數(shù)學(xué)的味道-無(wú)窮

1、數(shù)學(xué)的味道無(wú)窮吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院李輝來(lái)2007年5月11.數(shù)數(shù)2.點(diǎn)數(shù)與長(zhǎng)度3.完美與缺陷4.分?jǐn)?shù)維5.Peano曲線6.科克曲線21 數(shù)數(shù)數(shù)列就是“數(shù)數(shù)”。首先來(lái)看兩個(gè)數(shù)列: 1，2，3，n, 2，4，6， ，2n， 正偶數(shù)與自然數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多！怪3 因?yàn)榈谝粋€(gè)數(shù)列的項(xiàng)有重復(fù)，所以第一個(gè)數(shù)列（正有理數(shù)）的“個(gè)數(shù)”不會(huì)比自然數(shù)的“個(gè)數(shù)”多。另一方面，自然數(shù)顯然是正有理數(shù)的一部分，所以自然數(shù)的“個(gè)數(shù)”也不會(huì)比正有理數(shù)的“個(gè)數(shù)”多，因此，我們得到一個(gè)結(jié)論：正有理數(shù)與自然數(shù)的“個(gè)數(shù)”一樣多！怪42 點(diǎn)數(shù)與長(zhǎng)度例1 線段的點(diǎn)一樣多5演示表明:兩條線段長(zhǎng)度不等,但是點(diǎn)數(shù)相等.怪6例2 封閉曲線的點(diǎn)一樣多演

2、示表明:兩個(gè)圓(甚至是封閉曲線)長(zhǎng)度不等,但是點(diǎn)數(shù)相等.怪7例3 圓周比直線多一點(diǎn)演示表明:圓周恰好比直線”多”一個(gè)點(diǎn).而圓周是有限長(zhǎng),直線是無(wú)限長(zhǎng)!怪8我們可以得到體會(huì)： 點(diǎn)數(shù)與長(zhǎng)度沒(méi)有必然的關(guān)系9問(wèn)題:為什么事實(shí)與感覺(jué)不一樣?這種事實(shí)說(shuō)明過(guò)去的知識(shí)是否有什么缺陷,才使得我們產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)?為什么無(wú)窮多會(huì)出現(xiàn)如此令人驚訝的現(xiàn)象?有理數(shù)能夠”數(shù)”,那么無(wú)理數(shù)能否”數(shù)”?實(shí)數(shù)能否”數(shù)”呢?10我們來(lái)看看歷史的發(fā)展過(guò)程.伽里略(1564-1642)曾用意大利文寫了兩部著作:關(guān)于托密勒和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話(1632)（天文學(xué)），關(guān)于兩種新科學(xué)的對(duì)話(1638)（物理學(xué)）兩部著作都采用了文藝復(fù)興時(shí)期的

3、紳士對(duì)話的形式。薩爾維阿蒂見(jiàn)識(shí)多廣的科學(xué)家辛普利邱正統(tǒng)的亞里士多德學(xué)派人物11辛普利邱：“現(xiàn)在有一個(gè)我解決不了的難題。很清楚，由于我們可以有一條比另一條線段更長(zhǎng)的線段，其中每一條都包含著無(wú)窮數(shù)目的點(diǎn)，所以我們就不得不承認(rèn)，對(duì)一條線段和線段內(nèi)的所有點(diǎn)來(lái)說(shuō)，我們有比無(wú)限多還要大的東西，因?yàn)殚L(zhǎng)線段上的無(wú)限的點(diǎn)比短線段上的無(wú)限的點(diǎn)要多。這種賦予一個(gè)無(wú)限的數(shù)量以大于無(wú)限的值的做法使我無(wú)法理解?！彼_爾維阿蒂：“這是當(dāng)我們企圖以有限的智力討論無(wú)限，并賦予它我們給有限的東西同樣的性質(zhì)時(shí)所出現(xiàn)的困難。但是我認(rèn)為這樣做是錯(cuò)誤的，因?yàn)槲覀儗?duì)一個(gè)無(wú)限的量不能說(shuō)它大于、小于或等于另一個(gè)無(wú)限的量。要證明這一點(diǎn)，我進(jìn)行了1

4、2推理，為了清楚起見(jiàn)，我將以向提出這種困難的辛普利邱提問(wèn)的形式敘述這個(gè)問(wèn)題。我認(rèn)為你當(dāng)然知道哪些數(shù)是平方數(shù)，而哪些數(shù)不是?！毙疗绽瘢骸拔耶?dāng)然知道一個(gè)平方數(shù)是由某一個(gè)數(shù)自乘后得到的：4，9是平方數(shù)，它們分別由2，3自乘得到?！彼_爾維阿蒂：“很好，而你也知道乘積叫做平方數(shù)，而因子叫做根；另一方面，由兩個(gè)不同的因子組成的數(shù)學(xué)不是平方數(shù)。因此，我說(shuō)包括平方數(shù)和非平方數(shù)在內(nèi)的所有數(shù)比單獨(dú)的平方數(shù)多，對(duì)不對(duì)？”辛普利邱：“當(dāng)然是這樣?！?3薩爾維阿蒂證明了自然數(shù)和它的平方數(shù)一樣多，但是他又說(shuō)有一個(gè)問(wèn)題解決不了：找不出0，1區(qū)間的點(diǎn)與全體自然數(shù)的一一對(duì)應(yīng)。 從以上談話可以看出： 在康托爾（Cantor,1

5、845-1918）的集合論之前創(chuàng)立之前, 伽里略已經(jīng)對(duì)無(wú)限有了很好的理解。辛普利邱不能理解出現(xiàn)了比無(wú)窮大還大的量的現(xiàn)象。例如：區(qū)間0，2包含了0，1，0，2中應(yīng)該比0，1的點(diǎn)多。由此可見(jiàn)，在16世紀(jì)，人們就已經(jīng)注意到了無(wú)限與有限的區(qū)別。 上述問(wèn)題由康托爾建立的集合論加以解決。14問(wèn)題:為什么事實(shí)與感覺(jué)不一樣?這種事實(shí)說(shuō)明過(guò)去的知識(shí)是否有什么缺陷,才使得我們產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)?為什么無(wú)窮多會(huì)出現(xiàn)如此令人驚訝的現(xiàn)象?有理數(shù)能夠”數(shù)”,那么無(wú)理數(shù)能否”數(shù)”?實(shí)數(shù)能否”數(shù)”呢?15上述問(wèn)題由康托爾建立的集合論加以解決，大家在“實(shí)變函數(shù)”中可以學(xué)習(xí)這些內(nèi)容。16這個(gè)運(yùn)動(dòng)表明：當(dāng)x沿直線趨于正無(wú)窮大時(shí)，圓周上對(duì)應(yīng)的

6、點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜈呌陧旤c(diǎn)這個(gè)運(yùn)動(dòng)表明：當(dāng)x沿直線趨于正無(wú)窮大時(shí)，圓周上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蜈呌陧旤c(diǎn)演示表明：在直線上無(wú)論x是趨于 ，還是趨于 ，反映在圓周上顯示的是，點(diǎn)沿著圓周分別按逆時(shí)針和順時(shí)針都趨于一個(gè)共同的點(diǎn)頂點(diǎn)！3 完美與缺陷17結(jié)論18應(yīng)用？19應(yīng)用 既然圓周比直線“多”一點(diǎn)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)于直線的兩端（），因此在直線上來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題，我們希望有一個(gè)解決的辦法。 實(shí)際上，如果在直線上設(shè)立一個(gè)“原點(diǎn)”，那么其左右兩端也是對(duì)稱的。因此我們把直線于原點(diǎn)處折疊過(guò)來(lái)，就可以建立正負(fù)數(shù)之間的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，解決了這個(gè)問(wèn)題。請(qǐng)看演示20 x因此，我們得到無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限的關(guān)系如右：應(yīng)用21演示表明:圓周

7、恰好比直線”多”一個(gè)點(diǎn).那么將它們旋轉(zhuǎn)，可以得到球面與平面的類似關(guān)系22因此，球面比平面“多”一點(diǎn)。球面：封閉、有限面積、多個(gè)；無(wú)邊界平面：開(kāi)放、無(wú)限面積、一個(gè)；無(wú)邊界球面包含了平面試問(wèn)：1、直線在球面上是什么樣？2、三角形在球面上是什么樣？3、如果人生活在平面而不是球面上，會(huì)怎樣呢？231、直線在球面上是過(guò)頂點(diǎn)的圓.結(jié)論:從球面上看,平面上所有直線都相交.242、平面三角形是曲邊三角形，內(nèi)角和大于180o.25結(jié)論:從球面上看,平面上所有直線都相交, 三角形內(nèi)角和可能大于或小于180o .從而產(chǎn)生了非歐幾里德幾何.即非歐幾何. 非歐幾何的代表:羅巴切夫斯基幾何 黎曼非歐幾何(雙曲幾何,即三角

8、形內(nèi)角和180o).還有橢圓幾何、拋物幾何、混合型幾何和有限幾何（只含有限多個(gè)點(diǎn)、線、面）。幾何劃時(shí)代的總結(jié)是1872年由克萊因和挪威數(shù)學(xué)家李以群論的交換群來(lái)刻畫，并把拓?fù)鋵W(xué)作為一門重要的集合學(xué)科。26幾何與物理空間人們注意并開(kāi)始接受非歐幾何是在Gauss生前完成（1854），死后發(fā)表的論文（1855）之后。許多數(shù)學(xué)家相信非歐幾何也可以是物理空間中的幾何。事實(shí)上，單是有別的幾何存在就已經(jīng)令人吃驚，但令人震驚的是你不在知道哪個(gè)是正確的，或者究竟有沒(méi)有正確的。 所有這些奇怪的幾何都可和歐氏幾何媲美甚至可以取而代之！ 27沒(méi)有非歐幾何就沒(méi)有相對(duì)論！愛(ài)恩斯坦的廣義相對(duì)論必須用一種黎曼的非歐幾何來(lái)描述這

9、樣的物理空間。1947年由對(duì)視空間（從正常的有雙目視覺(jué)的人心理上觀察的空間）所做的研究表明這樣的空間最好用羅巴切夫斯基幾何來(lái)描述 實(shí)際上，歐氏幾何和非歐幾何在“細(xì)小范圍”內(nèi)誤差很小，在“浩大范圍”（天文學(xué)）內(nèi)差別就明顯了。 283、如果人生活在平面而不是球面上，會(huì)怎樣呢？見(jiàn)著了,哈他倆可完了,這輩子可再也見(jiàn)不著了!29因此,有些事情就會(huì)失效了:條條大路通羅馬殊途同歸走錯(cuò)了方向就可能回不來(lái)了有情人不一定成眷屬.因?yàn)榭赡芤?jiàn)不著,可能約會(huì)實(shí)現(xiàn)不了,可能走錯(cuò)了路,可能走錯(cuò)了方向,可能30所以,(平面)就差這么”一點(diǎn)”,你就可能犯不可挽救的錯(cuò)誤.(球面)就有這么”一點(diǎn)”,就顯得如此完美!人類應(yīng)該慶幸自己

10、生活在”地球”上!生活在一個(gè)完美的”二維空間中”.愛(ài)恩斯坦相信空間是完美,因此空間是一個(gè)”球”!站在平面看球,一切都是”彎曲”的,那么站在球上看平面,一切也是”彎曲”的.31所以,(平面)就差這么”一點(diǎn)”,你就可能犯不可挽救的錯(cuò)誤.(球面)就有這么”一點(diǎn)”,就顯得如此完美!人類應(yīng)該慶幸自己生活在”地球”上!生活在一個(gè)完美的”二維空間中”.愛(ài)恩斯坦相信空間是完美,因此空間是一個(gè)”球”!站在平面看球,一切都是”彎曲”的,那么站在球上看平面,一切也是”彎曲”的.32無(wú)窮集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)分析線性代數(shù)解析幾何概率統(tǒng)計(jì)連續(xù)量離散量空間結(jié)構(gòu)空間不變量隨機(jī)量泛函分析拓?fù)鋵W(xué)無(wú)窮維空間的結(jié)構(gòu)與形式空間形式現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)