高中數(shù)學(xué)必修二 1 8．6.3應(yīng)用案鞏固提升

1、A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點與平面垂直的平面有（）A.0個B.1個C.無數(shù)個 D.1個或無數(shù)個解析：選D.當(dāng)兩點連線與平面垂直時，可作無數(shù)個垂面，否則，只有1個.2.從空間一點P向二面角l的兩個面，分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若EPF60，則二面角l的平面角的大小是（）A.60 B.120C.60或120 D.不確定解析：選C.若點P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120；若點P在二面角外，則二面角的平面角為60.3.已知直線a，b與平面，下列能使成立的條件是（）A.， B.a，ba，bC.a，a D.a，a解析：選D.由a，知內(nèi)必有直線l與a平行.而a，所以l，所以.4.在

2、四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，則BD與CC1（）A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直解析：選C.如圖所示，在四邊形ABCD中，因為ABBC，ADCD.所以BDAC.因為平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，所以BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，所以BDCC1，故選C.5.如圖，正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段AC的三等分點，P是線段AB的中點，G是直線BD上的動點，則（）A.存在點G，使PGEF成立B.存在點G，使FGEP成立C.不存在點G，使平面EFG平面ACD成立D.

3、不存在點G，使平面EFG平面ABD成立解析：選C.正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段AC的三等分點，P是線段AB的中點，G是直線BD上的動點，在A中，不存在點G，使PGEF成立，故A錯誤；在B中，不存在點G，使FGEP成立，故B錯誤；在C中，不存在點G，使平面EFG平面ACD成立，故C正確；在D中，存在點G，使平面EFG平面ABD成立，故D錯誤.故選C.6.已知PA矩形ABCD所在的平面（如圖），則圖中互相垂直的平面有對.解析：因為DAAB，DAPA，所以DA平面PAB，同理BC平面PAB，又AB平面PAD，所以DC平面PAD，所以平面PAD平面AC，平面PAB平面AC，平面PBC平面PAB

4、，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5對.答案：57.如圖，在三棱錐PABC內(nèi)，側(cè)面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，則PB.解析：因為側(cè)面PAC底面ABC，交線為AC，PAC90（即PAAC），PA平面PAC，所以PA平面ABC，所以PAAB，所以PBeq r(PA2AB2)eq r(14)eq r(5).答案：eq r(5)8.如圖，直二面角l，點A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足，若AB2，ACBD1，則CD的長為.解析：如圖，連接BC，因為二面角l為直二面角，AC，且ACl，所以AC.又BC，所以ACBC，所以BC2AB2AC23，又BDCD，所以CD

5、eq r(BC2BD2)eq r(2).答案：eq r(2)9.如圖，過S點引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且ASBASC60，BSC90.求證：平面ABC平面BSC.證明：取BC的中點D，連接SD、AD（圖略），由SASBSC，ASBASC60，得ABACSA.所以ADBC，SDBC，所以ADS是二面角ABCS的平面角.又BSC90，令SA1，則SDeq f(r(2),2)，ADeq f(r(2),2)，所以SD2AD2SA2.所以ADS90，所以平面ABC平面BSC.10.如圖，三棱臺DEFABC中， AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點.（1）求證：BD平面FGH；（2

6、）若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH.證明：（1）如圖所示，連接DG，設(shè)CDGFM，連接MH.在三棱臺DEFABC中，AB2DE，所以AC2DF.因為G是AC的中點，所以DFGC，且DFGC，所以四邊形CFDG是平行四邊形，所以DMMC.因為BHHC，所以MHBD.又BD平面FGH，MH平面FGH，所以BD平面FGH.（2）因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GHAB.因為ABBC，所以GHBC.又H為BC的中點，所以EFHC，EFHC，所以四邊形EFCH是平行四邊形，所以CFHE.因為CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面B

7、CD，所以平面BCD平面EGH.B能力提升11.將銳角A為60，邊長為a的菱形沿BD折成60的二面角，則折疊后A與C之間的距離為（）A.a B.eq f(1,2)aC.eq f(r(3),2)a D.eq r(3)a解析：選C.設(shè)折疊后點A到A1的位置，取BD的中點E，連接A1E，CE.則BDCE，BDA1E.于是A1EC為二面角A1BDC的平面角.故A1EC60.因為A1ECE，所以A1EC是等邊三角形.所以A1ECEA1Ceq f(r(3),2)a.12.如圖，在四面體PABC中，ABAC，PBPC，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A.BC平面PDF

8、B.DF平面PAEC.平面PDF平面PAED.平面PDF平面ABC解析：選D.因為D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，則DF為ABC的中位線，則BCDF，依據(jù)線面平行的判定定理，可知BC平面PDF，A成立.又E為BC的中點，且PBPC，ABAC，則BCPE，BCAE，依據(jù)線面垂直的判定定理，可知BC平面PAE.因為BCDF，所以DF平面PAE，B成立.又DF平面PDF，則平面PDF平面PAE，C成立.要使平面PDF平面ABC，已知AEDF，則必須有AEPD或AEPF，由條件知此垂直關(guān)系不一定成立，故選D.13.如圖所示，平面四邊形ABCD，ABADCD1，BDeq r(2)，BDCD，將其沿對角線B

9、D折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，則下列說法中正確的是（）平面ACD平面ABD；ABCD；平面ABC平面ACD.A. B.C. D.解析：選D.因為BDCD，平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，因為CD平面ACD，所以平面ACD平面ABD，故正確；因為平面四邊形ABCD中，ABADCD1，BDeq r(2)，所以ABAD，又CD平面ABD，所以ABCD，又ADCDD，所以AB平面ACD，又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面ACD，故正確.14.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD90，ADBC，ABBC1，AD2，PA底面ABCD，PD與底面成45角

10、，點E是PD的中點.（1）求證：BEPD；（2）求二面角PCDA的余弦值.解：（1）證明：連接AE.因為PA底面ABCD，所以PDA是PD與底面ABCD所成的角，所以PDA45.所以PADA.又因為點E是PD的中點，所以AEPD.因為PA底面ABCD，AB底面ABCD，所以PAAB.因為BAD90，所以BADA.又因為PAADA，所以BA平面PDA.又因為PD平面PDA，所以BAPD.又因為BAAEA，所以PD平面ABE.因為BE平面ABE，所以BEPD.（2）連接AC.在直角梯形ABCD中，因為ABBC1，AD2，所以ACCDeq r(2).因為AC2CD2AD2，所以ACCD，又因為PA底

11、面ABCD，CD底面ABCD，所以PACD.因為ACPAA，所以CD平面PAC.又因為PC平面PAC，所以PCCD，所以PCA為二面角PCDA的平面角.在RtPCA中，PCeq r(PA2AC2)eq r(22（r(2)）2)eq r(6).所以cosPCAeq f(AC,PC)eq f(r(2),r(6)eq f(r(3),3).所以所求二面角的余弦值為eq f(r(3),3).C拓展探究15.已知三棱錐ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點，且eq f(AE,AC)eq f(AF,AD)（01）.（1）求證：不論為何值，總有平面BEF平面ABC；（2）當(dāng)為何值時，平面BEF平面ACD？解：（1）證明：因為BCD90，所以BCCD.因為AB平面BCD，所以ABCD.又因為ABBCB，所以CD平面ABC.因為eq f(AE,AC)eq f(AF,AD)，所以EFCD，所以EF平面ABC.又因為EF平面BEF，所以平面BEF平面ABC.故不論為何值，總有平面BEF平面ABC.（2）由（1）得EF平面ABC，BE平面ABC，所以EF