北京市清華大學附中全國高校自主招生考試數(shù)學復習講義：第二講函數(shù)

1、函數(shù)、多項式、方程一、學問擴展x,y,都1. 函數(shù)方程：含有未知函數(shù)的等式. 1 函數(shù)方程的解法：代換法；待定余數(shù)法；迭代法；柯西法. 2 柯西方程：一個定義在有理數(shù)集上的實值函數(shù)fx對一切有理數(shù)有fxyfx fy. 就fxcx ,這里cf1 . 2. 凸函數(shù)與琴生不等式： 1 設fx為 定 義 在a,b 內(nèi) 的 函 數(shù) , 對x 1,x 2, 都 有fx 12x2fx 12fx2. ,有就稱fx 為a ,b內(nèi)的下凸函數(shù) . （一般凸函數(shù)指下凸函數(shù)） 2 如何判定下凸函數(shù)如gfx中,fx0gfx 為下凸 . （如gfx中,fx0gfx為上凹 . ） 3 對a ,b內(nèi)的凸函數(shù)f x fx 1x2

2、nxnfx 1fx2fxn. n（不等號反向,得到凹函數(shù)及凹函數(shù)的琴生不等式）. 3. 一元三次方程的韋達定理：設一元三次方程3 axc2 bxcxd0 a0 的三個根分別為x 1,x 2,x 3,就有x 1x2x3da xx 1xx 2ba. 用3 ax2 bxcxxx 3待定系數(shù)x 1x 2x2x 3x 1x3ax 1x 2x 3da法即可得到 . 4. f x a n x na n 1 b n 1a n 2 x n 2a 1 x a 0 0 . 整系數(shù)多項式的根 . 1 首項系數(shù)為 1 的整系數(shù)多項式有理根必是整數(shù)根 . 2 整系數(shù)多項式的整數(shù)根,必是常數(shù)項 0a 的 約 數(shù). 二、例題

3、解析（一）函數(shù)性質(zhì)例 1：（2022 上海交大）函數(shù)fx3x1x23x1x2xR的反函數(shù)為例 2：（2022 北京高校）書籍函數(shù)fxx253x196x253x196.求：f 1 f2f3f50例 3：（2022 江蘇數(shù)學競賽）已知fx x1x2x200 x1x2x200 xR,且fa33 a2 fa1. 就 a 的值有（x）A. 2 個B. 3 個C. 4 個D. 很多個例 4：（同學完成, 2022 江西聯(lián)賽）設fx1,又記f 1x fx. 1xfk1x ffkx ,k,1 2 ,就f2022x D. 1 x A. 1xB. x1C. x1xx1練習：1. 求函數(shù)fx x43 x26 x13

4、4 x1x21的最大值 . .2. 設x,y1,求xyx1 32022 xR,且滿意y1 32022 y1 1（二）函數(shù)與方程例5 ：（ 2022復 旦 大 學 ） 定 義 在R 上 的 函 數(shù)fxx1 滿 足fx 2fxx20224015x1就f2022fxfyxyxyfxy.f01.例 6：（2022 上海交大）如函數(shù)求fx的解析式 . 練習：4. 解方程： 3x19 x26 x51 2x3 4x2312 x1310. 270. xk2x例 7：（2022 上海交大）設k9,解關于 x 的方程2kx29 k（三）函數(shù)與不等式例 8：（2022 南開高校）求證：sinxx3Nx0 ,2nyn11. 6例 9：（2022 清華）設x0 ,y,0 xy1 . n. 求證：x2n（四）函數(shù)、多項式與方程例 10：（2022 上海交大） 設x3ax2bxc0的三個根分別為1a ,b ,c,且a,b,c是不全為 0 的有理數(shù),求a,b,c的值 . fg x 的反函數(shù)為ygf1 ;例 11（2022 華約） 4. （1）證明y（2）F x fx,G x f1 ,如G x 的反函數(shù)是F x 證明：f x 為奇函數(shù) . 例 12（2022 北約）8. 已知實系