《線性代數(shù)》 熱傳導(dǎo)方程與極值原理

1、3.2 熱傳導(dǎo)方程與極值原理極值原理是描述熱傳導(dǎo)、擴散等現(xiàn)象的熱傳導(dǎo)方程的重要性質(zhì)。以最簡單的熱傳導(dǎo)過程來考察，如果物體的的邊界溫度及其初始溫度分布都不超過某值 ，而且 物體內(nèi)部沒有熱源，則這物體內(nèi)部就不可能產(chǎn)生大于 的溫度。和這個事實相對應(yīng)，我們對齊次熱傳導(dǎo)方程 給出下面的極值原理。 記 （1）定理1設(shè) ，且在內(nèi)滿足熱傳導(dǎo)方程（1），則 即 在 上取得最大值和最小值。 由于 注：也滿足定理1的條件， 的最小值的情形可轉(zhuǎn)化為 的最大值的情形，因此我們只需考慮最大值的情形。為此，先給出一個引理。引理設(shè) ，且在內(nèi)滿足，則 不能在 內(nèi)達到最大值。 證明若不然，設(shè)在某點 用反證法。，有 ，則由函數(shù)達到

2、最大值的必要條件知 ，于是與假設(shè)矛盾，因此 不能在 內(nèi)達到最大值。 下面利用上述引理來證明定理1。 證明對于任意給定的 ?？紤]輔助函數(shù)于是在 內(nèi)有 由引理知， 必不能在 內(nèi)達到最大值，即 于是由 的任意性，即得 定理證畢。混合問題解的唯一性與穩(wěn)定性定理2 熱傳導(dǎo)方程的混合問題 在 內(nèi)的解是唯一的，而且它連續(xù)地依賴于邊界 上所給定的初始條件和邊界條件。證明 假設(shè)上述混合問題有兩個解 與，則它們的差 ，在區(qū)域 內(nèi)滿足齊次方程 ，并且 從而由極值原理即得于是在 內(nèi) ，即有 。因此上述混合問題的解是唯一的。 再證明解的穩(wěn)定性，如果混合問題的兩個解 與在 上滿足 則由極值原理得到 在 內(nèi)也成立著。 這就

3、證明了此混合問題解的穩(wěn)定性。初值問題解的唯一性與穩(wěn)定性 現(xiàn)在考察熱傳導(dǎo)方程的初值問題 在考慮無界直線上的問題時，應(yīng)要求溫度的變化是有界的，即要求存在著某一正常數(shù) ，使對任何 。我們就具有這種性質(zhì)的函數(shù)類 中討論初值問題解的唯一性和穩(wěn)定性。 定理3 初值問題 在有界函數(shù)類中的解是唯一的，而且連續(xù)依賴于所給的初始條件。證明 先證有界解的唯一性。 假設(shè)初值問題 有兩個有界解 與，則它們的差 滿足相應(yīng)齊次初值問題： 我們證明，在整個區(qū)域 中， 。(因為 。但由于區(qū)域是無界的，函數(shù) 可能在任何地方都達不到它的最大值與最小值， 因此我們不能直接應(yīng)用前面的極值原理。) 為了應(yīng)用極值原理來證明唯一性，對于上半平面的任何一點，其中 ，我們考慮下面的矩形區(qū)域 其中 是一個任意給定的正數(shù)，作輔助函數(shù) 它在區(qū)域 上是連續(xù)的，可以直接驗證它在 內(nèi)滿足方程而且 因此在 的下底及兩側(cè)邊上成立著不等式 對 利用定理1知道在區(qū)域 上也成立著 即同理可證在 上有即在 上成立特別取 ，得到但由于 是任意的，令 ，就有又因為 是上半平面的任一點，因此在整個區(qū)域 中， ，即 唯一性得證。 其次，我們證明初值問題的有界解對初始條件的連續(xù)依賴性。為此，只須證當(dāng) 時，整個區(qū)域 中 。這