線性代數(shù)-經(jīng)典題庫

1、線性代數(shù)試題（3）二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1下列矩陣中，（）不是初等矩陣。（A） (B) (C) (D) 2設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）。（A）（B）（C）（D）3設(shè)A為n階方陣，且。則（ ）(A) (B) (C) (D) 4設(shè)為矩陣，則有（）。（A）若，則有無窮多解；（B）若，則有非零解，且基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無關(guān)解向量；（C）若有階子式不為零，則有唯一解；（D）若有階子式不為零，則僅有零解。5若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則（）（A）A與B相似（B），但|A-B|=0 （C）A=B（D）A與B不一定相似，但|A|=|B| 三、

2、填空題（每小題4分，共20分）1。2為3階矩陣，且滿足3,則=_，。3向量組，是線性（填相關(guān)或無關(guān)）的，它的一個(gè)極大線性無關(guān)組是。4已知是四元方程組的三個(gè)解，其中的秩=3，則方程組的通解為。5設(shè)，且秩(A)=2，則a= 。四、計(jì)算下列各題（每小題9分，共45分）。1已知A B=AB，且，求矩陣B。2.設(shè)，而，求。3.已知方程組有無窮多解，求a以及方程組的通解。4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型5 A，B為4階方陣，AB 2B=0，矩陣B的秩為2且|E A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對(duì)角化？為什么？；（3）求|A 3E|。五證明題（每題5分，共10分）。1若

3、是對(duì)稱矩陣，是反對(duì)稱矩陣，是否為對(duì)稱矩陣？證明你的結(jié)論。2設(shè)為矩陣，且的秩為n，判斷是否為正定陣？證明你的結(jié)論。二、1選B。初等矩陣一定是可逆的。2選B。A中的三個(gè)向量之和為零，顯然A線性相關(guān)； B中的向量組與，等價(jià), 其秩為3，B向量組線性無關(guān)；C、D中第三個(gè)向量為前兩個(gè)向量的線性組合，C、D中的向量組線性相關(guān)。3選C 。由，)。4選D。A錯(cuò)誤，因?yàn)?，不能保證；B錯(cuò)誤，的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量；C錯(cuò)誤，因?yàn)橛锌赡埽瑹o解；D正確，因?yàn)椤?選A。A正確，因?yàn)樗鼈兛蓪?duì)角化，存在可逆矩陣，使得，因此都相似于同一個(gè)對(duì)角矩陣。三、1（按第一列展開）2；（=）3相關(guān)（因?yàn)橄蛄總€(gè)數(shù)大于向量維數(shù)）。因?yàn)?，?。

4、因?yàn)?，原方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，取為，由原方程組的通解可表為導(dǎo)出組的通解與其一個(gè)特解之和即得。5（四、1解法一：。將與組成一個(gè)矩陣，用初等行變換求。=。故。解法二：。，因此。2解：，。3解法一：由方程組有無窮多解，得，因此其系數(shù)行列式。即或。當(dāng)時(shí)，該方程組的增廣矩陣于是，方程組有無窮多解。分別求出其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，原方程組的一個(gè)特解，故時(shí)，方程組有無窮多解，其通解為，當(dāng)時(shí)增廣矩陣，此時(shí)方程組無解。解法二：首先利用初等行變換將其增廣矩陣化為階梯形。由于該方程組有無窮多解，得。因此，即。求通解的方法與解法一相同。4解：首先寫出二次型的矩陣并求其特征值。二次型的矩陣，因此得到其特征值為，。再求特征值的特征向量。解方程組，得對(duì)應(yīng)于特征值為的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，。解方程組得對(duì)應(yīng)于特征值為的一個(gè)特征向量。再將，正交化為，。最后將，單位化后組成的矩陣即為所求的正交變換矩陣，其標(biāo)準(zhǔn)形為。5解：（1）由知-1，2為的特征值。，故-2為的特征值，又的秩為2，即特征值-2有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故的特征值為-1，2，-2，-2。（2）能相似對(duì)角化。因?yàn)閷?duì)應(yīng)于特征值-1，2各有一個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)于特征值-2有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以有四個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故可相似對(duì)角化。（3）的特征值為