2022數(shù)學課程標準解讀及學習心得：數(shù)學視野下的整體教學

1、2022數(shù)學課程標準解讀及學習心得：數(shù)學視野下的整體教學檢索新課標的文本可以發(fā)現(xiàn)“整體”一詞出現(xiàn)達32次之多。所以，如果我們一起來思考和探討新課標的落地實施，整體教學是個繞不開的話題。黑格爾說：“人們經(jīng)常掛在嘴邊的名詞，往往是我們最無知的東西?！闭w性要成為一線教師日常課堂教學的常態(tài)，那僅僅靠掛在嘴邊是沒有用的，還必須基于課程標準著眼一線實踐，明晰整體教學的含義、路徑與方法。鑒于此，本文僅從數(shù)學史的視角就如何建構(gòu)整體認識給出膚淺解讀與建議。一、幾何發(fā)展史上的兩個經(jīng)典事件公元前300年左右, 古希臘數(shù)學家歐幾里得把前人在各種幾何實踐活動中積累的分散的、雜亂的、支離的素樸經(jīng)驗與直觀認識, 建筑在最

2、初的公設(shè)、公理的基礎(chǔ)上，然后運用邏輯的定義和推理方法依次導出后面的定義和定理，把龐大的零散的幾何知識用邏輯的鏈子整理和編織成為一個系統(tǒng)的概念和理論的完整體系幾何原本。這是用公理法建立起演繹的數(shù)學體系的最早典范，標志著數(shù)學作為一個學科的誕生，深刻影響到后世數(shù)學的發(fā)展。到十九世紀上半葉, 幾何研究對象的擴大、研究方法的多樣迎來了各種幾何學猶如雨后春筍般地涌現(xiàn)，研究成果多姿多彩，對整個數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了不可忽視的影響。但與此同時，幾何學被分割成了多個互不相干的分支，每個分支獨立向前發(fā)展著，尋找不同幾何學之間的內(nèi)在聯(lián)系，用統(tǒng)一的觀點去解釋它們，成為數(shù)學家們追求的一個目標。為此作出巨大貢獻的是德國數(shù)學家克

3、萊因、希爾伯特等人。克萊因應(yīng)用群論的觀點將幾何變換視為特定不變量約束下的變換群。而希爾比特為幾何奠定了真正的科學的公理化基礎(chǔ)。二、數(shù)學史視野下對整體教學的解讀幾何的發(fā)展史幾乎就是知識體系不斷整體化的建構(gòu)史。歷史的智慧，不僅僅提供了開展教育教學活動的課程資源，也是思辨分析教育教學活動的邏輯基點。1.知識整體化的兩條路徑歐幾里得、克萊因、希爾伯特對幾何學發(fā)展的貢獻，從歷史的視野給我們呈現(xiàn)了知識整體化的兩條路徑。其一，歐幾里得的方法，姑且可以稱之為縱向整體化的路徑，即用公認的事實、基本概念與基本方法與原理把不同的知識統(tǒng)合起來；其二，克萊因與希爾伯特的方法，可以稱之為橫向整體化的途徑，即創(chuàng)造出更為抽象

4、與一般的概念或原理把原先沒有關(guān)系的分支統(tǒng)一起來?？v向整體化的路徑是在教每一個課時內(nèi)容前，已經(jīng)清晰地把握了這個知識的來龍去脈，以及在整個體系中的地位價值。因此，教的是一個課時內(nèi)容，但能較好地照應(yīng)到整體，能自然嵌入到小學六年乃至整個義務(wù)教育階段的數(shù)學結(jié)構(gòu)中去這也正是課程標準所倡導的方式。新課標在“課程實施”部分談教學方式的時候提到，要“重視單元整體教學設(shè)計”“分析主題單元課時的數(shù)學知識和核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)”“整體設(shè)計，分步實施”。與此同時，實際教學中還有第二條路徑，也就是教的時候沒有意識到，但教完后忽然感悟到原先教的幾個知識間是可以勾聯(lián)起來的，即在某個復習階段把學過的知識結(jié)構(gòu)化，那就是上文提到的橫向

5、整體化的方式。應(yīng)該說，兩種路徑對整體化的學習都是必不可少的，相互支撐相互補充。我們既需要課時教學中的瞻前顧后，也需要一階段課時教學后的回顧統(tǒng)整。2.整體教學應(yīng)有的外在標志以幾何學發(fā)展史兩個經(jīng)典事件給予的啟示為基點，我們可以很明確地給出整體性教學的兩個重要標志，即教得不僅要有邏輯性，也要有統(tǒng)一性。所謂邏輯性，就是像歐幾里得那樣，在學習后面的知識時能夠用以前掌握的公認事實、基本概念或基本方法與原理給出有根有據(jù)的闡釋。例如，人類最早認識的計數(shù)單位是“個”，為了計量更多的物品，用滿十進一的方法以此得到了更大的計數(shù)單位十、百、千等。那在測量中遇到了不滿1個單位的時候怎么辦？既然可以以“個”為原點不斷地滿

6、十進一，那也可以以“個”為原點不斷地細分成10份、100份、1000份，從而得到新的更精細的計數(shù)單位，這就是小數(shù)部分的計數(shù)單位。也就是說，小數(shù)的意義，是前面已經(jīng)掌握的十進制計數(shù)知識的邏輯延伸。所謂統(tǒng)一性，就是像克萊因與希爾伯特那樣，在貌似不相干的知識間引導學生發(fā)現(xiàn)實質(zhì)性聯(lián)系，說清楚它們間的共同點是什么。例如在小數(shù)知識的學習中，會研究小數(shù)的性質(zhì)；在分數(shù)知識的學習中，會研究分數(shù)的基本性質(zhì)。小數(shù)的性質(zhì)和分數(shù)的基本性質(zhì)，看上去毫不相干，那如何統(tǒng)一起來？按整體性的要求去分析，數(shù)的大小比較還得用計數(shù)單位及其個數(shù)來解釋。在整數(shù)知識的學習中，兩個數(shù)相等，那得計數(shù)單位相同，計數(shù)單位的個數(shù)相等。用此邏輯推理下去，

7、可以發(fā)現(xiàn)小數(shù)和分數(shù)的大小相等，根本不符此原理。因為小數(shù)和分數(shù)的計數(shù)單位可以更為自如地變化。例如0.2，末尾添上0成0.20，計數(shù)單位從0.1變成了0.01，與此同時計數(shù)單位的個數(shù)從原先的2個單位變成了20個單位。兩者結(jié)合起來看，可以發(fā)現(xiàn)一個新的原理，即計數(shù)單位縮小了，可以通過計數(shù)單位個數(shù)的擴大來對消，這樣兩個數(shù)還是相等的。在分數(shù)里，同樣如此。為什么同一的原理，小數(shù)的性質(zhì)和分數(shù)的基本性質(zhì)表述得根本不一致呢？那是因為兩個數(shù)的計數(shù)方法不一樣造成的。通過上述例子的剖析，我們能夠體會到，整體性學習更費時間，但與此同時開展這樣的學習活動，需要綜合運用已有知識作更多的抽象與推理，而這兩者恰恰是數(shù)學核心素養(yǎng)最

8、關(guān)鍵的兩大能力。3.整體教學的實施單位古希臘崇尚思辨，不滿足于從實踐中得到結(jié)論，在歐幾里得前就有泰勒斯產(chǎn)生了命題證明的想法；十九世紀統(tǒng)一幾何學的巨匠不僅有克萊因，還有希爾伯特。這些歷史的細節(jié)，在一定意義上可以說明幾何學的公理化和統(tǒng)一是一種歷史的必然，不可確定的只是什么時候和具體是哪位數(shù)學家來完成這些工作。但也很顯然，這需要以宏大的歷史積淀為前提。在課程標準的范疇里，只有課程內(nèi)容的主題，在主題下再分解為一定數(shù)量的模塊，沒有單元的概念。一個主題的課程內(nèi)容，在編寫教科書的時候，需要根據(jù)學生的身心特點，按照螺旋上升的方式，分解后有序地安排在不同的教科書中呈現(xiàn)，這就是單元。因此，單元只是一部分有聯(lián)系的課

9、程內(nèi)容的整體，是教科書的組成單位，也是一線教師一段時間里開展教學活動的實施單位。以史為鏡，單元學習中可以形成一定的整體認識，但也很顯然，單元的容量太小了。例如學完整數(shù)加減計算的某個單元，就想建構(gòu)起對加減計算的整體認識，這顯然上遠遠不夠的。單元不足以支撐起一個模塊、一個主題下數(shù)學本質(zhì)的一致性，在更多的情況下，還需要將同一課程主題下不同年級里的多個單元內(nèi)容綜合起來考慮。所以，整體學習的容量起碼是一個主題下的某個模塊。我們不能因為單元是開展教學活動相對整體的實施單位（課時是更小的實施單位），就把整體教學稱為單元整體教學，這極大地誤導一線教師。也正因為如此，筆者更愿意提整體教學，而不是單元整體教學。三

10、、課時實施層面上整體教學的抓手依據(jù)新課標實施整體教學，對小學教師來說是極其富有挑戰(zhàn)性的事情。打個比方，就是要用六年的時間去完成一幅拼圖。按此比方推演下去，那實施好整體性教學要做好兩件事情，首先要獲得游戲賴以進行的完整原圖，也就是要把握住每個數(shù)學知識內(nèi)容它承載了數(shù)學核心素養(yǎng)的什么具體點位，同時整體把握住具有一致性層次性特點的數(shù)學課程內(nèi)容體系；其次要搞清楚每張局部在整張畫中的位置，也就是在課時實施的層面上能實施具有整體教學旨向的具體內(nèi)容教學。1.要敞亮所教內(nèi)容的本質(zhì)依筆者所見，敞亮所教內(nèi)容的本質(zhì)也就是要把握住所教內(nèi)容的抽象性和邏輯性，即一方面把其在數(shù)或形方面的特征概括出來，另一方面用基本概念、基本

11、原理或數(shù)學思想去解釋它。比如3，抽象性體現(xiàn)為3是對3個、3只、3箱、3條等在數(shù)量上的概括，邏輯性體現(xiàn)為計數(shù)單位去解釋數(shù)的意義，3的計數(shù)單位是個（一），有3個這樣的單位。把課程內(nèi)容的本質(zhì)性體現(xiàn)充分了，那一致性也就自然而然了。所謂一致性就是不同知識的學習，都用同樣的公認事實、基本概念、基本原理與方法去解釋。數(shù)的認識，無論是認識什么數(shù)，都用計數(shù)單位去解釋它；圖形的測量，無論是測量什么圖形，都用度量思想去解決。這樣所教知識雖然不同，但有著共同的數(shù)學本質(zhì)，整體性的學習就水到渠成了。2.要尋找整合知識的錨樁不同的知識能凝聚成整體認識，那一定是因為有能統(tǒng)攝其他知識的核心公認事實、基本概念或基本方法原理。在各

12、個主題里，核心是明確的。但在課時實施層面上，這又是不夠的，總有具體課時內(nèi)容靠不到整個主題終極錨樁上的時候，怎么辦？首先要抓牢最初概念。即使是局部的一兩個課時內(nèi)容，也要有整體的視野去組織好教學，把知識間的關(guān)系勾聯(lián)起來。這時候，要做的是抓牢最初的概念（即使是描述性的特征也可以），因為概念是思維的細胞，也是知識體系得以展開的基礎(chǔ)。例如線段作為數(shù)學中的研究對象，第一層次是認識它有兩個端點，是直的。第二層次還需要明確線段有長短之分、方向之別，還具有“兩點之間線段最短”的性質(zhì)。絕大多數(shù)老師在引導學生建構(gòu)線段這些認識的時候，相互間是脫節(jié)的。那作為整體教學，就需要建立起不同層次認識間的實質(zhì)性聯(lián)系。線段的一個端

13、點不動，另一個端點向外移動，就形成了更長的線段。類似的道理，一個端點不動，另一個端點移動到新的位置，那就形成了方向不同的線段?？梢?，是兩個端點這個特征決定了線段有長短與方向的不同。進一步，兩個端點間可以連接著不同的線（有直有曲），其中彎曲的線若是要變直，就得把其中的一個端點往外移動，而端點往外移動形成的線肯定是更長了。所以，因為“直”的特征決定了線段具有兩點之間最短的性質(zhì)?？磾?shù)學史，就會明白知識體系是建構(gòu)起來的。首先建構(gòu)的是數(shù)學對象本身，而一個數(shù)學對象的屬性與性質(zhì)，是先天地蘊含在定義或特征本身中的。什么樣的定義或特征，決定了其具有什么樣的屬性與性質(zhì)，這兩者間是自洽的，是一體的。整體教學要做的就

14、是敞亮數(shù)學這樣的本性，不是在定義或特征之外去學習其還有什么數(shù)學屬性與基本性質(zhì)，而本就應(yīng)該由定義或特征出發(fā)去思考其還有什么數(shù)學屬性與基本性質(zhì)。然后要緊扣基本問題。初等數(shù)學中的內(nèi)容，在歷史上大部分都是被逼創(chuàng)造出來的，所以一個分支或模塊的課程內(nèi)容，雖然因為教科書編寫螺旋式上升的緣故被安排在了不同的年級，但這些內(nèi)容間的基本問題是一致的。因此，可以在這個基本問題的一統(tǒng)下，體現(xiàn)出同一內(nèi)容的內(nèi)在一致。歷史上，人類創(chuàng)造分數(shù)是因為分東西與測量過程中不夠1了。學生第一次學習“分數(shù)的初步認識”，認識分數(shù)是一個具體數(shù)量，表示一個東西的幾分之幾，老師會特別強調(diào)不夠分一個東西了，就應(yīng)該用分數(shù)來表示。再次學習“分數(shù)的初步認

15、識”，認識分數(shù)還可以表示一個整體幾分之幾，表示兩個數(shù)量間的關(guān)系。對分數(shù)的認識在遞升，但兩者間的基本問題是一致的。但絕大多數(shù)老師在教學分數(shù)的第二次初步認識時，并不觀照這個基本問題，這時學生的認識是極其困惑的，因為第一次學習分數(shù)的意義，學生建構(gòu)了“一個東西不夠分了，要用分數(shù)來表示”，而現(xiàn)在6個桃明明可以平均分給兩個人，怎樣還用分數(shù)表示呢？這就需要教學時，實現(xiàn)從1到“1”的抽象，完成了倍與分數(shù)的勾連，促進分數(shù)表示具體數(shù)量到表示數(shù)量間關(guān)系的認識遞進。3.要重視認知結(jié)果的結(jié)構(gòu)化一致性的數(shù)學本質(zhì)認識，在不同時期的孩子學習中會表現(xiàn)出不同的特點與不同層次間的進階。兒童的數(shù)學學習呈現(xiàn)出單點推進、拾階而上的特點，

16、一段時間的學習后，兒童的認知結(jié)構(gòu)中會產(chǎn)生碎片式的認識。那實施整體教學，就要重視幫助學生建構(gòu)起結(jié)構(gòu)化的認識。首先要匯總成完整的認識。比如在數(shù)學中認識一個圖形，包括著三個方面：其一要分析組成圖形的幾何要素是什么，數(shù)量上有多少，彼此間有什么關(guān)系；其二依據(jù)某個幾何要素對該圖形能進行清晰的分類；其三能用幾何的形式語言來表征這個圖形。這三個方面需要多個課時學習才能完成，而且也需要在多次的“認識圖形”的學習中慢慢感受。所以，就應(yīng)該在恰當?shù)臅r候有意識地圍繞著“數(shù)學中是如何研究一個圖形的”去總結(jié)，以形成完整的認識。那學生以后再認識一個新圖形，就會結(jié)構(gòu)化地去研究分析圖形的特征了。然后要梳理成有機的整體。因為是兒童學習，所以核心素養(yǎng)的發(fā)展體現(xiàn)出了階段性，還體現(xiàn)出了多樣性即一致性的本質(zhì)認識會在不同層次的具體課程內(nèi)容的學習中表現(xiàn)出完全不同的特點或程序，這就給形成整體認識帶來了極大的調(diào)整。有機的意思是“部分