數(shù)學(xué)的味道-無窮

1、數(shù)學(xué)的味道無窮吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院李輝來2007年5月11.數(shù)數(shù)2.點數(shù)與長度3.完美與缺陷4.分?jǐn)?shù)維5.Peano曲線6.科克曲線21 數(shù)數(shù)數(shù)列就是“數(shù)數(shù)”。首先來看兩個數(shù)列: 1，2，3，n, 2，4，6， ，2n， 正偶數(shù)與自然數(shù)的個數(shù)一樣多！怪3 因為第一個數(shù)列的項有重復(fù)，所以第一個數(shù)列（正有理數(shù)）的“個數(shù)”不會比自然數(shù)的“個數(shù)”多。另一方面，自然數(shù)顯然是正有理數(shù)的一部分，所以自然數(shù)的“個數(shù)”也不會比正有理數(shù)的“個數(shù)”多，因此，我們得到一個結(jié)論：正有理數(shù)與自然數(shù)的“個數(shù)”一樣多！怪42 點數(shù)與長度例1 線段的點一樣多5演示表明:兩條線段長度不等,但是點數(shù)相等.怪6例2 封閉曲線的點一樣多演

2、示表明:兩個圓(甚至是封閉曲線)長度不等,但是點數(shù)相等.怪7例3 圓周比直線多一點演示表明:圓周恰好比直線”多”一個點.而圓周是有限長,直線是無限長!怪8我們可以得到體會： 點數(shù)與長度沒有必然的關(guān)系9問題:為什么事實與感覺不一樣?這種事實說明過去的知識是否有什么缺陷,才使得我們產(chǎn)生錯覺?為什么無窮多會出現(xiàn)如此令人驚訝的現(xiàn)象?有理數(shù)能夠”數(shù)”,那么無理數(shù)能否”數(shù)”?實數(shù)能否”數(shù)”呢?10我們來看看歷史的發(fā)展過程.伽里略(1564-1642)曾用意大利文寫了兩部著作:關(guān)于托密勒和哥白尼兩大世界體系的對話(1632)（天文學(xué)），關(guān)于兩種新科學(xué)的對話(1638)（物理學(xué)）兩部著作都采用了文藝復(fù)興時期的

3、紳士對話的形式。薩爾維阿蒂見識多廣的科學(xué)家辛普利邱正統(tǒng)的亞里士多德學(xué)派人物11辛普利邱：“現(xiàn)在有一個我解決不了的難題。很清楚，由于我們可以有一條比另一條線段更長的線段，其中每一條都包含著無窮數(shù)目的點，所以我們就不得不承認(rèn)，對一條線段和線段內(nèi)的所有點來說，我們有比無限多還要大的東西，因為長線段上的無限的點比短線段上的無限的點要多。這種賦予一個無限的數(shù)量以大于無限的值的做法使我無法理解?！彼_爾維阿蒂：“這是當(dāng)我們企圖以有限的智力討論無限，并賦予它我們給有限的東西同樣的性質(zhì)時所出現(xiàn)的困難。但是我認(rèn)為這樣做是錯誤的，因為我們對一個無限的量不能說它大于、小于或等于另一個無限的量。要證明這一點，我進(jìn)行了1

4、2推理，為了清楚起見，我將以向提出這種困難的辛普利邱提問的形式敘述這個問題。我認(rèn)為你當(dāng)然知道哪些數(shù)是平方數(shù)，而哪些數(shù)不是。”辛普利邱：“我當(dāng)然知道一個平方數(shù)是由某一個數(shù)自乘后得到的：4，9是平方數(shù)，它們分別由2，3自乘得到?！彼_爾維阿蒂：“很好，而你也知道乘積叫做平方數(shù)，而因子叫做根；另一方面，由兩個不同的因子組成的數(shù)學(xué)不是平方數(shù)。因此，我說包括平方數(shù)和非平方數(shù)在內(nèi)的所有數(shù)比單獨(dú)的平方數(shù)多，對不對？”辛普利邱：“當(dāng)然是這樣?！?3薩爾維阿蒂證明了自然數(shù)和它的平方數(shù)一樣多，但是他又說有一個問題解決不了：找不出0，1區(qū)間的點與全體自然數(shù)的一一對應(yīng)。 從以上談話可以看出： 在康托爾（Cantor,1

5、845-1918）的集合論之前創(chuàng)立之前, 伽里略已經(jīng)對無限有了很好的理解。辛普利邱不能理解出現(xiàn)了比無窮大還大的量的現(xiàn)象。例如：區(qū)間0，2包含了0，1，0，2中應(yīng)該比0，1的點多。由此可見，在16世紀(jì)，人們就已經(jīng)注意到了無限與有限的區(qū)別。 上述問題由康托爾建立的集合論加以解決。14問題:為什么事實與感覺不一樣?這種事實說明過去的知識是否有什么缺陷,才使得我們產(chǎn)生錯覺?為什么無窮多會出現(xiàn)如此令人驚訝的現(xiàn)象?有理數(shù)能夠”數(shù)”,那么無理數(shù)能否”數(shù)”?實數(shù)能否”數(shù)”呢?15上述問題由康托爾建立的集合論加以解決，大家在“實變函數(shù)”中可以學(xué)習(xí)這些內(nèi)容。16這個運(yùn)動表明：當(dāng)x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應(yīng)的

6、點按逆時針方向趨于頂點這個運(yùn)動表明：當(dāng)x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應(yīng)的點按順時針方向趨于頂點演示表明：在直線上無論x是趨于 ，還是趨于 ，反映在圓周上顯示的是，點沿著圓周分別按逆時針和順時針都趨于一個共同的點頂點！3 完美與缺陷17結(jié)論18應(yīng)用？19應(yīng)用 既然圓周比直線“多”一點頂點，頂點對應(yīng)于直線的兩端（），因此在直線上來看待這個問題，我們希望有一個解決的辦法。 實際上，如果在直線上設(shè)立一個“原點”，那么其左右兩端也是對稱的。因此我們把直線于原點處折疊過來，就可以建立正負(fù)數(shù)之間的一個一一對應(yīng)，解決了這個問題。請看演示20 x因此，我們得到無窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限的關(guān)系如右：應(yīng)用21演示表明:圓周

7、恰好比直線”多”一個點.那么將它們旋轉(zhuǎn)，可以得到球面與平面的類似關(guān)系22因此，球面比平面“多”一點。球面：封閉、有限面積、多個；無邊界平面：開放、無限面積、一個；無邊界球面包含了平面試問：1、直線在球面上是什么樣？2、三角形在球面上是什么樣？3、如果人生活在平面而不是球面上，會怎樣呢？231、直線在球面上是過頂點的圓.結(jié)論:從球面上看,平面上所有直線都相交.242、平面三角形是曲邊三角形，內(nèi)角和大于180o.25結(jié)論:從球面上看,平面上所有直線都相交, 三角形內(nèi)角和可能大于或小于180o .從而產(chǎn)生了非歐幾里德幾何.即非歐幾何. 非歐幾何的代表:羅巴切夫斯基幾何 黎曼非歐幾何(雙曲幾何,即三角

8、形內(nèi)角和180o).還有橢圓幾何、拋物幾何、混合型幾何和有限幾何（只含有限多個點、線、面）。幾何劃時代的總結(jié)是1872年由克萊因和挪威數(shù)學(xué)家李以群論的交換群來刻畫，并把拓?fù)鋵W(xué)作為一門重要的集合學(xué)科。26幾何與物理空間人們注意并開始接受非歐幾何是在Gauss生前完成（1854），死后發(fā)表的論文（1855）之后。許多數(shù)學(xué)家相信非歐幾何也可以是物理空間中的幾何。事實上，單是有別的幾何存在就已經(jīng)令人吃驚，但令人震驚的是你不在知道哪個是正確的，或者究竟有沒有正確的。 所有這些奇怪的幾何都可和歐氏幾何媲美甚至可以取而代之！ 27沒有非歐幾何就沒有相對論！愛恩斯坦的廣義相對論必須用一種黎曼的非歐幾何來描述這

9、樣的物理空間。1947年由對視空間（從正常的有雙目視覺的人心理上觀察的空間）所做的研究表明這樣的空間最好用羅巴切夫斯基幾何來描述 實際上，歐氏幾何和非歐幾何在“細(xì)小范圍”內(nèi)誤差很小，在“浩大范圍”（天文學(xué)）內(nèi)差別就明顯了。 283、如果人生活在平面而不是球面上，會怎樣呢？見著了,哈他倆可完了,這輩子可再也見不著了!29因此,有些事情就會失效了:條條大路通羅馬殊途同歸走錯了方向就可能回不來了有情人不一定成眷屬.因為可能見不著,可能約會實現(xiàn)不了,可能走錯了路,可能走錯了方向,可能30所以,(平面)就差這么”一點”,你就可能犯不可挽救的錯誤.(球面)就有這么”一點”,就顯得如此完美!人類應(yīng)該慶幸自己

10、生活在”地球”上!生活在一個完美的”二維空間中”.愛恩斯坦相信空間是完美,因此空間是一個”球”!站在平面看球,一切都是”彎曲”的,那么站在球上看平面,一切也是”彎曲”的.31所以,(平面)就差這么”一點”,你就可能犯不可挽救的錯誤.(球面)就有這么”一點”,就顯得如此完美!人類應(yīng)該慶幸自己生活在”地球”上!生活在一個完美的”二維空間中”.愛恩斯坦相信空間是完美,因此空間是一個”球”!站在平面看球,一切都是”彎曲”的,那么站在球上看平面,一切也是”彎曲”的.32無窮集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)分析線性代數(shù)解析幾何概率統(tǒng)計連續(xù)量離散量空間結(jié)構(gòu)空間不變量隨機(jī)量泛函分析拓?fù)鋵W(xué)無窮維空間的結(jié)構(gòu)與形式空間形式現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)