廣東金融學(xué)院金融工程遠(yuǎn)期與期貨定價(jià)

1、金融工程Financial Engineering阮堅(jiān)Email：truanjianTeleibo：/jrjl2金融系 阮堅(jiān)遠(yuǎn)期與期貨定價(jià)第三章3金融系 阮堅(jiān)基礎(chǔ)知識一、利率有關(guān)問題（一）單利對利息不再計(jì)算利息，計(jì)算公式是：式中，I為利息額，A為本金現(xiàn)值，r為每期利率，n為計(jì)息期數(shù)，F(xiàn)為本利和（終值）4金融系 阮堅(jiān)(1+r)n也稱為復(fù)利終值系數(shù)。復(fù)利是一種將上期利息轉(zhuǎn)為本金并一并計(jì)息的方法。假設(shè)金額A 以利率r 投資了n 期，投資的終值是：（二）復(fù)利例 假設(shè)某投資者將1000元存入銀行，存期5年，年利率10，按年復(fù)利計(jì)息，5年后的終值是1000(1+10)51610.

2、51元。5金融系 阮堅(jiān)（三）連續(xù)復(fù)利一定期限內(nèi)提高計(jì)復(fù)利的頻率會(huì)對復(fù)利終值產(chǎn)生影響。若R為年利率，則式說明一年復(fù)利一次的計(jì)算，其中A為投資額（本金現(xiàn)值）。設(shè)一年內(nèi)計(jì)m次復(fù)利，年利率為R，投資期限為n年，則終值為：我們通常所說的利率為年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分為2期、4期等。此時(shí)，表示出的年利率為名義利率（每年復(fù)利m次的年利率）。有效利率6金融系 阮堅(jiān)如果將計(jì)息次數(shù)m不斷擴(kuò)大，即計(jì)息頻率不斷提高，直到變?yōu)闊o窮大，我們稱之為連續(xù)復(fù)利(continuous compounding)：若A=100, R0.10, n1，以連續(xù)復(fù)利計(jì)終值為：100e0.1110.52元。（與m365比較）

3、。7金融系 阮堅(jiān)設(shè)本金A100元，年利率n10%，則年末終值如下表所示復(fù)利頻率100元在一年末的終值每年（m=1）110.00每半年（m2）110.25每季度（m=4）110.38每月（m12）110.47每周（m52）110.51每天（m365）110.52連續(xù)復(fù)利110.52因此，年利率10%（名義）保持不變，提高計(jì)復(fù)利的頻率使100元的年末終值增大。當(dāng)m365時(shí)，終值F110.52元。 通常認(rèn)為連續(xù)復(fù)利與每天計(jì)復(fù)利定價(jià)8金融系 阮堅(jiān)（四）利率之間的轉(zhuǎn)換在計(jì)息利率（名義）相同時(shí)，以連續(xù)復(fù)利計(jì)息的終值最大；在終值相同時(shí)，連續(xù)復(fù)利的計(jì)息利率最小。如果Rc是連續(xù)復(fù)利的利率， Rm為與之等價(jià)每年計(jì)

4、m次復(fù)利的利率（以年利率表示），則有：所以9根據(jù)題意已知，m=2，Rm0.10，Rc2ln（1+0.1/2）0.09758，即連續(xù)復(fù)利的年息應(yīng)為9.758例： 某特定金額的年息為10%，每半年復(fù)利一次（半年計(jì)息一次），求一個(gè)等價(jià)的連續(xù)復(fù)利的利率。例： 假設(shè)某債務(wù)人借款的利息為年息8，按連續(xù)復(fù)利計(jì)息。而實(shí)際上利息是一年支付一次。則一年計(jì)一次息（m1）的等價(jià)年利率為：即年利率為8.33，這說明，對于1000元的借款，該債務(wù)人在年底要支付83.3元的利息。 10金融系 阮堅(jiān)二、現(xiàn)值與貼現(xiàn)現(xiàn)值的計(jì)算過程通常被稱作貼現(xiàn)，所用的利率稱為貼現(xiàn)率。（一）現(xiàn)值按貼現(xiàn)率r 計(jì)算，n 期后得到的金額F 的現(xiàn)值計(jì)算公

5、式為：被稱作現(xiàn)值系數(shù)。（二）連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值在連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值的情況下，按貼現(xiàn)率r 計(jì)算，n 年（期）后得到F 元的現(xiàn)值計(jì)算公式為：11金融系 阮堅(jiān)1. 遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格12金融系 阮堅(jiān)遠(yuǎn)期價(jià)值、遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格交割價(jià)格（Delivery Price）遠(yuǎn)期價(jià)值（Forward Value）遠(yuǎn)期合約本身的價(jià)值多頭或空頭購買或出售合約本身給他們帶來的價(jià)值簽訂遠(yuǎn)期合約時(shí)，如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預(yù)期相同，對于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價(jià)格應(yīng)使遠(yuǎn)期價(jià)值在簽署合約時(shí)等于零。 遠(yuǎn)期合約簽訂后，由于交割價(jià)格不再變化，多空雙方的遠(yuǎn)期價(jià)值將隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化而變化。 13金融系 阮堅(jiān)遠(yuǎn)期

6、價(jià)格（Forward Price）：使得遠(yuǎn)期價(jià)值為零的交割價(jià)格（理論交割價(jià)格）一份公平合理的遠(yuǎn)期合約在簽訂的當(dāng)天應(yīng)使交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格。如果實(shí)際交割價(jià)格不等于這個(gè)理論上的遠(yuǎn)期價(jià)格，該遠(yuǎn)期合約價(jià)值對于多空雙方來說就都不為零 ，實(shí)際上隱含了套利空間。在遠(yuǎn)期合約簽訂以后，交割價(jià)格已經(jīng)確定，遠(yuǎn)期合約價(jià)值不一定為零，遠(yuǎn)期價(jià)格也就不一定等于交割價(jià)格。14金融系 阮堅(jiān)期貨價(jià)格（Futures Prices）為使得期貨合約價(jià)值為零的理論交割價(jià)格。對于期貨合約來說，一般較少談及“期貨合約價(jià)值”這個(gè)概念?；谄谪浀慕灰讬C(jī)制，投資者持有期貨合約，其價(jià)值的變動(dòng)來源于實(shí)際期貨報(bào)價(jià)的變化。由于期貨每日盯市結(jié)算、每日結(jié)清

7、浮動(dòng)盈虧，因此期貨合約價(jià)值在每日收盤后都?xì)w零。 15金融系 阮堅(jiān)遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的關(guān)系當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且對所有到期日都相同時(shí)，其他條件相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格相等。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格利率上升，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升時(shí)，期貨價(jià)格通常也會(huì)隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即獲利，并可按高于平均利率的利率將所獲利潤進(jìn)行再投資。利率下跌，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下跌時(shí)， 期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即虧損，但是可按低于平均利率的利率從市場上融資以補(bǔ)充保證金。相比之下，遠(yuǎn)期合約的多頭將不會(huì)因利率的變動(dòng)而受到上述影響。在此情況下，期貨多頭比遠(yuǎn)期多頭更具吸引力，期貨價(jià)

8、格自然就大于遠(yuǎn)期價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈很強(qiáng)的負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格高于期貨價(jià)格16金融系 阮堅(jiān)遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異幅度還取決于合約有效 期的長短。當(dāng)有效期只有幾個(gè)月時(shí)，兩者的差距通常很小。此外，稅收、交易費(fèi)用、保證金的處理方式、違約風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性等方面的因素或差異都會(huì)導(dǎo)致遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異。遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的定價(jià)思想在本質(zhì)上是相同的，其差別主要體現(xiàn)在交易機(jī)制和交易費(fèi)用的差異上，在很多情況下常?？梢院雎裕蜻M(jìn)行調(diào)整。因此在大多情況下，我們可以合理地假定遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格相等，并都用F來表示。17金融系 阮堅(jiān)2. 遠(yuǎn)期合約定價(jià)18金融系 阮堅(jiān)基本假設(shè)沒有交易費(fèi)用和稅收市場參與者能以

9、相同的無風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金遠(yuǎn)期合約沒有違約風(fēng)險(xiǎn)允許現(xiàn)貨賣空行為當(dāng)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)，市場參與者將參與套利活動(dòng)，從而使套利機(jī)會(huì)消失，其理論價(jià)格就是無套利機(jī)會(huì)下的均衡價(jià)格。期貨合約的保證金帳戶支付同樣的無風(fēng)險(xiǎn)利率。這意味著任何人無需成本就可取得遠(yuǎn)期和期貨的多頭和空頭地位。 這些假設(shè)的含義是： 市場價(jià)格就是無套利機(jī)會(huì)時(shí)的價(jià)格。19金融系 阮堅(jiān)主要符號T： 遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時(shí)刻，單位為年。t： 當(dāng)前時(shí)刻，單位為年。T - t 代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的距離到期的剩余時(shí)間。S： 遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t 時(shí)的價(jià)格。ST： 遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間T 時(shí)的價(jià)格（在t 時(shí)刻此為未知變量）。K

10、： 遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)格。f： 遠(yuǎn)期合約多頭在t 時(shí)刻的價(jià)值，即t 時(shí)刻的遠(yuǎn)期價(jià)值。F： t 時(shí)刻的理論遠(yuǎn)期價(jià)格和理論期貨價(jià)格.r： T 時(shí)刻到期的以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的t 時(shí)刻的無風(fēng)險(xiǎn)利率（年利率）。20金融系 阮堅(jiān)思考題假設(shè)黃金現(xiàn)貨價(jià)格為1000美元，市場普遍認(rèn)為1年后黃金現(xiàn)貨價(jià)格會(huì)漲到2000美元，請問：1年期黃金期貨目前的價(jià)格應(yīng)為1000美元左右還是2000美元左右？現(xiàn)貨價(jià)格+持有成本21金融系 阮堅(jiān)什么是套利？套利是指利用一個(gè)或多個(gè)市場存在的各種價(jià)格差異，在不冒任何損失風(fēng)險(xiǎn)且無需投資者自有資金的情況下有可能賺取利潤的交易策略（或行為）。嚴(yán)格套利的三大特征：無風(fēng)險(xiǎn)/復(fù)制/零投資在套利無法獲取

11、無風(fēng)險(xiǎn)超額收益的狀態(tài)下，市場達(dá)到無套利均衡，此時(shí)得到的價(jià)格即為無套利價(jià)格。無套利分析法是衍生資產(chǎn)定價(jià)的基本思想和重要方法，也是金融學(xué)區(qū)別于經(jīng)濟(jì)學(xué)“供給需求分析”的一個(gè)重要特征。22金融系 阮堅(jiān)無套利定價(jià)原理(APT, Arbitrage pricing theory)無套利定價(jià)法的基本思路為：構(gòu)建兩種投資組合，讓其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可以進(jìn)行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風(fēng)險(xiǎn)收益。眾多套利者這樣做的結(jié)果，將使較高現(xiàn)值的投資組合價(jià)格下降，而較低現(xiàn)值的投資組合價(jià)格上升，直至套利機(jī)會(huì)消失，此時(shí)兩種組合的現(xiàn)值相等。這樣，我們就可根據(jù)

12、兩種組合現(xiàn)值相等的關(guān)系求出遠(yuǎn)期價(jià)格。套利的理論基礎(chǔ)在于經(jīng)濟(jì)學(xué)中所謂“一價(jià)定律”，即忽略交易費(fèi)用的差異，同一商品只能有一個(gè)價(jià)格。 23金融系 阮堅(jiān)類型典型代表1.無收益資產(chǎn)(1)貼現(xiàn)債券(2)不支付股利的股票2.支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)(1)付息債券(2)支付已知現(xiàn)金紅利的股票(3)貴金屬3.支付已知收益率資產(chǎn)(1)貨幣：收益率為無風(fēng)險(xiǎn)利率，利率遠(yuǎn)期或外匯遠(yuǎn)期(2)股票指數(shù)資產(chǎn)的分類24金融系 阮堅(jiān)無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值I無收益資產(chǎn)是指在遠(yuǎn)期到期前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如貼現(xiàn)債券。構(gòu)建組合： 組合A ： 一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金（無風(fēng)險(xiǎn)投資） 組合B ： 一單位標(biāo)的資產(chǎn)。25金融系 阮堅(jiān)2

13、6金融系 阮堅(jiān)無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值II遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)，因此現(xiàn)值必須相等。兩種理解：無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與交割價(jià)格現(xiàn)值的差額。一單位無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)多頭和 無風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債組成。27金融系 阮堅(jiān)現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理遠(yuǎn)期價(jià)格：F 就是使合約價(jià)值f 為零的交割價(jià)格K 。 無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理：對于無收益資產(chǎn)而言，遠(yuǎn)期價(jià)格等于其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的無風(fēng)險(xiǎn)終值。TtSer(T-t)S28金融系 阮堅(jiān)反證法運(yùn)用無套利原理對無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理的反證 29金融系 阮堅(jiān)案例3.1 I6 個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為4.17%

14、 。市場上正在交易一份標(biāo)的證券為一年期零息債、剩余期限為6 個(gè)月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價(jià)格為970 元，該債券的現(xiàn)價(jià)為960 元。請問對于該遠(yuǎn)期合約的多頭和空頭來說，遠(yuǎn)期價(jià)值分別是多少？30金融系 阮堅(jiān)案例3.1 II根據(jù)題意，有 S = 960; K = 970; r = 4.17%; T t = 0:5該遠(yuǎn)期合約多頭的遠(yuǎn)期價(jià)值f 為：該遠(yuǎn)期合約空頭的遠(yuǎn)期價(jià)值為 f = 10.02 元31金融系 阮堅(jiān)例：期限為3個(gè)月的股票遠(yuǎn)期合約的價(jià)格為39美元。3個(gè)月后到期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%，股票當(dāng)前價(jià)格為40美元，不付紅利。問：是否存在套利機(jī)會(huì)，如何套利？已知：判斷： 期貨價(jià)格被低估套利：0時(shí)刻T時(shí)刻

15、1.賣空現(xiàn)貨：402.按年利率r進(jìn)行期限為T投資：-403.購買遠(yuǎn)期合約：01.投資得本利和 ：40.502.交割遠(yuǎn)期合約，支付：-393.再用期貨交割中所得的證券沖抵原來的現(xiàn)貨空頭部位。合計(jì)：0合計(jì)：40.50-39=$1.5032遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)描述的是不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系。 案例3.3 33金融系 阮堅(jiān)已知現(xiàn)金收益的資產(chǎn)已知現(xiàn)金收益的資產(chǎn)在到期前會(huì)產(chǎn)生完全可預(yù)測的現(xiàn)金流的資產(chǎn)例子正現(xiàn)金收益的資產(chǎn)：附息債和支付已知現(xiàn)金紅利的股票負(fù)現(xiàn)金收益的資產(chǎn)：黃金、白銀（支付存儲(chǔ)成本）令已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值為I ，對黃金、白銀來說， I 為負(fù)值。34金融系 阮堅(jiān)支付已知現(xiàn)金收益資

16、產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值I構(gòu)建組合： 組合A ： 一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金。 組合B ： 一單位標(biāo)的證券加上利率為無風(fēng)險(xiǎn)利率、期限為從現(xiàn)在到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I 的負(fù)債。遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，兩組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)： 35金融系 阮堅(jiān)支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值II兩種理解：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價(jià)格現(xiàn)值之差。一單位支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)和 單位無風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債構(gòu)成。由于使用的是I 的現(xiàn)值，所以支付一次和多次現(xiàn)金收益的處理方法相同。36金融系 阮堅(jiān)支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨遠(yuǎn)期平價(jià)公式根據(jù)F 的定義

17、，可從上式求得：公式的理解：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格刪除已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的無風(fēng)險(xiǎn)終值。Tt(S-I)er(T-t)SII1I2由于使用的是 I 的現(xiàn)值，所以支付一次和多次現(xiàn)金收益的處理方法相同。37金融系 阮堅(jiān)案例3.5假設(shè)黃金現(xiàn)貨價(jià)為每盎司733 美元，其存儲(chǔ)成本為每年每盎司2 美元，一年后支付，美元一年期無風(fēng)險(xiǎn)利率為4% 。那么一年期黃金期貨的理論價(jià)格為其中， ，故38金融系 阮堅(jiān)支付已知收益率的資產(chǎn)支付已知收益率的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格成一定比率的收益的資產(chǎn)支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約外匯遠(yuǎn)期和期貨：外匯發(fā)行國的無風(fēng)險(xiǎn)利率股指期貨：市場平均紅利

18、率或零，取決于股指計(jì)算方式遠(yuǎn)期利率協(xié)議：本國的無風(fēng)險(xiǎn)利率39金融系 阮堅(jiān)支付已知收益率的資產(chǎn)I建立組合： 組合A ： 一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金； 組合B ： 單位證券并且所有收入都 再投資于該證券，其中q 為該資產(chǎn) 按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的已知收益率。兩種組合現(xiàn)值相等： 40金融系 阮堅(jiān)支付已知收益率的資產(chǎn)II兩種理解：支付已知紅利率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值等于 單位證券的現(xiàn)值與交割價(jià)現(xiàn)值之差。一單位支付已知紅利率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由 單位標(biāo)的資產(chǎn)和 單位無風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債構(gòu)成。41金融系 阮堅(jiān)支付已知收益率的資產(chǎn)III因此支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格為42金融系 阮堅(jiān)案例3.62007 年9

19、月20 日，美元3 個(gè)月期無風(fēng)險(xiǎn)年利率為3.77% ，S&P500 指數(shù)預(yù)期紅利收益率為1.66% 。當(dāng)S&P500 指數(shù)為1518.75 點(diǎn)時(shí)，2007 年12 月到期的S&P500 指數(shù)期貨SPZ7 相應(yīng)的理論價(jià)格應(yīng)為多少？由于S&P500 指數(shù)期貨總在到期月的第三個(gè)星期五到期，故此剩余期限為3 個(gè)月，SPZ7 理論價(jià)格應(yīng)為43金融系 阮堅(jiān)投資性資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)：小結(jié)價(jià)格為S，到期日為 T 的某個(gè)投資資產(chǎn)合約小結(jié)T 年期間的無風(fēng)險(xiǎn)利率為 r資產(chǎn)無收益有已知收益,現(xiàn)值為 I已知紅利收益率為 q遠(yuǎn)期/期貨價(jià)格交割價(jià)格為K的遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值44金融系 阮堅(jiān)3. 遠(yuǎn)期與期貨價(jià)格的一般結(jié)論（了解）45金融系 阮堅(jiān)計(jì)算遠(yuǎn)期價(jià)格，總是將標(biāo)的資產(chǎn)中遠(yuǎn)期多頭到期時(shí)無法獲得的確定性收益刪除，對標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的剩余部分以風(fēng)險(xiǎn)利率計(jì)算終值，得到理論的遠(yuǎn)期價(jià)格。46金融系 阮堅(jiān)持有成本I持有成本（Cost of Carry）= 保存成本+ 利息成本 標(biāo)的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)的收益47金融系 阮堅(jiān)持有成本II48金融系 阮堅(jiān)持有成本III遠(yuǎn)期和期貨定價(jià)中的持有成本（ c ）概念：49金融系 阮堅(jiān)非完美市場上的定價(jià)公式I存在交易成本：假定每一筆交易的費(fèi)率為Y ，那么不存在套利機(jī)會(huì)的遠(yuǎn)期價(jià)格就不再是確定的值，而是一個(gè)區(qū)間：50金融系 阮堅(jiān)非完美市場上的定價(jià)公式II借貸存在利差：