物理學(xué)教程第二版高斯定理新

1、lrE 用電場(chǎng)線可以形象地描述電場(chǎng)。則：定量的電荷通過(guò)空間某一個(gè)閉合曲面的電場(chǎng)線也應(yīng)該是一定的。德國(guó)的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家高斯用數(shù)學(xué)語(yǔ)言證實(shí)了以上兩者的關(guān)系：.RE1SE=ES.SESS一.電場(chǎng)強(qiáng)度矢量通量jeE 通量：通過(guò)某一面積 的電場(chǎng)線條數(shù) 9-4 高斯定理如果電場(chǎng)非均勻，S 面又是任意曲面，則：=ES=ESejej=EScos=ESej2E=cosdSdSE.=EdSdejE.=dSsjsdej=分割曲面為無(wú)限多個(gè)面積元如果電場(chǎng)非均勻，S 面又是任意曲面，則： 為負(fù)（900）， 如果900（電場(chǎng)線與面積元正法向垂直）則 為零。dejdejdej規(guī)定：電場(chǎng)線由封閉曲面內(nèi)向外穿出 為

2、正（900），電場(chǎng)線由外面穿進(jìn)封閉曲面內(nèi)3問(wèn)題：在均勻電場(chǎng)E 中，水平放置一個(gè)封閉圓柱面（例如空的可口可樂(lè)罐）問(wèn)通過(guò)它的電場(chǎng)強(qiáng)度通量是多少？S3=側(cè)+E.dSsE.dSs左底E.dSs右底E.dSs0理由：夾角為90oS1、S2的面積相等但法線方向相反 0jES1S2ES+ES（）=04+rq從點(diǎn)電荷特例引出此定理上式中的電荷 q 應(yīng)理解為電量的代數(shù)值之和dS二. 高斯定理EdSE.dSs=sr24q+Ocos00=r24q+OsdSq=r24+Or24=q+O 1. 若q 為負(fù)值，E 的方向與dS 的方向相反，上式的積分值為負(fù)值。幾點(diǎn)結(jié)論取面積元5q+q4. 若封閉面不是球面，則積分值不變。

3、2. 此式的意義是通過(guò)閉合曲面的電場(chǎng)線條數(shù)等于面內(nèi)的電荷數(shù)。=E.dSsq03. 若電荷在面外，則此積分值為0。因?yàn)橛袔讞l電場(chǎng)線進(jìn)入面內(nèi)必然有同樣數(shù)目的電場(chǎng)線從面內(nèi)出來(lái)。=E.dSsq06 5. 若面內(nèi)有若干個(gè)電荷，則積分值為：高斯定理: 在靜電場(chǎng)中，通過(guò)任意封曲面電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的通量，等于面內(nèi)所包圍的自由電荷代數(shù)和除以真空介電常數(shù)。 高斯定理是計(jì)算帶電體周圍電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的。但注意：電場(chǎng)必須是連續(xù)可導(dǎo)的，電場(chǎng)的分布是對(duì)稱的才可以應(yīng)用。在計(jì)算中，首先要建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)母咚姑?，這是解題的關(guān)鍵。=E.dSsq0=q01i71. 均勻帶電球面的電場(chǎng)（1）r R 均勻帶電球面內(nèi)任意點(diǎn)作高斯面 三. 高斯定

4、理的應(yīng)用E=0得：dSE.dSs=scos00E=EsdS=Er24=qi00101高斯定理等式的左邊高斯定理等式的右邊結(jié)論：均勻帶電球面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的量值處處為零+R+0q高斯面r8（2）r R 均勻帶電球面外任一點(diǎn)均勻帶電球面電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線表明：球面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度是常量，球外與考察點(diǎn)的距離平方成反比R+q+Er高斯面dSE.dSs=scos00E=Er2411=qi0q0E=等式左右兩邊相等得：q0r24rE2r10Rq0R2492. 均勻帶電球體的電場(chǎng) 電荷體密度為REr高斯面（1）r R 均勻帶電球體內(nèi)任意點(diǎn)dSE.dSs=scos00E=Er2411=qi0q0

5、高斯定理等式的左邊013r34=高斯定理等式的右邊=Er24013r34=Er30結(jié)論： 均勻帶電球體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的量值與球體內(nèi)考察點(diǎn)的距離成正比。等式左右兩邊相等10ER（2）r R 均勻帶電球體外任一點(diǎn)dSE.dSs=scos00E=Er2411=qi0q0高斯定理等式的左邊r高斯面013R34=高斯定理等式的右邊Er24013R34=E=R33r20等式左右兩邊相等結(jié)論：均勻帶電球體外電場(chǎng)強(qiáng)度量值與考察點(diǎn)的距離平方成反比。11均勻帶電球體電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線均勻帶電球體電場(chǎng)強(qiáng)度的特點(diǎn)RE高斯面均勻帶電球體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的量值與球體內(nèi)考察點(diǎn)的距離成正比。均勻帶電球體外電場(chǎng)強(qiáng)度的量值反比于球體外考察點(diǎn)

6、的平方。E0Rrr302r1R3012E恰當(dāng)?shù)母咚姑媸且粋€(gè)圓柱體=ES+ES3. 均勻帶電無(wú)限大平面的電場(chǎng)=S0E=20作為經(jīng)驗(yàn)公式記住=側(cè)+E.dSsE.dSs左底E.dSs右底E.dSs0理由：夾角為90 o=ES2=20高斯定理等式的左邊高斯定理等式的右邊S是個(gè)圓柱體恰當(dāng)?shù)母咚姑鍱13 4. 均勻帶電圓柱面的電場(chǎng) 設(shè)沿軸線方向單位長(zhǎng)度帶電量為（1）r R 均勻帶圓柱面內(nèi)任意點(diǎn)r高斯面lE=側(cè)+E.dSsE.dSs上底E.dSs+下底E.dSs0理由：夾角為90 o=EdSS側(cè)面=r2lE0=11=qi0q0高斯定理等式的右邊高斯定理等式的左邊E=0結(jié)論：均勻帶電圓柱面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的量值處處

7、為零144. 均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)（2）r R 均勻帶電圓柱面外任一點(diǎn)=側(cè)+E.dSsE.dSs上底E.dSs+下底E.dSs0理由：夾角為90 o=EdSS側(cè)面=r2lE高斯定理等式的左邊高斯定理等式的右邊=11=qi0q00lrE=20作為經(jīng)驗(yàn)公式記??！E高斯面rl15例題:點(diǎn)電荷q1、 q2、 q3、 q4在真空中的分布如圖所示圖中的S為閉合曲面，則求：（1）通過(guò)該閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。（2）式中的E是由哪些點(diǎn)電荷在閉合曲面上任一點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。 （教材P33：填充題3） Sq2q4q1q3（1）通過(guò)該閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量：=E.dSs01（）q2q4理由：閉合曲面（高斯面）內(nèi)

8、只包含有q2和q4（2）式中的E是由哪些點(diǎn)電荷在 閉合曲面上任一點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。由點(diǎn)電荷q1、 q2、 q3、 q4產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)的矢量和16例題:設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E 和半徑為R 的半球面對(duì)稱軸平行，試計(jì)算通過(guò)半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。 （教材P38：9-12） RE0分析:電場(chǎng)線穿過(guò)封閉的半球面穿過(guò)封閉半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為零。即：2EdS 圓面cos1800=ER2ERj半球面=相等得：=E.dSs0=+E.dSsE.dS 圓面E.dS 半球面=0E.dS 圓面E.dS 半球面=17例題：如圖所示，在C點(diǎn)放置電荷q1 ，在A點(diǎn)放置電荷q2 ，S 是包圍q1的封閉面，P點(diǎn)是曲面上任意一點(diǎn)，現(xiàn)

9、在把q2從 A點(diǎn)移到B點(diǎn)，則正確的是：A. 通過(guò)S 面的電通量改變，但P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不變；B. 通過(guò)S 面的電通量和P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)均改變；C. 通過(guò)S 面的電通量和P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)均不改變； D. 通過(guò)S 面的電通量不變，但P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)改變。（練習(xí)冊(cè)P3：選擇題3）CPABS0q1q2分析： P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度是由C點(diǎn)的電荷q1和封閉面外的電荷q2貢獻(xiàn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加， 當(dāng)q2從A點(diǎn)移到B點(diǎn)時(shí)，封閉面外的電荷q2對(duì)P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的貢獻(xiàn)是改變的。D是正確的。而電場(chǎng)強(qiáng)度通量只取決于封閉面內(nèi)的電荷q1，因此通過(guò)S 面的電通量是不改變的。18例題：指出下列說(shuō)法哪一個(gè)是正確的：A. 如果高斯面上E 處處不為零，則高斯面內(nèi)必

10、有電荷B. 如果高斯面內(nèi)有電荷，則高斯面上E 處處不為零C. 如果高斯面內(nèi)無(wú)電荷，則高斯面上E 處處為零D. 如果高斯面的E 通量不為零，則高斯面內(nèi)必有凈電荷（練習(xí)冊(cè)P3：選擇題2）分析：高斯面上的電場(chǎng)強(qiáng)度E 是由高斯面內(nèi)外的電荷共同激發(fā)疊加而成的。 A（高斯面外如有電荷存在，即使高斯面內(nèi)無(wú)電荷，則高斯面上E可以處處不為零）B （高斯面內(nèi)外如有等量、等距、異號(hào)的電荷，則高斯面上E可以為零）C（如果高斯面外有電荷，則即使高斯面內(nèi)無(wú)電荷，則高斯面上E可以處處不為零）因此A、B、C是不正確的。電場(chǎng)強(qiáng)度通量只取決于高斯面內(nèi)的電荷，所以高斯面的E 通量不為零，則高斯面內(nèi)必有凈電荷D是正確的。19例題：如

11、圖所示，一均勻帶電Q 的球形膜,在它的半徑從R1擴(kuò)大到R2的過(guò)程中,距球?yàn)镽 的一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)將由_變?yōu)開(kāi),電勢(shì)由_變?yōu)開(kāi),通過(guò)以為半徑R的球面的電通量由_變?yōu)開(kāi)。RR2R1（練習(xí)冊(cè)P3：填充題1）QR24OQR24O0QR4OOQ0分析：根據(jù)高斯定理，在距球?yàn)镽處建立高斯面，其內(nèi)含有Q。所以場(chǎng)強(qiáng)是：半徑擴(kuò)大到R2則高斯面內(nèi)無(wú)電荷，所以場(chǎng)強(qiáng)變?yōu)榱愀咚姑媲騼?nèi)的電勢(shì)球面的電勢(shì)（等勢(shì)體）Q20例題：如圖所示，一個(gè)帶有q的點(diǎn)電荷，位于半徑是R的帶有Q電量的球面中心0處，試求：電場(chǎng)強(qiáng)度的分布 （練習(xí)冊(cè)P4計(jì)算題3）QqR0分析：用高斯定理來(lái)做。設(shè)：帶電球面內(nèi)部為1區(qū)，帶電球面外部為2區(qū)解： 場(chǎng)強(qiáng)分布由高斯定

12、理：=E.dSsq0（在球面內(nèi)1區(qū)作高斯面）r Rr高斯面Er240 q1r24E1=0 q21（在球面外2區(qū)作高斯面）RrQqR0r高斯面Er24Q02 qE=等式左右兩邊相等得：Q0r24 q2解： 場(chǎng)強(qiáng)分布結(jié)論：均勻帶電球面內(nèi)均勻帶電球面外r24E1=0 qE=Q0r24 q222x-aa+oy題圖例題:電荷面密度均為的兩塊“無(wú)限大”均勻帶電的平行平板，其周圍空間各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E 隨坐標(biāo)x 變化的關(guān)系曲線，正確的是：（設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度方向向右為正、向左為負(fù)）（教材P36：習(xí)題9-1）0-aa(A)oEx020-aa(B)oEx0-0-aa(C)oEx0-aa(D)oEx23x-aa+oy題圖分析

13、:先畫出兩塊均勻帶電平板的電場(chǎng)線x+oy左板左邊的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量方向向左（與x 軸反向），量值疊加后為：右板右邊的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量方向向右（與x 軸同向），量值疊加后為：0-0根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量疊加原理和無(wú)限大均勻帶電平面外的電場(chǎng)強(qiáng)度量值02兩塊均勻帶電平板之間的電場(chǎng)強(qiáng)度量值為零0-aa(B)oEx0-所以（B）是正確的24例題:A、B 為真空中兩塊無(wú)限大平行帶電平面 ，兩面之間的場(chǎng)強(qiáng)為E ，兩面上方場(chǎng)強(qiáng)為 ，如圖所示，求：A、B 面上的電荷面密度A和B，B面下方電場(chǎng)強(qiáng)度的量值和方向。3E3EABEAB，E下方？分析:兩板上各自帶有正電荷還是負(fù)電荷，題目沒(méi)有明確的給出，但是圖中已經(jīng)標(biāo)出兩板之間電場(chǎng)強(qiáng)度

14、矢量疊加以后的方向是向上的，因此先在圖上畫出電場(chǎng)線，即可判斷出A、B 板上所帶電荷的極性。根據(jù)電場(chǎng)線的走向，可知A板上帶有負(fù)電荷、B 板上帶有正電荷應(yīng)用無(wú)限大均勻帶電平板電場(chǎng)的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論：列出相應(yīng)的方程：02253EABEABE下方？應(yīng)用無(wú)限大均勻帶電平板電場(chǎng)的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論：列出相應(yīng)的方程：02A、B之間的方程和A 上方的方程：02A02B=E(1)02B-02A=3E(2)由方程（1）變形為：02A02B=E代入方程（2）中得：02B02BE（）=3E3E40B=整理后得：將此結(jié)果代入（1）后得 3E20A=263EABEABE下方？求：B面下方電場(chǎng)強(qiáng)度的量值和方向從上面求出的已知條件3E40B=

15、3E20A=代入下式：02B-02A02BA-=3E023E4032（）方向豎直向下解題的后感（1）畫出電場(chǎng)線進(jìn)行電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加（正電荷的電場(chǎng)線是發(fā)散的、負(fù)電荷的電場(chǎng)線是收斂的）（2）應(yīng)用無(wú)限大帶電平板的電場(chǎng)強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)結(jié)論進(jìn)行計(jì)算27DAPqqS 例題：如圖所示，S為一高斯面，在P、A 處分別放置點(diǎn)電荷q，D位于P、A連線與高斯面S的交點(diǎn)上，且PDDAd，求：（1）D點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E? （2）通過(guò)高斯面的電通量? （3）若把一個(gè)q 改為q，則D點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E ? （4）通過(guò)高斯面的電通量=?（1）D 點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E?理由：兩個(gè)點(diǎn)電荷在D 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度貢獻(xiàn)大小相等，方向相反，相互抵消（2）通過(guò)高斯面的電

16、通量?=E.dSsq0ej=由高斯定理E0q0（3）若把一個(gè)q 改為q，則D點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E ?eq4d220理由：兩個(gè)點(diǎn)電荷在D 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度貢獻(xiàn)大小相等方向相同，兩者相加。q0（4）通過(guò)高斯面的電通量28例題：如圖所示，兩塊無(wú)限大的平行極板，分別帶電：（1）a 區(qū)E 的大小： 方向：（2）b 區(qū)E 的大?。?方向：（3）c 區(qū)E 的大?。?方向： 2寫出各區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向：和（練習(xí)冊(cè)P3：填充題2）abc2提示：（1）畫出電場(chǎng)線進(jìn)行電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加（正電荷的電場(chǎng)線是發(fā)散的、負(fù)電荷的電場(chǎng)線是收斂的）（2）應(yīng)用無(wú)限大帶電平板的電場(chǎng)強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)結(jié)論進(jìn)行計(jì)算oes2向右oes2oes22oes23

17、向右oes2向左29例題：在半徑為R1、電荷體密度為的均勻帶電球體中挖去一個(gè)半徑為R2的球形空腔，空腔的中心為A，球心和空腔中心的距離0Aa，如圖所示。求空腔內(nèi)任一點(diǎn)P 處的電場(chǎng)強(qiáng)度。R10R2A分析：此題用積分計(jì)算很困難。又因挖去一個(gè)空腔，電場(chǎng)的球?qū)ΨQ性被破壞了，因此也不能直接用高斯定理求對(duì)稱，在此試用補(bǔ)償法來(lái)做在挖去的地方填補(bǔ)上一個(gè)半徑為R2的球形使得大球成為一個(gè)完整的帶電球體arcP設(shè)：大球體在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E有空腔的帶電球體在P 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E1小球體在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E2由電場(chǎng)強(qiáng)度矢量疊加原理：EE1E230R10R2AarcP由高斯定理可求得大球體在P 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)EdSE.dSs=scos00E=Er2411=qi0q0高斯定理等式的左邊013r34=高斯定理等式的右邊=Er24013r34=Er30等式左右兩邊相等方向沿r高斯面31=Ec2411=qi0q0高斯定理等式的左邊013c34=高斯定理等式的右邊=Ec24013rc34=E