現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制與濾波ocofch

1、最優(yōu)控制與濾波理論Principle of Optimal Control and Filtering第五章離散系統(tǒng)最優(yōu)控制Chapter 5Optimal Control of Discrete Time Systems離散變分法與Euler方程離散極小值原理5.2 離散線性調(diào)節(jié)器研究離散系統(tǒng)最優(yōu)控制的原因：計算機控制系統(tǒng)的兩種離散系統(tǒng)：1. 無采樣器：如社會經(jīng)濟系統(tǒng)等k1f), k f ) L(x(k ), u(k ), k )泛函求極值問題：min J (x(k fu( k )k k0 x(k 1) g(x(k ), u(k ), k )x(k0 ) x0s.t.2. 有采樣器：如工業(yè)受

2、控對象等泛函求極值問題（等間隔采樣）：k f 1min J (x(k f T ), k f T ) L(x(kT ), u(kT ), kT )u( kT )k k0 x(k 1)T xkT x(k T ) xs.t.f (x(kT ), u(kT ), kT )00T簡寫同無采樣器系統(tǒng)5.1 離散變分法與Euler方程當控制序列不受約束時，采用離散變分法，得到離散極值的必要條件-離散Euler方程。Lagrange問題性能指標t f連續(xù)時間： J ( x) tF (t, x(t ), x& (t )dt0k f 1k f 1離散時間：J ( x) L(x(k ), x(k 1), k ) L

3、k(5.1.1)k0k0Lk:第k個采樣周期內(nèi)性能指 標J的增量性能指標(5.1.1)極小的必要條件設存在極值解x*，與x*(k)、x*(k+1)接近的x(k)、x(k+1)為：x(k)= x*(k)+x(k)x(k)的變分x(k+1)= x*(k+1)+x(k+1)x(k+1)的變分k f 1k f 1J ( x) L(x(k ), x(k 1), k ) Lkx(k)= x*(k)時J最小，意即：k0k0=0時J()極小（與變分x(k)、 x(k+1)無關），t fJ ( )J (x) JF (t, x(t ), x& (t )dt 0因此：t0t ftdt 01 于是有：k fLL0 x

4、T (k ) k xT (k 1) 0k(5.1.2)x(k )x(k 1) k k0k f 1 L將序號變?yōu)閗，與第一項相同 xT (k 1) kx(k 1) k k0LkLk f 1 L xT (k ) k1 xT (k1k0 1 xT (k)f)x(k )fx(k0 x(k)k k0f0k k fk f 1 LL xT (k ) k1 xT (k )k 1離散分部積分x(k ) x(k )k k0k k0于是（5.1.2）變?yōu)椋簁 k fk f 1 LLL(5.1.3) xT (k ) kk 1 xT (k ) k 1 0 x(k )x(k ) x(k )k k0k k0上式對任意x(k

5、)成立，于是有極值的必要條件：Lk Lk 1離散Euler方程： 0(5.1.4)x(k )x(k ) xT (k ) Lk 1 0(k k, k)橫截條件：(5.1.5)x(k )0f例：若始端給定（x(k0)= x0），則橫截條件為：Lkf1 0 x(k f )等式約束下的離散極值問題通過Lagrange乘子函數(shù)化為無約束的極值問題。等式約束下的離散泛函極值問題k f 1min J (x(k f ), k f ) L(x(k ), u(k ), k )u( k )s.t.k k0 x(k 1) f (x(k ), u(k ), k ), x n , u rk0 , x(k0 ) x0 ,

6、k f 固定，x(f化為無約束問題：min J1 (x(kf ), k f ) u( k )k f 1 L(x(k ), u(k ), k ) T (k 1)f(x(k ), u(k ), k ) x(k 1)k k0H x(k ), u(k ), (k 1), k 令Hamilton函數(shù)為H (k ) L(x(k ), u(k ), k ) T (k 1)f (x(k ), u(k ), k )則k1H (k ) T (k 1)x(k 1)f), k ) J (x(k1ffk k0k f 1), k ) H (k ) T (k 1)x(k 1)J (x(k1ffk k0H (k ) L(x(

7、k ), u(k ), k ) T (k 1)f (x(k ), u(k ), k )若泛函極值存在，則如下方程成立：H (k ) x (k ) (k ) 0T方程：Euler x(k ) uT (k ) H (k ) 0u(k )(x(k) 0), k f) (k橫截條件： xT (kf)fx(kf)fxn，ur，即x和u任意取 x(k)和u(k)可不為零， x(kf)可不為零:同時這里始端狀態(tài)固定，末端k f 1問題： min J (x(k ), k ) L(x(k ),u(k ), k )ffu( k )s.t.k k0 x(k 1) f (x(k ), u(k ), k ), x n

8、, u rk0 , x(k0 ) x0 , k f 固定，x(泛函極值存在的必要條件：H (k ) (k )協(xié)態(tài)方程：x(k )H (k ) 0控制方程：u(k )橫截條件： (x(k f ), k f) (k)fx(k)fx(k 1) f(x(k ), u(k ), k )x(k0 ) x0狀態(tài)方程：邊界條件：H (k ) L(x(k ), u(k ), k ) T (k 1)f (x(k ), u(k ), k )H (k ) L(x(k ),u(k ), k ) T (k 1)f (x(k ), u(k ), k )已知離散系統(tǒng)及邊界條件：例5.1.1x(k+1)= x(k)+au(k)

9、x(0)=1 x(10)=019性能指標為：J 2u (k )2k 0求使性能指標極小的控制序列u(k)與相應的狀態(tài)序列x(k)。解：兩端狀態(tài)固定的有約束極值問題L 1 u2 (k )f(x(k ),u(k ), k ) x(k ) au(k )k2H (k ) 1 u2 (k ) (k 1)( x(k ) au(k )2伴隨方程：H (k ) (k ) (k 1) (k )故 (k ) Cx(k )控制方程：H (k ) 0 u(k ) a (k 1) 0 u(k ) aCu(k )狀態(tài)方程x(k+1)= x(k)+au(k)x(1)= x(0) -a2Cx(2)= x(1) -a2C= x

10、(0) -2a2Cx(3)= x(2) -a2C= x(0) -3a2Cx(k)= x(0) -ka2C故x(k+1)= x(k)-a2Cx(10)=0 得：C=1/(10a2)代入邊界條件： x(0)=1最優(yōu)控制：u*(k)= -1/(10a)最優(yōu)軌線： x(k)= 1-0.1k*注：也可用z變換法替代后面的遞推，自己試試5.2 離散極小值原理龐金極小值原理時，只了連續(xù)系統(tǒng)情況。為了獲得離散系統(tǒng)的極小值原理，有人曾從離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)比較接近這點出發(fā)，設想把連續(xù)極小值原理直接推廣到離散系統(tǒng)，但除了采樣周期足夠小的情況外，其余都失敗了。離散極小值原理的普遍論述較復雜，證明過程十分冗長。這里不加

11、證明地給出結(jié)論。離散極小值原理k f 1min J (x(k f ), k f ) L(x(k ),u(k ), k )u( k )s.t.k k0 x(k 1) f (x(k ), u(k ), k ), x(k0 ) x0 x(k ) n ,u(k ) r 有界閉集f , , L , 且對x(k),u(k)連續(xù)可微nk0, x(k0)=x0固定，kf固定，x(kf)受約束：gx(kf), kf=0則使目標泛函取最小值的最優(yōu)控制序列u*(k)，最優(yōu)狀態(tài)序列x*(k)及適當?shù)男蛄?k)滿足必要條件：1.狀態(tài)方程: x*(k+1)=fx*(k), u*(k), k2.伴隨方程：H (k ) (k

12、 )x(k )其中：H (k ) H x(k ),u(k ), (k 1), k L(x(k ), u(k ), k ) T (k 1)f (x(k ),u(k ), k )極值條件：H x* (k ), u* (k ), (k 1), k 邊界條件：x(k0)=x0min Hx (k ), u(k ), (k 1), k*u( k )U (x(kTk), k)5.橫截條件：ff(k ) fx(kx(k )ff說明1.若控制序列不受約束，則J取極小值的充要條件為：H (k ) 2 H (k )0且0u(k )u2 (k )2.離散極小值原理與連續(xù)的相似離散系統(tǒng)最優(yōu)化問題最后歸結(jié)為一個離散兩點邊

13、值問題。5.3 離散線性調(diào)節(jié)器類似于線性連續(xù)系統(tǒng)的二次型最優(yōu)控制問題，線性離散系統(tǒng)的二次型最優(yōu)控制也是線性控制律。線性連續(xù)系統(tǒng)的二次型最優(yōu)控制問題的最后歸結(jié)到一個最優(yōu)狀態(tài)反饋律和求解一個矩陣微分方程。線性離散系統(tǒng)的二次型最優(yōu)控制問題的最后歸結(jié)到一個最優(yōu)狀態(tài)反饋律和求解一個矩陣差分方程（與矩陣微分方程相類似）。兩種狀態(tài)調(diào)節(jié)器時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器離散線性系統(tǒng)的狀態(tài)差分方程為：x(k+1)= A(k)x(k)+ B(k)u(k)(k=0,1,2, , N-1)性能指標為：N 11212x(k )Q(k )x(k ) u (k )R(k )u(k )J x ( N )Fx( N

14、) TTTk 0 x(0)=x0, 固定， N固定，X(N)， x(k)n，u(k) rF0，對稱；Q(k)0，對稱； R(k)0，對稱求最優(yōu)控制序列u*(k)使性能指標J最小。H (k ) 1 xT (k )Q(k )x(k ) 1 uT (k )R(k )u(k )22T (k 1)A(k )x(k ) B(k )u(k )伴隨方程：(k ) H (k ) Q(k )x(k ) AT (k )(k 1)x(k )H (k ) R(k )u(k ) BT (k )(k 1) 0極值條件：u(k )R(k)0，u(k)=-R-1(k)BT(k)(k+1)代入狀態(tài)方程，得：x(k+1)=A(k)

15、 x(k)-B(k)R-1(k)BT(k)(k+1)邊界條件：x(0)=x0(5.3.1)(5.3.2) 1 xT ( N )Fx( N ) 2 Fx( N )橫截條件：( N ) x( N )(k ) Q(k )x(k ) AT (k )(k 1)1x(k 1) A(k )x(k) B(k )R(k )B (k )(k 1)T(5.3.2)( N ) Fx( N )上述三個方程組成離散兩點邊值問題，可解出(k)，但是得到的u*(k)是開環(huán)控制。如何得到閉環(huán)最優(yōu)控制u(x(k)?x(k 1) A(k )x(k ) B(k )R1 (k )BT (k )(k 1)(5.3.2)用數(shù)學歸納法推導(

16、5.3.3)假設(k+1)=P(k+1)x(k+1)當k=N-1時，由橫截條件有：(N)= P(N)x(N) (其中P(N)=F)證明 (k)=P(k)x(k) 是否成立。將(5.3.3)代入(5.3.2)得：x(k 1) A(k )x(k ) B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)x(k 1)1 x(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )(5.3.4)將(5.3.4)代入(5.3.3)得：1(k 1) P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )(5.3.5)(k ) Q(k )x(k )

17、AT (k )(k 1)u(k)=-R-1(k)BT(k)(k+1)(5.3.1)1(k 1) P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )(5.3.5)將(5.3.5)代入伴隨方程得：(k ) Q(k ) AT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)1 A(k )x(k )令1P(k ) Q(k ) AT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )(5.3.6)則(k ) P(k )x(k )k成立（k N 1,L, 0）因此，假設條件(k+1)=p(k+1)x(k+

18、1)成立。將(5.3.5）代入(5.3.1)，得：1u(k ) R1 (k )BT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )(5.3.7)1令K R1 (k )BT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )則 u(k ) Kx(k )(5.3.8)u(k)是x(k)的線性反饋1P(k ) Q(k ) AT (k )P(k 1) I B(k )R1(k )BT (k )P(k 1)A(k )(5.3.6)1u(k ) R1 (k )BT (k )P(k 1) I B(k )R1(k )BT (k

19、 )P(k 1)A(k )x(k )求逆麻煩，如何簡化？若A(k)可逆，則由式(5.3.6)得：1P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k ) AT (k )(P(k ) Q(k )代入上式得：u(k ) R1 (k )BT (k )AT (k )P(k ) Q(k )x(k )(5.3.9)*通過(5.3.6)計算出P(k)，然后u(k)。離散時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器小結(jié)離散線性系統(tǒng)的狀態(tài)差分方程為：x(k+1)= A(k)x(k)+ B(k)u(k)(k=0,1,2, , N-1)N 11212x(k )Q(k )x(k ) u (k )R(k )u(k )性能指標

20、為：J x ( N )Fx( N ) TTTk 0， x(k)n，u(k) rx(0)=x0, 固定， N固定，X(N)F0，對稱；Q(k)0，對稱； R(k)0，對稱。使性能指標J最小的最優(yōu)控制序列為：1u(k ) R1 (k )BT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )u(k ) R1 (k )BT (k )AT (k )P(k ) Q(k )x(k )或其中P(k)是下列Riccati方程的對稱非負定解：（可離線計算）1P(k ) Q(k ) AT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )P(N)=F最優(yōu)狀態(tài)序列:(也可以根據(jù)狀態(tài)方程計算)1x(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )或x(k+1)= A(k)x(k)+ B(k)u(k)(k=0,1,2, , N-1) 1 xT (0)P(0)x(0)最優(yōu)性能指標：J *2離散系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖u(k)x(k+1)+x(k)延遲+-R-1B(P-Q)1P(k ) Q(k ) AT (k )P(k