高中數(shù)學必修二 6.2.4 向量的數(shù)量積（第1課時）向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積 教學設(shè)計

1、【新教材】6.2.4 向量的數(shù)量積教學設(shè)計（人教A版）第一課時 向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積本節(jié)學習的關(guān)鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識.主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律.課程目標1了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的判斷和運算；3體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。數(shù)學學科素養(yǎng)

2、1.數(shù)學抽象：數(shù)量積相關(guān)概念的理解；2.邏輯推理：有關(guān)數(shù)量積的運算；3.數(shù)學運算：求數(shù)量積或投影；4.數(shù)學建模：從物理問題抽象出數(shù)學模型，數(shù)形結(jié)合，運用數(shù)量積解決實際問題.重點：平面向量數(shù)量積的含義與物理意義；難點：平面向量數(shù)量積的概念.教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。情景導入問題1：請同學們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？問題2：兩個向量之間能進行乘法運算嗎？物理學中有沒有兩個向量之間的有關(guān)乘法運算？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預(yù)習課本，引入新課閱讀課本17-21頁，思

3、考并完成以下問題1、怎樣定義向量的數(shù)量積？向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎？2、向量b在a方向上的投影怎么計算？數(shù)量積的幾何意義是什么？3、向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些？4、向量數(shù)量積的運算律有哪些？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、向量的夾角：已知兩個非零向量a與b，作=a，=b，AOB= （0180）叫作向量a與b的夾角。當=0時，a與b同向；當=180時，a與b反向；當=90時，a與b垂直，記作ab。規(guī)定：零向量可與任一向量垂直。2、射影的概念叫作向量b在a方向上的射影。 注意：射影也是一個數(shù)量，不是向量。3、數(shù)量積的定義：已知兩個向量a與b，它們

4、的夾角為，我們把數(shù)量ab叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：ab，即：ab= ab注意 ab不能寫成ab或ab的形式數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度a與b在a方向上投影的乘積，或b的長度b與a在b方向上投影的乘積。數(shù)量積的物理意義：力F與其作用下物體位移s的數(shù)量積4、向量數(shù)量積的性質(zhì)1e是單位向量，ae=ea=acos; 2=90abab=0;3a/bab=|a|b|;特別地：aa=a2或a=a2;4cos=aba|b|,a|b|05|ab|a|b|(當且僅當a/b時等號成立)5、運算定律：已知向量a、 b、c和實數(shù)，則：(1).交換律：ab= ba(2).數(shù)乘結(jié)合律：（）b=（ab)

5、= a（）(3).分配律： （a + b）c=ac +b c四、典例分析、舉一反三題型一 數(shù)量積的基本運算例1 已知|a|2，|b|5，若：ab；ab；a與b的夾角為30，分別求ab.【答案】ab=10. ab0. ab5eq r(3).【解析】當ab時，若a與b同向，則它們的夾角為0.ab|a|b|cos025110.若a與b反向，則它們的夾角為180.ab|a|b|cos18025(1)10.當ab時，它們的夾角為90.ab|a|b|cos902500.當a與b的夾角為30時，ab|a|b|cos3025eq f(r(3),2)5eq r(3).解題技巧（向量數(shù)量積的運算方法）(1)當已知

6、向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b；(2)注意共線時0或180，垂直時90，三種特殊情況跟蹤訓練一1、已知點A，B，C滿足|eq o(AB,sup16()|3，|eq o(BC,sup16()|4，|eq o(CA,sup16()|5，則eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(AB,sup16()的值是_【答案】25 【解析】如圖，根據(jù)題意可得ABC為直角三角形，且Beq f(,2)，cosAeq f(3,5)，cosCeq f(4,5)，eq

7、o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(AB,sup16()45cos(C)53cos(A)20cosC15cosA20eq f(4,5)15eq f(3,5)25.題型二 數(shù)量積的幾何意義例2已知|a|6，e為單位向量，當它們之間的夾角分別等于45，90，135時，求出a在e方向上的投影，并畫圖說明【答案】見解析【解析】如下圖所示，當45時，a在e方向上的正投影

8、的數(shù)量為3eq r(2)；當90時，a在e方向上的投影的數(shù)量為0；當135時，a在e方向上的投影的數(shù)量為3eq r(2).|a|cos453eq r(2)，|a|cos900，|a|cos1353eq r(2).解題技巧： (向量投影的注意事項)(1)b在a方向上的投影為|b|cos (是a與b的夾角)，也可以寫成eq f(ab,|a|).(2)投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負，也可為零跟蹤訓練二1、已知|a|3，|b|4，ab6.(1)向量a在向量b方向上的投影為_(1)向量b在向量a方向上的投影為_2、在邊長為2的正三角形ABC中，eq o(AB,sup16()在eq o(BC

9、,sup16()方向上的投影為_【答案】1、(1) 32(2)2.2、1.【解析】1、（1）abb=-32, 2 aba=-2.2、ABcos120=2-12=-1.題型三 向量的混合運算例3(1)已知|a|6，|b|4，a與b的夾角為60，求(a2b)(a-3b)=_(2)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則eq o(AE,sup16()eq o(BD,sup16()_【答案】（1）-72. （2）2.【解析】(1)(a2b)(a-3b)aa-ab-6bb|a|2-ab-6|b|2|a|2-|a|b|cos 60-6|b|262-64cos 60-642-72.（2）eq o(A

10、E,sup16()eq o(BD,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AD,sup16()f(1,2)o(AB,sup16()(eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(AD,sup16()2eq f(1,2)eq o(AB,sup16()222eq f(1,2)222.解題技巧（向量混合運算注意事項）(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵(2)根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算跟蹤訓練三1.已知兩個單位向量e1，e2的夾角為eq f(,3)，

11、若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1b2_2已知兩個單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b.若bc0，則t_.【答案】1、-6. 2、2【解析】1、由題設(shè)知|e1|e2|1且e1e2eq f(1,2)，所以b1b2(e12e2)(3e14e2)3eeq oal(2,1)2e1e28eeq oal(2,2)32eq f(1,2)86.2、因為bc0，所以bta(1t)b0，即tab(1t)b20，又因為|a|b|1，a，b的夾角為60，所以eq f(1,2)t1t0，所以t2.五、課堂小結(jié)讓學生總結(jié)本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計6.2.4 向量的加法運算第一課時 向量的數(shù)