必學四平面向量基本定理(附答案)

1、平面向量基本定理學習目標1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.3.會應用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題知識點一平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底思考如圖所示，e1，e2是兩個不共線的向量，試用e1，e2表示向量eq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6()，eq o(EF,sup6()，eq o(GH,sup6(

2、)，eq o(HG,sup6()，a.答案通過觀察，可得：eq o(AB,sup6()2e13e2，eq o(CD,sup6()e14e2，eq o(EF,sup6()4e14e2，eq o(GH,sup6()2e15e2，eq o(HG,sup6()2e15e2，a2e1.知識點二兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個非零向量a和b，如圖，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則AOB (0180)，叫做向量a與b的夾角范圍：向量a與b的夾角的范圍是0，180當0時，a與b同向當180時，a與b反向(2)垂直：如果a與b的夾角是90，則稱a與b垂直，記作ab.思考

3、在等邊三角形ABC中，試寫出下面向量的夾角eq o(AB,sup6()、eq o(AC,sup6()；eq o(AB,sup6()、eq o(CA,sup6()；eq o(BA,sup6()、eq o(CA,sup6()；eq o(AB,sup6()、eq o(BA,sup6().答案eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()的夾角為60；eq o(AB,sup6()與eq o(CA,sup6()的夾角為120；eq o(BA,sup6()與eq o(CA,sup6()的夾角為60；eq o(AB,sup6()與eq o(BA,sup6()的夾角為180.題型一對向量的基底認識

4、例1如果e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是_e1e2(、R)可以表示平面內(nèi)的所有向量；對于平面內(nèi)任一向量a，使ae1e2的實數(shù)對(，)有無窮多個；若向量1e11e2與2e12e2共線，則有且只有一個實數(shù)，使得1e11e2(2e12e2)；若存在實數(shù)，使得e1e20，則0.答案解析由平面向量基本定理可知，是正確的對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是惟一的對于，當兩向量的系數(shù)均為零，即12120時，這樣的有無數(shù)個跟蹤訓練1設(shè)e1、e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：e1與e1e2；e12e2與e22e1；e12e

5、2與4e22e1；e1e2與e1e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是_(寫出所有滿足條件的序號)答案解析對于4e22e12e14e22(e12e2)，e12e2與4e22e1共線，不能作為基底題型二用基底表示向量例2如圖所示，已知ABCD中，E、F分別是BC、DC邊上的中點，若eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，試以a、b為基底表示eq o(DE,sup6()、eq o(BF,sup6().解四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC、DC邊上的中點，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()2eq o(BE,sup6()，eq o(BA

6、,sup6()eq o(CD,sup6()2eq o(CF,sup6()，eq o(BE,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)b，eq o(CF,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)a.eq o(DE,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()baeq f(1,2)baeq f(1,2)b，eq o(BF,sup6()eq o(BC,

7、sup6()eq o(CF,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(CF,sup6()beq f(1,2)a.跟蹤訓練2如圖，已知ABC中，D為BC的中點，E，F(xiàn)為BC的三等分點，若eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，用a、b表示eq o(AD,sup6()、eq o(AE,sup6()、eq o(AF,sup6().解eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()aeq f(1,2)(ba)eq f(1,2)aeq f(1,2)b；eq o(A

8、E,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()aeq f(1,3)(ba)eq f(2,3)aeq f(1,3)b；eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BF,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()aeq f(2,3)(ba)eq f(1,3)aeq f(2,3)b.題型三向量夾角問題例3已知|a|b|2，且a與b的夾角為60，設(shè)ab與a的夾角為，ab與a的夾角是，求.解如圖，作eq o(OA,sup6()a，eq o(

9、OB,sup6()b，且AOB60，以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB，則eq o(OC,sup6()ab，eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()eq o(OA,sup6()a.因為|a|b|2，所以O(shè)AB為正三角形，所以O(shè)AB60ABC，即ab與a的夾角60.因為|a|b|，所以平行四邊形OACB為菱形，所以O(shè)CAB，所以COA906030，即ab與a的夾角30，所以90.跟蹤訓練3若a0，b0，且|a|b|ab|，求a與ab的夾角解由向量運算的幾何意義知ab，ab是以a、b為鄰邊的平行四邊形兩條對角線如圖，|a|b|

10、ab|，BOA60.又eq o(OC,sup6()ab，且在菱形OACB中，對角線OC平分BOA，a與ab的夾角是30.題型四平面向量基本定理的應用例4如圖所示，在OAB中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，點M是AB上靠近B的一個三等分點，點N是OA上靠近A的一個四等分點若OM與BN相交于點P，求eq o(OP,sup6().解eq o(OM,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AM,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(2,3)(eq o(OB,sup6()eq

11、 o(OA,sup6()eq f(1,3)aeq f(2,3)b，因為eq o(OP,sup6()與eq o(OM,sup6()共線，故可設(shè)eq o(OP,sup6()teq o(OM,sup6()eq f(t,3)aeq f(2t,3)b.又eq o(NP,sup6()與eq o(NB,sup6()共線，可設(shè)eq o(NP,sup6()seq o(NB,sup6()，eq o(OP,sup6()eq o(ON,sup6()seq o(NB,sup6()eq f(3,4)eq o(OA,sup6()s(eq o(OB,sup6()eq o(ON,sup6()eq f(3,4)(1s)asb，所

12、以eq blcrc (avs4alco1(f(3,4)1sf(t,3)，,sf(2,3)t，)解得eq blcrc (avs4alco1(tf(9,10)，,sf(3,5).)所以eq o(OP,sup6()eq f(3,10)aeq f(3,5)b.跟蹤訓練4如圖所示，在ABC中，點M是AB的中點，且eq o(AN,sup6()eq f(1,2)eq o(NC,sup6()，BN與CM相交于E，設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，試用基底a，b表示向量eq o(AE,sup6().解易得eq o(AN,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()e

13、q f(1,3)b，eq o(AM,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)a，由N，E，B三點共線，設(shè)存在實數(shù)m，滿足eq o(AE,sup6()meq o(AN,sup6()(1m)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)mb(1m)a.由C，E，M三點共線，設(shè)存在實數(shù)n滿足：eq o(AE,sup6()neq o(AM,sup6()(1n)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)na(1n)b.所以eq f(1,3)mb(1m)aeq f(1,2)na(1n)b，由于a，b為基底，所以eq blcrc (avs4alco1(1mf(1,2)

14、n，,f(1,3)m1n，)解得eq blcrc (avs4alco1(mf(3,5)，,nf(4,5)，)所以eq o(AE,sup6()eq f(2,5)aeq f(1,5)b.向量夾角概念不清致誤例5已知eq o(OA,sup6()2a，eq o(OB,sup6()2b，eq o(OC,sup6()a3b，求向量eq o(BA,sup6()與eq o(BC,sup6()的夾角錯解由已知得，eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()2a2b，eq o(BC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()(a3b)2bab，顯然

15、eq o(BA,sup6()2eq o(BC,sup6()，可見eq o(BA,sup6()與eq o(BC,sup6()共線，故eq o(BA,sup6()與eq o(BC,sup6()的夾角為0.錯因分析兩個向量共線分為同向共線與反向共線兩種情況，當兩個向量同向共線時，其夾角為0，當兩個向量反向共線時，其夾角為180.上面的解答沒有注意到這個問題，導致出錯正解由已知得，eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()2a2b，eq o(BC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()(a3b)2bab.顯然eq o(BA,sup

16、6()2eq o(BC,sup6()，可見eq o(BA,sup6()與eq o(BC,sup6()共線，且是反向共線，故eq o(BA,sup6()與eq o(BC,sup6()的夾角為180.1設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()Ae1e2和e1e2 B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2 De1和e1e22如圖，已知eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(BD,sup6()3eq o(DC,sup6()，用a，b表示eq o(AD,sup6()，則eq o(AD,sup6()等于()Aaeq f(3

17、,4)b B.eq f(1,4)aeq f(3,4)bC.eq f(1,4)aeq f(1,4)b D.eq f(3,4)aeq f(1,4)b3在直角三角形ABC中，BAC30，則eq o(AC,sup6()與eq o(BA,sup6()的夾角等于()A30 B60C120 D1504設(shè)向量m2a3b，n4a2b，p3a2b，試用m，n表示p，p_.5如圖所示，已知梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E、F分別是DC、AB的中點，設(shè)eq o(AD,sup6()a，eq o(AB,sup6()b，試用a、b為基底表示eq o(DC,sup6()、eq o(BC,sup6()、eq o(EF

18、,sup6().一、選擇題1下列關(guān)于基底的說法正確的是()平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；基底中的向量可以是零向量；平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的A B C D2如圖所示，矩形ABCD中，eq o(BC,sup6()5e1，eq o(DC,sup6()3e2，則eq o(OC,sup6()等于()A.eq f(1,2)(5e13e2) B.eq f(1,2)(5e13e2)C.eq f(1,2)(3e25e1) D.eq f(1,2)(5e23e1)3如圖，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點，EF與AC交于點G，若eq o(A

19、B,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，用a、b表示eq o(AG,sup6()等于()A.eq f(1,4)aeq f(1,4)b B.eq f(1,3)aeq f(1,3)bC.eq f(3,4)aeq f(1,4)b D.eq f(3,4)aeq f(3,4)b4設(shè)向量e1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，則實數(shù)y的值為()A3 B4 Ceq f(1,4) Deq f(3,4)5若D點在三角形ABC的邊BC上，且eq o(CD,sup6()4eq o(DB,sup6()req o(AB,sup6()seq o(AC,sup6

20、()，則3rs的值為()A.eq f(16,5) B.eq f(12,5) C.eq f(8,5) D.eq f(4,5)二、填空題6已知e1、e2不共線，ae12e2，b2e1e2，要使a、b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實數(shù)的取值范圍為_7如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設(shè)eq o(AD,sup6()a，eq o(AB,sup6()b，若eq o(AB,sup6()2eq o(DC,sup6()，則eq o(AO,sup6()_(用a和b表示)8若|a|b|ab|r(r0)，則a與b的夾角為_9如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若eq o(AC,su

21、p6()eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()，其中、R，則_.10設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADeq f(1,2)AB，BEeq f(2,3)BC，若eq o(DE,sup6()1eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()(1，2為實數(shù))，則12的值為_三、解答題11判斷下列命題的正誤，并說明理由：(1)若ae1be2ce1de2(a、b、c、dR)，則ac，bd；(2)若e1和e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么該平面內(nèi)的任一向量可以用e1e2、e1e2表示出來12如圖，平面內(nèi)有三個向量eq o(OA,sup6()、eq o(OB,su

22、p6()、eq o(OC,sup6()，其中eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()的夾角為120，eq o(OA,sup6()與eq o(OC,sup6()的夾角為30，且|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|1，|eq o(OC,sup6()|2eq r(3).若eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(、R)，求的值13已知單位圓O上的兩點A、B及單位圓所在平面上的一點P，eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()不共線(1)在OAB中，點P在AB上，且eq o(AP,sup6()2eq

23、 o(PB,sup6()，若eq o(AP,sup6()req o(OB,sup6()seq o(OA,sup6()，求rs的值；(2)P滿足eq o(OP,sup6()meq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(m為常數(shù))，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值當堂檢測答案1答案B解析B中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作為基底2答案B解析eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(BC,sup6()eq o(AB,

24、sup6()eq f(3,4)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()eq f(1,4)aeq f(3,4)b.3答案D解析由向量夾角定義知，eq o(AC,sup6()、eq o(BA,sup6()的夾角為150.4答案eq f(7,4)meq f(13,8)n解析設(shè)pxmyn，則3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b，得eq blcrc (avs4alco1(2x4y3，,3x2y2)eq blcrc (avs4alco1(xf(7,4)，,yf(13,8

25、).)5解連接FD，DCAB，AB2CD，E、F分別是DC、AB的中點，DC綊FB.四邊形DCBF為平行四邊形依題意，eq o(DC,sup6()eq o(FB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)b，eq o(BC,sup6()eq o(FD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AF,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()aeq f(1,2)b，eq o(EF,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(FD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o

26、(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(DC,sup6()(aeq f(1,2)b)eq f(1,2)eq f(1,2)beq f(1,4)ba.課時精練答案一、選擇題1答案C解析零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，故錯，正確2答案A解析eq o(OC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(1,2)(5e13e2)3答案D解析易知eq o(CF,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()，eq o(CE,sup6()eq f(1,2)eq o(CB,

27、sup6().設(shè)eq o(CG,sup6()eq o(CA,sup6()，則由平行四邊形法則可得eq o(CG,sup6()(eq o(CB,sup6()eq o(CD,sup6()2eq o(CE,sup6()2eq o(CF,sup6()，由于E，G、F三點共線，則221，即eq f(1,4)，從而eq o(CG,sup6()eq f(1,4)eq o(CA,sup6()，從而eq o(AG,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()eq f(3,4)(ab)4答案B解析因為3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因為e1

28、和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以eq blcrc (avs4alco1(3x4y70，,10y2x0，)解得eq blcrc (avs4alco1(x3，,y4，)故選B.5答案C解析eq o(CD,sup6()4eq o(DB,sup6()req o(AB,sup6()seq o(AC,sup6()，eq o(CD,sup6()eq f(4,5)eq o(CB,sup6()eq f(4,5)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()req o(AB,sup6()seq o(AC,sup6()，req f(4,5)，seq f(4,5).3rseq f(12,5)eq

29、 f(4,5)eq f(8,5).二、填空題6答案(，4)(4，)解析若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線ae12e2，b2e1e2，由akb即得4.7答案eq f(2,3)aeq f(1,3)b解析設(shè)eq o(AO,sup6()eq o(AC,sup6()，則eq o(AO,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()(eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6().因為D，O，B三點共線，所以eq f(1,2)1，所以eq f(2,3)，所以eq o(AO,s

30、up6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)aeq f(1,3)b.8答案60解析作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則eq o(BA,sup6()ab，AOB為a與b的夾角，由|a|b|ab|知AOB為等邊三角形，則AOB60.9答案eq f(4,3)解析設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，則eq o(AE,sup6()eq f(1,2)ab，eq o(AF,sup6()aeq f(1,2)b，又eq o(AC,sup6()ab，eq o(AC,sup6()eq f(2,3)(eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()，即eq f(2,3)，eq f(4,3).10答案eq f(1,2)解析易知eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)e