高中數學必修二 7.1.2 復數的幾何意義（含答案）

1、 7.1.2復數的幾何意義導學案編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波【學習目標】1.理解用復平面內的點或以原點為起點的向量表示復數，及它們之間的一一對應關系2.掌握實軸、虛軸、模等概念.3.掌握用向量的模表示復數的模的方法.【自主學習】知識點1復平面的概念和復數的幾何意義1.復平面的概念根據復數相等的定義，任何一個復數zabi，都可以由一個有序實數對(a，b)唯一確定.因為有序實數對(a，b)與平面直角坐標系中的點一一對應，所以復數與平面直角坐標系中的點之間可以建立一一對應.如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數zabi可用點Z(a，b)表示.這個建立了直角坐標系來表示復數的平面

2、叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.2.復數的幾何意義按照這種表示方法，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應.因此，復數集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應的，即復數zabi復平面內的點Z(a，b)，這是復數的一種幾何意義.3.復數集與復平面中的向量的一一對應關系在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的.這樣，我們還可以用平面向量來表示復數.如圖所示，設復平面內的點Z表示復數zabi，連接OZ，顯然向量eq

3、o(OZ,sup6()由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量eq o(OZ,sup6()唯一確定.因此，復數集C與復平面內的向量所成的集合也是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數zabi平面向量eq o(OZ,sup6()，這是復數的另一種幾何意義.知識點2復數的模1.如圖所示，向量eq o(OZ,sup6()的模r叫做復數zabi(a，bR)的模，記作|z|或|abi|.如果b0，那么zabi是一個實數a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知：|z|abi|req r(a2b2)(r0，rR).2.復數的模的性質，設z1，z2是任意兩個復數，則(1)|z

4、1z2|z1|z2|，eq f(|z1|,|z2|)(|z2|0)(復數的乘、除法將在下節(jié)學習到).(2)|zeq oal(n,1)|z1|n(nN*).(3)eq blc|rc|(avs4alco1(|z1|z2|)|z1z2|z1|z2|，等號成立的條件是：當|z1z2|z1|z2|時，即z1，z2所對應的向量同向共線；當|z1|z2|z1z2|時，即z1，z2所對應的向量反向共線.(4)|z1|z2|z1z2|z1|z2|，等號成立的條件是：當|z1z2|z1|z2|時，即z1，z2所對應的向量反向共線；當|z1|z2|z1z2|時，即z1，z2所對應的向量同向共線. 【合作探究】探究一

5、 復數與復平面內的點【例1】在復平面內，若復數z(m22m8)(m23m10)i對應的點：(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直線yx上，分別求實數m的取值范圍.解復數z(m22m8)(m23m10)i的實部為m22m8，虛部為m23m10.(1)由題意得m22m80.解得m2或m4.(2)由題意，eq blcrc (avs4alco1(m22m80，,m23m100，)2m4.(3)由題意，(m22m8)(m23m10)0，2m4或5m0，得m5，所以當m5時，復數z對應的點在x軸上方.(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或meq f(5,2)，所以

6、當m1或meq f(5,2)時，復數z對應的點在直線xy40上.探究二 復數的模的幾何意義【例2】設zC，在復平面內對應點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形.(1)|z|2；(2)1|z|2.解(1)方法一|z|2說明復數z在復平面內對應的點Z到原點的距離為2，這樣的點Z的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.方法二設zabi，由|z|2，得a2b24.故點Z對應的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓. (2)不等式1|z|2可以轉化為不等式組eq blcrc (avs4alco1(|z|2，,|z|1.)不等式|z|2的解集是圓|z|2及該圓內部所有點的集合.不等式|z|1的解集是圓|

7、z|1及該圓外部所有點的集合.這兩個集合的交集，就是滿足條件1|z|2的點的集合.如圖中的陰影部分，所求點的集合是以O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界.歸納總結：【練習2】若復數z滿足|zi|eq r(2)(i為虛數單位)，則z在復平面所對應的圖形的面積為 .答案2解析設zxyi(x，yR)，則zixyiix(y1)i，|zi|eq r(x2y12)，由|zi|eq r(2)知eq r(x2y12)eq r(2)，x2(y1)22.復數z對應的點(x，y)構成以(0,1)為圓心，eq r(2)為半徑的圓面(含邊界)，所求圖形的面積為S2.故填2.探究三 復數的模及其應

8、用【例3】已知復數z3ai，且|z|4，求實數a的取值范圍.解方法一z3ai(aR)，|z|eq r(32a2)，由已知得32a242，a27，a(eq r(7)，eq r(7).方法二利用復數的幾何意義，由|z|4知，z在復平面內對應的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(不包括邊界)，由z3ai知z對應的點在直線x3上，所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合.由圖可知：eq r(7)aeq r(7).歸納總結：【練習3】已知復數|z|1，求復數34iz的模的最大值及最小值.解令34iz，則z(34i).|z|1，|(34i)|1，復數在復平面內對應的點的軌跡是以(3,4)為圓心，1為半徑的圓

9、，如圖，容易看出，圓上的點A所對應的復數A的模最大，為eq r(3242)16；圓上的點B所對應的復數B的模最小，為eq r(3242)14，復數34iz的模的最大值和最小值分別為6和4.課后作業(yè)A組 基礎題一、選擇題1.設x34i，則復數zx|x|(1i)在復平面上的對應點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析x34i，|x|eq r(3242)5，z34i5(1i)(351)(41)i35i.復數z在復平面上的對應點在第二象限.2.當eq f(2,3)m1時，復數z(3m2)(m1)i在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象

10、限答案D解析復數z在復平面內對應的點為Z(3m2，m1).由eq f(2,3)m0，m10.所以點Z位于第四象限.故選D.3.在復平面內，O為原點，向量eq o(OA,sup6()對應的復數為12i，若點A關于直線yx的對稱點為B，則向量eq o(OB,sup6()對應的復數為()A.2i B.2iC.12i D.12i答案B解析A(1,2)關于直線yx的對稱點B(2,1)，向量eq o(OB,sup6()對應的復數為2i.4.已知復數z滿足|z|22|z|30，則復數z對應點的軌跡是()A.1個圓 B.線段C.2個點 D.2個圓答案A解析由題意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z

11、|1.|z|0，|z|3.復數z對應的軌跡是1個圓.5.在復平面內，復數zi2i2對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析zi2i22i，實部小于0，虛部大于0，故復數z對應的點位于第二象限.6.在復平面內，復數65i，23i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數是()A.48i B.82iC.24i D.4i答案C解析由題意知點A的坐標為(6,5)，點B的坐標為(2,3).由中點坐標公式，得線段AB的中點C的坐標為(2,4)，故點C對應的復數為24i.7.已知i為虛數單位，復數，則z在復平面內對應的點位于（ ）A. 第一象限B. 第

12、二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B【分析】根據三角函數的誘導公式，求得復數，結合復數的幾何意義，即可求解.【詳解】由即復數，所以復數對應的點為位于第二象限.故選：B8.（多選題）下列命題中，正確的是（ ）A. 復數的?？偸欠秦摂礏. 復數集與復平面內以原點為起點的所有向量組成的集合一一對應C. 如果復數z對應的點在第一象限，則與該復數對應的向量的終點也一定在第一象限D. 相等的向量對應著相等的復數答案：ABD【分析】根據復數的幾何意義逐項判斷后可得正確的選項【詳解】設復數，對于A，故A正確對于B，復數對應的向量為，且對于平面內以原點為起點的任一向量，其對應的復數為，故復數集與復平面內以

13、原點為起點的所有向量組成的集合一一對應，故B正確對于B，復數對應的向量為，且對于平面內的任一向量，其對應的復數為，故復數集中的元素與復平面內以原點為起點的所有向量組成的集合中的元素是一一對應，故B正確對于C，如果復數對應的點在第一象限，則與該復數對應的向量的終點不一定在第一象限，故C錯對于D，相等的向量的坐標一定是相同的，故它們對應的復數也相等，故D正確故選：ABD【點睛】本題考查復數的幾何意義，注意復數對應的向量的坐標為，它與終點與起點的坐標的差有關，本題屬于基礎題二、填空題9.在復平面內表示復數z(m3)2eq r(m)i的點在直線yx上，則實數m的值為 .答案9解析z(m3)2eq r(

14、m)i表示的點在直線yx上，m32eq r(m)，解得m9.10.復數z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么實數a的取值范圍是 .答案(1,1)解析因為|z1|eq r(a24)，|z2|eq r(2212)eq r(5).又因|z1|z2|，所以eq r(a24)eq r(5)，解得1a1.11.若復數z5cos 4i(i為虛數單位，0)在復平面上的對應點在直線yx1上，則sin .答案eq f(4,5)解析復數z5cos 4i在復平面上的對應點在直線yx1上，45cos 1, 即cos eq f(3,5).又0，sin eq r(1cos2)eq r(1blc(rc)(avs4al

15、co1(f(3,5)2)eq f(4,5).12.已知0a2，復數z的實部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是 .答案(1，eq r(5)解析由題意可知zai.根據復數的模的定義，得|z|eq r(a21)，而0a2，故1|z|eq r(5).13.復數zlogeq f(1,2)3ilog3 eq f(1,2)對應的點位于復平面內的第 象限.答案三解析logeq f(1,2)30，log3 eq f(1,2)0，zlogeq f(1,2)3ilog3 eq f(1,2)對應的點位于復平面內的第三象限.三、解答題14.已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最大值.解如圖所示，因為|z|1

16、，所以z的軌跡可看作是半徑為1，圓心為(0,0)的圓，而z1對應坐標系中的點為Z1(2，2)，所以|zz1|的最大值可以看成點(2，2)到圓上的點的最大距離，則|zz1|max2eq r(2)1.15.設復數zlg(m22m14)(m2m6)i，求當實數m為何值時：(1)z為實數；(2)z對應的點位于復平面的第二象限.解(1)由題意得eq blcrc (avs4alco1(m2m60，,m22m140，)解得m3(m2舍去).故當m3時，z是實數.(2)由題意得eq blcrc (avs4alco1(lgm22m140，,m2m60，)即eq blcrc (avs4alco1(0m22m141

17、，,m2m60.)即eq blcrc (avs4alco1(m22m140，,m22m150，,m2m60，)得eq blcrc (avs4alco1(m1r(15)或m1r(15)，,5m3，,m2或m3.)解得5m1eq r(15).故當5m1eq r(15)時，z對應的點位于復平面內的第二象限.16.已知復數z在復平面內對應的點位于第四象限，且滿足，其實部、虛部均為整數，記i為虛數單位.（）求復數z；（）當為純虛數時，若，求實數m和n的值.答案：（）或.（）【分析】（）根據題意設復數，再利用，解得即可；（）根據題意可得，則，代入整理可得實數和的值.【詳解】（）設，則，因為在復平面內對應的

18、點位于第四象限，所以，所以或，即或.（）當為純虛數時，由（）知，則由，得，所以，解得.【點睛】本題主要考查復數的代數表示，復數相等的條件，屬于基礎題.B組 能力提升一、選擇題1.已知復數z滿足，則的最小值為（ ）A. 2B. 1C. D. 答案：B【分析】復數方程轉化成實數方程，再由復數模幾何意義得表示與圓上任一點間距離【詳解】設，由得，又表示定點與圓上任一點間距離則由幾何意義得，故選：B【點睛】本題主要考查復數模的計算和幾何意義，考查了轉化思想，屬于中檔題2.已知復數z滿足：，則的最大值為（ ）A. 2B. C. D. 3答案：B【分析】復數方程轉化成實數方程，再由復數模定義表示與圓上任一點

19、間距離【詳解】解：設，由得圓的方程，又表示定點與圓上任一點間距離則由幾何意義得，故選：B【點睛】本題主要考查復數模的計算和幾何意義，屬于中檔題3.已知復數，滿足，則點的軌跡是（ ）A. 線段B. 圓C. 雙曲線D. 橢圓答案：D【分析】根據復數模長的幾何意義，結合橢圓的定義知，復數z對應的點在某一橢圓上【詳解】復平面上，復數滿足， 則對應的點到點，點的距離和為， 即， 復數對應的點在以為焦點，長軸長為的橢圓上 故選：D【點睛】本題考查了復數的代數形式與模長幾何意義應用問題，也考查了橢圓的定義應用問題，是基礎題4.若，則復數(cos sin )(sin cos )i在復平面內所對應的點在()A.

20、第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析，cos sin 0.選B.5.設A、B為銳角三角形的兩個內角，則復數z(cos Btan A)tan Bi對應的點位于復平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案B解析因A、B為銳角三角形的兩個內角，所以ABeq f(,2)，即Aeq f(,2)B，sin Acos B.cos Btan Acos Beq f(sin A,cos A)cos Bsin A0，又tan B0，所以點(cos Btan A，tan B)在第二象限，故選B.二、填空題6.設zlog2(m23m3)ilog2(m3)(mR)，若z對應的點在直線x2y10上，則m的值是 .答案eq r(15)解析由題意知，復數zxyi(x，yR)的實部x和虛部y滿足方程x2y10，故log2(m23m3)2log2(m3)10，則log2eq f(m23m3,m32)1，eq f(m23m3,m32)eq f(1,2)，meq r(15).eq blcrc (avs4alco1(m23m30，,m30，)meq f(3r(21),2)，meq r(15).7.若復數z滿足（i為虛數單位），則 的最小值是_.答案：1分析：復數滿足，設，利用復數的模的計算公式與三角函數求值即可求出詳解：由復數滿足，設，則，當且僅當時等號成立，所以的最小值為