2.2 基本不等式 教學(xué)設(shè)計(jì)-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

1、2.2 基本不等式基本不等式在人教 A 版高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)第二章第 2 節(jié)，本節(jié)課的內(nèi)容是基本不等式的形式以及推導(dǎo)和證明過(guò)程。本章一直在研究不等式的相關(guān)問(wèn)題，對(duì)于本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)有了很好的鋪墊作用。同時(shí)本節(jié) 課的內(nèi)容也是之后基本不等式應(yīng)用的必要基礎(chǔ)。課程目標(biāo)1.掌握基本不等式的形式以及推導(dǎo)過(guò)程，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。2.經(jīng)歷基本不等式的推導(dǎo)與證明過(guò)程，提升邏輯推理能力。3.在猜想論證的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：基本不等式的形式以及推導(dǎo)過(guò)程；2.邏輯推理：基本不等式的證明；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用基本不等式求最值；4.數(shù)據(jù)分析：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題；5.數(shù)學(xué)建模：利用

2、函數(shù)的思想和基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題，提升學(xué)生的邏輯推理能力。重點(diǎn)：基本不等式的形成以及推導(dǎo)過(guò)程和利用基本不等式求最值； 難點(diǎn)：基本不等式的推導(dǎo)以及證明過(guò)程教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。 教學(xué)工具：多媒體。一、 情景導(dǎo)入：在前面一節(jié)，已經(jīng)學(xué)了重要不等式，那么將重要不等式中各個(gè)式子開(kāi)方變形，會(huì)得到什么呢？ 要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本 44-45 頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題2 22 1. 重要不等式的內(nèi)容是？2.基本不等式的內(nèi)容及注意事項(xiàng)？3.常見(jiàn)的不等式推論？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終

3、選出代表回答問(wèn)題。 三、新知探究1.重要不等式2.基本不等式ab a b2( a 0, b 0)(1)基本不等式成立的條件:_.a0,b0 (2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)_a=b時(shí)取等號(hào). 注意：一正二定三等.3.幾個(gè)重要的不等式(1)a +b _(a,b2ab R).b a(2) _(a,b 同號(hào)).a b(3)ab (a b2)2(a,bR).(4)a2b 2 a b ( )2 22(a,bR). + 4. 設(shè) a0,b0，則 a,b 的算術(shù)平均數(shù)為_(kāi),幾何平均2數(shù)為_(kāi)ab，基本不等式可敘述為：_.兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 四、典例分析、舉一反三題型一利用基本不等式求最值

4、例 1 求下列各題的最值.（1）已知 x0,y0,xy=10,求2 5z x y的最小值；（2）x0,求f ( x ) 12x3 x的最小值；（3）x0,y0,xy=10.當(dāng)且僅當(dāng) 2y=5x,即 x=2,y=5 時(shí)等號(hào)立.(2)x0, 等號(hào)成立的條件是12x3 x,即 x=2, f ( x ) 12 123 x 2 3 x 12, x xf(x)的最小值 12.(3)x3,x-30, f ( x ) 4 4x ( x 3) 3 x 3 x 34 (3 x ) 3 3 x243 x (3 x ) 3 1,當(dāng)且僅當(dāng)43 x 3 x ,即 x=1 時(shí)，等號(hào)成立.故 f(x)的最大值為-1.解題技巧

5、： （利用基本不等式求最值）(1)通過(guò)變形或“1”的代換，將其變?yōu)閮墒胶蜑槎ㄖ祷蚍e為定值； (2)根據(jù)已知范圍，確定兩式的正負(fù)符號(hào)；(3)根據(jù)兩式的符號(hào)求積或和的最值.總而言之，基本不等式講究“一正二定三等”.跟蹤訓(xùn)練一（1）已知 x0,y0，且1 9 1,x y求 x+y 的最小值；（2）已知 x54,求函數(shù)y 4 x 2 14 x 5的最大值;（3）若 x,y【答案】見(jiàn)解析(0,+)且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值.2 +2 題型二例 2利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題（ ） 用籬笆圍一個(gè)面積為 的矩形菜園 ,當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí) ， 所用籬笆最短？ 最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？（

6、） 用一段長(zhǎng)為 的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園 ,當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí) ， 菜園的面積最 大？ 最大面積是多少？【答案】見(jiàn)解析【解析】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為 , ，籬笆的長(zhǎng)度為2( + )m.(1)由已知得 = 100.由 ，可得 + 2 = 20,所以2( + ) 40,2當(dāng)且僅當(dāng) = =10 時(shí)，上式等號(hào)成立.(2)由已知得2( + ) = 36，矩形菜園的面積為2.由 = 2182= 9,可得 81，當(dāng)且僅當(dāng) = =9 時(shí)，上式等號(hào)成立.解題技巧：(利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題)設(shè)出未知數(shù) x,y,根據(jù)已知條件，列出關(guān)系式，然后利用函數(shù)的思想或基本不等式解決相應(yīng)的問(wèn)題。（注 意運(yùn)用基

7、本不等式講究“一正二定三等”）跟蹤訓(xùn)練二1. 如圖所示，將一矩形花壇 ABCD 擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇 AMPN ，要求 B 點(diǎn)在 AM 上，D 點(diǎn)在AN上，且對(duì)角線(xiàn)MN過(guò)C點(diǎn)，已知 AB 3 米， AD 4 米.（1）要使矩形AMPN的面積大于 50 平方米，則DN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍？（2）當(dāng)DN的長(zhǎng)為多少米時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最??？并求出最小值.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè) DN 的長(zhǎng)為 x x0米，則 AN x 4米DN DCAN AM AM 3 x4 x SAMPNAN AM 3 x4 x0,3由矩形AMPN的面積大于50得：3x 4x250又x 0，得： 3x226 x 48 0 ，解得：0 x 83或x 6即DN 8 長(zhǎng)的取值范圍為： 6,（2）由（1）知：矩形花壇 AMPN 的面積為：y 3( x 4) 2 3 x 2 24 x 48 48 48 3 x 24 2 3 x 24 48 x x x x當(dāng)且僅當(dāng)3 x 48x，即 x 4 時(shí)，矩形花壇 AMPN 的面積取得最小值 48故DN的長(zhǎng)為 4米時(shí)，矩形AMPN的面積最小，最小值為 48平方米五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧 六、板書(shū)設(shè)計(jì)2.2 基本不等式1.基本不等式2.重要推論七、作業(yè)課