)品歸結為工業(yè)品和農(nóng)業(yè)品兩種產(chǎn)品, 一單位工業(yè)品指的是什么東西？答案：不變價。見以后詳細的解 答。209210211212213214215216217

51、218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243問題: 物價指數(shù)計算公式可以有多少種?244答:無窮多種.每給出1種效用函數(shù)表達式,則對應1種物價指數(shù)計算公式.問題： 如果將千千萬萬種產(chǎn)品歸結為工業(yè)品和農(nóng)業(yè)品兩種產(chǎn)品, 一單位工業(yè)品指的是什么東西？ 這個問題是理解一切多部門經(jīng)濟模型的基礎。245問題： 如果將千千萬萬種產(chǎn)品歸結為工業(yè)品和農(nóng)業(yè)品兩種產(chǎn)品, 一單位工業(yè)品指的是什么東西？答案：不變價。見以后詳細的解 答。246從1+1=?談到國民經(jīng)濟部門或產(chǎn)品的綜合見：張金水等，數(shù)學的實踐與認

52、識，2006年。247摘要：當我們構造多部門數(shù)量經(jīng)濟模型的時候，往往要將千千萬萬種產(chǎn)品歸結為幾 種產(chǎn)品或者幾個部門。本文討論如何將多種產(chǎn)品歸結或綜合成1種或少數(shù)幾種產(chǎn)品的方法。指出如何確定綜合產(chǎn)品的數(shù)量與價格。并且給出相應的計算公式。指出綜合產(chǎn)品的數(shù)量、綜合產(chǎn)品的價格與不變價、現(xiàn)價、真實物價指數(shù)、通貨膨脹率之間的關系。248引言當我們從事數(shù)量經(jīng)濟科研與實際工作的時候,例如，在構造CGE(可計算一般均衡)模型、投入產(chǎn)出模型或其它類型多部門模型的時候，往往要將千千萬萬種產(chǎn)品歸結為幾種產(chǎn)品或者幾個部門。比如說，我們把國民經(jīng)濟歸結為如下的6個部門或6種產(chǎn)品：工業(yè)、農(nóng)業(yè)、運輸郵電業(yè)、建筑業(yè)、商業(yè)飲食業(yè)、

53、非物質(zhì)生產(chǎn)部門。現(xiàn)在問題是：什么叫工業(yè)品? 我們知道，工業(yè)品是千千萬萬種具體產(chǎn)品的總稱。它是一個抽象的東西。在中國統(tǒng)計年鑒等統(tǒng)計資料中，我們可以查到工業(yè)品的價格指數(shù)。但是工業(yè)品實物單位是什么呢？單位工業(yè)品是什么意思? 我們說：我們生產(chǎn)了3.7單位工業(yè)品，每單位工業(yè)品的價格是2.8元。這句話是什么含義？對這個問題的正確理解是正確構建與應用多部門數(shù)量經(jīng)濟模型的基本出發(fā)點。本篇論文在下面展開討論這個問題。2492. 從1+1=?談起250眾所周知，我們從幼兒園就開始學習1+1=? 老師告訴學生： 1個蘋果+1個蘋果=2個蘋果，也就是說， 1+1 = 2。到了中學，我們學習了二進制，在二進制里面， 1

54、+1 = 10。到了大學，我們學習了布爾代數(shù)與開關代數(shù)，在布爾代數(shù)里面，1+1 = 1。如果代表奇數(shù)，代表偶數(shù)，那么1+1 = 0?，F(xiàn)在如果我們要問研究生如下的問題： 1斤蘋果 + 1斤豬肉 = ? (1)2511斤蘋果 + 1斤豬肉 = ?幾乎所有的人都會認為以上的問題沒有實際意義，它們是兩個不可相加的東西。但是對于經(jīng)濟學的研究人員與實際工作人員來說，以上的問題是非常重要的基本問題。對這個問題的正確回答，可以使我們理解千千萬萬種產(chǎn)品是如何歸結為一種或少數(shù)幾種產(chǎn)品的。 252對公式（1）所示的問題來說，也就是要將蘋果與豬肉這2種產(chǎn)品歸結1種產(chǎn)品。所以公式（1）又可以寫為： 1公斤蘋果 + 1公

55、斤豬肉 = q 公斤食品 (2)以上這個方程告訴我們，蘋果與豬肉歸結為1種產(chǎn)品：“食品”?，F(xiàn)在的問題是： q = ? 2531公斤蘋果 + 1公斤豬肉 = q 公斤食品人們很自然要回答：q = 2 。再問：若1公斤蘋果 + 1公斤豬肉 = 2 公斤食品, 那么0.1公斤蘋果 + 1.9公斤豬肉 = 2 公斤食品, 或: 1.9公斤蘋果 + 0.1公斤豬肉 = 2 公斤食品, 是否成立？ 254人們很自然要認為它們是成立的。但從經(jīng)濟學觀點，如果以上式子成立，將會產(chǎn)生問題。因為既然它們都綜合成2 公斤食品, 這意味著如果有3組商品： 1公斤蘋果, 1公斤豬肉、0.1公斤蘋果, 1.9公斤豬肉、 1

56、.9公斤蘋果, 0.1公斤豬肉 讓你挑選，選哪個都是一樣的。這就不符合常理。因為如果你偏好蘋果，那么第3組優(yōu)于第2組產(chǎn)品。若反之，偏好豬肉，那么第2組優(yōu)于第3組產(chǎn)品。 255現(xiàn)在的問題是：將1公斤蘋果與1公斤豬肉這2種產(chǎn)品歸結q公斤產(chǎn)品：“食品”時，q = ? “食品”的價格為 2563. 國民經(jīng)濟部門 或產(chǎn)品的歸結與綜合257當我們將x公斤蘋果與y公斤豬肉這2種產(chǎn)品歸結s公斤產(chǎn)品：“食品”時，可以用下式表示產(chǎn)品的歸結關系： x公斤蘋果 + y公斤豬肉 = s 公斤食品 (3)我們應當注意到式（3）中的加法與小學算術中的加法不同，也不同于二進制或布爾代數(shù)中的加法。布爾代數(shù)中的加法是邏輯加。為了

57、區(qū)分不同加法的含義，邏輯加通常寫為：1 1=1。式（3）中的加法是2種產(chǎn)品歸結為1種產(chǎn)品的加法，它是經(jīng)濟學意義上的加法。按道理可以用一個新符號來表示這個加法。不妨用“ ” 表示2種產(chǎn)品歸結為1種產(chǎn)品的加法，則式（3）又可記為： x公斤蘋果 y公斤豬肉 = s 公斤食品 258由于x、y、s 皆取值于實數(shù)，因此按實數(shù)域上通常運算，可以認為s是x與y的函數(shù)： s = f (x , y) (4)259x公斤蘋果 y公斤豬肉 = s 公斤食品還應注意到當將2種產(chǎn)品綜合成1種產(chǎn)品：“食品”，其數(shù)量大小為s , “食品”的價格為p ，若手持貨幣在市場價格之下，購2種產(chǎn)品數(shù)量x與 y，應當滿足如下公式： 2

58、60此外，還應注意到綜合而成的“食品”具有產(chǎn)品的特征，因此對任意實數(shù)k, 還應成立： k x公斤蘋果 k y公斤豬肉 = k s 公斤食品 (6)因此式（4）函數(shù)應滿足： k s = f (k x , k y) (7)261除了應滿足以上幾個方程外，還應滿足消費者對上述2種產(chǎn)品的消費行為。設消費者對上述2種產(chǎn)品的效用函數(shù)(注意：這里我們主要敘述原理，故設效用函數(shù)為柯布-道格拉斯形式，實際應用應釆用更復雜的其它形式，但推導過程類似)為：262(8) 依微觀經(jīng)濟學知識，若消費者消費支出為M = p s , 那么消費者預算約束下的效用最大化數(shù)學模型為：263 (9)求解以上數(shù)學模型, 可求出消費者對

59、2種產(chǎn)品需求函數(shù)的數(shù)學表達式：264(10)從公式（10）可得出令第1式左右兩邊的a/(a+b)次方乘以第2式左右兩邊的b/(a+b)次方, 再整理后可得：265(11)記：266 (12) (13)從以上討論可以看出，式（13）只與被綜合產(chǎn)品數(shù)量有關，它可看作2種產(chǎn)品歸結為1種產(chǎn)品的數(shù)量大小計算公式。相應地，式（12）只與被綜合產(chǎn)品價格有關，它可看作2種產(chǎn)品歸結為1種產(chǎn)品的價格計算公式。而且式（12）與式（13）是從式（3）(9)推導而來；符合以上基本條件。267268結論1：設2種產(chǎn)品數(shù)量分別為x、y單位，價格分別為、；消費者對2種產(chǎn)品效用函數(shù)的數(shù)學表達式為柯布-道格拉斯形式, 那么2種產(chǎn)

60、品數(shù)量綜合成1種產(chǎn)品數(shù)量s 由式（13）描述，綜合產(chǎn)品價格由式（12）描述。由于人們可能認為結論1中效用函數(shù)大小不能測量，難以理解如何應用于實際，故下面將結論1推廣到多種產(chǎn)品時，換一種敘述方法。但2種敘述方法是等價的。269結論2：設有n種產(chǎn)品, 第 i 種產(chǎn)品數(shù)量為單位，價格為 ；消費者對第 i 種產(chǎn)品消費支出比例為： , 那么n種產(chǎn)品數(shù)量綜合成1種產(chǎn)品數(shù)量s 為：270(14) 綜合產(chǎn)品價格p為：271 (15)其中，A可以為任意正實數(shù)。例1 考慮蘋果與豬肉2種產(chǎn)品，蘋果的價格為 元/公斤，豬肉的價格為 元/公斤，人們花在上述2種產(chǎn)品的支出比例為：a : b = 30% : 70%, 那么